.5.2簡單的三角恒等變換基礎(chǔ)過關(guān)練題組一三角函數(shù)式的求值問題1.已知sin76°=m,則cos7°=()A.1?m2B.1+m22.已知x為第四象限角,且cosx=23,則tanxA.-55B.55C.53.若sinα+sinβ=33(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),則α-β等于A.-2π3B.-π3C.4.已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,則cos2α-cos2β=.

5.已知α為鈍角,β為銳角,且sinα=45,sinβ=1213,求tanα題組二三角函數(shù)式的化簡與證明問題6.若α為第二象限角,則1?2sinαA.1B.-1C.sinαD.cosα7.已知3π2<α<2π,則1+cosαA.-1sinαB.1sinα8.(多選題)下列各式的值為12的是A.sin7π6B.2sinπ12sinC.22cos9.(1)已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,sinA·cos2C2+sinCcos2A2=32sinB,求證:sinA+sin(2)證明:sinα+11+sinα+cosα=1題組三三角恒等變換的綜合應(yīng)用10.函數(shù)y=sinx1+cosA.π211.(教材習(xí)題改編)若3sinx-3cosx=23sin(x+φ),其中0<φ<2π,則φ=()A.2π3B.5π6能力提升練題組一三角函數(shù)式的求值問題1.2siA.-12B.12.已知tan(2023π+α)-1tan(2024π-α)=103,α∈π4,π2,A.-25B.-310C.-3.已知α-β=π6,tanα-tanβ=3,則cos(α+β)的值為A.12+33B.12-33C.13+4.已知sinπ6-x=725A.-175576B.175576C.5765.cos23°-cos67°+22sin4°·cos26°=()A.-22B.22C.-36.已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,求sin(α+β)題組二三角函數(shù)式的化簡與證明問題7.(多選題)下列式子化簡正確的是()A.sin8°sin52°-sin82°cos52°=1B.3cos15°-sin15°=2C.1?tan15°1+tan15°=D.1?cos30°2=8.若π2<θ<π,則1?sinθ-A.2sinθ2-cosθ2B.cosθC.cosθ2D.-cos9.在△ABC中,求證:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos題組三三角恒等變換的綜合應(yīng)用10.八角星紋是一種有八個均等的向外突出的銳角的幾何紋樣(如圖①所示),它具有組合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特點.有的八角星紋中間鏤空出一個正方形,有的由八個菱形組成,內(nèi)部呈現(xiàn)米字形線條.在如圖②所示的八角星紋中,各個最小的三角形均為全等的等腰直角三角形,中間的四邊形是邊長為2的正方形,在圖②的基礎(chǔ)上連接線段,得到角α,β,如圖③所示,則α+β=()A.30°B.45°C.60°D.75°11.我國數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù),求出圓周率π約為355113,是當(dāng)時世界上最精確的圓周率結(jié)果,直到近千年后這一記錄才被打破.若已知π的近似值還可以表示成4cos38°,則π16?A.18B.-112.設(shè)函數(shù)f(x)=mcos(x+α)+ncos(x+β),x∈R,若f(0)=fπ2=0,則A.對任意實數(shù)x,f(x)=0B.存在實數(shù)x,f(x)≠0C.對任意實數(shù)x,f(x)>0D.存在實數(shù)x,f(x)<013.已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是偶函數(shù),則3sinφ-2cosφ14.已知函數(shù)f(x)=sin2x·1?cosx1+cosx+(1)若角α的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與圓心在原點的單位圓的交點的橫坐標(biāo)為-35,求f(α)的值(2)若f11π12+β=-23,求15.在校園美化、改造活動中,某校決定在半徑為30m,圓心角為2π3的扇形空地OPE內(nèi)修建一個矩形的花壇ABCD,如圖所示,請你確定B點的位置,使花壇的面積最大,答案與分層梯度式解析5.5.2簡單的三角恒等變換基礎(chǔ)過關(guān)練1.B2.A3.D6.B7.C8.BD10.C11.D1.B根據(jù)誘導(dǎo)公式得sin76°=cos14°=m,易知cos7°>0,∴cos7°=1+cos14°2=1+2.A解法一:∵x為第四象限角,且cosx=23∴sinx=-1?cos2則tanx2=1?cosxsinx=-5解法二:因為x為第四象限角,所以x2是第二或第四象限角所以tanx2=-1?cosx1+cosx=-1?233.D由已知得2sinα+β2cosα-β2=33·-2sinα+β易得0<α+β2<π,-π2<α-β∴cosα-β2=33sinα-β2,即tanα-β4.答案m解析由已知得sin(α+β)·sin(β-α)=-sin(α+β)·sin(α-β)=cos2α-cos2β2=(2co5.解析因為α為鈍角,β為銳角,sinα=45,sinβ=1213,所以cosα=-35,cos所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-35×513+45×12解法一:因為π2<α<π,0<β<π所以0<α-β<π,所以0<α-β2所以cosα-β2=1+cos(α-βsinα-β2=1?所以tanα-β2=sin解法二:因為π2<α<π,0<β<π2,由cos(α-β)=3365,得sin(α-β)=1?cos所以tanα-β2=sin(α-6.B∵α為第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴1?2sinαcos=|sinα-cosα|cosα7.C由已知得3π4<所以tanα2所以1+cosα1?cosα+1?cosα=-cosα2sinα2+sinα2cos8.BD對于A,sin7π6=sinπ+π6=-sinπ6=-對于B,2sinπ12sin5π12=2sinπ12sinπ2-π12=2sinπ12·cosπ12對于C,原式=22cosπ12+22sinπ12=sinπ4cosπ12+cosπ4sinπ12=sinπ4+對于D,tanπ81?tan2π8=12·2tanπ81?tan29.