2．2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能合理地選取樣本，并從中提取基本的數(shù)字特征.2.了解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，會(huì)計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差.3.進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．知識(shí)點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)思考1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中，哪個(gè)量與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，它有何缺點(diǎn)？思考2在電視大獎(jiǎng)賽中，計(jì)算評(píng)委打分的平均值時(shí)，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分？梳理眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)．(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按______________________的順序排列，處在______________位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的________)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝____________________叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二方差、標(biāo)準(zhǔn)差思考1當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0時(shí)，該組數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？思考2標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義是什么？梳理標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念及計(jì)算公式(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種__________，一般用s表示．s＝_______________(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù))．(2)標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差．s2＝__________________________________(xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù))．(3)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定在平均數(shù)附近．s＝0時(shí)，每一組樣本數(shù)據(jù)均為eq\x\to(x).知識(shí)拓展平均數(shù)、方差公式的推廣：1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.2．設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則a．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]；b．?dāng)?shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；c．?dāng)?shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.知識(shí)點(diǎn)三用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征1．樣本的基本數(shù)字特征包括______、________、________、__________.2．平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷，因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽視的．因此，還需要用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)反映數(shù)據(jù)的分散程度．3．現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的，雖然總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差客觀存在，但是我們無(wú)從知道．所以通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．雖然樣本具有________性，不同的樣本測(cè)得的數(shù)據(jù)不一樣，與總體的數(shù)字特征也可能不同，但只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．類型一眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的理解與應(yīng)用命題角度1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算例1某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下表：職業(yè)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)；(2)若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資分別從5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司職工月工資新的平均數(shù)又是什么？反思與感悟(1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)是最重要的量．(2)眾數(shù)考查各個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中部分?jǐn)?shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題．(3)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響，中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給的數(shù)據(jù)中．(4)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng)．(5)因?yàn)槠骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)不具有的性質(zhì)，也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于全體樣本數(shù)據(jù)的信息．但平均數(shù)受數(shù)據(jù)的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低．跟蹤訓(xùn)練1對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4命題角度2在頻率分布直方圖中估算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例2以教材2.2.1節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量為例，樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖如圖所示，試估算月均用水量的中位數(shù)．反思與感悟樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息．平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大．跟蹤訓(xùn)練2一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，球的直徑頻率分布直方圖如圖．試估計(jì)這個(gè)樣本的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)．類型二標(biāo)準(zhǔn)差、方差與應(yīng)用例3計(jì)算數(shù)據(jù)89,93,88,91,94,90,88,87的方差和標(biāo)準(zhǔn)差(標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果精確到0.1)．反思與感悟(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。?2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了各樣本數(shù)據(jù)圍繞樣本平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的兩邊越分散．(3)若樣本數(shù)據(jù)都相等，則s＝0.(4)當(dāng)樣本的平均數(shù)相等或相差無(wú)幾時(shí)，就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征，而樣本數(shù)據(jù)的離散程度是由標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量的．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和(1)中算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)．1．某市2016年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．19 B．20C．21.5 D．232．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的平均數(shù)和方差分別為()A．1＋a,4 B．1＋a,4＋aC．1,4 D．1,4＋a3．已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．4．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．5．某校醫(yī)務(wù)室抽查了高一10位同學(xué)的體重(單位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；(2)估計(jì)高一所有學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．1．利用直方圖求數(shù)字特征：①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)．②中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等．③平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．3．現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1平均數(shù)與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，它可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)總體的信息，但它的缺點(diǎn)是平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大．思考2為了避免平均值受數(shù)據(jù)中個(gè)別極端值的影響，增大它在估計(jì)總體時(shí)的可靠性，故計(jì)算評(píng)委打分時(shí)要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分．梳理(1)最多(2)從小到大(或從大到小)中間平均數(shù)(3)eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．知識(shí)點(diǎn)二思考1當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0時(shí)，該組數(shù)據(jù)都相等．思考2標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。崂?1)平均距離eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])(2)eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]知識(shí)點(diǎn)三1．眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差3.隨機(jī)題型探究類型一例1解(1)公司職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33)＝eq\f(69000,33)≈2091(元)．(2)若董事長(zhǎng)、副董事長(zhǎng)的工資提升后，職工月工資的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×20,33)＝eq\f(,33)≈3288(元)．跟蹤訓(xùn)練1A[在這11個(gè)數(shù)中，數(shù)3出現(xiàn)了6次，頻率最高，故眾數(shù)是3；將這11個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中間數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；而平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故只有①正確．]例2解在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積是相等的，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值．下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.02.跟蹤訓(xùn)練2解眾數(shù)＝eq\f(39.99＋40.01,2)＝40；四個(gè)矩形的面積分別是0.02×5＝0.1,0.02×10＝0.2,0．02×25＝0.5,0.02×10＝0.2.中位數(shù)為39.99＋eq\f(0.2,25)＝39.998；平均數(shù)為39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.類型二例3解①eq\x\to(x)＝90＋eq\f(1,8)[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋eq\f(1,8)×0＝90；②計(jì)算xi－eq\x\to(x)(i＝1,2，…，8)，得各數(shù)據(jù)為－1,3，－2,1,4,0，－2，－3；③計(jì)算(xi－eq\x\to(x))2(i＝1,2，…，8)，得各數(shù)據(jù)為1,9,4,1,16,0,4,9；④計(jì)算方差：s2＝eq\f(1,8)(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝eq\f(44,8)＝5.5；⑤計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(5.5)≈2.3.所以這組數(shù)據(jù)的方差為5.5，標(biāo)準(zhǔn)差約為2.3.跟蹤訓(xùn)練3解(1)由題圖可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．eq\x\to(x)甲＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13，eq\x\to(x)乙＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定．從折線圖來(lái)看，甲的成績(jī)基本上呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)無(wú)明顯提高．當(dāng)堂訓(xùn)練1．B[由莖葉圖知，平均氣溫在20℃以下的有5個(gè)月，在20℃以上的也有5個(gè)月，恰好是20℃的有2個(gè)月，由中位數(shù)的定義知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20.故選B.]2．A[∵x1，x2，…，x10的平均數(shù)eq\x\to(x)＝1，方差seq\o\al(2,1)＝4，且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均數(shù)eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)·(y1＋y2＋…＋y10)＝eq\f(1,10)·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq\f(1,10)·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝eq\x\to(x)＋a＝1＋a，其方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)·[(y1－eq\x\to(y))2＋(y2－