三階常微分方程非線性特征值問題正解的存在性與多解性研究一、引言1.1研究背景與意義在自然科學(xué)與工程技術(shù)的廣袤領(lǐng)域中，三階常微分方程作為一類關(guān)鍵的數(shù)學(xué)模型，占據(jù)著不可或缺的地位。從物理學(xué)里復(fù)雜的振動問題，到工程學(xué)中的梁的彎曲分析，諸多實際現(xiàn)象均可抽象為三階常微分方程來加以研究。例如，在材料力學(xué)中，研究梁的橫向振動時，會涉及到三階常微分方程來描述其振動特性；在電路分析中，某些復(fù)雜電路的電流、電壓變化也可以通過三階常微分方程來精確刻畫。這些應(yīng)用場景充分體現(xiàn)了三階常微分方程在解決實際問題中的重要性。而三階常微分方程的非線性特征值問題，由于其涉及到非線性算子與非線性函數(shù)，求解難度頗高，長期以來一直是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的重點與難點。其中，正解的研究意義尤為重大。以物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)問題為例，若將其抽象為三階常微分方程的非線性特征值問題，正解能夠精確地反映出系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下的物理量分布，如溫度分布等，這對于深入理解物理過程的本質(zhì)具有關(guān)鍵作用。在工程設(shè)計方面，比如在航空航天領(lǐng)域的飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計中，通過研究三階常微分方程非線性特征值問題的正解，可以準(zhǔn)確地評估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，為優(yōu)化設(shè)計提供堅實的理論依據(jù)，進而提高飛行器的性能和安全性。在過去的研究中，雖然已經(jīng)取得了一些成果，但仍存在諸多未解決的問題。一方面，對于某些特殊形式的三階常微分方程，其非線性特征值問題的正解存在性和多解性尚未得到充分的研究和證明。另一方面，現(xiàn)有的求解方法在面對復(fù)雜的非線性項時，往往存在局限性，無法準(zhǔn)確地得到正解的具體形式和性質(zhì)。因此，深入研究三階常微分方程的某些非線性特征值問題的正解，不僅能夠豐富和完善常微分方程的理論體系，還能為自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域的相關(guān)研究提供更為有力的數(shù)學(xué)支持，推動這些領(lǐng)域的進一步發(fā)展。1.2研究現(xiàn)狀綜述近年來，三階常微分方程非線性特征值問題正解的研究取得了一系列重要成果。在理論研究方面，眾多學(xué)者運用各種數(shù)學(xué)工具和方法，深入探究了不同類型三階常微分方程非線性特征值問題正解的存在性、唯一性以及多解性。例如，文獻[具體文獻1]利用Krasnosel'skii錐拉伸與錐壓縮型不動點定理，在特定的邊界條件下，對三階常微分方程u'''(t)+\lambdaf(t,u(t))=0（其中\(zhòng)lambda>0）進行研究，建立了正解的存在性定理。通過細致分析非線性項f(t,u)在有界集上的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造出滿足不動點定理條件的映射，從而證明了正解的存在性。在數(shù)值計算領(lǐng)域，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，針對三階常微分方程非線性特征值問題正解的數(shù)值算法不斷涌現(xiàn)。一些學(xué)者提出了高精度的數(shù)值方法，如有限差分法、有限元法以及譜方法等，并將這些方法應(yīng)用于實際問題的求解。例如，采用有限差分法對三階常微分方程進行離散化處理，將連續(xù)的問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，通過求解代數(shù)方程組來逼近正解。在實際應(yīng)用中，有限差分法在處理規(guī)則區(qū)域的問題時具有較高的計算效率和精度；而有限元法則更適用于處理復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題，能夠靈活地對求解區(qū)域進行剖分，提高數(shù)值解的準(zhǔn)確性。然而，現(xiàn)有研究仍存在一些不足之處。一方面，在理論研究中，對于非線性項具有復(fù)雜形式或奇異特性的三階常微分方程，其正解的研究還不夠深入，許多問題尚未得到有效解決。例如，當(dāng)非線性項f(t,u)在某些點處具有奇異性時，傳統(tǒng)的研究方法往往難以適用，需要發(fā)展新的理論和方法來進行分析。另一方面，數(shù)值計算方法在處理大規(guī)模問題或高精度要求的問題時，還存在計算效率低、計算精度難以保證等問題。此外，數(shù)值算法的穩(wěn)定性和收斂性分析也有待進一步完善，以確保數(shù)值解的可靠性和準(zhǔn)確性。本文將針對現(xiàn)有研究的不足，選取具有代表性的三階常微分方程非線性特征值問題作為研究對象，綜合運用常微分方程理論、非線性算子理論以及變分法等數(shù)學(xué)工具，深入研究正解的存在性、多解性以及相關(guān)性質(zhì)。在數(shù)值計算方面，將探索更加高效、精確的數(shù)值算法，提高計算效率和精度，為實際問題的解決提供更有力的支持。1.3研究方法與創(chuàng)新點在本研究中，將綜合運用多種數(shù)學(xué)工具和方法，深入探究三階常微分方程的某些非線性特征值問題的正解。在理論分析方面，常微分方程理論是研究的基礎(chǔ)，它為理解方程的基本性質(zhì)和行為提供了框架。通過對三階常微分方程的結(jié)構(gòu)進行剖析，利用其基本理論中的解的存在性、唯一性等相關(guān)定理，為后續(xù)的研究奠定基礎(chǔ)。非線性算子理論則是核心工具之一，該理論將非線性問題轉(zhuǎn)化為算子方程，通過研究算子的性質(zhì)，如緊性、單調(diào)性等，來探討方程解的存在性和多解性。例如，對于給定的三階常微分方程，可將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的積分算子方程，然后利用非線性算子理論中的不動點定理來證明正解的存在性。變分法也是重要的研究方法，它從能量泛函的角度出發(fā)，將常微分方程問題轉(zhuǎn)化為泛函的極值問題。通過構(gòu)造合適的能量泛函，利用變分法中的極小化序列、山路引理等工具，分析泛函的臨界點，從而得到方程正解的相關(guān)結(jié)論。在數(shù)值計算領(lǐng)域，將采用有限差分法和有限元法。有限差分法通過對時間和空間進行離散化，將連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。在具體應(yīng)用時，對三階常微分方程的導(dǎo)數(shù)項進行差分離散，然后通過迭代求解離散方程組，得到數(shù)值解。有限元法則是將求解區(qū)域劃分為有限個單元，在每個單元上構(gòu)造插值函數(shù)，將方程轉(zhuǎn)化為在單元上的弱形式，通過求解弱形式的方程得到數(shù)值解。這種方法對于復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件具有更好的適應(yīng)性，能夠更精確地逼近實際問題的解。本文的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。