專題13.2與三角形有關的線段（知識梳理+11個考點講練+難度分層練共41題）知識點1三角形的邊1.定義：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.2.剖析：①三角形的三邊關系中，“兩邊的差”“兩邊的和”中的“兩邊”是三一邊中的任務一邊；②判斷三條線段能否組成三角形：如果兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可組成三角形；反之則不能組成三角形。3.性質：三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中有廣泛的應用.知識點2三角形的中線1.定義：如圖（1），連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的中線.2.交點：一個三角形有三條中線，這三條中線相交于一點（如圖（2））.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形內部.知識點3三角形的角平分線1.定義：如圖（1），畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫作△ABC的角平分線.2.交點：三角形的三條角平分線相交于一點，三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心.知識點4三角形的高1.定義：如圖13.27，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高線，三角形的高線簡稱三角形的高．2.交點：三角形的三條高線相交于一點，三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心.①銳角三角形的三條高都在三角形內部（如圖13.28（1）），三條高的交點也在三角形的內部；②直角三角形有兩條高恰好是它的兩條直角邊（如圖13.28（2）），三條高的交點是三角形的直角頂點；③鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，兩個垂足落在邊的延長線上（如圖13.28（3）），三條高所在直線的交點也在三角形的外部．考點1：構成三角形的條件【典例精講】（2223八年級上·甘肅平?jīng)觥るA段練習）已知三角形一腰上的中線把三角形分成周長為30cm和24【答案】這個等腰三角形各邊的長為16cm，16cm，22cm，或20cm，【思路引導】根據(jù)題意，分兩種情況進行分析，從而得到腰和底邊的長，注意運用三角形的三邊關系對其進行檢驗．【規(guī)范解答】解：①如圖，AB+AD=24cm，∵AD=DC，AB=AC∴2AD+AD=24∴AD=8∴AB=16cm，∵AB+AC>BC，AB?AC<BC，∴能構成三角形，∴腰長為16cm，底邊為②如圖，AB+AD=30cm，同理得：AB=20cm，∵AB+AC>BC，AB?AC<BC∴能構成三角形∴腰長為20cm，底邊為

故這個等腰三角形各邊的長為16cm，16cm，22cm，或20cm，【考點剖析】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這是解題的關鍵．【變式訓練】（2223七年級下·四川眉山·期末）已知關于x、y的方程組ax+2y=14x+y=4與x?y=2(1)求a、b的值；(2)如果a、b是等腰三角形的兩邊，求該等腰三角形的周長．【答案】(1)a=4，b=10(2)24【思路引導】（1）由題意ax+2y=14x+y=4與x?y=2x+by=13的解相同，可得方程組x?y=2x+y=4，解出x和y，即可求出a（2）根據(jù)等腰三角形的性質以及構成三角形的條件即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：∵關于x，y的方程組ax+2y=14x+y=4與x?y=2∴方程組x?y=2x+y=4與ax+2y=14x+y=4、解方程組x?y=2x+y=4，得：x=3將x=3y=1代入ax+2y=14，得：3a+2=14解得：a=4．將x=3y=1代入x+by=13，得：3+b=13解得：b=10．∴a=4，b=10．（2）當a、b分別是等腰三角形的底和腰時，a=4，b=10，此時等腰三角形的周長為：a+2b=24，當a、b分別是等腰三角形的腰和底時，a=4，b=10，∵2a=8<10=b，此時無法構成三角形，此種情況舍去，即等腰三角形的周長為：24．【考點剖析】本題考查二元一次方程組的解、解二元一次方程組、等腰三角形的性質以及構成三角形的條件等知識，掌握二元一次方程組解相同的含義構成新的二元一次方程組是解答本題的關鍵．考點2：確定第三邊的取值范圍【典例精講】（2324七年級下·廣東佛山·期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，AB=7，AD=5，則AC的取值范圍為．【答案】3<AC<17【思路引導】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系．延長AD到E，使AD=DE=5，連接BE，得出△ADC≌△EDB，進而在△ABE中利用三角形三邊關系求解．【規(guī)范解答】延長AD到E，使AD=DE=5，連接BE，如圖所示：∵AD為中線，∴BD=DC，又∵∠ADC=∠BDE，∴△ADC≌△EDB(SAS∴AC=BE，在△ABE中，AB=7，AE=10，∴10?7<BE<10+7，即3<AC<17，故答案是：3<AC<17．