2024-2025學年廣西欽州市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列與20。角終邊相同的角為（）

A.320°B.380°C.400°D.-310°

2.下列命題中正確的是（）

A.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形

B.直四棱柱是長方體

C.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐

D.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺

則s譏。+2cos8

3.已知tan。=2,=()

、cos0

A.4B.5C.6D.7

4.如圖，△AB。在平面直角坐標系中的斜二測直觀圖是△AB'。'，其中。'4=1,0，9=￥，貝)

A.1

B.2

C.<3

D.75

5.若cos（a+TT）=%且。＜aV7,貝!Jsin6一2兀）的值是（）

A2B2C@D一四

人5%1010

6.已知平面a截球。的截面面積為16兀，點。到平面a的距離為3,則球。的體積為（）

c400c500

A.300TTB.—7TC.2007TD.—7T

7.函數(shù)/(a)=Qsinacos2—4sina+sin2ct—cos2a的最大值為()

A.<2B.275D.3

8.如圖，已知四棱錐M-4BCD,底面4BCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱長相等且為4,E為CD的中點，則異

面直線CM與2E所成角的余弦值為()

Bi

*D?奈

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中,

9已知向量五=Q,1),b=(-1,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若五〃b,則久=—1B.若占1b,則％=2

C.若I初=4,貝h=2D.若,?b=3,則％=—1

10.已知在AZBC中，角a,B,C所對的邊分別為a,b,c,則根據(jù)下列條件能確定C為鈍角的是()

A.AC-~BC<0>1

tanA-tanB

C.A,B均為銳角，且si也4>cosBD.(a+b+c)(a+b—c)=ab

11.已知函數(shù)/(%)=sin(a)%+f)(3>0),則下列說法正確的是()

4

A.當3=1時，f(x)在(0,今上單調(diào)遞增

4

B.若，(%i)—f(%2)|=2,且以一12I的最小值為"，則函數(shù)f(%)的最小正周期為兀

C.若/(%)的圖象向右平移1個單位長度后，得到的圖象關于y軸對稱，則”的最小值為3

4

D.若/(%)在［0,兀］上恰有2個零點，則3的取值范圍為

44

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知扇形的圓心角為？半徑為2,則扇形的弧長是.

13.如圖，在測量河對岸的塔高力B時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個

測量基點。與D.現(xiàn)測得CD=20m,乙CBD=45°,乙CDB=60°,且在點C測得

塔頂力的仰角為30。，貝IJ4B=m.

14.如圖，正方體ZBCD-的棱長為2,N為名前的中點，若過冬。的平

面a〃平面CMDi，貝以截該正方體所得截面圖形的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知a,0都是銳角，sina=|,cosR=等.

(1)求tcm2a的值；

(2)求sin(a-0)的值.

16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosA+acosB=1.

⑴求c的值；

(2)已知6a=4b=3c,求△4BC的面積.

17.(本小題15分)

如圖，在△力8c中，D,F分別是BC,AC的中點，AE=fAD,AB=a,AC=b.

(1)用出不表示而，AE；

(2)求證：B,E,尸三點共線；

(3)若同=2,|瓦=3,48"=60。，求存?標的值.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(x)=AsinQa)x+0)(2＞0,6J＞0,\(p\＜今的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(久)的解析式；

(2)求函數(shù)人久)的圖象的對稱中心的坐標和對稱軸方程；

⑶當^6(-葭)時，方程/■(久)=2有兩個不相等的實數(shù)根“%2＞且打＜久2，求sin(久2-％i)的值.

19.(本小題17分)

如圖，在正三棱柱ABC—2/iG中，D,E分別是和力Q的中點.

(1)證明：平面AC】。_L平面ACC141；

(2)若4B=2,平面4G。與平面48C的銳二面角的余弦值為竽，求該三棱柱的體積.

A

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：滿足a=20°+360°fc(/cGZ)的角a與20。角終邊相同，

取k=1,a=380°,其他均不符合.

故選：B.

根據(jù)終邊相同的角的集合即可求解.

