第二講一第2課時1．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))表示的曲線是()A．直線 B．圓C．線段 D．射線解析：∵x＝cos2θ，x∈[0,1]，y＝sin2θ，∴y∈[0,1]，y＝1－cos2θ＝1－x.∴x＋y＝1，是一條線段．故選C.答案：C2．與參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t為參數(shù))等價的普通方程為()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1)C．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤y≤2) D．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)解析：x2＝t，eq\f(y2,4)＝1－t＝1－x2，∴x2＋eq\f(y2,4)＝1.而t≥0,0≤1－t≤1，得0≤y≤2且0≤x≤1.答案：D3．能化為普通方程x2＋y－1＝0的參數(shù)方程為()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint，,y＝cos2t)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ，,y＝1－tan2φ))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t)，,y＝t)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sin2θ))解析：對A，可化為x2＋y＝1(y∈[0,1])；對B，可化為x2＋y－1＝0；對C，可化為x2＋y－1＝0(x≥0)；對D，可化為y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．答案：B4．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ))(θ為參數(shù))所表示的曲線的普通方程為__________.解析：由于cos2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)5．將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t2＋\f(1,t2)))(t為參數(shù))化為普通方程為__________.解析：y＝t2＋eq\f(1,t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))2－2＝x2－2.又y＝t2＋eq\f(1,t2)≥2，故所求普通方程為x2－y＝2(y≥2)．答案：x2－y＝2(y≥2)6．化普通方程x2＋y2－2x＝0為參數(shù)方程．解：曲線過點(0,0)，可選擇(0,0)為定點，過這個定點的直線為y＝kx，選擇直線的斜率k為參數(shù)，不同的k值，對應著不同的點(異于原點)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＝0，,y＝kx.))故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0(舍去)或x＝eq\f(2,1＋k2).將x＝eq\f(2,1＋k2)代入y＝kx中，得y＝eq\f(2k,1＋k2).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,1＋k2)，,y＝\f(2k,1＋k2)))(k為參數(shù))是原曲線的參數(shù)方程．7．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)cos2t＋sin2t，,y＝cost＋sint))(t為參數(shù))表示的曲線()A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線y＝x對稱解析：方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)cos2t＋sin2t，,y＝cost＋sint，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)1－2sin2t＋sin2t＝\f(1,2)，,y＝\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,－\r(2)≤y≤\r(2).))它表示以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))為端點的線段，關于x軸對稱．答案：A8．已知直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))和圓x2＋y2＝16交于A、B兩點，則AB的中點坐標為__________.解析：直線的普通方程為y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)，代入圓的方程得x2－6x＋8＝0，設A、B兩點的坐標為(x1，y1)、(x2，y2)，則x1＋x2＝6，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3.∴eq\f(y1＋y2,2)＝3eq\r(3)－4eq\r(3)＝－eq\r(3).∴AB的中點坐標為(3，－eq\r(3))．答案：(3，－eq\r(3))9．將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明方程表示的曲線．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－3t，,y＝4t))(t為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋4cost，,y＝－2＋4sint))(t為參數(shù)，0≤t≤π)；(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ為參數(shù))；(4)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，,y＝\f(b,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))))(a、b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù))．解：(1)由已知t＝eq\f(1－x,3)，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一條直線．(2)∵0≤t≤π，－1≤cost≤1,0≤sint≤1，∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16.∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)，它表示的曲線是以(1，－2)為圓心，半徑為4的上半圓．(3)由y＝－1＋cos2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0.又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一條線段．(4)∵x＝eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，∴t>0時，x∈[a，＋∞)；t<0時，x∈(－∞，－a]．由x＝eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))兩邊平方可得x2＝eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋2＋\f(1,t2)))， ①由y＝eq\f(b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))兩邊平方可得y2＝eq\f(b2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－2＋\f(1,t2)))， ②①×b2－②×a2并化簡，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，這就是所求的曲線方程，它表示的曲線是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線．10．求方程4x2＋y2＝16的參數(shù)方程：(1)設y＝4sinθ，θ為參數(shù)．(2)若令y＝t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？若令x＝2t(t為參數(shù))，如何求曲線的參數(shù)方程？解：(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.由于參數(shù)θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))．(2)將y＝t代入方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，則x2＝eq\f(16－t2,4).∴x＝±eq\f(\r(16－t2),2).因此，方程4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(16－t2),2)，,y＝t))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(16－t2),2)，,y＝t))(t為參數(shù))．同理將x＝2t代入方程4x2＋y2＝16，得參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4\r(1－t2)))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝－4\r(1－t2)))(t為參數(shù))．11．(2012·福建高考)在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M、N的極坐標分別為(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ為參數(shù))．(1)設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關系．解：(1)由題意知，M，N的平面直角坐標分別為(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，故直線OP的平面直角坐標方程為y＝eq\f(