【變式訓練】（2324八年級上·全國·單元測試）已知三角形的三邊長分別為2，a?1，4，則化簡a?3+a?7的結果為【答案】4【思路引導】本題考查了絕對值、三角形三邊關系，解不等式的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據(jù)三角形三邊關系可得4?2<a?1<2+4，解得a?3>0，【規(guī)范解答】解：由三角形三邊關系，得4?2<a?1<2+4，即2<a?1<6，解得a?3>0，∴a?3+故答案為4．考點3：三角形三邊關系的應用【典例精講】（2425八年級上·全國·期中）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．(1)化簡式子a?b+c+a?b?c(2)若a=x+8，b=3x?2，c=x+2．①x的取值范圍是；②當△ABC為等腰三角形時，求a，b，c的值．【答案】(1)2c(2)①83<x<12；②a，b，【思路引導】本題考查等腰三角形的性質、三角形三邊關系．（1）由三角形三邊關系定理得：a+c>b，b+c>a，即可化簡|a?b+c|+|a?b?c|；（2）①由三角形三邊關系定理列出不等式組，再求解即可；②分三種情況分類討論，分別根據(jù)等腰列方程求解，再判斷是否構成三角形即可．【規(guī)范解答】（1）解：由三角形三邊關系定理得：a+c>b，b+c>a，∴|a?b+c|+|a?b?c|=a?b+c+b+c?a=2c，故答案為：2c；（2）解：①∵a=x+8，b=3x?2，c=x+2，∴x+8+3x?2>x+23x?2+x+2>x+8∴83故答案為：83②分以下三種情況：如果△ABC的腰是a，b，則x+8=3x?2，∴x=5，∴a=b=13，c=7，a，b，c符合三角形三邊關系；如果△ABC的腰是b，c，則3x?2=x+2，∴x=2，∴a=10，b=c=4，a，b，c不能組成三角形；如果△ABC的腰是a，c，則x+8=x+2，此時無解；綜上，a，b，c的值為13，13，7．【變式訓練】（2425八年級上·全國·期中）【定義】若一個三角形三邊長均為偶數(shù)，則稱這個三角形為“好運三角形”．例如，三邊為6，8，10的三角形是“好運三角形”．(1)【概念運用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC為“好運三角形”，求AC的長；(2)【變式運用】已知△ABC的周長為16，AC=4，若AB的長為偶數(shù)，試判斷△ABC是否為“好運三角形”．【答案】(1)AC=4(2)△ABC是“好運三角形”【思路引導】本題考查三角形的三邊關系，掌握“好運三角形”的定義，是解題的關鍵．（1）先根據(jù)三邊關系求出AC的范圍，再根據(jù)新定義，確定AC的長即可；（2）設AB=x(x為偶數(shù))，則BC=12?x，根據(jù)三角形的三邊關系，列出不等式組求出x的取值范圍，根據(jù)AB的長為偶數(shù)，求出AB的長，進而求出BC的長，再根據(jù)新定義進行判斷即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵BC?AB<AC<BC+AB，∴4?2<AC<4+2，即2<AC<6，∵△ABC為“好運三角形”，∴AC為偶數(shù)，∴AC=4；（2）設AB=x(x為偶數(shù))，則BC=12?x，∴x+12?x>4，x+4>12?x，解得4<x<8，∵x為偶數(shù)，∴AB=x=6．∴BC=12?6=6，又∵AC=4，∴△ABC是“好運三角形”．考點4：三角形的穩(wěn)定性及應用【典例精講】（2021·吉林長春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【思路引導】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及多邊形對角線的條數(shù)即可得答案．【規(guī)范解答】∵三角形具有穩(wěn)定性，∴要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，∵過五邊形的一個頂點可作對角線的條數(shù)為53=2（條），∴要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細木條的數(shù)量至少為2條，故選：B．【考點剖析】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對角線，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．【變式訓練】（2324八年級上·四川南充·階段練習）安裝空調一般會采用如圖的方法固定，其根據(jù)的幾何原理是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短C．三角形的穩(wěn)定性 D．垂線段最短【答案】C【思路引導】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，采用如圖的設計是構造三角形，應用了三角形的穩(wěn)定性，理解題意是解題關鍵．【規(guī)范解答】解：這種方法應用的幾何原理是：三角形的穩(wěn)定性，故選：C．