專題1.1數(shù)軸與絕對(duì)值的幾何意義

?思想方法

數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)

問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、數(shù)軸的概念與畫法

1.數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

2.數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)。，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn),

②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向,從原點(diǎn)向左為負(fù)方向;

③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn),依次表示1,2,3,……；

從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1,-2,-3,.……

二、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

1.每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的二點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的二點(diǎn)；

2.一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是生個(gè)單位長(zhǎng)度；表示

-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊,與原點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度.

三、絕對(duì)值的幾何意義

一.或。一表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離。

?典例分析

【典例1】已知點(diǎn)4,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|a-6],比如式子

1%-3|表示有理數(shù)比的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離.

請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

(1)若a表示一個(gè)有理數(shù)，|a—1|=3,則口=.

(2)若a表示一個(gè)有理數(shù)，|a+l|+|a—2|的最小值=.

(3)在一工廠流水線上依次排列了幾個(gè)工作臺(tái)(工作臺(tái)在同一直線上)，第1個(gè)工作臺(tái)安排了2名工人，

其他每個(gè)工作臺(tái)安排了1名工人，現(xiàn)在要在流水線上設(shè)置一個(gè)工具臺(tái)，以方便這(n+1)名工人從工作臺(tái)到

工具臺(tái)拿取工具，為了讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請(qǐng)直接說(shuō)出工具臺(tái)設(shè)置在什么位置.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題.

(1)根據(jù)題意，由數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離為3的點(diǎn)的位置，即可獲得答案；

(2)根據(jù)題意，可知|a+l|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)—1的點(diǎn)之間的距離，|a-2|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與

表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，作出圖形，分情況討論，即可獲得答案；

(3)分別分析計(jì)算當(dāng)有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)應(yīng)放置的位置，找出規(guī)律，即可獲

得答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：根據(jù)題意，|a-l|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離，

如下圖，

AA'

-3-2-101234

若|a—1|=3,

?數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為表示有理數(shù)-2的點(diǎn)和表示有理數(shù)4的點(diǎn),

.".a=-2或4；

故答案為：-2或4；

(2)*.,|a+1|=|cz—(―1)|?

...|a+1|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)-1的點(diǎn)之間的距離，

又：|a-21表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，

/.當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)-1的點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21>3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)-1的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)-1的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)中間時(shí)，如下圖，

A

IIIIIIIII?

-1012

此時(shí)|a+11+|a-21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)2的點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a-21>3.

綜上所述，|a+1|+|a-2|的最小值=3.

故答案為：3；

(3)①如下圖，當(dāng)流水線上排列了2個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

—i------

工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為1；

②如下圖，當(dāng)流水線上排列了3個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

ill1A

A1A-2AT,

工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)與第2個(gè)工作臺(tái)之間任何位置(包括第1個(gè)和第2個(gè)工作臺(tái)的位置)，此時(shí)

工人們拿取工具所走路程之和最短，為3；

③如下圖，當(dāng)流水線上排列了4個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

II__________II?

A2Z344

工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為5；

④如下圖，當(dāng)流水線上排列了5個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

p

力1A2Z3A-4

工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)與第3個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第2個(gè)和第3個(gè)工作臺(tái)的位置），此時(shí)

工人們拿取工具所走路程之和最短，為8；

⑤如下圖，當(dāng)流水線上排列了6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

IIiII1A

4Ai4444

工具臺(tái)可設(shè)置在第3個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為11；

綜上所述，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)工作臺(tái)處；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第芋個(gè)和第等

個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第號(hào)個(gè)和第等個(gè)工作臺(tái)的位置）.

?學(xué)霸必刷

1.（23-24七年級(jí)上.甘肅張掖?階段練習(xí)）點(diǎn)4B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)42表示的數(shù)分別為-3、

1,若BC=2,貝!MC等于（）

A.6B.2C.3或6D.2或6

2.（2024七年級(jí).全國(guó)?競(jìng)賽）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、。對(duì)應(yīng)

的數(shù)分別是。、b、c、d,且d-2c=5,那么數(shù)軸上的原點(diǎn)應(yīng)是（）.

CABD

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

3.（23-24七年級(jí)上.陜西渭南.期末）如圖，已知點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）分別表示數(shù)1,-2x+3,

若數(shù)軸上表示數(shù)字5的點(diǎn)C到4和B的距離相等，貝卜的值為.

