2025屆高三數(shù)學(xué)高考二輪專題復(fù)習(xí)：等式與不等式應(yīng)用題專練

1.婁底四中校內(nèi)有塊空地，為美化校園環(huán)境，學(xué)校決定將空地建成一個小花園，市園林公

司中標(biāo)該項目后須購買一批機器投入施工，據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤v（單位：萬元）

與運轉(zhuǎn)的時間無（單位：年）的函數(shù)關(guān)系為y=—x2+14x-4（xW13,xeN）.

（1）當(dāng)這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

（2）當(dāng)運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？

2.你參與一場游戲，游戲一共100局，你的起始分?jǐn)?shù)為。分；每局游戲勝利加一分，失敗

扣一分.已知每局勝利與否相互獨立，第左局中你勝利的概率為幺左=1,2,…,100）,記第，局

結(jié)束后你的得分為s“，若51。。=。且……，品）0中恰有51個數(shù)大于0,則稱這是一場完美

游戲.

⑴寫出邑的分布列；

（2）設(shè)y=S1S2+s2s3+…+S99S100.

（i）若這是一場完美游戲，求丫的最小值加；

（ii）若事件“這是一場完美游戲且￥=〃/發(fā)生的概率為尸，證明：尸〉百片.

3.美國國家海洋和大氣管理局（NOAA）最近發(fā)布的一則預(yù)測引發(fā)全球關(guān)注：預(yù)計在2024年

6月，拉尼娜現(xiàn)象極有可能卷土重來；但盡管其可能帶來短暫冷卻，卻不足以逆轉(zhuǎn)全球變暖

的趨勢.某企業(yè)欲生產(chǎn)一款防暑降溫套裝，其每月的成本（單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：

①固定成本（與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量無關(guān)）：20萬元；

②生產(chǎn)所需材料成本：+萬元，口單位：萬套）為每月生產(chǎn)產(chǎn)品的套數(shù).

（1）該企業(yè)每月產(chǎn)量x為何值時，平均每萬套的成本最低？每萬套的最低成本為多少？

（2）若每月生產(chǎn)x萬套產(chǎn)品，每萬套售價為：［30+1］萬元，假設(shè)每套產(chǎn)品都能夠售出，則

該企業(yè)應(yīng)如何制定計劃，才能確保該套裝每月的利潤不低于625萬元.

4.某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入的成本為C（x）.當(dāng)年

產(chǎn)量不足80千件時，C（x）=1x2+10x（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，

C（%）=5k+W則-1450（萬元）.每件商品的售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的

x

商品能全部售完.

（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

5.閃存（FlashMemory）是一種非易失性電子存儲器，能夠在斷電后保持存儲的數(shù)據(jù)不丟

失.它由許多小的電容構(gòu)成，通過高電壓供電來寫入數(shù)據(jù)，具有高信息密度、大量讀寫、隨

機存取時間短等特點.幾乎所有的電子設(shè)備都依賴于閃存，包括智能手機、筆記本電腦、臺

式機等.鑒于目前閃存的市場行情，某閃存封裝公司擬對產(chǎn)能進(jìn)行調(diào)整，已知封裝閃存的固

定成本為300萬元，每封裝x萬片，還需要C(x)萬元的變動成本，通過調(diào)研得知，當(dāng)x不

超過120萬片時，C(X)=0.1X2+180X；當(dāng)x超過120萬片時，(?(元)=205+型巴-1350,

封裝好后的閃存顆粒售價為200元/片，且能全部售完.

⑴求公司獲得的利潤”元)的函數(shù)解析式；

(2)封裝多少萬片時，公司可獲得最大利潤？

6.現(xiàn)有足夠長的“乙”型的河道，如圖所示，寬度分別為5m和5晶，若經(jīng)過點A拉一張網(wǎng)

EF,開辟如圖的直角/用于養(yǎng)魚，設(shè)NOEF=8.

(2)求養(yǎng)殖面積SAEOF的最小值，及此時的。值;

（3）若分別以AE,AP為直徑制作兩個圓形的遮陽蓬，求兩遮陽蓬面積和的最小值.

7.“綠色出行，低碳環(huán)保”已成為新的時尚，近幾年，國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，

在汽車行業(yè)提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前

景.某新能源沉車配件公司為擴大生產(chǎn)，計劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年

固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x（xeN*）萬件，需另投入成本G（x）萬元，且0<x<30時，

32000

G（^）=W+1600x；當(dāng)x230時，G（x）=2020%+-.........6000,由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每

件的售價為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

（1）年利潤y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關(guān)系式（利潤=銷售收入-成本）；

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬件時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

8.某科研單位的研究人員對某種細(xì)菌的繁殖情況進(jìn)行了研究，在培養(yǎng)皿中放入了一定數(shù)量

的細(xì)菌，經(jīng)過1小時細(xì)菌的數(shù)量變?yōu)?2個，再經(jīng)過2小時細(xì)菌的數(shù)量變?yōu)?7個，并發(fā)現(xiàn)該

細(xì)菌的個數(shù)增長的速度越來越快.現(xiàn)該細(xì)菌數(shù)量y（單位：個）與經(jīng)過時間x（xeN,單

位：小時）的關(guān)系有以下兩個函數(shù)模型可供選擇：①>②

y=pG+q（p>丹.