考點5：四邊形的不穩(wěn)定性【典例精講】（2425八年級上·云南大理·期中）2023年9月29日，中國航天局發(fā)布消息，探月工程嫦娥六號任務正按計劃開展研制工作，將開展月球背面采樣返回，計劃于2024年上半年實施發(fā)射，對提升我國國際航天地位、推動航天技術創(chuàng)新、提供科學數(shù)據(jù)、培養(yǎng)人才和激發(fā)民眾興趣具有重要意義．如圖，登月探測器中，機械臂伸縮自如，靈活性強，其機械原理主要是運用了．【答案】平行四邊形的不穩(wěn)定性【思路引導】本題考查了四邊形的特性，根據(jù)平行四邊形的性質即可得出答案，熟練掌握四邊形的特性是解此題的關鍵．【規(guī)范解答】解：機械臂伸縮自如，靈活性強，其機械原理主要是運用了平行四邊形的不穩(wěn)定性，故答案為：平行四邊形的不穩(wěn)定性．【變式訓練】（（2021七年級下·全國·專題練習）如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構成的幾個連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案】見解析【思路引導】根據(jù)題意運用四邊形的不穩(wěn)定性和三角形的穩(wěn)定性來回答問題即可．【規(guī)范解答】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離．它的固定方法是：任選兩個不在同一木條上的頂點固定就行了．【考點剖析】本題考查了四邊形的不穩(wěn)定性，要使物體具有穩(wěn)定性，應做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等，理解題意是解題的關鍵．考點6：角平分線、高【典例精講】（2425八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，若△ABC的面積是24cm2，AD=6cm，那么斜邊上的中線長是【答案】4【思路引導】本題考查直角三角形斜邊的中線，三角形的面積，解題關鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；由三角形面積公式求出BC，由直角三角形斜邊中線的性質得到Rt△ABC斜邊上的中線長是1【規(guī)范解答】解：∵AD⊥BC，△ABC的面積是24cm∴S∵AD=6cm∴BC=8cm∵∠BAC=90°在Rt△ABC斜邊上的中線長是12故答案為∶4．【變式訓練】（2324七年級下·福建福州·階段練習）如圖所示，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．(1)畫出△ABC中邊BC上的高AD，邊AC上的中線BE；(2)已知△ABE的周長比△BCE的周長大45，則AB比BC長______．(3)直接寫出△ABE的面積為______．【答案】(1)見解析(2)45；(3)4．【思路引導】本題考查了基本作圖，三角形的高和中線的定義，根據(jù)題意利用網(wǎng)格畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形的高和中線的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形的中線定義可得AE=CE，根據(jù)題意可得AB+AE+BE?BC+CE+BE（3）先求出S△ABC=12BC·AD=8，再根據(jù)BE【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示，線段AD、線段BE即為所求；（2）∵BE是△ABC的中線，∴AE=CE，∵△ABE的周長比△BCE的周長大45，∴AB+AE+BE?BC+CE+BE∴AB?BC=45，故答案為：45；（3）∵S△ABC=12BC·AD=∴S△ABE故答案為：4．考點7：根據(jù)三角形中線求長度【典例精講】（2425八年級上·湖南益陽·期中）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，E,F分別是AD,BE的中點，且S△ABC=8cm2，則圖中陰影部分【答案】2【思路引導】本題考查三角形的中線，根據(jù)三角形的中線平分面積進行求解即可．【規(guī)范解答】解：∵E,F分別是AD,BE的中點，∴S△CDE∴S△CDE+S∴S△CEF故答案為：2【變式訓練】（2425八年級上·廣西桂林·期中）如圖，A，B，C分別是線段A1B,B1C,C1【答案】7【思路引導】本題考查了三角形的面積，連接AB1，BC1，CA【規(guī)范解答】解：如圖，連接AB∵A、B分別是線段A1∴S△ABB1∴S△同理：S△∴△A1B故答案為：7．考點8：根據(jù)三角形中線求面積【典例精講】（2324七年級下·河南鄭州·期末）如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中分別按下列要求畫圖（請保留畫圖痕跡，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．(1)畫出△ABC關于AC對稱的△ACD（點B的對應點是點D）；(2)畫出△ABC的重心O；(3)直接寫出四邊形ABCD的面積______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)24【思路引導】本題考查了利用網(wǎng)格的特點作圖．（1）根據(jù)軸對稱的特點，作出圖形即可；（2）利用長方形的特點找到邊AB，BC的中點，△ABC兩條中線的交點即可為重心；（3）利用三角形面積公式求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：△ACD如圖所示；（2）解：△ABC的重心O如圖所示；（3）解：四邊形ABCD的面積為2×1故答案為：24．【變式訓練】（2425八年級上·安徽·期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯誤的是（