AB

—1-*34-------------------------------------------1—>

1-2x+3

4.（23-24七年級(jí)上?浙江溫州?期中）一把刻度尺的部分在數(shù)軸上的位置擺放如圖所示，若刻度尺上的刻度

“4cm”和“1cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的0和2,現(xiàn)將該刻度尺沿?cái)?shù)軸向右平移3個(gè)單位，則刻度尺上6.1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸

上的數(shù)為

I????I????I????I????I????I????I????I????I??i?I????Ia

02

5.（22-23七年級(jí)上?江西宜春?期中）在數(shù)軸上有P,M,N三點(diǎn)，點(diǎn)尸在點(diǎn)M左側(cè)，M,N兩點(diǎn)所表示的

數(shù)分別是1,-8,點(diǎn)尸到與點(diǎn)N其中一點(diǎn)距離等于點(diǎn)尸到另一點(diǎn)距離的2倍，則滿足條件的點(diǎn)尸所表

示的數(shù)是.

6.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）定義:數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).在數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為2020cm

的線段4B.

（1）某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm,求蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若將數(shù)軸的單位長(zhǎng)度改為2cm,求蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

7.（23-24七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面，若數(shù)軸上數(shù)1表示的點(diǎn)

與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上數(shù)-2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合，根據(jù)你對(duì)上述內(nèi)容的理解，解答下列

問(wèn)題：

-6-5-4-3-2-10123456

若數(shù)軸上數(shù)-4表示的點(diǎn)與數(shù)0表示的點(diǎn)重合.

（1）則數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

（2）若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，并且A,B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求B點(diǎn)表示的數(shù)；

（3）若數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)之間的距離為2022,并且M,N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，如果M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示

的數(shù)大，直接寫出M點(diǎn)，N點(diǎn)表示的數(shù).

8.（23-24七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春.階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度為1,2、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為相反數(shù);

IIJIIIJIII

AB

（1）點(diǎn)a表示的數(shù)是,點(diǎn)B表示的數(shù).

（2）數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P先向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)5個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)M,若點(diǎn)M表示的數(shù)是1,則

點(diǎn)P所表示的數(shù)是.

（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)4、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和0.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),

當(dāng)兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

①點(diǎn)力表示的數(shù)為；點(diǎn)8表示的數(shù)為.（用含t的式子表示）

②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)力、點(diǎn)B、點(diǎn)。三點(diǎn)之間恰好有一個(gè)點(diǎn)到其他兩個(gè)點(diǎn)的距離相等？

9.(23-24七年級(jí)上?江蘇南通?期中)綜合與與實(shí)踐:

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師拿出兩個(gè)單位長(zhǎng)度不同的數(shù)軸甲和數(shù)軸乙模型，如圖①，當(dāng)兩個(gè)數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)齊時(shí),

數(shù)軸甲上表示2的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示3的點(diǎn)恰好對(duì)齊.

數(shù)軸甲-5-4-3-2-1――~~3~4~

數(shù)軸乙-6-5-4-3-2-1~0~I~2~3~4~5~6

圖①

思考解答下列問(wèn)題：

(1)如圖①中，數(shù)軸乙上表示15的點(diǎn)與數(shù)軸甲上表示JI勺點(diǎn)對(duì)齊；

(2)將圖①中的數(shù)軸乙向左移動(dòng)，使得數(shù)軸乙的原點(diǎn)與數(shù)軸甲表示-2的點(diǎn)對(duì)齊，如圖②，

數(shù)軸甲力二二二一…》

數(shù)軸乙-6-5-4-3-2-I—0-i-2-L-56>

圖②

此時(shí)數(shù)軸甲上表示6的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示一的點(diǎn)對(duì)齊，數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)18個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)與數(shù)軸甲上表示.

的點(diǎn)對(duì)齊；

(3)若數(shù)軸甲上表示(九+2)的點(diǎn)與數(shù)軸乙上表示37n的點(diǎn)對(duì)齊，數(shù)軸乙上距離原點(diǎn)(3m+12)(6>0)個(gè)單

位長(zhǎng)度的點(diǎn)記作點(diǎn)P,數(shù)軸甲上與點(diǎn)P對(duì)齊的點(diǎn)記作點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q表示的數(shù).

