章末復(fù)習(xí)第3章

一次方程與方程組【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********第3章

一次方程與方程組

章末復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)目標：系統(tǒng)梳理本章所學(xué)知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對一次方程與方程組相關(guān)概念的理解。熟練掌握一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組的解法，并能靈活運用解決實際問題?？偨Y(jié)解題規(guī)律和易錯點，提高解題的準確性和效率。知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一次方程與方程組├──

一元一次方程│

├──

概念：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式的方程│

├──

解法步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1│

└──

應(yīng)用：列方程解決實際問題（如行程、工程、利潤等）├──

二元一次方程組│

├──

概念：含有兩個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的兩個方程組成的方程組│

├──

解法：代入消元法、加減消元法│

└──

應(yīng)用：解決含兩個未知量的實際問題（如比賽得分、調(diào)配、配比等）└──

三元一次方程組

├──

概念：含有三個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的三個方程組成的方程組

├──

解法：消元（先轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程）

└──

應(yīng)用：解決含三個未知量的實際問題重點知識回顧一、一元一次方程等式的性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果\(a=b\)，那么\(a\pmc=b\pmc\)。性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果\(a=b\)，那么\(ac=bc\)；如果\(a=b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)。解一元一次方程的注意事項去分母時，不要漏乘不含分母的項。去括號時，若括號前是負號，括號內(nèi)各項要變號。移項要變號。系數(shù)化為1時，注意分子分母不要顛倒。二、二元一次方程組二元一次方程（組）的解使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解（有無數(shù)組）。二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解（有唯一解、無解或無數(shù)組解）。解法對比代入消元法：適用于有一個未知數(shù)的系數(shù)為1或-1的方程組，將其變形為用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)，再代入另一個方程。加減消元法：適用于同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，或通過變形可使其滿足該條件的方程組，通過相加或相減消去一個未知數(shù)。三、三元一次方程組解法核心：消元，即通過代入或加減消元法，逐步將三元轉(zhuǎn)化為二元，再轉(zhuǎn)化為一元。步驟：消去一個未知數(shù)得到二元一次方程組→解二元一次方程組→回代求出第三個未知數(shù)→檢驗。四、方程（組）的應(yīng)用解題步驟：審（審題，找等量關(guān)系）→設(shè)（設(shè)未知數(shù)）→列（列方程或方程組）→解（解方程或方程組）→驗（檢驗解的合理性）→答（寫出答案）。常見題型：行程問題（相遇、追及、順逆流）、工程問題、利潤問題、比賽得分問題、調(diào)配問題、配比問題、配套問題等。典型例題解析例1：解一元一次方程解方程：\(\frac{2x-1}{3}-\frac{5x+1}{2}=1\)解：去分母（兩邊同乘6），得：\(2(2x-1)-3(5x+1)=6\)去括號：\(4x-2-15x-3=6\)移項：\(4x-15x=6+2+3\)合并同類項：\(-11x=11\)系數(shù)化為1：\(x=-1\)例2：解二元一次方程組解方程組：\(\begin{cases}3x+2y=13&a?

\\5x-3y=9&a??\end{cases}\)解：①×3+②×2，消去\(y\)：\(9x+6y+10x-6y=39+18\)\(19x=57\)，解得\(x=3\)把\(x=3\)代入①：\(3??3+2y=13\)，解得\(y=2\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\)例3：解三元一次方程組解方程組：\(\begin{cases}x+y+z=12&a?

\\x+2y+5z=22&a??\\x=4y&a?￠\end{cases}\)解：把③代入①②，得：\(\begin{cases}4y+y+z=12\\4y+2y+5z=22\end{cases}\)，化簡為\(\begin{cases}5y+z=12&a?￡\\6y+5z=22&a?¤\end{cases}\)④×5-⑤：\(25y+5z-6y-5z=60-22\)\(19y=38\)，解得\(y=2\)把\(y=2\)代入③，得\(x=8\)把\(x=8\)，\(y=2\)代入①，得\(z=2\)所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=8\\y=2\\z=2\end{cases}\)例4：方程（組）的應(yīng)用某商場購進甲、乙兩種商品共50件，甲種商品進價每件35元，利潤率是20%；乙種商品進價每件20元，利潤率是15%，共獲利278元。問甲、乙兩種商品各購進多少件？解：設(shè)購進甲種商品\(x\)件，乙種商品\(y\)件。根據(jù)題意，得\(\begin{cases}x+y=50\\35??20\%x+20??15\%y=278\end{cases}\)化簡第二個方程：\(7x+3y=278\)由①得\(x=50-y\)，代入②：\(7(50-y)+3y=278\)\(350-7y+3y=278\)\(-4y=-72\)，解得\(y=18\)則\(x=50-18=32\)答：購進甲種商品32件，乙種商品18件。易錯點解析去分母漏乘：解方程\(\frac{x}{2}-1=\frac{x-1}{3}\)時，易漏乘常數(shù)項1，正確去分母應(yīng)為\(3x-6=2(x-1)\)。解方程組時符號錯誤：用加減消元法解\(\begin{cases}2x-y=5\\3x+y=10\end{cases}\)時，相加后應(yīng)為\(5x=15\)，而非\(-x=-5\)。列方程時等量關(guān)系錯誤：行程問題中，相遇問題是“路程和=總路程”，追及問題是“路程差=初始距離”，易混淆兩者關(guān)系。忽略實際問題的解的合理性：如人數(shù)、物品數(shù)量等應(yīng)為正整數(shù)，解出負數(shù)或小數(shù)時需檢驗是否符合題意。復(fù)習(xí)題解下列方程（組）：（1）\(4(x-1)-3(2x+1)=7\)；（2）\(\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=6\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}x+2y-z=3\\2x-y+z=5\\3x+y-2z=4\end{cases}\)。當\(k\)為何值時，方程\(2(x-1)=k+x\)的解與方程\(\frac{x+3}{2}=2x-1\)的解相同？某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需耗煤3噸、耗電2度；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需耗煤2噸、耗電4度。該工廠現(xiàn)有煤300噸，電200度。問A、B兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時，耗煤和耗電剛好都用完？甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行，若甲先出發(fā)2小時，則乙出發(fā)2.5小時后兩人相遇；若乙先出發(fā)2小時，則甲出發(fā)3小時后兩人相遇。求甲、乙兩人的速度。一個三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的3倍少2，若將這個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，所得的新三位數(shù)與原三位數(shù)的和是1171，求原三位數(shù)。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解等式的基本性質(zhì)1