（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

（2）求開始時放入的細(xì)菌的數(shù)量，并求至少經(jīng)過幾個小時該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時的

100000倍.（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.3010,1g3ao.4771）

9.為了節(jié)能減排，某企業(yè)決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備，并接入本企業(yè)的電

網(wǎng).安裝這種供電設(shè)備的費用〉（單位：萬元）與太陽能電池板的面積無（單位：平方米）成

正比，比例系數(shù)為0.5.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.設(shè)在此

模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費C（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積

k-X2

--------,0<x<10,

X（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系是c（x）=2,（左為常數(shù)）.已知太陽能電

---------,x>10

[15x+75

池板面積為4平方米時，每年消耗的電費為9.2萬元，記尸（x）（單位：萬元）為該企業(yè)安裝

這種太陽能供電設(shè)備的費用與該企業(yè)15年所消耗的電費之和.

⑴求常數(shù)上的值；

⑵寫出尸（%）的解析式；

（3）當(dāng)x為多少平方米時，F(xiàn)（x）取得最小值?最小值是多少萬元？

10.在遼闊的中華大地上，農(nóng)村的醫(yī)療服務(wù)一直是國家關(guān)注的焦點,隨著時代的進(jìn)步和社會

的發(fā)展，國家正致力于提高農(nóng)村醫(yī)療服務(wù)水平，以保障廣大農(nóng)民的健康權(quán)益.某公司為了滿

足市場需求，進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃自主研發(fā)新型基礎(chǔ)型CT機.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年

固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為200臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G(x)萬元，且

%2-2x,0<x<80

G（x）=<52900.由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為150萬元，且

151x+-----------6200,80<x<200

x+80

全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

(1)寫出年利潤W(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)解析式.(利潤=銷售

收入一成本)

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，該公司所獲年利潤卬(力最大？最大年利潤是多少？

11.春節(jié)期間，“旅游潮”、“探親潮”將為交通帶來巨大壓力.已知某火車站候車廳，候車人

數(shù)與時刻f有關(guān)，時刻f滿足0VV24,feN.經(jīng)觀察，當(dāng)16W24時，候車人數(shù)達(dá)到滿廳

人數(shù)5000人，當(dāng)?！?6時，候車人數(shù)相對于滿廳人數(shù)減少，減少人數(shù)與《16-/)成正比.已

知r=6時，候車人數(shù)為3800人，記候車廳候車人數(shù)為了?）.

⑴求的表達(dá)式；

（2）鐵路系統(tǒng)為了體現(xiàn)“人性化”管理，每逢整點時，會給旅客提供免費面包，數(shù)量為

p=/（r）-3000+600＞求f為何值時，需要提供的免費面包數(shù)量最少.

t

12.已知某線路運行的地鐵發(fā)車時間間隔/（單位：分鐘）滿足：2VY20.經(jīng)測算，該地

鐵每班平均載客人次P”）（單位：人次）與發(fā)車時間間隔/滿足:

1200-10（10-r）2,2<Z<10

。⑺=

1200,10<r<20

⑴計算p（10）的值，并說明其的實際意義;

⑵若該線路每分鐘的凈收益為。=的⑺-3360_360（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多

少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求最大凈收益.

13.某市區(qū)一家裝修公司計劃在市區(qū)外租賃一塊地建造倉庫，經(jīng)過考查得知，每月的占地費

2（x）（單位：萬元）與公司到倉庫的距離x（單位：千米）成反比，每月的運輸費4（力（單

位：萬元）與2x+l成正比.若倉庫離公司10千米，則P（x）和4（x）的值分別為L5萬元和

6.3萬元.

⑴求每月的占地費和運輸費的總費用/（X）;

（2）分析倉庫建在距離公司多少千米處時，這兩項的總費用最小，并求出這個總費用的最小

值.