在理論研究中，首次將非線性算子理論與變分法相結(jié)合，針對具有復(fù)雜非線性項的三階常微分方程進行研究。通過巧妙地構(gòu)造能量泛函和非線性算子，克服了傳統(tǒng)方法在處理復(fù)雜非線性項時的局限性，建立了新的正解存在性和多解性定理。例如，對于一些非線性項具有奇異特性或復(fù)雜增長性的三階常微分方程，傳統(tǒng)的單一方法難以奏效，而本文的方法能夠通過綜合分析能量泛函的性質(zhì)和非線性算子的作用，得出更全面、深入的結(jié)論。在數(shù)值計算方面，提出了一種改進的有限差分-有限元混合算法。該算法結(jié)合了有限差分法在計算效率上的優(yōu)勢和有限元法在處理復(fù)雜邊界條件時的精確性。在計算過程中，對于規(guī)則區(qū)域采用有限差分法進行快速計算，而對于邊界附近或幾何形狀復(fù)雜的區(qū)域，則運用有限元法進行精細處理，從而顯著提高了數(shù)值計算的效率和精度。與傳統(tǒng)的單一數(shù)值方法相比，該混合算法在處理大規(guī)模、高精度要求的三階常微分方程非線性特征值問題時，具有更強的適應(yīng)性和更高的計算性能。二、三階常微分方程非線性特征值問題的數(shù)學(xué)模型2.1方程的一般形式在眾多實際問題的研究中，三階常微分方程的非線性特征值問題可抽象為如下一般形式：u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))其中，t為自變量，通常表示時間或空間變量，其取值范圍一般為某個區(qū)間，如[0,1]。u(t)是未知函數(shù)，代表所研究問題中的物理量，例如在振動問題中，u(t)可以表示物體的位移；在熱傳導(dǎo)問題中，u(t)可表示溫度分布。\lambda是特征值，它在問題中起著關(guān)鍵作用，不同的\lambda值對應(yīng)著不同的解的性質(zhì)，且通常\lambda>0。a(t)是定義在區(qū)間(0,1)上的非負連續(xù)函數(shù)，它反映了問題中的某種物理特性或系數(shù)，在一些實際問題中，a(t)可能與材料的性質(zhì)、幾何形狀等因素有關(guān)。例如，在研究梁的彎曲問題時，a(t)可能與梁的材料彈性模量、截面慣性矩等相關(guān)。F(t,u(t))是定義在[0,1]\times[0,+\infty)上的連續(xù)函數(shù)，它體現(xiàn)了問題中的非線性特性，其具體形式取決于實際問題的物理機制。從物理背景來看，以梁的橫向振動問題為例，假設(shè)梁的長度為1，在t時刻梁上某點的橫向位移為u(t)。\lambda與梁的振動頻率相關(guān)，\lambda的變化會導(dǎo)致振動頻率的改變，進而影響梁的振動狀態(tài)。a(t)與梁的材料屬性、截面形狀等因素有關(guān)，不同的材料和截面形狀會使得a(t)具有不同的表達式，從而對梁的振動產(chǎn)生不同的影響。F(t,u(t))則描述了梁在振動過程中受到的非線性外力作用，例如，當(dāng)考慮梁的大變形或存在非線性阻尼時，外力與位移u(t)之間會呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，這種關(guān)系就通過F(t,u(t))來體現(xiàn)。在電路分析中，若將該方程用于描述某復(fù)雜電路中電流隨時間的變化，u(t)代表電流，\lambda與電路中的電感、電容等參數(shù)相關(guān)，a(t)與電路元件的特性有關(guān)，F(xiàn)(t,u(t))則反映了電路中存在的非線性元件（如二極管等）對電流的影響。2.2邊界條件的設(shè)定邊界條件在三階常微分方程非線性特征值問題中起著關(guān)鍵作用，它能夠限制解的行為，使問題具有特定的物理或幾何意義。常見的邊界條件有多種類型，以下為您詳細列舉并分析其對問題求解的影響：第一類邊界條件：u(0)=u'(0)=u(1)=0。從物理意義上看，若將方程應(yīng)用于梁的彎曲問題，u(0)=u(1)=0表示梁的兩端位移為零，即梁的兩端被固定；u'(0)=0表示梁在起始端的斜率為零，意味著起始端的切線水平。在求解過程中，這種邊界條件使得解在區(qū)間端點處的值和導(dǎo)數(shù)被固定，從而確定了積分常數(shù)。以求解方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))為例，利用積分法求解時，通過這三個邊界條件可以唯一確定積分過程中產(chǎn)生的三個積分常數(shù)，進而得到滿足該邊界條件的特解。從數(shù)學(xué)角度分析，這種邊界條件確定了函數(shù)在區(qū)間端點的取值和導(dǎo)數(shù)，使得解空間被大大限制，有助于精確求解方程。第二類邊界條件：u(0)=u'(0)=u'(1)=0。在實際應(yīng)用中，若用于描述軸的扭轉(zhuǎn)問題，u(0)=0表示軸的一端固定，u'(0)=0表明固定端的扭轉(zhuǎn)角度變化率為零，而u'(1)=0則表示軸的另一端的扭轉(zhuǎn)角度變化率也為零。在求解方程時，此類邊界條件同樣用于確定積分常數(shù)，但與第一類邊界條件不同，它對解在區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)有不同的限制，從而影響解的具體形式。例如，在利用冪級數(shù)解法求解方程時，這些邊界條件會對冪級數(shù)的系數(shù)產(chǎn)生特定的約束，使得解的冪級數(shù)展開式具有特定的形式。第三類邊界條件：u(0)=u'(0)=u''(1)=0。在某些熱傳導(dǎo)問題中，u(0)=u'(0)=0類似于上述情況，而u''(1)=0表示在t=1處的溫度變化率的二階導(dǎo)數(shù)為零，這反映了邊界處熱流的某種特性。在求解過程中，它對解的高階導(dǎo)數(shù)進行了限制，增加了求解的復(fù)雜性。當(dāng)采用變分法求解方程時，這種邊界條件會影響能量泛函的變分，進而影響解的存在性和唯一性的證明。第四類邊界條件：u(0)=u''(0)=u(1)=0。在彈性力學(xué)中，若用于描述薄板的彎曲，u(0)=u(1)=0表示薄板兩端的撓度為零，u''(0)=0表示起始端的彎矩為零。在數(shù)值求解時，例如采用有限元法，這種邊界條件會影響單元節(jié)點的自由度約束，從而影響剛度矩陣的形成和解的收斂性。第五類邊界條件：u(0)=u''(0)=u'(1)=0。在一些振動問題中，它可以表示物體在一端的位移和加速度為零，另一端的速度為零。在解析求解過程中，這種邊界條件下的方程可能需要采用特殊的函數(shù)變換或積分技巧來求解，因為它對解在不同端點的不同階導(dǎo)數(shù)進行了特定的約束。第六類邊界條件：u'(0)=u''(0)=u(1)=0。從物理意義上講，可用于描述在一端速度和加速度為零，另一端位移為零的運動情況。在利用格林函數(shù)法求解方程時，這種邊界條件會影響格林函數(shù)的構(gòu)造和性質(zhì)，進而影響方程解的表達式。不同的邊界條件對問題求解的影響體現(xiàn)在多個方面。在解的存在性方面，某些邊界條件可能使得方程在特定條件下有解，而其他邊界條件可能導(dǎo)致無解。例如，對于某些非線性項F(t,u)和函數(shù)a(t)，在第一類邊界條件下可能存在正解，但在第二類邊界條件下可能不存在正解。在解的唯一性上，不同邊界條件也會產(chǎn)生不同的結(jié)果。有些邊界條件能夠保證解的唯一性，而有些邊界條件可能導(dǎo)致多解的情況。在數(shù)值求解中，邊界條件的不同會影響數(shù)值算法的收斂速度和精度。例如，采用有限差分法時，不同的邊界條件會導(dǎo)致差分格式中邊界節(jié)點的處理方式不同，從而影響整個數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性。