10.(23-24七年級(jí)上?福建龍巖?階段練習(xí))閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)力、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,

則4B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|a-6].

ab

-----1-----------1----------->

AB

根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示8與-2的兩點(diǎn)之間的距離是.

(2)若忱+5|=3,貝k=；若|久—1|=|x+3|,則久=.

(3)反-l|+|x+3|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)的點(diǎn)到1和-3所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和.請(qǐng)你畫出數(shù)軸，寫出所

有符合條件的整數(shù)X,使得|久-1|+忱+3|=4.

(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則忱+504|+阿-1011|有最小值嗎?若有，請(qǐng)直接寫出最小值.若沒(méi)有，說(shuō)出

理由.

11.(23-24七年級(jí)上?福建三明?期中)已知數(shù)軸上有力、B、C三個(gè)點(diǎn)，分別表示有理數(shù)-24、-10、10,動(dòng)

點(diǎn)P從4出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.若用P4PB,PC分別表示點(diǎn)P與

點(diǎn)4、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離，試回答以下問(wèn)題.

--->

APBC

IIII_______I?

-24-10010

(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)，PA=,PB=,PC=；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P到點(diǎn)力、點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離：PA=,PB=,

PC=；

(3)經(jīng)過(guò)幾秒后，點(diǎn)P到點(diǎn)4、點(diǎn)C的距離相等？此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？

(4)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q從4點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后，再立即

以同樣速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)4在點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，P、Q兩點(diǎn)之間的距離能否為4個(gè)單位長(zhǎng)度？如果能，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P表示的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.(23-24七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))點(diǎn)4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4B兩點(diǎn)之間的距離表示

為AB,在數(shù)軸上48兩點(diǎn)之間的距離4B=\a-b\.

a0b

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：

(1)數(shù)軸上表示2和10兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示2和-10的兩點(diǎn)之間的距離是

(2)數(shù)軸上表示久和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為.

(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，|x-l|+|x+2|=5,則x=.

(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x-l|+|x+2|的最小值=.

(5)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則反一1|-比一2023|的最大值=.

13.(23-24七年級(jí)上?福建三明?階段練習(xí))數(shù)軸上有A,B,C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它

兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

例：如圖1所示，數(shù)軸上點(diǎn)A,8,C所表示的數(shù)分別為1,3,4,因?yàn)?B=3-1=2,BC=4-3=1,AB=

2BC,所以稱點(diǎn)8是點(diǎn)A,C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

ABC

______1111111A

-1012345

圖1

(1)如圖2所示，點(diǎn)A表示數(shù)-2,點(diǎn)B表示數(shù)1,下列各數(shù)2,4,6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是C/,C2,C3其中

是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是」

AB

II1IIIIIIIIIII>

-4-3-2-10123456789

圖2

(2)如圖3所示，點(diǎn)A表示數(shù)-10,點(diǎn)8表示數(shù)15,P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：

①若點(diǎn)尸在點(diǎn)B的左側(cè)，且尸是點(diǎn)A,B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；

②若點(diǎn)尸在點(diǎn)5的右側(cè)，點(diǎn)P,A,B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)尸表

示的數(shù).

AB

-----------------1----------------1--------------------------1——>

-10015

圖3

14.（23-24七年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”,

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式阿-2|的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)閨久+1|=比-（-1）|,所以|%+1|的幾何意義就是數(shù)軸上久所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)之間的距離.

（i）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式|久+1|+反-2|的最小值是多少？

（ii）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)4、B、P分別表示數(shù)一1、2、x,AB=3,

,?,|x+l|+|x-21的幾何意義是線段PA與PB的長(zhǎng)度之和，

當(dāng)點(diǎn)P在線段48上時(shí)，PA+PB^3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)4的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，P4+PB>3,

；.|x+l|+|x-2|的最小值是3,

APB

III____I______I1.1[I_____II>

-5-4-3-2-1~~0x12~34~~5^

請(qǐng)你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問(wèn)題：

-5-4-3-2-1~0~12~3_4~

解決問(wèn)題：

（1）直接寫出式子|x-3|+|x+2|的最小值是；

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式|x+a|+|x-4|的最小值是2；

（3）式子|x+3|+|x-l|+|x-5|的最小值是.

15.（23-24七年級(jí)上?吉林?期末）【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形

完美地結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)4點(diǎn)8表示的數(shù)分別為a,b,則4B兩點(diǎn)

之間的距離AB=\a-b\,線段4B的中點(diǎn)表示的數(shù)為一.