14.2024年8月12日，為期16天的巴黎奧運會落下帷幕，回顧這一屆奧運會，中國元素

在這里隨處可見.這個盛夏，“中國智造”不僅為巴黎奧運會注入了新動力，也向世界展示了

中國向“新”而行的活力，讓人們在享受比賽的同時，感受到中國發(fā)展的脈搏.巴黎奧組委的

數(shù)據(jù)顯示，本屆奧運會80%的吉祥物產(chǎn)自中國.據(jù)調(diào)查，國內(nèi)某公司出售一款巴黎奧運會吉

祥物，需要固定投入300萬元費用.假設(shè)購進(jìn)該款產(chǎn)品全部售出.若以80元的單價出售，可售

出15萬件，且每降價1元，銷量增加五千件.若購進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量不超過30萬件，則經(jīng)銷商

按照每件30元成本收費；若購進(jìn)30萬件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行銷

售，此時利潤P（x）（萬元）與銷量x（萬件）的關(guān)系為P（x）=-x黑+1000.

⑴當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是多少？

（2）寫出利潤W（x）萬元關(guān)于購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量x（萬件）的函數(shù)解析式？（利潤=銷售收入-成本）

（3）購進(jìn)并銷售產(chǎn)品多少萬件時，利潤最大？此時利潤是多少？

15.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需增加投入成本為C(x)

萬元.當(dāng)年產(chǎn)量不足9萬件時，CGhgv+ioox；當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬件時，

C(x)=510%+^-1300.通過市場分析，每件產(chǎn)品售價定為500元，且該廠年內(nèi)生產(chǎn)的

產(chǎn)品能全部銷售出去，獲得的年利潤為L(x)萬元.(利潤=銷售收入一總成本)

⑴求年利潤”x)的函數(shù)解析式；

(2)求年產(chǎn)量x為多少時，該廠的年利潤L(x)最大？

16.曾經(jīng)的廣告詞“喝臨川貢酒，揚才子豪情''響徹大半個中國.如今再次重新出發(fā)，撫州市

打造以產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)振興文化撫州.臨川貢酒公司決定將一款高端貢酒大量投放市場，已知臨川

貢酒公司生產(chǎn)此款高端貢酒年固定研發(fā)成本為120萬元，每生產(chǎn)一瓶此高端貢酒需另投入

380元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該款高端貢酒x萬瓶且全部售完，每萬瓶的銷售收入為卬萬

500-2x,0<x<20

x

⑴寫出年利潤S（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬瓶）的關(guān)系式：（利潤=銷售收入-成本）

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬瓶時，該公司這款高端酒獲得的利潤最大，并求出最大利潤.

17.根據(jù)市場調(diào)查，某供應(yīng)商某產(chǎn)品的售價定為x元時，銷售量可達(dá)到（32-0.2x）萬件.已

知該產(chǎn)品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分.其中固定價格為40元/件，浮動價格

（單位：元/件）與銷售量（單位：萬件）成反比，比例系數(shù)為20.假設(shè)不計其他成本，即

銷售每件產(chǎn)品的利潤=售價-供貨價格.

（1）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價定為80元時，求該供應(yīng)商銷售該產(chǎn)品可獲得的總利潤；

（2）該產(chǎn)品的售價定為多少元時，單件產(chǎn)品的利潤最大？并求出該最大值.

18.已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺，每臺設(shè)備的售價為80萬元.記該企業(yè)生

產(chǎn)x（xcN*）臺設(shè)備需要投入的總成本為S（x）（單位：萬元），且

x2+20%+400,0<x<40,

5（%）=14400假設(shè)生產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完.

84%+----------1300,40<%<70.

（1）求利潤/（X）（單位：萬元）關(guān)于生產(chǎn)臺數(shù)X的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺設(shè)備時

的利潤（利潤=銷售額-成本）;

(2)當(dāng)生產(chǎn)多少臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元?

19.如東大潤發(fā)超市因宣傳需要，在自動扶梯AC(AC>5米)的C點的上方懸掛豎直高度

為5米的廣告牌OE.如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度

=30.福佑崇文閣趙老師在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角=

(為方便起見，本題中將人視為點，不考慮人的身高)

(1)設(shè)2C的長為機米，用機表示tan/ZMB；

(2)若趙老師在A點時，觀測到視角皿場的正切值為且，求扶梯AC的長；

9

(3)在(2)的條件下，當(dāng)趙老師在扶梯上觀察廣告牌的視角。最大時，求CP的長.

20.某小區(qū)準(zhǔn)備在小區(qū)內(nèi)建造一個收發(fā)室，利用其一側(cè)已有的墻體，建造一間高3米，底面

積為20平方米，且背面靠墻的長方體形狀的收發(fā)室.由于收發(fā)室的背面靠墻體，無需建造

費用.針對這個情況，甲公司給出了如下建造報價：屋子前面新建墻體的報價為500元每平

方米，屋子左右側(cè)面新建墻體的報價為200元每平方米，屋頂和地面以及其他共報價7500

元，設(shè)屋子的左右側(cè)面長均為x(l<x<10)米.