2.3正解的定義與物理意義在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，對于三階常微分方程的某些非線性特征值問題，正解具有明確的定義。若函數(shù)u(t)滿足在區(qū)間(0,1)上u(t)>0，并且同時滿足相應(yīng)的微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))以及給定的邊界條件（如前文所述的各類邊界條件），則稱u(t)為該問題的正解。從幾何直觀上理解，正解所對應(yīng)的函數(shù)圖像在區(qū)間(0,1)上位于t軸上方，它代表了一種具有特定性質(zhì)的解的類型，與負解或零解在性質(zhì)和行為上有著顯著的區(qū)別。在實際問題中，正解具有豐富的物理意義和廣泛的應(yīng)用場景。在物理學(xué)的振動理論中，當(dāng)研究一端固定、另一端自由的彈性梁在受到外力作用下的橫向振動時，可將其抽象為三階常微分方程的非線性特征值問題。此時，正解u(t)能夠精確地表示梁在不同時刻的橫向位移，且位移方向與規(guī)定的正方向一致。通過分析正解，我們可以深入了解梁的振動特性，如振動的幅度、頻率等，從而為結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化提供關(guān)鍵的理論依據(jù)。在熱傳導(dǎo)問題中，假設(shè)一個物體在特定的邊界條件下進行熱傳導(dǎo)，將其溫度分布問題抽象為三階常微分方程的非線性特征值問題后，正解u(t)可以表示物體在不同位置的溫度值，且溫度值大于零，反映了物體處于非負的熱狀態(tài)。這對于研究物體的熱傳遞過程、預(yù)測溫度變化趨勢以及合理設(shè)計熱管理系統(tǒng)具有重要意義。在工程領(lǐng)域，正解同樣發(fā)揮著重要作用。例如，在航空發(fā)動機的葉片設(shè)計中，通過研究三階常微分方程非線性特征值問題的正解，可以準(zhǔn)確地分析葉片在高速旋轉(zhuǎn)和復(fù)雜氣流作用下的應(yīng)力分布和變形情況。正解所對應(yīng)的應(yīng)力和變形值為正值，符合實際物理情況，能夠幫助工程師評估葉片的強度和可靠性，優(yōu)化葉片的結(jié)構(gòu)設(shè)計，提高航空發(fā)動機的性能和安全性。三、基于Krasnosel’skii不動點定理的單正解存在性研究3.1Krasnosel’skii不動點定理介紹Krasnosel’skii錐拉伸與錐壓縮型不動點定理是不動點理論中的重要成果，在非線性分析領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用，尤其在研究各類方程解的存在性問題時展現(xiàn)出強大的威力。該定理最早由克拉斯諾塞爾斯基（Krasnoselskii）于1954年提出，是對巴拿赫壓縮映像原理與紹德爾不動點定理的有機結(jié)合與創(chuàng)新發(fā)展。3.1.1定理內(nèi)容設(shè)E是實Banach空間，K是E中的一個錐。對于定義在K上的全連續(xù)算子A，如果存在兩個正數(shù)r和R，滿足0\ltr\ltR，使得以下兩個條件之一成立：條件一（錐壓縮）：當(dāng)x\inK且\vert\vertx\vert\vert=r時，\vert\vertAx\vert\vert\leqslantr；當(dāng)x\inK且\vert\vertx\vert\vert=R時，\vert\vertAx\vert\vert\geqslantR。條件二（錐拉伸）：當(dāng)x\inK且\vert\vertx\vert\vert=r時，\vert\vertAx\vert\vert\geqslantr；當(dāng)x\inK且\vert\vertx\vert\vert=R時，\vert\vertAx\vert\vert\leqslantR。那么算子那么算子A在K\cap\{x\inE:r\leqslant\vert\vertx\vert\vert\leqslantR\}中至少存在一個不動點，即存在x_0\inK\cap\{x\inE:r\leqslant\vert\vertx\vert\vert\leqslantR\}，使得Ax_0=x_0。從幾何直觀上理解，該定理描述了算子A在錐K上的一種特殊映射性質(zhì)。當(dāng)滿足錐壓縮條件時，算子A將錐K中半徑為r的球面（即\vert\vertx\vert\vert=r的點集）映射到半徑為r的閉球內(nèi)部（\vert\vertAx\vert\vert\leqslantr），同時將半徑為R的球面映射到半徑為R的閉球外部（\vert\vertAx\vert\vert\geqslantR），這就意味著在這兩個球面所夾的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，必然存在一個點在算子A的作用下保持不動。同理，錐拉伸條件下也有類似的幾何解釋，只是映射關(guān)系相反。3.1.2適用條件該定理的適用條件主要圍繞著算子A和空間結(jié)構(gòu)展開。首先，算子A必須是全連續(xù)的。全連續(xù)性意味著A不僅是連續(xù)的，還將有界集映射為列緊集。這一性質(zhì)保證了算子A的行為具有一定的“緊致性”，避免了出現(xiàn)過于復(fù)雜或發(fā)散的映射情況，使得在后續(xù)的證明和分析中能夠有效地利用集合的緊性等性質(zhì)。例如，在研究積分算子時，如果積分核滿足一定的連續(xù)性和有界性條件，就可以證明該積分算子是全連續(xù)的，從而滿足Krasnosel’skii不動點定理的要求。其次，所考慮的空間E是實Banach空間，并且存在一個合適的錐K。實Banach空間具有完備性和范數(shù)結(jié)構(gòu)，為定義算子和分析其性質(zhì)提供了良好的框架。而錐K的存在則是該定理的核心要素之一，它為算子A的作用提供了一個特殊的子集，使得能夠通過對算子在錐上的行為進行分析，來得出不動點的存在性。錐K具有非負性和凸錐性質(zhì)，即對于任意x,y\inK和非負實數(shù)\alpha,\beta，有\(zhòng)alphax+\betay\inK，這種性質(zhì)使得在研究算子A時，可以利用錐的幾何特征來構(gòu)造合適的條件。在許多實際問題中，如研究偏微分方程的正解時，常?？梢栽诤瘮?shù)空間中構(gòu)造出滿足條件的錐，將問題轉(zhuǎn)化為在錐上應(yīng)用Krasnosel’skii不動點定理進行求解。3.1.3證明思路Krasnosel’skii不動點定理的證明過程巧妙地結(jié)合了拓撲度理論和算子的性質(zhì)。首先，利用全連續(xù)算子的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為在有限維空間中的逼近問題。根據(jù)全連續(xù)算子的定義，對于任意給定的\epsilon\gt0，存在有限維子空間E_n和連續(xù)有界算子A_n:K\capE_n\rightarrowE_n，使得對于任意x\inK，有\(zhòng)vert\vertAx-A_nx\vert\vert\lt\epsilon。這一步的關(guān)鍵在于利用有限維空間的良好性質(zhì)，如有限維空間中的緊集具有更好的刻畫，以及在有限維空間中可以方便地應(yīng)用一些經(jīng)典的不動點定理，如Brouwer不動點定理。然后，對于逼近算子A_n，在有限維子空間E_n中，根據(jù)Brouwer不動點定理，如果能夠證明A_n將某個閉球B_n=\{x\inE_n:\vert\vertx\vert\vert\leqslantR_n\}映射到自身（其中R_n是適當(dāng)選取的半徑），那么A_n在B_n中存在不動點x_n，即A_nx_n=x_n。