）A．BF=CF B．∠B+∠BAD=90°C．S△ABE:S【答案】D【思路引導】本題考查了中線、角平分線和中線的定義，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．分別根據(jù)三角形的中線意義可判斷A和D；根據(jù)三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余判斷B；根據(jù)三角形角平分線的性質可判斷C．【規(guī)范解答】解：∵AF是中線，∴BF=CF，故A選項正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，故B選項正確，不符合題意；過點E作EG⊥AB于點G，EH⊥AC于點H，∵AE是角平分線，∴EG=EH，∵S△ABE=1∴S△ABE∵AF是中線，∴∠BAF與∠CAF不一定相等，故D錯誤，符合題意．故選：D．考點9：重心的概念【典例精講】（2425八年級上·浙江金華·期末）如圖是一張鈍角三角形紙片ABC，小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線BD；②∠B的平分線BE；③AC邊上的高BF．上述三條線段中能通過折紙折出的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【思路引導】本題考查的是軸對稱的性質，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關鍵．根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【規(guī)范解答】解：①折疊使點A與點C重合，則：對折點即為AC的中點D，則BD即為AC邊上的中線；②折疊使BC和AB重合，則：折痕BE即為∠B的平分線；③折疊使CF和AF重合，則：折痕BF即為AC邊上的高；故選D．【變式訓練】（2425八年級上·湖南永州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，給出以下結論：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④S△ABE=S△BCE；⑤BH=CH；⑥AD?BC=AB?AC；⑦【答案】②③④⑥【思路引導】本題考查三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的定義是解題的關鍵．根據(jù)三角形的中線的性質判斷①和④和⑦；根據(jù)直角三角形的兩銳角互余以及對頂角相等判斷②；根據(jù)角平分線的定義判斷③，根據(jù)題意判斷⑤，根據(jù)三角形的面積公式判斷⑥．【規(guī)范解答】解：∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE故④正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF=∠BCF，∵AD⊥BC，∴∠BCF+∠CGD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ACF+∠AFG=90°，∴∠CGD=∠AFG，∵∠CGD=∠AGF，∴∠AGF=∠AFG，故②正確；∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠FAG=∠ACB=2∠ACF，故③正確；由已知條件不能確定∠HBC=∠HCB，∴不能得出BH=CH，故⑤錯誤；∵F不一定是AB的中點，∴不能得出BF=AF，故①錯誤；∴不能得出S△CFA∴不能得出S△CFA∴不能得出S△CFA?S故⑦錯誤；∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴S△ABC∴AD?BC=AB?AC，故⑥正確；綜上可知，正確的有②③④⑥，故答案為：②③④⑥．考點10：三角形角平分線的定義【典例精講】如圖，AC⊥BC，DE⊥BC，垂足分別為C，

A．AC是△ABC的高 B．AC是△ABE的高C．DE是△DBE的高 D．DE是△ABE的高【答案】D【思路引導】本題考查三角形高的定義，根據(jù)三角形的高的定義判斷即可，記住從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高是解決問題的關鍵．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，觀察圖象可知：BC是△ABC的高，AC是△ABE的高，DE是△BDE的高，∴符合題意是D選項，故選：D．【變式訓練】（2223八年級上·浙江湖州·期中）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點稱做格點．(1)畫出△ABC的高CD；(2)求△ABC的面積；(3)在邊AC上找到一點E，滿足EA=EB．