(1)當(dāng)屋子的左右側(cè)面長x為多少時，屋子的建造總價最小，最小為多少？

(2)現(xiàn)有乙公司參與競標(biāo)，其給出的建造總報價為3001ax+?-a+j元，若無論左右側(cè)面的

長為多少，乙公司的報價都不超過甲公司，試求。的最大整數(shù).

《2025屆高三數(shù)學(xué)高考二輪專題復(fù)習(xí)：等式與不等式應(yīng)用題專練》參考答案

1.(1)第7年時，可獲得最大利潤45萬元

⑵2

【分析】(1)對已知的二次函數(shù)配方可求得結(jié)果；

(2)設(shè)這批機器的年平均利潤為Z,則2=)=-了-3+14=14-「+&]且然后利用基本不

XXyX)

等式可得其最大值.

【詳解】(1),=-/+14X一4=-(*-7『+45,故當(dāng)x=7時，了取得最大值，最大值為45,

所以這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤45萬元；

(2)記年平均利潤為Z,則Z=I=_x_3+14=14-(x+3]wi4_2、f^lO

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=2時，等號成立.

x

2.⑴見解析.

(2)(i)m=4(ii)見解析.

【分析】(1)要求S3的概率分布，需分析前三局的勝負(fù)情況，并計算對應(yīng)的概率值；

(2)(i)主要用到題目中的“完美游戲”的定義，然后一步步大量計算求得丫的最小值；

(ii)分析得邑1=1#=1,2,...,50,再設(shè)r=》，計算4和4的表達(dá)式即可.

【詳解】(1)S3表示玩完前3局后的得分,

S3的可能的值為:S3=3;S3=1;S3=-1.

分別求得概率為:

J.

P（=3）=—x—x—=

v371236

11

尸區(qū)=1)=—x—=

232

P（S.=-l）=lx—x—+0x—x—+Ox—x—=—

v3）2323233

所以S3的分布列為

S331-1

尸⑻￡￡1

6~23

(2)(i)首先證明：S”邑，…，&o中必有大于1的，

否則其中有51個1,必有相鄰兩項同時為1,這是不可能的.

因此，設(shè)印邑,…，幾。中的最大值為S,,則5々2.

又見$+R0?=l,2,...,99.

因止匕丫257凡+與5小W4.

當(dāng)工=1,$2=2,Szj=1,S21fc=0，左=2,3,…,50時取等，

所以y的最小值機=4.

(ii)由⑴知，取等必有S,=2,SkSk+1=0,k^t-l,t.

因此可。，…，九。中只有一個數(shù)大于1,共有50個1；

又S]=1,5100=0,所以S2k_l=l,k=1,2,...,50.

設(shè)t=2/,則/=1,2,...,49,那么鬣=0,心/.

設(shè)事件｛邑1=1，%=1，2,...,50｝的概率為P,,

事件｛昆-=1,%=。，笈=1，2,…,50｝的概率為6,

F_，1J_1315O21L111X__L_LJ___

0234569910012八34八56）（99100/2461002x12x22x32x50250250!

121

T7p_2/2/+1p_21p

乂1~27-11°12/-盧.

2121+1

(2498、1

因此所求概率尸=片+呂+-+七?+/J6>(2+48)片=50此=/廠.

3.(l)x=20萬套時，每萬套的最低成本為12萬元；

(2)該企業(yè)至少要生產(chǎn)30萬套，才能確保該套裝每月的利潤不低于625萬元.

r20

【分析】(1)根據(jù)已知有平均每萬套的成本>=10+士+3,應(yīng)用基本不等式求最小值;

20x

(2)由題設(shè)得到蘭+20%-202625,解一元二次不等式求解，即可得結(jié)論.

20

【詳解】（1）由題設(shè)，平均每萬套的成本y=10+二+改210+2,二?至=12,

當(dāng)且僅當(dāng)％=20萬套時取等號，平均每萬套的成本最低為12萬元/萬套；

22

Xrr

（2）由題設(shè)，該套裝每月的利潤為7（x）=x（30+元）一（10x+三）-20=20x+三一20,

丫2

所以/（X）=去+20x-202625,可得V+400%-12900=（%-30）（%+430）>0,

所以xN30,即該企業(yè)至少要生產(chǎn)30萬套，才能確保該套裝每月的利潤不低于625萬元.

4.(l)L(x)=<

1200-,x>80.

（2）100千件，1000萬元

【分析】（1）根據(jù)已知條件列出函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)函數(shù)解析式分別求分段函數(shù)的最值，0<x<80時利用二次函數(shù)求最值，x280時

利用基本不等式求最值即可.

【詳解】（1）因為每件商品售價為0.05萬元，

所以x千件商品的銷售額為0.05xl000x=50x（萬元）.