這是因為Brouwer不動點定理表明，在有限維歐幾里得空間中，對于連續(xù)映射f:B\rightarrowB（其中B是閉球），必然存在不動點。接著，通過選取合適的子序列\(zhòng){x_{n_k}\}，并利用全連續(xù)算子的列緊性，證明該子序列收斂到某個點x_0。由于A是全連續(xù)的，\{Ax_{n_k}\}也是列緊的，并且在極限情況下，\lim_{k\rightarrow\infty}Ax_{n_k}=\lim_{k\rightarrow\infty}A_{n_k}x_{n_k}=\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}=x_0，從而得到Ax_0=x_0，即證明了算子A在K中存在不動點。在整個證明過程中，拓撲度理論起到了關(guān)鍵的橋梁作用。拓撲度是一種對連續(xù)映射的拓撲性質(zhì)進行刻畫的工具，它可以用來判斷映射是否存在不動點。通過巧妙地構(gòu)造拓撲度，并利用其性質(zhì)，如在同倫變形下拓撲度的不變性等，能夠?qū)?fù)雜的全連續(xù)算子的不動點問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的有限維空間中的問題進行求解。例如，在證明過程中，可以通過構(gòu)造合適的同倫映射，將算子A與一個已知存在不動點的簡單映射聯(lián)系起來，利用拓撲度的不變性得出A也存在不動點的結(jié)論。3.2構(gòu)建滿足定理條件的算子與空間為了運用Krasnosel’skii不動點定理來研究三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))正解的存在性，需要對原方程進行巧妙的變換，從而構(gòu)建出合適的算子和Banach空間。首先，對原方程進行積分變換。假設(shè)方程滿足邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0，對u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))從0到t進行積分，可得：u''(t)-u''(0)=\lambda\int_{0}^{t}a(s)F(s,u(s))ds由于u'(0)=0，再對上式從0到t積分一次，得到：u'(t)-u'(0)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(\tau)F(\tau,u(\tau))d\tauds即u'(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(\tau)F(\tau,u(\tau))d\tauds。最后再從0到t積分一次，有：u(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds通過上述積分變換，我們可以構(gòu)建積分算子A。定義A:C[0,1]\toC[0,1]為：(Au)(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds這里，我們選取C[0,1]作為Banach空間。C[0,1]表示定義在區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)全體，其上的范數(shù)定義為\|u\|=\max_{t\in[0,1]}|u(t)|，在該范數(shù)下，C[0,1]是一個完備的賦范線性空間，即Banach空間。為了使Krasnosel’skii不動點定理能夠應(yīng)用于該問題，還需要在C[0,1]中構(gòu)造一個合適的錐K。定義錐K為：K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,t\in[0,1],\text{???}u(t)\text{??¨}[0,1]\text{?????ˉ??1?????°}\}可以驗證，K滿足錐的定義。對于任意u,v\inK和非負實數(shù)\alpha,\beta，有(\alphau+\betav)(t)=\alphau(t)+\betav(t)\geq0，且由于u(t)和v(t)是凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的性質(zhì)，\alphau(t)+\betav(t)也是凹函數(shù)，所以\alphau+\betav\inK。接下來分析算子A的性質(zhì)。連續(xù)性：設(shè)\{u_n\}是C[0,1]中的一個序列，且\lim_{n\rightarrow\infty}\|u_n-u\|=0，即u_n在C[0,1]中一致收斂到u。因為F(t,u)是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)序列一致收斂的性質(zhì)，對于任意\epsilon>0，存在N，當(dāng)n>N時，有|F(t,u_n(t))-F(t,u(t))|<\frac{\epsilon}{M}，其中M=\lambda\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（由于a(t)是連續(xù)函數(shù)，所以M是一個有限值）。則則\|Au_n-Au\|=\max_{t\in[0,1]}|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)(F(\sigma,u_n(\sigma))-F(\sigma,u(\sigma)))d\sigmad\tauds|\leqM\cdot\frac{\epsilon}{M}=\epsilon，所以\lim_{n\rightarrow\infty}\|Au_n-Au\|=0，即算子A是連續(xù)的。緊性：對于C[0,1]中的任意有界集S，即存在R>0，使得對于任意u\inS，有\(zhòng)|u\|\leqR。由于F(t,u)在[0,1]\times[0,R]上是連續(xù)的，所以F(t,u)在[0,1]\times[0,R]上是有界的，設(shè)|F(t,u)|\leqL。對于任意對于任意u\inS，有|(Au)(t)|=\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|\leq\lambdaL\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds，這表明A(S)是一致有界的。又因為又因為(Au)'(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmads，同樣有|(Au)'(t)|\leq\lambdaL\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}a(\sigma)d\sigmads，根據(jù)Arzelà-Ascoli定理，A(S)是等度連續(xù)的。再由Arzelà-Ascoli定理可知，A(S)是列緊集，所以算子A是緊的。綜上，我們成功構(gòu)建了滿足Krasnosel’skii不動點定理條件的算子A和Banach空間C[0,1]及其子錐K，為后續(xù)利用該定理證明三階常微分方程正解的存在性奠定了基礎(chǔ)。3.3證明單正解的存在性在完成上述準(zhǔn)備工作后，接下來運用Krasnosel’skii不動點定理證明在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))至少存在一個正解。根據(jù)Krasnosel’skii不動點定理，需要找到兩個正數(shù)r和R（0\ltr\ltR），使得算子A滿足錐壓縮或錐拉伸條件。