本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：對于選項4正四棱錐的側(cè)面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故選項A錯誤；

對于選項8,若直四棱柱的上下底面不是矩形，則不一定是長方體，故選項B錯誤；

對于選項C,以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓

錐，故選項C錯誤；

對于選項。，由圓臺定義可得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，故選項。

正確.

故選：D.

由正四棱錐，直四棱柱，圓錐，圓臺結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可得答案.

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎題.

3.【答案】A

2cos。

sin9+2cos6tan0+2.

【解析】解：由已知,cose

cosOcose

COS0

故選：X.

由正切與正弦，余弦函數(shù)關系可得答案.

本題主要考查同角三角函數(shù)間的基本關系，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：由題可得。4=1,OB=門，且乙4OB=90。,

所以48=V0A2+0B2=2.

故選：B.

OAX

根據(jù)題意，利用斜二測畫法的規(guī)則，得到。A=1,OB=且NAOB=90。，結(jié)合勾股定理，即可求解.

本題主要考查平面圖形的直觀圖，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：因為cos(a+兀)=$所以一cosa='可得cosa=-卷，

又因為sir?.上箸=小且加1°，》

所以如尹近=嚼，可得sin(>2兀)=$嗚=嚼-

故選：C.

根據(jù)誘導公式以及二倍角公式求解，即可得到sin6-2兀)的值.

本題主要考查三角函數(shù)的誘導公式與二倍角公式等知識，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解:平面a截球。的截面為圓，設圓的半徑為r,

因為平面a截球。的截面面積為16兀，

所以兀八=16兀，

解得r=4,

又點。到平面a的距離為3,

則球。的半徑為R=V32+r2=V32+42=5,

所以球。的體積為^兀&=弊兀.

故選：D.

求出截面圓的半徑，進而得到球。的半徑，得到球。的體積.

本題考查幾何體體積的計算，屬于基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：/(a)=Ssinacos2--4sina+sin2a—cos2a=4sina(2cos2-1)—cos2a

—4sinacosa—cos2a=2sin2a—cos2a=V_5sin(2a—<p),其中tcm。=

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的最大值，百

故選：C.

由題可將/'(a)化為VTsin(2a-0),其中=然后可得答案.

本題主要考查二倍角公式，輔助角公式的應用，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：已知四棱錐M-A8CD,底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱長相等且為4,E為CD的中點,

如圖，取4B的中點F,連接FC,FM,

因為底面4BCD是邊長為2的正方形，E是CD的中點，所以CF〃/1E,且CF=2E=怖，

所以異面直線CM與4E所成的角為NFCM,

四棱錐的側(cè)棱相等且為4,在中，由勾股定理得FM=，記，

在4MCF中，由余弦定理得cosNFCM=CF2+CM-FM2=5+勺5=咨,

2CF-CM2x<5x420

所以異面直線CM與4E所成角的余弦值為噤.

故選：D.

取4B的中點F,連接FC,FM,通過平移的方法，找出異面直線CM與力E所成角或其補角，然后解三角形

求得答案.

本題考查了異面直線所成角的計算，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：向量2=0,1),b=(-1,2),a//b,

貝！|2x=—1今x=—小故A錯誤；

因五1丸則一%+2=0今％=2,故B正確；

|a|=V%2+1=V-5=/=4='=±2,故C錯誤；

a-b=—x+2=3=>x=—1,故0正確.

故選：BD.

對于4由向量平行坐標表示可得答案；對于8,由向量垂直坐標表示可得答案；對于C,由向量模計算公

式可得答案；對于D,由向量數(shù)量積坐標表示可得答案.