【問(wèn)題情境】數(shù)軸上點(diǎn)4表示的數(shù)為-4,點(diǎn)8表示的數(shù)為6,點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

數(shù)軸向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，Q到達(dá)4點(diǎn)后，再

立即以同樣的速度返回B點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P,Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

【綜合運(yùn)用】

AB

II.IIIl.lI“II

-5-4-3-2-101234567

（1）填空：A,B兩點(diǎn)間的距離4B=,線段4B的中點(diǎn)表示的數(shù)為；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，P,Q兩點(diǎn)間距離為3；

（3）若點(diǎn)M為AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)4點(diǎn)之前，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探索線段MN和4P的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

16.（23-24七年級(jí)上?陜西西安?期中）數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)很重要的工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美

結(jié)合.研究數(shù)軸我們可發(fā)現(xiàn)許多重要的規(guī)律：

①絕對(duì)值的幾何意義：一般地，若點(diǎn)A、點(diǎn)8在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,那么A、8兩點(diǎn)之間的距離

表示為|a-b|,記作力B=|a-b|,|3-1|則表示數(shù)3和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；又如

|3+1|=|3-（-1）1，所以|3+1|表示數(shù)3和-1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；

②若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b,那么線段4B的中點(diǎn)〃表示的數(shù)為等.

請(qǐng)借用數(shù)軸和以上規(guī)律解決下列問(wèn)題：

如圖，己知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),分別表示的數(shù)為-10,6,點(diǎn)尸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿

數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度從點(diǎn)8出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一

個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒?>0）.

AOB

—?----------------------------------1----------1—?

-1006X

（1）A、8兩點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；線段4B的中點(diǎn)M所表示的數(shù)為；

（2）點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)/秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)/秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為.（用

含t的式子表示）

（3）P、。兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)多少秒會(huì)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度？

（4）在點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，O、P、。三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出此時(shí)

f的值.

17.(23-24七年級(jí)上.遼寧鞍山?階段練習(xí))我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”,

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.在數(shù)軸上點(diǎn)4、B分別表示數(shù)a、b.4、B兩點(diǎn)間的距離可以用符

號(hào)表示，利用有理數(shù)減法和絕對(duì)值可以計(jì)算力、B兩點(diǎn)之間的距離|4B|.

例如：當(dāng)a=2,6=5時(shí)，|4例=5-2=3；

當(dāng)a=2,6=—5時(shí)，|4B|=|-5—2|=7；

當(dāng)a=-2,b=—5時(shí),\AB\=|—5—(―2)|=3.

綜合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)4、8之間的距離|/例=仍-a|(也可以表示為|a-b|).

請(qǐng)你根據(jù)上述材料，探究回答下列問(wèn)題：

(1)表示數(shù)a和-2的兩點(diǎn)間距離是6,則。=；

(2)如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于一4和3之間，則|a+4|+|a-3|=；

(3)代數(shù)式|a-l|+|a-2|+|a-3|的最小值是多少？

(4)如圖，若點(diǎn)B、C、。在數(shù)軸上表示的有理數(shù)分別為a、b、c、d,則式子|a-％|+|%++|%-c|+

|%+d|的最小值為(用含有a、b、c、d的式子表示結(jié)果).

ABCD

-----?----?----------?-----?--------?——>

abc0d

18.(23-24七年級(jí)上?重慶南岸?期中)閱讀：已知點(diǎn)4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,6,4B兩點(diǎn)之間的距離

表示為48=|a—6].理解與實(shí)踐：

(1)數(shù)軸上點(diǎn)P代表的數(shù)是x,數(shù)軸上表示9的點(diǎn)到點(diǎn)P之間的距離是(用含x的式子表示)；

(2)|久+7|可表示為點(diǎn)P到表示數(shù)的距離；若|久+7|=3,則刀=；

(3)代數(shù)式|x—2|+|x+6|的最小值是；

(4)若(|久+2|+|x—l|)(|y-3|+|y+2|)=15,則的最大值是______.