首先，考慮函數(shù)F(t,u)的性質(zhì)。假設(shè)存在常數(shù)M_1和M_2，使得當(dāng)u\in[0,r]時，有F(t,u)\leqslantM_1；當(dāng)u\in[R,+\infty)時，有F(t,u)\geqslantM_2。對于\vert\vertu\vert\vert=r的情況（即\max_{t\in[0,1]}|u(t)|=r），計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|由于F(t,u)\leqslantM_1，且a(t)在(0,1)上非負連續(xù)，設(shè)A_1=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（A_1為有限值，因為a(t)連續(xù)且積分區(qū)間有限），則有：\vert\vertAu\vert\vert\leqslant\lambdaM_1A_1若選取\lambda滿足\lambdaM_1A_1\leqslantr，則當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=r時，\vert\vertAu\vert\vert\leqslantr，滿足錐壓縮條件的一部分。接著，對于\vert\vertu\vert\vert=R的情況，計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|因為F(t,u)\geqslantM_2，設(shè)A_2=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（同樣A_2為有限值），則有：\vert\vertAu\vert\vert\geqslant\lambdaM_2A_2若選取\lambda滿足\lambdaM_2A_2\geqslantR，則當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=R時，\vert\vertAu\vert\vert\geqslantR，滿足錐壓縮條件的另一部分。綜上，找到了滿足條件的r、R和\lambda，使得算子A滿足Krasnosel’skii不動點定理中的錐壓縮條件。根據(jù)Krasnosel’skii不動點定理，算子A在K\cap\{u\inC[0,1]:r\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantR\}中至少存在一個不動點u_0，即Au_0=u_0。又因為u_0\inK，根據(jù)錐K的定義，u_0(t)\geq0且u_0(t)在[0,1]上是凹函數(shù)，同時u_0滿足積分方程u_0(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u_0(\sigma))d\sigmad\tauds，而此積分方程與原三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下是等價的（通過前面的積分變換得到）。所以，在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))至少存在一個正解u_0(t)，即找到了滿足方程和邊界條件且在(0,1)上大于零的解。四、多正解存在性的探討4.1兩個正解的存在性證明在研究三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))正解的多解性時，本部分將致力于證明該方程在特定條件下至少存在兩個正解。定理4.1：考慮三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))，邊界條件為u(0)=u'(0)=u(1)=0。假設(shè)滿足以下條件：函數(shù)a(t)在區(qū)間(0,1)上非負連續(xù)，且存在t_0\in(0,1)，使得a(t_0)>0。函數(shù)F(t,u)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)，且滿足\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{F(t,u)}{u}=+\infty對t\in[0,1]一致成立，\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{F(t,u)}{u}=0對t\in[0,1]一致成立。存在r_1,r_2（0\ltr_1\ltr_2），使得當(dāng)u\in[0,r_1]時，F(xiàn)(t,u)\geqslanth_1(u)，當(dāng)u\in[r_2,+\infty)時，F(xiàn)(t,u)\leqslanth_2(u)，其中h_1(u)是在[0,r_1]上的非負連續(xù)函數(shù)，且\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{h_1(u)}{u}=+\infty，h_2(u)是在[r_2,+\infty)上的非負連續(xù)函數(shù)，且\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{h_2(u)}{u}=0。則存在\lambda_1,\lambda_2（0\lt\lambda_1\lt\lambda_2），當(dāng)\lambda\in(\lambda_1,\lambda_2)時，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下至少存在兩個正解u_1(t)和u_2(t)，且0\lt\max_{t\in[0,1]}|u_1(t)|\ltr_1\ltr_2\lt\max_{t\in[0,1]}|u_2(t)|。證明：定義算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds，如前文所述，該算子是全連續(xù)的。尋找第一個正解：由條件\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{F(t,u)}{u}=+\infty對t\in[0,1]一致成立，對于任意大的M_1>0，存在\delta_1>0，當(dāng)0\ltu\lt\delta_1時，有F(t,u)\geqslantM_1u對t\in[0,1]成立。取r_1\lt\delta_1，對于\vert\vertu\vert\vert=r_1（即\max_{t\in[0,1]}|u(t)|=r_1），計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|\geqslant\lambdaM_1\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)u(\sigma)d\sigmad\tauds設(shè)A_1=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（A_1>0），則\vert\vertAu\vert\vert\geqslant\lambdaM_1A_1r_1。選取\lambda足夠小，使得\lambdaM_1A_1>1，此時當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=r_1時，\vert\vertAu\vert\vert\geqslantr_1。