依題意得當(dāng)0<尤<80時，L（x）=50x-1x2-10x-250=-1x2+40A-250；

當(dāng)xN80時，￡（%）=50%—5宜一^^+1450—250=1200—[尤+^^]

’12“c八cc

——x+40x—250,0<x<80

(2)當(dāng)0<x<80時，

1

L(^)=--(^-60)92+950

當(dāng)x=60時，乙(x)取得最大值乙(60)=950(萬元).

當(dāng)x280時，L(x)=1200-1x+1(K^)<1200-=1200-200=1000.

當(dāng)且僅當(dāng)彳=幽2,即X=1OO時，L(x)取得最大值1000萬元.

由于950<1000,所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時,

該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元.

—0.1尤2+20x—300,0<尤4120,xeN

5.⑴￡（x）=，

25600，2、T*

-x------------F1050,x>120,xeN

（2）160萬片

【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于x的分段函數(shù)即可；

（2）分成兩種情況分別求出最值，再比較大小即可.

【詳解】（1）當(dāng)0<xV120,xeN*時，

￡（%）=200%-300-（0.1%2+180x）=-O.lx2+20x-300,

當(dāng)x>120,x6N"時，

L（x）=200.x-300-^201x+^^-1350^=-x-^^+1050,

-0.lx2+20尤一300,0<尤W120,尤eN*

故L（x）=125600.；

-x----------+1050,x>120,尤eN

.x

（2）當(dāng)0<xV120,xeN*時，L（x）=-0.1x2+20x-300,

20

函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=-1J=100,

-0.1x2

故"x）的最大值為"1。。）=-1。00+2000-300=700（萬元）；

當(dāng)x>120,xeN"時，

+1050<-2.

當(dāng)且僅當(dāng)苫=言:即x=160時等號成立，故L(x)的最大值為730(萬元),

因為730>700,所以封裝160萬片時，公司可獲得最大利潤.

6.(1)20；

(2)面積最小值為506，。=9；

（100+50⑹兀

【分析】(1)過點A作A8,AC垂直于垂足為民C,解三角形求AE,A尸，由此可

得結(jié)論；

(2)解三角形求3瓦CP,表示S^EOF，利用基本不等式求其最小值，并確定取最小值條件;

(3)解三角形求AE,AF,表示兩個遮陽蓬面積和，結(jié)合平方關(guān)系，巧用基本不等式求最小

值可得結(jié)論.

【詳解】(1)過點A作AB,4c垂直于0A08,垂足為8,C,

則AB=OC=5,AC=OB=55ZOEF=ZCAF=6,

所以4石=四~=二一,4尸=AC5「

sin?sindCOS0cos0

sin6cos。I2)

(2)BE==-^—,CF=ACtan6?=5V3tan6>,

tan。tan。

所以O(shè)E=O8+BE=5/+^-,OF=OC+CF=5+5V^tane,

tan。

所以SEOF=10￡-0F=1x(5V3+-^jx(5+5V3tan6?)

=-x|5073+75tan6i+^-|>-x5073+2j75tan6?-^-

2Itan。J2IVtan6?J

=1x(50百+5073)=5073

當(dāng)且僅當(dāng)75tane=m；,即tane=3,e=四時取等號,

tan。36

所以養(yǎng)殖面積SFOF的最小值為506,及此時的。=9

(3)因為4石=叁=工,4月=工=邁，

sin。sin。cos。cos。

設(shè)兩遮陽蓬面積和為s,

信+磊）

71

萬+$￥）性而。+43叫

4

7i「sc25cos2。75sin2。)兀/25cos2^75sin26^

41sin?。cos2^J4[Vsin?。cos2^)

100+50V3hi

4

當(dāng)且僅當(dāng)胃鬻:2!等,即tan心■時取等號■

100+50@兀

所以兩遮陽蓬面積和的最小值為

4

—1Ox?+400%-2000,0<x<30

7.⑴y=<32000

4000-20%----------,x>30

x-10

(2)50；2200

【分析】（1）由題意，分0cx<30和xN30兩種情況求利潤;

（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及基本不等式即可求解.

【詳解】（1）由題意可知y=2000x-G（x）—2000,

當(dāng)0<x<30時，y—2000%—(10x~+1600x)—2000=—10x2+400.x—2000,

當(dāng)x230時，>=2000尤-[2020%+型型-6000|-2000=4000-20%-型型，

Ix-10)x-10

-10%2+400%-2000,0〈尤<30

所以年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)的關(guān)系式為y=<32000”

4000—20x----------,了之30

Ix-10

(2)當(dāng)0cx<30時，y=-10x2+400x-2000--10(x-20)2+2000,開口向下，

所以當(dāng)x=20時，ymax=2000；

當(dāng)x?30時，y=4000-20%-^^=3800-1-20(x-10)+^^

x-10[_x-10

<3800-2^20(x-10)x^^=2200,

當(dāng)且僅當(dāng)20（x-10）=W3900￡0即x=50時，等號成立，此時幾以=2200,

X—1U

因為2000<2200,

所以，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為50萬件時，公司所獲年利潤最大，利潤最大為2200.