拓展與延伸：

數(shù)軸上三個(gè)不重合的點(diǎn)M,N,P,若M,N,P三個(gè)點(diǎn)中，其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系

時(shí)，我們稱這個(gè)點(diǎn)是其他兩個(gè)點(diǎn)的“倍分點(diǎn)”.已知點(diǎn)M代表的數(shù)是-5,點(diǎn)N代表的數(shù)是13,若點(diǎn)P是其他兩

個(gè)點(diǎn)的“倍分點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù).

19.(22-23七年級(jí)上?湖南懷化?期中)閱讀下列材料：

我們知道|a|的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|=|a-0|也就是表示數(shù)。與數(shù)0的兩點(diǎn)

之間的距離，|a-b|表示數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)6的兩點(diǎn)之間的距離.

---------1--------1-----------------1----------->

0ab

例1.己知|x|=2,求x的值.

解：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)是為-2和2,即無(wú)的值為-2和2.

例2.已知|久一1|=2,求尤的值.

解：在數(shù)軸上與1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)為3和-1,即尤的值為3和-1.

依照閱讀材料的解法，完成下列各題：

(1)若|%|=3,則％=，若|x+2|=4,則乂=；

(2)|x+l|+|x—2|的最小值是,若|x+l|+|x—2|=5,則％=；

(3)代數(shù)式+11|+|x-3|+|x-51的最小值為；

(4)求代數(shù)式|x-1|+|x-2|+|x-3|+???+\x-100|的最小值.

20.（23-24七年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）我們知道，⑷可以理解為|a-0],它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義.進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A,B,分別用數(shù)a,b表示，那么4,B兩

點(diǎn)之間的距離為MB|=反過(guò)來(lái)，式子|a-b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)和表示數(shù)b的點(diǎn)之

間的距離.

（1）利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是.

②數(shù)軸上表示x和—1的兩點(diǎn)力和B之間的距離是,如果|4B|=2,那么x為.

（2）探索規(guī)律：

①當(dāng)|x-l|+|x-2|有最小值是.

②當(dāng)|x-l|+|x-2|+|x-3|有最小值是.

③當(dāng)-l|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值是.

（3）規(guī)律應(yīng)用：

工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E、F、G、H、I,一只配件箱應(yīng)該

放在工作臺(tái)處，能使工作臺(tái)上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是米.

（4）知識(shí)遷移：

|x+4|—-5|最大值是,最小值是.

專題1」數(shù)軸與絕對(duì)值的幾何意義

?思想方法

數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)

問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一/

一、數(shù)軸的概念與畫法

1.數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

2.數(shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)。，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn),

②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向,從原點(diǎn)向左為負(fù)方向;

③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位旨度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1,2,3,……；

從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1,-2,-3,….…

二、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

1.每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的二點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的二點(diǎn)；

2.一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是生個(gè)單位長(zhǎng)度；表示

-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊,與原點(diǎn)的距離是生個(gè)單位長(zhǎng)度.

三、絕對(duì)值的幾何意義

或表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離。

?典例分析

【典例1】已知點(diǎn)4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,力、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|a-6],比如式子

1%-31表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離.

請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

(1)若a表示一個(gè)有理數(shù)，|a—1|=3,則＜1=.

(2)若a表示一個(gè)有理數(shù)，上+1|+|￡1-2|的最小值=.

(3)在一工廠流水線上依次排列了n個(gè)工作臺(tái)(工作臺(tái)在同一直線上)，第1個(gè)工作臺(tái)安排了2名工人，

其他每個(gè)工作臺(tái)安排了1名工人，現(xiàn)在要在流水線上設(shè)置一個(gè)工具臺(tái)，以方便這5+1)名工人從工作臺(tái)到

工具臺(tái)拿取工具，為了讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請(qǐng)直接說(shuō)出工具臺(tái)設(shè)置在什么位置.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題.

(1)根據(jù)題意，由數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離為3的點(diǎn)的位置，即可獲得答案；

(2)根據(jù)題意，可知|a+l|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)一1的點(diǎn)之間的距離，|a-2|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與

表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，作出圖形，分情況討論，即可獲得答案；

(3)分別分析計(jì)算當(dāng)有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)應(yīng)放置的位置，找出規(guī)律，即可獲

得答案.

