高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省天立教育集團2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數學試題第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數列1，，4，，的一個通項公式（）A. B. C. D.【答案】C【解析】數列1，，4，，中，，，，，，……，故選：.2.已知函數的導函數為，且滿足，則（）A. B.-1 C. D.【答案】B【解析】，令得，解得.故選：B3.如圖，用4種不同顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（）A.48 B.56 C.72 D.256【答案】A【解析】將四個區(qū)域標記為，如下圖所示：第一步涂種涂法，第二步涂種涂法，第三步涂種涂法，第四步涂種涂法，根據分步乘法計數原理可知，一共有種著色方法.故選：A.4.數列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因為：，所以，故選：C.5.已知是可導的函數，且對于恒成立，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，，則，可得在上單調遞減，所以，即，所以.故選：A.6.已知數列是等差數列，其前項和分別為，且則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為數列是等差數列，所以，同理，又因為，所以.故選：C.7.三次函數有如下性質：①設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；②任何一個三次函數都有“拐點”，且“拐點”就是該函數圖象的對稱中心．若直線過函數圖象的對稱中心，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數，求導得，再求導得，由，得，因此函數圖象的對稱中心為，則，化簡得，于是，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：D8.若不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式恒成立，即恒成立．構造函數，可得，所以在定義域上單調遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，進而轉化為恒成立，設，可得，當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當，函數取得最大值，最大值為，所以，即實數的取值范圍是．故選：A二、多選題：每小題不止一個正確答案，全部選對得的6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分9.已知數列的前項和為，，，則（）A.數列是等比數列B.C.D.數列的前項和為【答案】ACD【解析】A選項，，其中，所以是公比為2的等比數列，A正確；C選項，由A知，，所以，C正確；B選項，當時，，當時，，顯然滿足，故，B錯誤；D選項，，故，即為公比為的等比數列，且，所以的前項和為，D正確.故選：ACD10.函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，，由圖可知，，，，則，故C錯誤；，，兩式相減得，即，，則，所以，則，所以，故AB正確；則，故D正確.故選：ABD.11.下列命題正確的有（）A.若數列為等比數列，為其前項和，則，，，…成等比數列；B.已知數列的通項公式為，則取到最小值時的值是7，取到最大值時的值是8；C.已知數列的前項和為，則使的最小正整數為12；D.已知數列滿足，設的前項和為，則．【答案】BD【解析】A選項，若，當為偶數時，，此時，不是等比數列，A錯誤；B選項，，時，，隨著的增大而減小，當時，，隨著的增大而減小，所以取到最小值時的值是7，取到最大值時的值是8，B正確；C選項，由得，所以使的最小正整數為，C錯誤；D選項，，所以，D正確.故選：BD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.從甲地到乙地有兩種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地共有__________種不同的走法．【答案】11【解析】直接從甲地不經過乙地到、到丙地有3種走法,經過乙地到丙地有種走法,所以合計有種走法故答案為：1113.數列中，滿足，，則______．【答案】【解析】因為，所以.所以，，，…，（）.各式相乘，可得：，顯然滿足上式，則，所以數列的前項和為，所以故答案為：.14.已知函數若對于任意的都有成立，則實數a的取值范圍為______.【答案】【解析】對于任意的都有恒成立，等價于在上恒成立.令，則，，當時，，即在上遞增，故，所以，所以在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的最值．解：（1）函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，，當時，，當時，，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，，所以的最大值為，無最小值.16.已知等差數列的前n項和為，且，．（1）求的通項公式和；（2）若，若數列的前項和為，求證．解：（1），，聯(lián)立，解得，所以的通項公式，前項和.（2），所以，時，，時，符合上式，所以因，所以.17.已知函數．（1）求函數的最小值；（2）求證：函數存在兩個零點（記為），且．解：（1）由設，因此當時，函數單調遞增，，當時，，因此，所以單調遞增；當時，，因此，所以單調遞減，因此當時，有最小值，即；（2）由（1）可知：在時，單調遞減，在時，單調遞增，，因為，，所以函數在內有且只有一個零點，不妨設，在內有且只有一個零點，設為，即，即函數有兩個零點，即構造函數，當時，單調遞減，因此有，即，因為，所以，而，因此，因為，所以，因為在時，單調遞減，所以由.18.記數列{an}的前n項積為Tn，且．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和Sn．解：（1）因為為數列的前項積，所以可得，因為，所以，即，所以，又，所以，故是以4為首項，2為公比的等比數列；（2）由（1）得：，所以，則設①②則①-②得：則所以的前n項和19.已知函數．（1）當時，討論的單調性；（2）當時