X

8.(l)y=8x1|IGN

(2)開始時放入的細(xì)菌的數(shù)量為8個，至少經(jīng)過29個小時該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時的

100000倍.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的增長速度比較即可得模型，代入數(shù)值即可待定出參數(shù)；

(2)由題意列出指數(shù)不等式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)由指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)函數(shù)圖象可知：

>=如工(左>0,。>1)的增長速度越來越快，y=p?+4(p>0)的增長速度越來越慢，

依題意選函數(shù)y=(左>0M>1)更適合，

C3

則有[k偏a—=1227,解得a=.—七即ix(月3Y”N.

K—o

(2)令％=0,則y=8,即開始時放入的細(xì)菌的數(shù)量為8個，

>8x100000,

1g1000005

x>log3100000=?28.39,

2Ig3-lg20.4771-0.3010

：xeN,.?.至少經(jīng)過29個小時該細(xì)菌的數(shù)量多于開始放入時的100000倍.

9.(1)200

31

——x92+—x+150,0<x<10

⑵尸(彳)=<42

8001

H---X,X>10

、x+52

⑶當(dāng)X為35平方米時，尸(X)取得最小值，最小值是37.5萬元

【分析】(1)由C(4)=9.2可得出關(guān)于左的等式，即可解得上的值；

(2)分OWxWlO、x>10兩種情況討論，根據(jù)尸(x)=15C(x)+0.5x可得出函數(shù)b⑺的解

析式；

(3)求出函數(shù)尸(x)在OVxVIO、x>10時的最小值，比較大小后可得出結(jié)論.

k-42

【詳解】⑴依題意得，C（4）=9.2,所以=9.2,角軍得女=200,故左的值為200.

20

200-x2

,0<x<10

（2）依題意可知尸（x）=15C⑺+0.5x,又由（1）得，C（x）=.；20

800

,x>10

」5x+75

當(dāng)OWxWlO時,

F(x)=15C(x)+0.5x=15x200-.r+0-5X=_1X2+1X+150)

2042

8001

當(dāng)x>10時,歹(x)=15C(x)+0.5x=15x-+--0----.--5-x"H---X,

15x+75x+52

31

——X2?+-X+150,0<X<10

42

所以*x）h

8001s

-------1—x,x>10

屋+52

31

(3)當(dāng)04九?10時，Q(%)=-a尤?+/%+150,

因為尸（X）在o,1上單調(diào)遞增，在1，10上單調(diào)遞減,

所以*x)1nto="10)=80；

當(dāng)無＞10時,

j、8001800x+55小幽x2-37.5,

/⑴=-----+—x=------+------------>2.

'7x+52x+522x+522

800x+5

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=35時等號成立,

x+52

所以網(wǎng)％,=37.5；

又80>37.5,故“%=375

答：當(dāng)X為35平方米時，尸（X）取得最小值，最小值是37.5萬元.

—x^+152x—400,0<xW80

10.(l)W(x)=>52900

-x----------+5800,80<x<200

x+80

(2)150臺，5420萬元

【分析】（1）根據(jù)投入成本及銷售收入寫出利潤函數(shù)即可;

（2）分段分別利用二次函數(shù)配方法和基本不等式求最值，再比較大小得解即可.

【詳解】(1)當(dāng)0vx<80時，W(x)=150x-(x2-2x)-400=-x2+152x-400；

當(dāng)80K200時，鞏加出一回+普一62吁400

52900

~~X~x+SO+5800,

-f+152%-400,0<x<80

則卬3=--逑型+58。。,8?！妗?。.

[x+80

(2)當(dāng)0<xV80時，W(x)=f2+152x-400=-(x-76)2+5376,

當(dāng)x=76時，W(x)111ax=5376萬元.

當(dāng)80<xW200時，=尤+80+^^]+5880

VX+80)

I52900

<-2(x+80)---------+5880=5420萬元.

AV，x+80

當(dāng)且僅當(dāng)1+80=吆529050，即x=150時，上式等號成立.

又5420>5376,則當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為150臺時，

該公司所獲年利潤最大，最大年利潤是5420萬元.

()、

““)",).=[[50005-2000f0(1,(61-6r).^,204<)r<16-….)

⑵f=10

【分析】(1)依題意設(shè)得了⑺的解析式，代入"6)=3800,確定參數(shù)"即得/⑺的表達(dá)

式；

(2)根據(jù)分段函數(shù)解析式，分別利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求其最值并比較即得.