【解題過(guò)程】

(1)解：根據(jù)題意，|a-1|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離,

如下圖，

AA'

-3-2-101234

若|a—1|=3,

???數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為表示有理數(shù)-2的點(diǎn)和表示有理數(shù)4的點(diǎn),

.'.a=-2或4；

故答案為：-2或4；

(2)'/|a+1|=|a—(―1)|,

|a+1|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)-1的點(diǎn)之間的距離，

又|a-2|表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)-1的點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21>3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)-1的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，

A

II1IIIII,

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)-1的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)中間時(shí)，如下圖，

A

III「IIIII,

-1012

此時(shí)|a+11+|cz—21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，

A

IIIII〕II,

-1012

此時(shí)|a+11+|a-21=3,

當(dāng)表示有理數(shù)a的點(diǎn)在表示有理數(shù)2的點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖，

A

-1012

此時(shí)|a+11+|a—21>3.

綜上所述，|a+l|+|a-2|的最小值=3.

故答案為：3；

（3）①如下圖，當(dāng)流水線上排列了2個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

—i------

幺142

工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為1；

②如下圖，當(dāng)流水線上排列了3個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

III________I?

4A2A3

工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)與第2個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第1個(gè)和第2個(gè)工作臺(tái)的位置），此時(shí)

工人們拿取工具所走路程之和最短，為3；

③如下圖，當(dāng)流水線上排列了4個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

II________II?

41，24344

工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為5；

④如下圖，當(dāng)流水線上排列了5個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

IillII>

J4,2Z344745

工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)與第3個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第2個(gè)和第3個(gè)工作臺(tái)的位置），此時(shí)

工人們拿取工具所走路程之和最短，為8；

⑤如下圖，當(dāng)流水線上排列了6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，

P

I________IIII1A

4A2AT,A4454

工具臺(tái)可設(shè)置在第3個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為11；

綜上所述，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)工作臺(tái)處；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第手個(gè)和第等

個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第詈個(gè)和第等個(gè)工作臺(tái)的位置）.

?學(xué)霸必刷

1.（23-24七年級(jí)上?甘肅張掖?階段練習(xí)）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、8表示的數(shù)分別為-3、

1,若BC=2,貝Me等于（）

A.6B.2C.3或6D.2或6

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了數(shù)軸，滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，解題的關(guān)鍵是分類討論.

要求學(xué)生分情況討論A,B,C三點(diǎn)的位置關(guān)系，即點(diǎn)C在線段48內(nèi)，點(diǎn)C在線段2B外.

【解題過(guò)程】

解:此題畫圖時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即點(diǎn)C在線段內(nèi)，點(diǎn)C在線段48外，所以要分兩種情況計(jì)算.

點(diǎn)4、B表示的數(shù)分別為-3、1,

AB=4.

第一種情況：在線段外，

ABC

—?--i-------------1-------------1-------------1------------i------------1------------i----------1->

-4-3-2-101234

4C=4+2=6；

第二種情況：在線段4B內(nèi)，

ACB

—?-----------?-------------1------------i------------1------------?------------1-------------1----------1->

-4-3-2-101234

AC=4-2=2.

故選：D.

2.（2024七年級(jí).全國(guó).競(jìng)賽）如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距|個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、。對(duì)應(yīng)

的數(shù)分別是4、b、c、d,且d-2c=5,那么數(shù)軸上的原點(diǎn)應(yīng)是（）,

CABD

A?點(diǎn)AB?點(diǎn)5C?點(diǎn)CD.點(diǎn)￡）

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；由圖可知C與。之間相隔7個(gè)單位，即d-

c=3.5,根據(jù)d—2c=5,求的c,然后求得a=0,即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

解：?.（與D之間相隔7個(gè)務(wù)位，

CO相距7=3.5,

???d—c=3.5,即壯=3.5+c

d—2c=5,

???3.5+c—2c=5,

解得：c=—1.5,

?*.a=-1.5+-x3=0,

2

1

b=-1.5+-x4=0.5,

2

d=-1.5+-x7=2,

2

???原點(diǎn)在為點(diǎn)A.

故選：A

3.（23-24七年級(jí)上?陜西渭南?期末）如圖，已知點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）分別表示數(shù)1,-2%+3,

若數(shù)軸上表示數(shù)字5的點(diǎn)C到4和B的距離相等，則比的值為.

AB

—1------------------------------------------------------1—?

1-2x+3

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵.

由數(shù)軸上表示數(shù)5的點(diǎn)C到2和B的距離相等得到5-1=|5-（-2x+3）|,解得x=1或x=-3,由點(diǎn)2在點(diǎn)

B的左邊可以得到x=-3.