【答案】(1)見解析(2)S(3)見解析【思路引導】本題考查了作圖的應用與設計，則網(wǎng)格線的特點和三角形的面積公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)垂直的意義和網(wǎng)格線的特點作圖；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解；（3）根據(jù)垂直平分線的性質作圖．【規(guī)范解答】（1）CD即為所求；（2）△ABC的面積為：12（3）作AB的垂直平分線與AC的交于E，點E即為所求．考點11：畫三角形的高【典例精講】（2425八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在△ABC中，AD，AF分別是△ABC的中線和高，BE是△ABD的角平分線．(1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求(2)若△ABC面積為40，AD=5，求AF的長．【答案】(1)50°(2)AF=8【思路引導】本題考查了等腰三角形的判定，角平分線的性質，三角形外角性質和三角形面積公式．本題的關鍵是充分應用三角形的角平分線，高和中線的定義．（1）先利用三角形的外角性質計算出∠ABE=20°，再利用角平分線定義得到∠ABC=2∠ABE=40°，然后根據(jù)高的定義和互余兩角的性質求出∠BAF的度數(shù)；（2）先根據(jù)題意得到BD=DC=AD=5，然后利用三角形面積公式求AF的長．【規(guī)范解答】（1）解：∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∴∠ABE=60°?40°=20°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=40°，∵AF為高，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°?∠ABF=90°?40°=50°．（2）解：由（1）得∠BAD=∠ABD=40°，∴BD=DC=AD=5，∴BC=5+5=10，∵S△ABC∴AF=8．【變式訓練】（2024七年級下·上?！ｎ}練習）如圖，AB∥CD，如果AB=4，CD=6，△ABC的面積為18，那么△BCD的面積為．【答案】27【思路引導】本題考查了三角形的面積，平行線間距離相等，求出CE的長是解題的關鍵．過點C作CE⊥AB，求出CE的長，再利用面積公式解答即可．【規(guī)范解答】解：過點C作CE⊥AB，，∵△ABC的面積=12∵18=1∴CE=9，∵AB∥CD，∴點B到CD的距離等于CE的長度，∴ΔBCD的面積故答案為：27．基礎夯實1．（2425八年級上·陜西渭南·期末）以下列各組線段長為邊，能組成三角形的是（

）A．1?cm,2?cmC．2?cm,3?cm【答案】B【思路引導】本題考查三角形的三邊關系：三角形的兩邊之和大于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關系判斷即可．【規(guī)范解答】解：A選項：1+B選項：3+6=9>8，故能組成三角形；C選項：2+D選項：3+故選：B．2．（2425八年級上·吉林四平·期末）在△ABC中，∠A+∠B=∠C，則這個三角形是（

）A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】D【思路引導】本題考查了三角形內角和定理的應用，根據(jù)三角形內角和定理結合∠A+∠B=∠C計算得出∠C=90°，即可得解，熟練掌握三角形內角和定理是解此題的關鍵．【規(guī)范解答】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴這個三角形是直角三角形，故選：D．3．（2425八年級上·安徽滁州·期中）在△ABC中，3∠A=32∠B=∠C，則△ABCA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【思路引導】本題考查了三角形的內角和定義，三角形的分類．根據(jù)題意得出∠A=1【規(guī)范解答】解：∵3∠A=3∴∠A=1∴∠A+∠B+∠C=1解得：∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故選：B．4．（2425八年級上·河南濮陽·期中）如圖，AD是△ABC的中線，DE是△ABD的中線，若S△DEB=3cm2，則S【答案】12【思路引導】本題考查了三角形的面積，三角形的中線，根據(jù)DE是△ABD的中線，若S△DEB=3cm2，可得△ABD的面積，再根據(jù)【規(guī)范解答】解：∵DE是△ABD的中線，若S△DEB∴S△ABD∵AD是△ABC的中線，∴S△ABC故答案為：12．5．（2425八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在△ABC中，CE是AB邊上的中線，BC=4DC，AD與CE交于點F，若△ABC的面積等于16．（1）△ADC的面積為；（2）設△AEF的面積為m，△DFC的面積為n，則m+n=．【答案】4285/【思路引導】本題考查了三角形中線的意義，三角形面積的性質，解方程，熟練掌握中線的意義是解題的關鍵．（1）設BC邊上的高為h，根據(jù)題意，得S△ABC=12BC·?=16，S（2）根據(jù)CE是AB邊上的中線，△ABC的面積等于16，得到S△AEC=S△BEC=12S△ABC=8，結合△AEF的面積為m，△DFC的面積為n，得到4?n=8?m即m=n+4，連接BF，根據(jù)BC=4DC，得到S△DFB【規(guī)范解答】（1）解：設BC邊上的高為h，根據(jù)題意，得S△ABCS△ADC∵BC=4DC，∴S△ADC故答案為：4．