證明(1)由sinAcos2C2+sinCcos2A2=32得sinA·1+cosC2+sinC·1+cosA2=即sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB,∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,∴sinA+sinC+sin(π-B)=3sinB,即sinA+sinC+sinB=3sinB,∴sinA+sinC=2sinB.(2)∵sinα=2sinα2coscosα=cos2α∴等式左邊=2tan=2tanα2=12tanα2+12名師點睛萬能公式:sin2α=2tanα1+tan210.Cy=sinx1+cosx=2sinx2cosx211.D因為3sinx-3cosx=23=23sinx-π6所以φ=-π6+2kπ,k∈Z又0<φ<2π,所以φ=-π6+2π=11π6.能力提升練1.A2.D3.D4.B5.B7.BD8.D10.B11.C12.A1.A2=1?cos250°?2cos15°cos55°?1=-cos(180°+70°)-2cos15°cos55°=cos70°?2cos15°cos55°=cos15°cos55°?sin15°sin55°?2cos15°cos55°=-cos15°cos55°-sin15°sin55°=-cos(55°-15°)2sin50°=-cos40°2sin50°=-12,2.D因為α∈π4,π2,又tan(2023π+α)-1tan(2024π-α)=tanα+1tanα=103,所以tanα=3因此2sin2α+π4+2cos2α=2×22sin2α+22·cos2α+2cos2α=sin2α+cos=2sinαcosα+cos2α3.D∵tanα-tanβ=3,且α-β=π6∴sinαcosα-sinβcosβ=sinαcosβ-cosα又α-β=π6,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=32,∴sinαsinβ=32∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=16-32+16=13-34.Bcosx-=cosx+π由sinπ6-x=725,得sin所以cosx+π3cos2x-π3=1-2sin2π6-x=1-2×7因此①式=72512×5276255.B解法一:∵cos23°=cos(45°-22°)=cos45°cos22°+sin45°sin22°,cos67°=cos(45°+22°)=cos45°cos22°-sin45°sin22°,sin(4°-26°)=sin4°cos26°-cos4°sin26°=-sin22°,sin(4°+26°)=sin4°cos26°+cos4°sin26°=sin30°,∴原式=2sin45°sin22°+2(sin30°-sin22°)=2sin22°+22-2sin22°=2解法二:cos23°-cos67°+22sin4°cos26°=-2sin23°+67°2sin23°?67°2+2[sin(4°+26°)+sin(4°-26°)]=2sin45°sin22°+2(sin30°-sin22°)=2sin22°+22-2sin22°6.解析因為cosα-cosβ=12所以-2sinα+β2sinα因為sinα-sinβ=-13,所以2cosα+β2sin易知sinα-β2≠0,由①②可得-tanα+β2=-32,所以tanα+β2=327.BDsin8°sin52°-sin82°cos52°=sin8°sin52°-cos8°cos52°=-cos(8°+52°)=-cos60°=-12,故A錯誤;3cos15°-sin15°=2×32cos15°-12sin15°=2(sin60°cos15°-cos60°sin15°)=2sin45°=2,故B正確;1?tan15°1+tan15°=tan45°?tan15°1+tan45°tan15°=tan30°=33,故C錯誤;1?cos30°2=2?34=4?238=3-18.D∵π2<θ<π,∴π4<θ2<π2,∴sin∵1-sinθ=sin2θ2+cos2θ2-2sinθ2cosθ2=sinθ2-cosθ∴1?sinθ-=sinθ2=sinθ2-cosθ2-sinθ29.證明由題意得A+B+C=π,故C=π-(A+B),則C2=π2-∴cosC2=cosπ2-證法一:sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)=2sinA2cosA2·2cos2B2+2sinB2cosB=4cosA2cosB2·=4cosA2cosB2cos證法二:sinA+sinB+sinC=2sinA+B2·=2sinA+B2·cosA-B=2sinA=2cosC2·2cosA2·=4cosA2cosB2cos10.B如圖所示,連接BC.在Rt△ABC中,BC=2,AC=6,則tanα=BCAC=1在Rt△DEF中,EF=2,DE=4,則tanβ=EFDE=1所以tan(α+β)=tanα+tanβ又α,β∈0,π4,所以α+β∈0,π2,所以α+β=π4=4511.C∵π≈4cos38°,∴π16?π=4cos38°×4sin38°cos14°=8sin76°cos14°=8cos14°cos14°=8,12.A∵f(0)=fπ2=0,∴mcosα+ncosβ=-msinα-nsinβ=0,∴mcosα=-ncosβ,msinα=-nsinβ,∴m2cos2α+m2sin2α=n2cos2β+n2sin2β,∴m2=n2,∴m=n或若m=n≠0,則cosα=-cosβ,sinα=-sinβ,故α=β+π+2kπ,k∈Z,則f(x)=mcos(x+β+π+2kπ)+mcos(x+β)=0,k∈Z;若m=-n≠0,則cosα=cosβ,sinα=sinβ,故α=β+2kπ,k∈Z,則f(x)=mcos(x+β+2kπ)-mcos(x+β)=0,k∈Z;若m=n=0,則f(x)=0.綜上所述,對任意實數(shù)x,f(x)=0.故選A.13.答案1解析因為f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2×sinx+π所以π4+φ=π2+kπ