【解題過(guò)程】

解：???數(shù)軸上表示數(shù)5的點(diǎn)C到4和B的距離相等，

***5-1=|5—（—2%+3）|,

整理得：4=|2+2%|,

???2+2%=4或2+2%=-4,

解得：x=1或久=-3

???點(diǎn)”在點(diǎn)B的左邊，

???x=—3,

故答案為：—3.

4.（23-24七年級(jí)上.浙江溫州.期中）一把刻度尺的部分在數(shù)軸上的位置擺放如圖所示，若刻度尺上的刻度

“4cm”和“1cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的0和2,現(xiàn)將該刻度尺沿?cái)?shù)軸向右平移3個(gè)單位，則刻度尺上6.1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸

上的數(shù)為.

543210

__III,,,,II,,,,1,,,,I,,,,I____

02

【思路點(diǎn)撥】

通過(guò)兩點(diǎn)間的距離比求出數(shù)軸上刻度“6.1cm”與刻度“4cm”之間的距離，進(jìn)而求刻度“6.1cm”在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的數(shù)

及符號(hào)，最后通過(guò)“左加右減”即可求解.

本題主要考查了數(shù)軸與刻度尺，解題關(guān)鍵是求出一個(gè)單位長(zhǎng)度代表多少厘米.

【解題過(guò)程】

解:因?yàn)榭潭瘸呱系目潭取?cm”和“1cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的0和2,

二刻度尺上刻度“6.1cm”與刻度，4cm”之間的距離是6.1-4=2.1cm,是刻度尺上刻度“1cm”與刻度“4cm”之

間的距離的三=0.7倍；

4-1

而數(shù)軸上刻度“4”和“1”之間的數(shù)軸距離是2-0=2,

所以數(shù)軸上刻度“6.1cm”與刻度“4cm”之間的距離是2x0.7=1.4,由于刻度“6.1cm”在數(shù)軸0的左邊，屬于負(fù)

數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的數(shù)應(yīng)為—1.4,—1.4向右平移3個(gè)單位后為-1.4+3=1.6.

故刻度尺上6.1cm對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為1.6.

故答案為：1.6.

5.（22-23七年級(jí)上?江西宜春?期中）在數(shù)軸上有尸，M,N三點(diǎn)，點(diǎn)尸在點(diǎn)M左側(cè)，M,N兩點(diǎn)所表示的

數(shù)分別是1,-8,點(diǎn)尸到與點(diǎn)N其中一點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到另一點(diǎn)距離的2倍，則滿足條件的點(diǎn)尸所表

示的數(shù)是.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查數(shù)軸的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用掌握分類討論思想，以及兩點(diǎn)間的距離表示方法.

利用分類討論思想，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)且PM=2PN時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為3用代數(shù)式表示出PM,PN的

長(zhǎng)度，即可求出點(diǎn)P所表示的數(shù)；當(dāng)點(diǎn)尸在線段MN上時(shí)且PN=2PM時(shí)，用代數(shù)式表示出PM,PN的長(zhǎng)度，即

可求出點(diǎn)P所表示的數(shù)；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的左邊時(shí)，那只有PM=2PN,用代數(shù)式表示出PM,PN的長(zhǎng)度，

即可求出點(diǎn)P所表示的數(shù).

【解題過(guò)程】

解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為t,當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)且PM=2PN時(shí)，如圖所示,

NPM

----1-------1---------------1----->

=8t1

,：M,N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是1、-8,

PN=t-(-8)=t+8,PM=l-t,

???PM=2PN,

t+8=2(1—t),

解得：t=—2；

當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)且PN=2PM時(shí)，如圖所示，

NPM

----1---------------1-------1----->

=8t1

1—t=2(t+8),

解得：t——5；

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的左邊時(shí)，那只有PM=2PN,如圖所示，

PNM

---------1-------11>

t=8-----1

?**1—t=2(—8—t),

解得：1=_17；

故點(diǎn)P表示的數(shù)為-2,-5或-17.

故答案為：-2,-5或—17.

6.(24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí))定義:數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).在數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為2020cm

的線段4B.

(1)某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm,求蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若將數(shù)軸的單位長(zhǎng)度改為2cm,求蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用.對(duì)于多解問(wèn)題要注意分類討論.