（2）解：根據(jù)CE是AB邊上的中線，△ABC的面積等于16，得到S△AEC又△AEF的面積為m，△DFC的面積為n，得到4?n=8?m即m=n+4，如圖，連接BF，根據(jù)BC=4DC，得到S△DFB又CE是AB邊上的中線，S△AEF故4n+n+4=8，解得n=4故m+n=2×4故答案為：2856．（2425八年級上·福建莆田·期中）木蘭溪大橋全長860m，由我國著名橋梁專家、莆籍院士林元培設計，以莆田特色的“壺山蘭水”為主題，將莆田人文景觀與自然環(huán)境結合，體現(xiàn)了莆田地域文化和時代特征．如圖，橋梁拉桿和橋面構成三角形的結構，運用的數(shù)學原理是三角形的【答案】穩(wěn)定性【思路引導】本題主要考查三角形的穩(wěn)定性，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關鍵．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性求解即可．【規(guī)范解答】由題意可知運用的數(shù)學原理是三角形的穩(wěn)定性；故答案為：穩(wěn)定性．7．（2223九年級下·海南?？凇て谥校┤鐖D，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD，若△CDB的面積為24，△ADE的面積為18，則四邊形EDBC的面積為【答案】30【思路引導】本題考查了作垂直平分線，三角形中線的性質；先利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則AD=BD，再根據(jù)三角形面積公式得到S△ADC=S△BDC=24【規(guī)范解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴S∵S∴S∴四邊形EDBC的面積=S故答案為：30．8．（2324八年級上·云南曲靖·期中）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD與CE相交于點O．(1)求證：△OBC(2)若AB=5，BD=4，BC=6，求點A到BC邊的距離．【答案】(1)見解析(2)10【思路引導】本題考查了等腰三角形的性質與判定，與三角形高有關的計算，三角形內角和定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先得到∠ABC=∠ACB，再由三角形內角和定理得到∠ABD=∠ACE，再由角度和差計算得到∠DBC=∠ECB，則OB=OC；（2）設點A到BC邊的距離為?，由面積法得到12【規(guī)范解答】（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的兩條高線，∴∠AEC=∠ADB=90°．又∵∠A=∠A∴∠ABD=∠ACE∴∠DBC=∠ECB∴OB=OC∴△OBC（2）解：設點A到BC邊的距離為?，∵BD、CE是△ABC的兩條高線∴1∵AB=5，BD=4，BC=6，∴AC=AB=5，∴1∴?=∴點A到BC邊的距離為1039．（2223七年級下·貴州·期末）如圖，△ABC的高AD=6cm，BC=9cm，點E在BD上，連接AE．設CE的長為xcm，△ABE的面積為y(1)求y與x之間的關系式；(2)若CD=4cm，當x為多少時，△ABE的面積比△ADE的面積大3cm2【答案】(1)y=?3x+27(2)x=6【思路引導】本題主要考查了用關系式表示變量之間的關系，一元一次方程的應用，讀懂題意，找準等量關系，是解題的關鍵．（1）根據(jù)y=1（2）根據(jù)題意表示出△ADE的面積即可求解；【規(guī)范解答】（1）解：∵BC=9cm，CE的長為xcm∴BE=∵高AD=6cm，∴y=（2）解：∵CD=4cm∴DE=CE?CD=(x?4)cm∴△ADE的面積=12DE?AD=∵△ABE的面積比△ADE的面積大3cm∴27?3x?(3x?12)=3，解得：x=6，∴當x=6時，△ABE的面積比△ADE的面積大3cm10．（2024七年級下·江蘇·專題練習）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖（1）．在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′分別是BC【性質探究】如圖（1），用S△ABC，S△A則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質應用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD=3，DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點．若BE:AB=1:2，CD∶BC=1∶3，S△ABC=1，求△BEC【答案】(1)3:4(2)S△CDE=【思路引導】本題主要考查三角形的面積公式，理解等高的兩個三角形的面積比等于底的比是解題的關鍵．（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案．（2）根據(jù)△BEC和△ABC是等高三角形和△CDE和△BEC是等高三角形即可知道三角形的面積比即底的比，從而求出面積，【規(guī)范解答】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，則S∵AE=AE∴S△ABD