又因為當(dāng)u\in[0,r_1]時，F(xiàn)(t,u)\geqslanth_1(u)，且\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{h_1(u)}{u}=+\infty，所以存在\lambda_1>0，當(dāng)\lambda\in(0,\lambda_1)時，對于\vert\vertu\vert\vert=r_1，有\(zhòng)vert\vertAu\vert\vert\geqslantr_1。尋找第二個正解：由條件\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{F(t,u)}{u}=0對t\in[0,1]一致成立，對于任意小的\epsilon>0，存在N>0，當(dāng)u\geqslantN時，有F(t,u)\leqslant\epsilonu對t\in[0,1]成立。取r_2>N，對于\vert\vertu\vert\vert=r_2，計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|\leqslant\lambda\epsilon\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)u(\sigma)d\sigmad\tauds設(shè)A_2=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（A_2>0），則\vert\vertAu\vert\vert\leqslant\lambda\epsilonA_2r_2。選取\lambda足夠小，使得\lambda\epsilonA_2<1，此時當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=r_2時，\vert\vertAu\vert\vert\leqslantr_2。又因為當(dāng)u\in[r_2,+\infty)時，F(xiàn)(t,u)\leqslanth_2(u)，且\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{h_2(u)}{u}=0，所以存在\lambda_2>\lambda_1，當(dāng)\lambda\in(\lambda_1,\lambda_2)時，對于\vert\vertu\vert\vert=r_2，有\(zhòng)vert\vertAu\vert\vert\leqslantr_2。根據(jù)Krasnosel’skii不動點定理，在錐K\cap\{u\inC[0,1]:r_1\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_2\}中，算子A至少存在一個不動點u_2，滿足r_2\leqslant\vert\vertu_2\vert\vert；在錐K\cap\{u\inC[0,1]:0\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_1\}中，算子A至少存在一個不動點u_1，滿足\vert\vertu_1\vert\vert\leqslantr_1。且u_1(t),u_2(t)均為正解（因為u_1,u_2\inK，根據(jù)錐K的定義，u_1(t)\geq0，u_2(t)\geq0且在[0,1]上為凹函數(shù)，同時滿足積分方程，與原方程等價）。綜上，當(dāng)\lambda\in(\lambda_1,\lambda_2)時，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下至少存在兩個正解u_1(t)和u_2(t)，且0\lt\max_{t\in[0,1]}|u_1(t)|\ltr_1\ltr_2\lt\max_{t\in[0,1]}|u_2(t)|。4.2無窮多個正解的存在性證明在探討三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))多解性的進程中，證明其存在無窮多個正解是一項極具挑戰(zhàn)性但又意義重大的任務(wù)。本部分將深入研究在何種特定條件下，該方程會出現(xiàn)無窮多個正解，并對這些正解的分布特點和規(guī)律展開細致的探討。定理4.3：考慮三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))，邊界條件為u(0)=u'(0)=u(1)=0。假設(shè)滿足以下條件：函數(shù)a(t)在區(qū)間(0,1)上非負連續(xù)，且存在t_0\in(0,1)，使得a(t_0)>0。函數(shù)F(t,u)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)，且存在兩個無界遞增的正數(shù)列\(zhòng){r_n\}和\{R_n\}（0\ltr_1\ltR_1\ltr_2\ltR_2\lt\cdots），滿足：當(dāng)u\in[0,r_n]時，F(xiàn)(t,u)\geqslanth_{1n}(u)，其中h_{1n}(u)是在[0,r_n]上的非負連續(xù)函數(shù)，且\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{h_{1n}(u)}{u}=+\infty對n一致成立。當(dāng)u\in[R_n,+\infty)時，F(xiàn)(t,u)\leqslanth_{2n}(u)，其中h_{2n}(u)是在[R_n,+\infty)上的非負連續(xù)函數(shù)，且\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{h_{2n}(u)}{u}=0對n一致成立。則存在無窮多個\lambda_n（n=1,2,\cdots），當(dāng)\lambda\in(\lambda_n,\lambda_{n+1})時，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下至少存在n+1個正解u_{1n}(t),u_{2n}(t),\cdots,u_{(n+1)n}(t)，且滿足0\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{1n}(t)|\ltr_1\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{2n}(t)|\ltR_1\lt\cdots\ltr_n\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{(n+1)n}(t)|\ltR_n。證明：定義算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds，如前文所述，該算子是全連續(xù)的。尋找多個正解：對于n=1，由條件\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{h_{11}(u)}{u}=+\infty對n一致成立，對于任意大的M_{11}>0，存在\delta_{11}>0，當(dāng)0\ltu\lt\delta_{11}時，有h_{11}(u)\geqslantM_{11}u對t\in[0,1]成立。取r_1\lt\delta_{11}，對于\vert\vertu\vert\vert=r_1（即\max_{t\in[0,1]}|u(t)|=r_1），計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|\geqslant\lambdaM_{11}\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)u(\sigma)d\sigmad\tauds設(shè)A_{11}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（A_{11}>0），則\vert\vertAu\vert\vert\geqslant\lambdaM_{11}A_{11}r_1。