本題主要考查向量的坐標運算，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：???前?就<0，.??萬?南<0,即cosC<0,.?.確定C為鈍角，故A選項正確;

,?,1、ycosA-cosB、

由---；---?>1=>^―；——>1,

tanA-tanBsinA-sinB

vsinA>0,sinB>0,.,?有cos/?cosB>sinA-sinB

=cosA-cosB—sinA?sinB>0=?cos(/+8)>0=cosC<0,

即可以確定C為鈍角，故8選項正確；

???4B均為銳角，且cosB=sin?—B),根據(jù)正弦函數(shù)在(0,今上單調(diào)遞增,

.??有4>]—B=a+B>]nC<》故C選項錯誤；

由(a+b+c)(a+b—c)=ab=(a+6)2—c2=aba2+b2—c2=—ab,

得COsC=a2q;c2=J=_J...C=?，故。選項正確；

2ab2ab23

故選：ABD.

利用向量的數(shù)量積可判斷4利用切化弦，結(jié)合余弦的兩角和公式可判斷8,利用誘導公式，結(jié)合正弦函數(shù)

的單調(diào)性可判斷C,利用余弦定理可求角C來判斷D.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解:當3=1時，/(x)=sin(x+當x6(0,1)時，x+j6(?<?);

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知在(0,5上單調(diào)遞增，故A正確；

若-/(%2)1=2,貝行(%1)與/(不)恰好是函數(shù)的最大值與最小值，

結(jié)合|%1-冷1的最小值為"，可知/(%)的最小正周期為2加，故5錯誤；

將f(%)的圖象向右平移今個單位長度后，

可得-J)=sin[to(%-7)+7]=sin(3%+[-竽)的圖象，

若該圖象關于y軸對稱，則標竿=1+時,kez,

所以3=—1—4fc/T(fcEZ),結(jié)合3>0,可得3之3,故C正確；

當％G[0㈤時，O)%+7E[J,37T+勺，

444

若/(%)在[0,初上恰有2個零點，貝吃7T<37T+￡<3兀n：<3V?，故。正確.

444

故選：ACD.

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷力選項的正誤；根據(jù)正弦函數(shù)的最值點與周期的關系判斷出B項的正誤；根據(jù)函

數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性建立關于3的等式，從而判斷出C項的正誤；根據(jù)正弦函數(shù)的

零點建立關于3的不等式，解出3的取值范圍，即可判斷出。項的正誤.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的平移變換、三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性等知識，屬于中

檔題.

12.【答案W

【解析】解：弧長為？X2=：

故答案為：會

根據(jù)弧長公式進行求解.

本題主要考查弧長公式，屬于基礎題.

13.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可知，CD=20m,/.CBD=45°,NCDB=60。，且在點C測得塔頂4的仰角為30。，

CDCB「口CDsinZ-CDB

在Vr*4BncCcDr+中t，由正弦定理，———=——-0CB=—r-,

smZ.CBDsmZ.CDBsmZ.CBD

則CB=20XS鬻。=2孚=10^m)又因在點c測得塔頂a的仰角為30。，

sin45±1

2

貝1J級=tan30°AB=CBtan30°=10<6x苧=10<2m.

CD3

故答案為：10，I.

由題及正弦定理可得CB,然后由在點C測得塔頂2的仰角為30呵得AB.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

14.【答案】2屏

【解析】解：根據(jù)題意可知，正方體ABCD的棱長為2,N為&&的中點，

如圖，取BC的中點E,的中點F,連接DE,B]E,BrF,FD,

因為E,F分別為BC,以為的中點,所以FD//B1N,FDr=B±N,

所以四邊形FD1NB1是平行四邊形，所以FB1//D1N,

又因為DiNu平面CND[,FB]u平面所以尸色〃平面

同理81E〃平面CNDi，

又B[ECFB]=B],B[E,FB】u平面FDE%,所以平面FDEB1〃平面

即四邊形FDEB]為a截正方體所得截面圖形.

由正方體的棱長為2,易得四邊形FDEB]是邊長為"的菱形，

對角線即為正方體ABC?！?/1GA的體對角線/。=735^22=2^3,

又EF=V22+22=2/2,

所求截面的面積S=1X2-\/-3X2y/~2=2y/~6.

故答案為：2，^.

取BC的中點E,&劣的中點F,先利用面面平行判定定理證明平面FDEBi〃平面CND],得出四邊形FDEB1

為a截正方體所得截面圖形，易得四邊形FOE%是菱形，求得該菱形的邊長即可求得面積.