性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，所得結(jié)果仍是等式.即

如果

a＝b，那么

a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.12

性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即如果

a＝b，那么

ac＝bc，

（c≠0）.3性質(zhì)3：如果

a＝b，那么

b＝a.（對稱性）.例如，由-4=x，得x=-4.

在解題過程中，根據(jù)等式的傳遞性，將一個量用與它相等的量代替，稱為等量代換.4性質(zhì)4：如果

a＝b，b=c，那么

a＝c.（傳遞性）.例如，x=3，又y=x，所以y=3.一元一次方程2

只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程叫作一元一次方程.

使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解.一元方程的解也叫作根.步驟根據(jù)注意事項去分母等式性質(zhì)2

①不漏乘不含分母的項；

②注意給分子添括號.去括號分配律、去括號法則

①不漏乘括號里的項；

②括號前是“-”號，要變號.移項移項法則移項要變號合并同類項合并同類項法則系數(shù)相加，不漏項系數(shù)化1等式性質(zhì)2兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)或乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù).解一元一次方程3弄清題意和題中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x，y）表示問題里的未知數(shù)；分析題意，找出相等關(guān)系（可借助于示意圖、表格等）；根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，并列出方程；解這個方程，求出未知數(shù)的值；檢查所得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案（包括單位名稱）.12345列方程解應(yīng)用題的步驟4二元一次方程組5含有兩個未知數(shù)的一次方程，叫作二元一次方程.由兩個一次方程組成，且含兩個未知數(shù)的方程組叫作二元一次方程組.使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程組的解.二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的每一個方程.解二元一次方程組的基本思路是消元.解二元一次方程組的基本思路是什么？代入消元法和加減消元法.二元一次方程組有哪兩種解法？消去兩個未知數(shù)中的一個．解二元一次方程組中“代入”與“加減”的目的是什么？用代入消元法解二元一次方程組的步驟：

①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有x(或y)的代數(shù)式表示y(或x)；②將變形后的方程代入另一個方程中，消去y(或x)，得到一個關(guān)于x(或y)的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，得到方程組的解.用加減法解二元一次方程組的一般步驟：

（1）如果某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等時，采用加減消去一個未知數(shù).（2）如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等，再加減消元.（3）對于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡，再作如上加減消元的考慮.由三個一次方程組成，且含三個未知數(shù)的方程組，叫作三元一次方程組.三元一次方程組的解法：通過消元轉(zhuǎn)化成解二元一次方程組的問題，再消元轉(zhuǎn)化成解一元一次方程的問題.三元一次方程組6聯(lián)系：都是消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，最后求出方程組的解。區(qū)別：未知數(shù)和方程的個數(shù)不同。解三元一次方程組與解二元一次方程組有什么聯(lián)系和區(qū)別？解：x＝6－2y的正整數(shù)解有x=4，y=1，x=2，y=2；把x=4，y=1，x=2，y=2分別代入方程x－y＝9－3k，得k＝2或k＝3.

解：將4x－y=5和3x+y=9組成方程組，得4x－y=5，3x+y=9，x=2，y=3.解得將x=4，y=3代入方程ax+ay=－1，得2a+3b=－1，則(2a+3b)2017=－1.解：設(shè)方程●x＋●y＝22中x，y的系數(shù)分別為a，b，方程3x－●y＝8中y的系數(shù)為c，由題意，得方程組4a+2b=22，12－2c=8，a+6b=22.a=4，b=3c=2.解得所以原方程組為4x+3y=22，3x－2y=8.例5

某電視臺在黃金時段的2分鐘廣告時間內(nèi)，計劃插播長度為15秒和30秒的兩種廣告.15秒廣告每播1次收費0.8萬元，30秒廣告每播1次收費1.5萬元.若要求每種廣告播放不少于2次．(1)兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？(2)電視臺選擇哪種方式播放收益較大？解：（1）設(shè)15秒的廣告播放x次，30秒的廣告播放y次，則15x＋30y＝120.又因為每種廣告播放不少于2次，故該方程的解為x=2，y=3x=4，y=2.或故電視臺有兩種播放方式：15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次或15