曹楊中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．已知復(fù)數(shù)，則．

2．若數(shù)列為首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則．

3．已知二項(xiàng)式，其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．

4．已知是第二象限角，，則．

5．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則此拋物線的準(zhǔn)線方程是．

6．設(shè)為隨機(jī)變量，，若隨機(jī)變量的期望為2，則．

7．曲線在處切線的斜率是．

8．有一系列正方形，邊長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，表面積分別記為，則．

9．某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)題目的概率為．

10．給出下列4個(gè)命題：

（1）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；

（2）一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為15；

（3）已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差也是3；

（4）對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4．其中正確命題的序號(hào)為．

11．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為．

12．已知函數(shù),點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是．二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

13．設(shè)為非零向量，則＂存在，使得＂是＂＂的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

14．從含甲、乙在內(nèi)的5名同學(xué)中隨機(jī)選取3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則在甲被選中的條件下，乙也被選中的概率是（）.

A．B．C．D．

15．在中，已知，且，則的形狀為（）.

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個(gè)角為的直角三角形 D．等邊三角形

16．關(guān)于曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：

（1）曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不關(guān)于軸，軸對(duì)稱；

（2）曲線恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

（3）曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于；

（4）曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A．1B．2C．3D．4

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）

17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

如圖為正四棱柱，其中.

（1）求矩形繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積；

（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?/p>

18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足是正整數(shù)．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，如果對(duì)于任意正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

某班組織同學(xué)們?cè)隗w測(cè)前進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)、鉛球兩個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，已知個(gè)人總成績(jī)?yōu)閭€(gè)人各項(xiàng)目成績(jī)之和，立定跳遠(yuǎn)合格得60分，投擲鉛球合格得20分.否則不得分，此外只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)測(cè)試項(xiàng)目的成績(jī)合格后，才能進(jìn)行另一項(xiàng)測(cè)試．在這兩項(xiàng)測(cè)試中，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：（單位：名）項(xiàng)目順序個(gè)人總成績(jī)合格（人數(shù)）個(gè)人總成績(jī)不合格（人數(shù)）合計(jì)先立定跳遠(yuǎn)20828先投擲鉛球101626合計(jì)302454（1）分析能否有的把握認(rèn)為先立定跳遠(yuǎn)與個(gè)人總成績(jī)是否合格存在關(guān)聯(lián)？

（2）設(shè)甲同學(xué)立定跳遠(yuǎn)的合格率為0.75，投擲鉛球的合格率為0.8，且兩個(gè)項(xiàng)目是否合格相互獨(dú)立．若甲同學(xué)要使總成績(jī)的期望最大，那么他應(yīng)該先選哪個(gè)項(xiàng)目？說明理由．

附：，其中。20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓過點(diǎn)，離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的斜率為直線交橢圓于另一點(diǎn)，若的面積為2，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率的值；

（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)．求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知函數(shù)和.

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)的最大值和的最小值互為相反數(shù)，求的值；

（3）若對(duì)任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.（2）（3）；11.12.11．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為是上一點(diǎn)，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率為．

【答案】【解析】設(shè)在雙曲線的左支上，∵外接圓面積為，設(shè)外接圓的半徑為，令則的坐標(biāo)為即

代入雙曲線方程可得，由，可得，即有12．已知函數(shù),點(diǎn)是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，由，得，即

作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程為，切點(diǎn)為，則切線方程為，

將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程得，即，令函數(shù)，其中，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，

由，解得，則，

而函數(shù)的漸近線方程為設(shè)直線與的夾角為，設(shè)直線的傾斜角為，

則

結(jié)合圖形可知，．故答案為：．二、選擇題13.A14.B15.D16.B15．在中，已知，且，則的形狀為（）.

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一個(gè)角為的直角三角形 D．等邊三角形

【答案】D【解析】由和正弦定理可得，即,所以，由可得，又，所以，

所以，所以的形狀為等邊三角形故選：．16．關(guān)于曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：

（1）曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不關(guān)于軸，軸對(duì)稱；

（2）曲線恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

（3）曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于；

（4）曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于2．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意，關(guān)于曲線，對(duì)于（1），對(duì)于，有成立，即點(diǎn)也在曲線上，故曲線當(dāng)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于，方程不一定成立，方程不一定成立，故曲線不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，（1）正確；

對(duì)于（2），時(shí)，時(shí)，；．

則曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)，，故（2）不正確；

對(duì)于（3），，由于，即，則有,即，即曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于，（3）正確；

對(duì)于（4），當(dāng)時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，（4）錯(cuò)誤；正確的有（1）（3）．故選：B．三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略，（2）19.（1）存在關(guān)聯(lián)（2）立定跳遠(yuǎn)，因?yàn)槠谕?0．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓過點(diǎn)，離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的斜率為直線交橢圓于另一點(diǎn)，若的面積為2，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程；

（3）設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)．求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）（2）或．（3）證明見解析，定點(diǎn)．【解析】依題意，解得，，所以橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)，所以直線的方程為．

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，此時(shí)，所以直線的方程為．

當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，由消去并化簡(jiǎn)得

設(shè)，則所以則，解得（舍去）.

綜上所述，直線的方程為或．

（3）依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去并化簡(jiǎn)得，

則，

由，．

依題意可知直線的斜率存在，直線的方程為，

令，得，同理可求得，

所以，所以線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知函數(shù)和.

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)的最大值和的最小值互為相反數(shù)，求的值；

（3）若對(duì)任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范