第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年吉林省吉林十二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，則(2+3i)(4?i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(?1,12)，b=(1,m)，若aA.3 B.2 C.5 3.某公司利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行餐點(diǎn)即時(shí)的送，利用空間坐標(biāo)表示無(wú)人機(jī)的位置，開(kāi)始時(shí)無(wú)人機(jī)在點(diǎn)O(0,0,0)處起飛，6秒后到達(dá)點(diǎn)A(0,0,90)處，15秒后到達(dá)點(diǎn)B處，若AB=(120,0,0)，則|OB|=A.307 B.120 C.150 4.某中學(xué)為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生，對(duì)他們每周的課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：閱讀時(shí)間[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]學(xué)生人數(shù)6915128則從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)其每周的課外閱讀時(shí)間少于4小時(shí)的概率為(

)A.0.3 B.0.2 C.0.4 D.0.55.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若α//β，m?α，n?β，則m//n

B.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n

C.若m//α，α⊥β，則m⊥β

D.若m，n是異面直線，m?α，n?β；m//β，n//α，則α//β6.已知空間向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,A.0 B.1 C.2 D.37.已知z1，z2是復(fù)數(shù)，則“|z1+zA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)制作模具加工，現(xiàn)將一個(gè)圓臺(tái)加工成一個(gè)球體.已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑之和為6，母線長(zhǎng)為8，且母線與底面所成的角為60°，則得到的球的表面積的最大值為(

)A.48π B.100π3 C.24π D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在一次射擊決賽中，某位選手射擊了一組子彈，得分分別為8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，10.1，則(

)A.該組數(shù)據(jù)的極差為1.8

B.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10.1

C.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為9.9

D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a=23,A=π3，則△ABC的外接圓的面積為4π

B.若a=3,b=4,A=π3，則滿足條件的三角形有兩個(gè)

C.若△ABC為銳角三角形，則11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中ABCD?A1B1C1D1，E為線段CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A.過(guò)A，D1，E三點(diǎn)的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面的面積為92

B.存在點(diǎn)F，使得平面EF/?/平面AD1C

C.當(dāng)F在線段A1B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐12.已知隨機(jī)事件A與B對(duì)立，B與C相互獨(dú)立，若P(A)=0.4，P(C)=0.3，則P(BC)=______．13.已知平面α的法向量為n=(2,1,2)，點(diǎn)A(0,1,1)為平面α內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P(1,0,2)為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為_(kāi)_____．14.費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，具體位置取決于三角形的形狀.當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，O為費(fèi)馬點(diǎn).若a=7，b=1，c=3，則OA?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知i是虛數(shù)單位，z?表示z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z滿足(1+i)?z=z?+1．

(1)求|z|的值；

(2)16.(本小題15分)

在等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2，AD=CD=1，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且BF=2FC，記AB=a,AD=b．

(1)用向量a，b表示向量EF17.(本小題15分)

記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=2,bcosB=2sin2B．

(1)求A；

(2)求(18.(本小題17分)

用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù))中抽取一個(gè)樣本容量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè).再將40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值；

(2)為了進(jìn)一步分析學(xué)生的成績(jī)，按性別采用分層隨機(jī)抽樣0.025的方法抽取5人，再?gòu)闹谐槿?人，求這2人中男生女生各1人的概率；

(3)已知男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為66和40，求總樣本的平均數(shù)和方差．19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=2，PC=5，點(diǎn)Q為棱PC上一點(diǎn)．

(1)證明：PA⊥CD；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q為棱PC的中點(diǎn)時(shí)，求直線PB與平面BDQ所成角的正弦值；

(3)當(dāng)二面角

參考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.0.18

13.1

14.?315.解：(1)令z=a+bi且a，b∈R，則(1+i)(a+bi)=(a?bi)+1，

所以a?b+(a+b)i=a+1?bi，則a?b=a+1，a+b=?b，解得：a=2，b=?1，

所以z=2?i，則|z|=5；

(2)由z1=2+i?3m+(m2?3m+1)i=2?3m+(m2?3m+2)i，

故對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2?316.解：(1)如圖，

連接DE，由題意知，ED=AD?AE=b?12a，

因?yàn)镈C/?/EB且DC=EB，所以四邊形EBCD為平行四邊形，

所以BC=ED，即BC=b?12a，

因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，且BF=2FC，所以BF=23BC=23b?13a，

所以EF=EB+BF=12a+2317.(1)因?yàn)閍=2,bcosB=2sin2B，

所以bcosB=22sinB?cosB．

又△ABC為銳角三角形，故cosB≠0，

可得b=22sinB，即bsinB=22，

由正弦定理可得asinA=bsinB=22，a=2，

所以sinA=22

又A∈(0,π2)，

故A=π4；

(2)由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=22，

則b=22sinB，c=218.(1)根據(jù)題意可得(0.01+2t+0.03+0.025+0.005)×10=1，解得t=0.015；

(2)男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè)，按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，

則抽取男生人數(shù)為5×40100=2，女生人數(shù)為3人，

所以再?gòu)闹谐槿?人，這2人中男生女生各1人的概率為C21C31C52=35；

(3)設(shè)男生成績(jī)樣本平均數(shù)為x?=71，方差為sx2=187.75，

女生成績(jī)樣本平均數(shù)y?=66，方差為sy2=40，總樣本的平均數(shù)為z?，方差為s2，

z?=40100x?+60100y?=0.4×71+0.6×66=68．

s2=40100[sx2+(x??z?)2]+60100[sy2+(y??z?)2]

=40100[187.75+(71?68)2]+60100[40+(66?68)2]=105.1．

所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為68和105.1．

19.解：(1)證明：因?yàn)镻D=1,CD=2,PC=5，

所以PD2+CD2=PC2，

所以CD⊥PD，

又CD⊥AD，且AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

又PA?平面PAD，

所以PA⊥CD．

(2)因?yàn)镻A=2,AD=PD=1，所以AD2+PD2=PA2，

則PD⊥AD．

由(1)可知PD，AD，DC兩兩垂