(1)以線段2B的端點(diǎn)與數(shù)軸上的整點(diǎn)是否重合進(jìn)行討論可得結(jié)論.

(2)先用48+2,得出48相當(dāng)于多少個(gè)單位，再進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)論.

【解題過(guò)程】

解：(1)..?數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm,AB=2020cm,

若點(diǎn)A與一整點(diǎn)重合，則B點(diǎn)也與一整點(diǎn)重合，兩點(diǎn)之間有2019個(gè)整點(diǎn).

線段共蓋住了2021個(gè)整點(diǎn).

若點(diǎn)A不與整點(diǎn)重合，則點(diǎn)B也不與整點(diǎn)重合，兩點(diǎn)之間有2020個(gè)整點(diǎn).

綜上，線段2B蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2021或2020個(gè).

(2)4B+2=1010(個(gè)單位)，

若點(diǎn)A與一整點(diǎn)重合，則B點(diǎn)也與一整點(diǎn)重合，兩點(diǎn)之間有1009個(gè)整點(diǎn).

...線段4B共蓋住了1011個(gè)整點(diǎn).

若點(diǎn)A不與整點(diǎn)重合，則點(diǎn)2也不與整點(diǎn)重合，兩點(diǎn)之間有1010個(gè)整點(diǎn).

綜上，線段2B蓋住的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10H或1010個(gè).

7.(23-24七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖)，折疊紙面，若數(shù)軸上數(shù)1表示的點(diǎn)

與數(shù)-1表示的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上數(shù)-2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合，根據(jù)你對(duì)上述內(nèi)容的理解，解答下列

問(wèn)題：

」」」［」」」」」」」」」

-6-5-4-3-2-10123456

若數(shù)軸上數(shù)-4表示的點(diǎn)與數(shù)0表示的點(diǎn)重合.

(1)則數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

(2)若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，并且A,8兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求8點(diǎn)表示的數(shù)；

(3)若數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)之間的距離為2022,并且M,N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，如果M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示

的數(shù)大，直接寫出M點(diǎn)，N點(diǎn)表示的數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)數(shù)軸上數(shù)一4表示的點(diǎn)與數(shù)。表示的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)-2對(duì)稱，3-(-2)=5,而-2-5=-7即可解答；

(2)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A表示的數(shù)為5或-5,然后分A表示的數(shù)為5或-5兩種情

況分別求出B點(diǎn)表示的數(shù)即可；

(3)依據(jù)M、N兩點(diǎn)之間的距離為2022,并且M、N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，M點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)

大，即可得到M點(diǎn)表示的數(shù).

【解題過(guò)程】

(1)解：因?yàn)閿?shù)軸上數(shù)—4表示的點(diǎn)與數(shù)0表示的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)—2對(duì)稱，3-(—2)=5,而—2-5=—7,所以數(shù)

軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)-7表示的點(diǎn)重合.

答案：一7

(2)解：由題意知：點(diǎn)A表不的數(shù)為5或—5,

因?yàn)锳,B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，

所以當(dāng)點(diǎn)A表示-5時(shí)，B點(diǎn)表示1；當(dāng)點(diǎn)A表示5時(shí)，B點(diǎn)表示-9,

所以8點(diǎn)表示的數(shù)是-9或1.

(3)解：N兩點(diǎn)之間的距離為2022,并且M,N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，

A-2+jx2022=1009,-2-iX2022=-1013,

又???”點(diǎn)表示的數(shù)比N點(diǎn)表示的數(shù)大，

點(diǎn)表示的數(shù)是1009,N點(diǎn)表示的數(shù)是-1013.

8.(23-24七年級(jí)上.吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))如圖，數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度為1,4B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為相反數(shù);

1111A

AB

(1)點(diǎn)4表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù).

(2)數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P先向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)5個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)M,若點(diǎn)M表示的數(shù)是1,則

點(diǎn)P所表示的數(shù)是.

(3)在數(shù)軸上，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)4、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和0.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),

當(dāng)兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).

①點(diǎn)2表示的數(shù)為；點(diǎn)8表示的數(shù)為.(用含t的式子表示)

②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)力、點(diǎn)B、點(diǎn)。三點(diǎn)之間恰好有一個(gè)點(diǎn)到其他兩個(gè)點(diǎn)的距離相等？

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度與時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的

感覺(jué).

(1)根據(jù)4B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為