（2）∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE培優(yōu)拔高11．（2324八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點，且△ABC的面積為4，則圖中陰影部分面積為（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】C【思路引導】根據(jù)D，E分別為BC，AD的中點，得S△ADC=12S本題考查了三角形中線的意義，三角形面積的性質，熟練掌握中線的意義是解題的關鍵．【規(guī)范解答】解：∵D，E分別為BC，AD的中點，∴S△ADC=1∴S△ACE∵△ABC的面積為4，∴S△ACE故選：C．12．（2324八年級上·北京海淀·期中）在等邊三角形ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，點P是線段AD上的一個動點，當△PCE的周長最小時，P點的位置在（

）

A．△ABC的重心處 B．AD的中點處C．D點處 D．線段AD靠近點D的四等分點處【答案】A【思路引導】連接BP，根據(jù)等邊三角形的性質得到AD是BC的垂直平分線，根據(jù)三角形的周長公式、兩點之間線段最短解答即可．【規(guī)范解答】解：連接BP，

∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，∴AD是BC的垂直平分線，∴PB=PC，△PCE的周長=EC+EP+PC=EC+EP+BP，當B、P、E在同一直線上時，△PCE的周長最小，∵BE為中線，∴點P為△ABC的重心，故選：A．【考點剖析】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．13．（2425八年級上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為5cm，則該等腰三角形的底邊長為（A．3cm B．5cm C．3cm或5cm 【答案】C【思路引導】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質，此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊或5【規(guī)范解答】解：當5cm是等腰三角形的底邊時，則其腰長是(13?5)÷2=4當5cm是等腰三角形的腰時，則其底邊是13?5×2=3故選：C．14．（2324八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．若AB=9，AC=6，則△ADE的周長為．【答案】15【思路引導】本題考查了等腰三角形的判定與性質，角平分線的定義以及平行線的性質，解題的關鍵是掌握相關知識．由∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，可得∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，結合平行線的性質可推出∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，得到BD=DO，CE=EO，繼而可得△ADE的周長等于AB+AC，即可求得答案．【規(guī)范解答】解：∵在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴BD=DO，CE=EO，∴△ADE的周長為AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9+6=15，故答案為：15．15．（2425八年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE，DE平分∠ADC．若AB=7，AD=4，CD=8，S△ACD=10，則△ABE的面積為【答案】356/【思路引導】本題考查了角平分線的性質，三角形面積公式掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關鍵．過E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N，由角平分線的性質可得，EM=EF，EM=EN，再根據(jù)S△ACD=S△ADE+【規(guī)范解答】解：如圖，過E作EM⊥BC于M，EN⊥AD于N，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，EF⊥AB，∴EM=EF，EM=EN，∵S△ACD=S∴12∴12∴12∴EF=5∵AB=7，∴△ABE的面積=1故答案為：35616．（2425八年級上·浙江金華·階段練習）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點G，過點G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點G作GD⊥AC于D，下列四個結論：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°?12∠A；③點G到△ABC各邊的距離相等；④設GD=