本題考查了面面平行判定定理，屬于中檔題.

15.【答案】與

【解析】⑴因為a是銳角，且sina=|,所以cosa=V1-sin2a=

可得tana==p所以tan2a=-"加^_=§；

cosa4l-tanza7

(2)因為夕是銳角，且cos，=卷，所以sin/?=J1-cos2s=J)一；

可得sin(a一夕)=sinacosp—cosasin^=|xX=—番.

(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的關系求出汝九即然后由二倍角的正切公式算出答案;

(2)根據(jù)兩角差的正弦公式進行求解，可得sin(a-S)的值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關系等知識，屬于基礎題.

16.【答案】2；

3V15

16,

【解析】(1)因為bcosZ+acosB=y,

可得sinBcosZ+sinAcosB=?,

所以sin(/+B)=sinC=—,

因為sinC>0,

解得Rl,即c=2；

(2)由(l)6a=4b=3c=6,

解得Q=l,b=5,

g

所以COSB=&丁―匕1+4-4=11

2x1x2-16f

可得收B=J1—冷=雪，

所以△ZBC的面積S=|acsinB=|x1x2x斗現(xiàn)=之洋，

ZZlolo

(1)由正弦定理邊角互化結(jié)合題意可得答案;

□

(2)由(1)結(jié)合6a=4匕=3c,可得。=1,力=，，由余弦定理可得cosB,sinB,然后可得三角形面積.

本題考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的應用，屬于中檔題.

17.【答案】AF=^b,AE=|(a+K)；

證明見解答；

2.

【解析】(1)由D,F分別是BC,4C的中點，荏=|而,

可得方=|xc=|K,

2_,2—>1_>2_>1_>_,

AE=^AD=^(AB+2硝=^AB+^(AC-AB)

1

確-+

3-

(2)證明：由題意,

1K11K13

+-

EF=AF-AE2-3-6-3-

1BF=AF-AB=^b-a=3EF,

故而，前共線，又兩向量有公共點F,

故8,E,F三點共線；

⑶由同=2,\b\=3,ABAC=60°,

可得#.荏=/?停@+孫=^(a-b+b2)

11

X3X+2

6-2-

(1)根據(jù)向量的線性運算即可求解；

(2)證明三點所在的兩個向量共線即可；

(3)根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.

本題考查平面向量的線性運算及數(shù)量積運算，屬中檔題.

18.【答案】f(x)=|sin(2x+》；

對稱中心為(一3+*區(qū)0)，々eZ,對稱軸方程為％="+9兀,keZ；

2/2

【解析】⑴由題意得a",周期T滿足巨=號—芻解得丁=兀，

Z4o1Z

2Q

所以了7r=",解得3=2,/(%)=-sin(2x+^),

當久=看時，函數(shù)有最大值，可得，+9=3+2/c7i,/cEZ,

126Z

結(jié)合|9]<]取k=0得0=或所以/(X)=5sin(2支+9；

(2)令2久+與=6Z,解得x=—名+9兀/€Z,

故f(x)圖象的對稱中心為(一，+0),k6Z,

令2久+亨=1+k兀,kG.Z,解得久=專+gk兀，kEZ)

故f(x)圖象的對稱軸方程為X=^+1/C7T,fcez；

(3)由x€(—看,》可得2x+9e(0,兀),

令t=2x+g,te(0,兀)，由|si?it=T，可得sint=g,

結(jié)合題意得sim；=g在te(0,兀)上有兩個不相等的實數(shù)根t1、t2,

、7T11

=71

滿足0<t]<5<巧<兀，且L+h>sig=-,sint2=

x

因此12=兀一11,t]=2%1+=2—2X2+?解得—11=2%2+與一(2%1+5)=2(%2—l)，

171

所以sin。？—%i)=sin^^—sin，一口—cost±=J1-sin2tl=

(1)根據(jù)最大值求出振幅，根據(jù)周期算出3