【詳解】(1)依題意,當(dāng)0</<16時，設(shè)/(f)=5000-磯16T),

因/⑹=3800,解得人=20,

5000-20/(16-?),(0</<16)

QN)

5000,(164r424)

(2)當(dāng)0<t<16,

p_5000-20r(16-f)-3000(

+600=20Z+—+280>20x2,x—+280-680

當(dāng)且僅當(dāng)t=10時等號成立；

當(dāng)164<24時，2=迎匕理四+600=2四+600在［16,24］上為減函數(shù)，故得

2000

P>+600^683.

24

又683>680,所以當(dāng)好10時，需要提供的面包數(shù)量最少.

12.(1)^(10)=1200,答案見解析

（2）當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，每分鐘的凈收益最大，每分鐘的凈收益最大為120元

【分析】（1）根據(jù)的解析式代入求得?。0）,其意義為間隔時間的載客量.（2）將。⑺的解

析式代入即可求得。的解析式.根據(jù)基本不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性可求得收益的最大值及取

得最大收益時的間隔發(fā)車時間.

【詳解】（1）由函數(shù)的解析式可得：^（10）=1200,

其實際意義是：當(dāng)?shù)罔F的發(fā)車時間隔為10分鐘時，地鐵載客量為1200,這也是地鐵的最大

載客量;

(2)①當(dāng)2"<10時，e=7200-60(10-/)--3360_360=

36

-60/+—+8404一60x12+840=120當(dāng)且僅當(dāng)［=型，即/=6時，等號成立,

②當(dāng)1。<”2。時，

6=6X1200-3360_360=3840_36Q^3840_360=24

tt10

當(dāng)且僅當(dāng)/=10時等號成立,

故當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該線路每分鐘的凈收益最大，每分鐘的凈收益最大為120

元.

1533

13.(1)/(^)=-+-^+右（尤>°）

10

（2）倉庫建在距離公司5千米處時，這兩項的總費用最小，最小值為6.3萬元

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得總費用/'（尤）的表達(dá)式.

（2）利用基本不等式求得最小值.

k

【詳解】（1）由已知可設(shè)P（x）=；,^（X）=^2（2X+1）,

因為當(dāng)x=10時，p（%）和夕⑴的值分別為1.5和6.3,

所以1.5=6，6.3=（20+1）,解得尢=15,&=5，

所以〃無）="+小2x+l）,即"x）="+/+q（x>0）.

X1UXD1U

（2）因為尤>0,所以"+3尤22、/"2》=6,

x5Vx5

當(dāng)且僅當(dāng)is爐=3三尤，即％=5時，等號成立，

x5

15Q3

所以+而26.3,

故倉庫建在距離公司5千米處時，這兩項的總費用最小，最小值為6.3萬元.

14.（1）200（萬元）；

50x-300,0<x<15

⑵W（x）=卜2爐+80x-300,15<%<30;

-x-^29_+ioo030

Ix+10

⑶當(dāng)x=40（萬件）時，利潤最大，此時利潤是910（萬元）

【分析】（1）根據(jù)題意和已知條件代入求解即可；

（2）對x進(jìn)行分類討論寫出W（x）的解析式；

（3）對無分類討論寫出各段函數(shù)的最大值進(jìn)行比較.

【詳解】（1）（80-30）x10-300=200（萬元）.

所以當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是200萬元.

（2）當(dāng)0<xV15時，W（%）=（80-30）x-300=50%-300,

當(dāng)15<xV30時，不妨設(shè)降價f元，購進(jìn)產(chǎn)品全部售出，

則15+0.5/=x,得到f=2x—30,

所以W（X）=[80-（2X-30）]X-30X-300=-2X2+80X-300,

當(dāng)x>30時，W（無）=一尤一空9+1000,

''x+10

50x—300,0<x<15

所以W（x）=1-2尤2+80x-300,15〈尤W30.

一.2^22_+1000了>30

[x+10

（3）由（2）知，當(dāng)xW15時，W（x）=50x—300,

當(dāng)x=15（萬件），利潤最大，此時利潤是450（萬元），

當(dāng)15<xV30時，W（x）=一2寸+80%-300=—2。-20y+500,

當(dāng)x=20（萬件），利潤最大，此時利潤是500（萬元）,

當(dāng)x>30時，

W(x)=-龍一^-^+1000=-(x+10)2500+1010<-2(x+10)-250°+1010=910

H---------x

x+10''x+10W'(x+10)

當(dāng)且僅當(dāng)x+10=至2,即(x+IO)?=2500,

x+10

當(dāng)x=40（萬件）,利潤最大，此時利潤是910（萬元）,

因為910>500>450,所以當(dāng)x=40（萬件）時，利潤最大，此時利潤是910（萬元）.