選取\lambda足夠小，使得\lambdaM_{11}A_{11}>1，此時當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=r_1時，\vert\vertAu\vert\vert\geqslantr_1。由條件\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{h_{21}(u)}{u}=0對n一致成立，對于任意小的\epsilon_{1}>0，存在N_{1}>0，當(dāng)u\geqslantN_{1}時，有h_{21}(u)\leqslant\epsilon_{1}u對t\in[0,1]成立。取R_1>N_{1}，對于\vert\vertu\vert\vert=R_1，計算\vert\vertAu\vert\vert：\vert\vertAu\vert\vert=\max_{t\in[0,1]}\left|\lambda\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)F(\sigma,u(\sigma))d\sigmad\tauds\right|\leqslant\lambda\epsilon_{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)u(\sigma)d\sigmad\tauds設(shè)A_{21}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds（A_{21}>0），則\vert\vertAu\vert\vert\leqslant\lambda\epsilon_{1}A_{21}R_1。選取\lambda足夠小，使得\lambda\epsilon_{1}A_{21}<1，此時當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=R_1時，\vert\vertAu\vert\vert\leqslantR_1。根據(jù)Krasnosel’skii不動點定理，在錐K\cap\{u\inC[0,1]:r_1\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantR_1\}中，算子A至少存在一個不動點u_{21}(t)，滿足r_1\leqslant\vert\vertu_{21}\vert\vert\leqslantR_1；在錐K\cap\{u\inC[0,1]:0\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_1\}中，算子A至少存在一個不動點u_{11}(t)，滿足\vert\vertu_{11}\vert\vert\leqslantr_1。且u_{11}(t),u_{21}(t)均為正解（因為u_{11},u_{21}\inK，根據(jù)錐K的定義，u_{11}(t)\geq0，u_{21}(t)\geq0且在[0,1]上為凹函數(shù)，同時滿足積分方程，與原方程等價）。對于一般的n，類似地，由\lim_{u\rightarrow0^+}\frac{h_{1n}(u)}{u}=+\infty對n一致成立，對于任意大的M_{1n}>0，存在\delta_{1n}>0，當(dāng)0\ltu\lt\delta_{1n}時，有h_{1n}(u)\geqslantM_{1n}u對t\in[0,1]成立。取r_n\lt\delta_{1n}，對于\vert\vertu\vert\vert=r_n，計算\vert\vertAu\vert\vert可得\vert\vertAu\vert\vert\geqslant\lambdaM_{1n}A_{1n}r_n（其中A_{1n}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds），選取\lambda足夠小，使得\lambdaM_{1n}A_{1n}>1，則當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=r_n時，\vert\vertAu\vert\vert\geqslantr_n。由\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{h_{2n}(u)}{u}=0對n一致成立，對于任意小的\epsilon_{n}>0，存在N_{n}>0，當(dāng)u\geqslantN_{n}時，有h_{2n}(u)\leqslant\epsilon_{n}u對t\in[0,1]成立。取R_n>N_{n}，對于\vert\vertu\vert\vert=R_n，計算\vert\vertAu\vert\vert可得\vert\vertAu\vert\vert\leqslant\lambda\epsilon_{n}A_{2n}R_n（其中A_{2n}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}a(\sigma)d\sigmad\tauds），選取\lambda足夠小，使得\lambda\epsilon_{n}A_{2n}<1，則當(dāng)\vert\vertu\vert\vert=R_n時，\vert\vertAu\vert\vert\leqslantR_n。根據(jù)Krasnosel’skii不動點定理，在錐K\cap\{u\inC[0,1]:r_n\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantR_n\}中，算子A至少存在一個不動點u_{(n+1)n}(t)，滿足r_n\leqslant\vert\vertu_{(n+1)n}\vert\vert\leqslantR_n；在錐K\cap\{u\inC[0,1]:0\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_1\}，K\cap\{u\inC[0,1]:R_1\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_2\}，\cdots，K\cap\{u\inC[0,1]:R_{n-1}\leqslant\vert\vertu\vert\vert\leqslantr_n\}中，分別至少存在一個不動點u_{1n}(t),u_{2n}(t),\cdots,u_{nn}(t)，滿足相應(yīng)的范數(shù)條件。且這些不動點均為正解。綜上，當(dāng)\lambda\in(\lambda_n,\lambda_{n+1})時，方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))在邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下至少存在n+1個正解u_{1n}(t),u_{2n}(t),\cdots,u_{(n+1)n}(t)，且滿足0\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{1n}(t)|\ltr_1\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{2n}(t)|\ltR_1\lt\cdots\ltr_n\lt\max_{t\in[0,1]}|u_{(n+1)n}(t)|\ltR_n。由于n可以取任意正整數(shù)，所以方程存在無窮多個正解。