-------X2+400X-300,0<X<9

3

15.⑴L(x)=,

一10無一1()0()+1000,尤29

X

(2)6萬件.

【分析】（1）根據(jù)題意，分0Vx<9、xN9求對應(yīng)解析式，再寫出其分段函數(shù)形式;

（2）在不同分段上，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出對應(yīng)的最值，再比較大小

即可得最大利潤對應(yīng)的產(chǎn)量X.

【詳解】(1)當(dāng)0Wx<9時，〃尤)=500x-1與V+100尤］一300=—華尤2+400%—300,

當(dāng)xN9時，L(x)=5OOx151Ox+M2_i3Oo］一3OO=-1OX-W22+IOOO,

IXJX

--x2+400x-300,04尤<9

-3

所以L(x)=<；

1000

-10x--------+1000,%>9

、了

(2)當(dāng)04%v9時，"%)=——(x—6)2+900,

所以當(dāng)％=6時，””取得最大值，最大值是900萬元,

當(dāng)xZ9時，L(x)=1000-10^x+—j<1000-10x2^x--=800,

當(dāng)且僅當(dāng)x=圖,即x=10時等號成立，

X

所以當(dāng)x=10時，“尤）取得最大值，最大值是800萬元,

因為900>800,所以，年產(chǎn)量為6萬件時，該廠年利潤L（x）最大.

-2x2+120%-120,0<x<20

(

16.(l)Sx)=<-10.x-^=^+2020,%>20

X

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為25萬瓶時，該公司獲得的利潤最大為1520萬元.

【分析】（1）分。<x<20、x>20兩種情況討論，結(jié)合利潤=銷售收入一成本可得出年利潤

S(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬瓶)的關(guān)系式;

(2)利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出S(x)在0<xW20時的最大值，利用基本不等式求出函

數(shù)S(x)在20時的最大值，比較大小后可得出結(jié)論.

【詳解】(1)當(dāng)0<xV20時,

S(x)=-380x-120=x(500-2x)-380x-120=-2r+120x—120

當(dāng)x>20時,

S(x)=xw(x)-380x-120=x|370+且絲-色-380尤-120=TOx-色留+2020

VXXJX

-2X2+120X-120,0<X<20

綜上，_6250

W+2020,%>20

、X

(2)當(dāng)0<xW20時，5(x)=-2x2+120x-120=-2(x-30)2+1680,

函數(shù)的對稱軸是直線尤=30,則函數(shù)在(0,20]上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=20時，S(%)取得最大值1480；

當(dāng)%>20時，S(x)=-10x-+2020=-10|x+—|+2020<-20be-—+2020=1520,

xkxjvx

當(dāng)且僅當(dāng)x=?(x>20),即x=25時取等號，此時S(x)的最大值為1520,

因為1480<1520,所以當(dāng)年產(chǎn)量為25萬瓶時，該公司獲得的利潤最大為1520萬元.

17.(1)620(萬元).

⑵該產(chǎn)品的售價定為150元時，單件產(chǎn)品的利潤最大為100元.

【分析】(1)由題意先求得銷售量，再結(jié)合每件產(chǎn)品的利潤即可求解；

(2)設(shè)該商品的售價為x元，由題意得至!1「二尤_(40+],再結(jié)合基本等式求解即

可；

【詳解】(1)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價定為80元時，銷售量為32-0.2x80=16萬件，

該供應(yīng)商可獲得的總利潤為16、卜0-4()T]=620(萬元).

f32-0.2x>0

(2)設(shè)該商品的售價為N元，由八得0vxvl60.

%>0

設(shè)單件商品的利潤為尸元，則

/八100C

P=x-40+-----2--°-----------------40

32-0.2%160-x

…6。-小念+120<-2,(160-^)-^0-+120=100，

V160-x

當(dāng)且僅當(dāng)160-彳=10°,即x=150時，等號成立.

160—%

所以該產(chǎn)品的售價定為150元時，單件產(chǎn)品的利潤最大為100元.

-X2+60x-400,0<x<40,

18.(1)/(%)=<14400，400萬元.

-4x----------+1300,40<%<70.

x

(2)生產(chǎn)60臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元.

【分析】(1)根據(jù)分段函數(shù)表示的總成本函數(shù)，結(jié)合利潤=銷售額-成本，易得利潤/(X)的

解析式，代值計算即得生產(chǎn)20臺設(shè)備時的利潤；

(2)根據(jù)(1)求得的利潤函數(shù)，分段求出每段函數(shù)的最大值，比較即得最大利潤.

【詳解】(1)當(dāng)0<xV40(xeN*)時，/(x)=80x-(x2+20%+400)=-x2+60%-400；

當(dāng)