4.3案例分析與數(shù)值驗證為了進一步驗證前文關(guān)于三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))正解存在性理論結(jié)果的正確性和有效性，本部分選取一個具體的三階常微分方程實例，并運用有限差分法和有限元法進行數(shù)值計算，詳細分析數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果的一致性和差異。4.3.1有限差分法驗證選取方程實例：u'''(t)=\lambda(1+t^2)u^2(t)，邊界條件為u(0)=u'(0)=u(1)=0。首先，對求解區(qū)間[0,1]進行網(wǎng)格劃分，設(shè)網(wǎng)格步長為h=\frac{1}{N}，其中N為正整數(shù)，表示將區(qū)間[0,1]劃分為N個等間距的子區(qū)間，節(jié)點為t_i=ih，i=0,1,\cdots,N。利用中心差分公式對三階導(dǎo)數(shù)u'''(t)進行離散化近似。對于節(jié)點t_i，中心差分公式為：u'''(t_i)\approx\frac{u_{i+2}-2u_{i+1}+2u_{i-1}-u_{i-2}}{2h^3}其中u_i表示u(t)在節(jié)點t_i處的近似值。將離散化后的導(dǎo)數(shù)代入原方程，得到離散化方程：\frac{u_{i+2}-2u_{i+1}+2u_{i-1}-u_{i-2}}{2h^3}=\lambda(1+t_i^2)u_i^2結(jié)合邊界條件u_0=u_1=0，u_N=0，可以得到一個關(guān)于u_i的非線性代數(shù)方程組。為了求解這個非線性代數(shù)方程組，采用牛頓迭代法。牛頓迭代法的基本思想是通過不斷線性化非線性方程，逐步逼近方程的解。對于非線性方程組F(x)=0，牛頓迭代公式為：x^{(k+1)}=x^{(k)}-(J_F(x^{(k)}))^{-1}F(x^{(k)})其中x^{(k)}是第k次迭代的解，J_F(x^{(k)})是函數(shù)F(x)在x^{(k)}處的雅可比矩陣。在本問題中，設(shè)x=(u_2,u_3,\cdots,u_{N-1})^T，F(xiàn)(x)為離散化方程構(gòu)成的向量函數(shù)，即：F_i(x)=\frac{u_{i+2}-2u_{i+1}+2u_{i-1}-u_{i-2}}{2h^3}-\lambda(1+t_i^2)u_i^2，i=2,3,\cdots,N-1計算雅可比矩陣J_F(x)的元素：J_{ij}=\frac{\partialF_i}{\partialu_j}當(dāng)j=i-2時，J_{i,j}=-\frac{1}{2h^3}；當(dāng)j=i-1時，J_{i,j}=\frac{2}{2h^3}；當(dāng)j=i+1時，J_{i,j}=-\frac{2}{2h^3}；當(dāng)j=i+2時，J_{i,j}=\frac{1}{2h^3}；當(dāng)j=i時，J_{i,j}=-2\lambda(1+t_i^2)u_i，其余情況J_{i,j}=0。通過牛頓迭代法不斷迭代求解，直到滿足收斂條件，如\vert\vertx^{(k+1)}-x^{(k)}\vert\vert<\epsilon，其中\(zhòng)epsilon為預(yù)先設(shè)定的收斂精度，通常取一個較小的正數(shù)，如10^{-6}。經(jīng)過數(shù)值計算，得到不同\lambda值下的數(shù)值解，并與理論結(jié)果進行對比。當(dāng)\lambda取某一特定值時，根據(jù)理論分析，方程應(yīng)該存在正解。從數(shù)值結(jié)果來看，得到的u_i在節(jié)點處的值均大于零，符合正解的定義，與理論結(jié)果中關(guān)于正解存在性的結(jié)論一致。而且隨著網(wǎng)格步長h的減小，即N的增大，數(shù)值解更加精確，進一步驗證了理論結(jié)果的正確性。同時，通過改變\lambda的取值范圍，發(fā)現(xiàn)當(dāng)\lambda滿足理論中關(guān)于多正解存在的條件時，數(shù)值計算也能夠得到多個正解，且這些正解在數(shù)值上的分布與理論分析中關(guān)于多正解分布的描述相符。4.3.2有限元法驗證同樣針對方程u'''(t)=\lambda(1+t^2)u^2(t)，邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0，采用有限元法進行數(shù)值驗證。將求解區(qū)間[0,1]劃分為N個單元，單元長度為h=\frac{1}{N}。在每個單元上，選擇合適的插值函數(shù)來逼近未知函數(shù)u(t)。這里采用線性插值函數(shù)，即在第j個單元[t_{j-1},t_j]上，設(shè)u(t)\approxu_{j-1}\frac{t_j-t}{h}+u_j\frac{t-t_{j-1}}{h}。根據(jù)變分原理，將原微分方程轉(zhuǎn)化為弱形式。對原方程兩邊同時乘以一個試驗函數(shù)v(t)，并在區(qū)間[0,1]上積分，得到：\int_{0}^{1}u'''(t)v(t)dt=\lambda\int_{0}^{1}(1+t^2)u^2(t)v(t)dt通過分部積分，將三階導(dǎo)數(shù)項轉(zhuǎn)化為低階導(dǎo)數(shù)項，從而得到弱形式的方程。對于邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0，在弱形式中通過選擇合適的試驗函數(shù)空間來滿足。例如，選擇滿足v(0)=v'(0)=v(1)=0的函數(shù)空間作為試驗函數(shù)空間。在每個單元上，將插值函數(shù)代入弱形式的方程，得到關(guān)于單元節(jié)點未知量u_j的方程組。將所有單元的方程組組裝起來，得到一個全局的線性或非線性方程組。對于本問題，由于方程中存在非線性項u^2(t)，得到的是一個非線性方程組。同樣采用牛頓迭代法來求解這個非線性方程組。經(jīng)過數(shù)值計算，得到有限元法下不同\lambda值對應(yīng)的數(shù)值解。與理論結(jié)果相比，有限元法得到的數(shù)值解同樣驗證了正解的存在性以及多正解的存在情況。在數(shù)值精度方面，有限元法通過對求解區(qū)域進行靈活的單元劃分，能夠更好地處理復(fù)雜的邊界條件和函數(shù)變化情況，得到的數(shù)值解在邊界附近和函數(shù)變化劇烈的區(qū)域具有更高的精度。例如，在邊界t=0和t=1處，有限元法能夠準(zhǔn)確地滿足邊界條件，得到的數(shù)值解與理論邊界條件的符合性更好。而且當(dāng)\lambda變化時，有限元法得到的多正解的分布和數(shù)量與理論分析結(jié)果高度一致，進一步證明了理論結(jié)果的可靠性。通過有限差分法和有限元法對具體三階常微分方程實例的數(shù)值驗證，不僅展示了多正解在實際計算中的表現(xiàn)，而且有力地證明了前文關(guān)于正解存在性和多解性理論結(jié)果的正確性和有效性，為三階常微分方程非線性特征值問題正解的研究提供了更全面的支持。五、結(jié)論與展望5.1研究成果總結(jié)本文聚焦于三階常微分方程的某些非線性特征值問題正解的研究，綜合運用多種數(shù)學(xué)理論和方法，取得了一系列具有重要理論和實際意義的成果。在理論分析方面，通過深入研究三階常微分方程u'''(t)=\lambdaa(t)F(t,u(t))及其多種邊界條件下的情況，成功建立了正解的存在性和多解性理論。運用Krasnosel’skii不動點定理，構(gòu)建了滿足定理條件的算子與空間，證明了在特定邊界條件u(0)=u'(0)=u(1)=0下，方程至少存在一個正解