第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)題，每題4分，共40分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（4分）2的算術(shù)平方根是（）A．2 B．±2 C． D．2．（4分）下列關(guān)于天氣的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）在全球?qū)η鍧嵞茉葱枨笕找嫫惹械漠?dāng)下，太陽能作為一種取之不盡、用之不竭的可再生能源，其開發(fā)與利用備受關(guān)注．某實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的高效太陽能電池的超薄納米涂層（）A．6.8×108 B．6.8×10﹣8 C．6.8×10﹣7 D．0.68×1064．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4 C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a(chǎn)12÷a6＝a25．（4分）如圖，在△ABC中，以A為圓心，再分別以B，D為圓心的長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N，已知△ADE的周長為13，AC＝5（）A．7 B．8 C．9 D．106．（4分）已知a，b，c是△ABC的三條邊，則下列條件能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝2：2：3 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．（a+c）2+（a﹣c）2＝2b27．（4分）在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠CDE＝72°，則∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°8．（4分）如圖是一個(gè)H型連通器模型，甲、乙水箱是兩個(gè)等高的圓柱體，甲水箱的底面積是乙水箱底面積的2倍（體積忽略不計(jì)），現(xiàn)用水管往甲水箱中持續(xù)勻速注水，直到連通器中水恰好不溢出為止．下列圖象能大致反映甲水箱的水面高度y與注水時(shí)間x之間關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，AE是∠BAC的平分線，BD是中線，EF⊥AB于F，若AB＝14，S△BDC＝20，則EF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）某班同學(xué)都報(bào)名參加了學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)節(jié)闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有A，B，C，D，E五個(gè)項(xiàng)目（不考慮順序），以下是該班的報(bào)名表：項(xiàng)目類型ABCDE報(bào)名人數(shù)1510131012若選擇BD組合的剛好有10人，則選擇AC組合的人數(shù)是（）人．A．15 B．12 C．10 D．8二、填空題（本大題共5個(gè)題，每題4分，共20分。）11．（4分）如圖，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，則∠DCE的度數(shù)為．12．（4分）四邊形ABCD的邊長如圖所示，線段AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)．13．（4分）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同．小亮每次投擲飛鏢均扎在該飛鏢游戲板上，且扎在飛鏢板上任意點(diǎn)處的機(jī)會(huì)是均等的．則小亮隨機(jī)投擲一次飛鏢．14．（4分）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，AD＝8，AB＝4．15．（4分）如圖，∠ABC＝30°，AB＝6，點(diǎn)D是射線BA上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在CD左側(cè)作等邊三角形CDE，則CE+AE的最小值是．三、解答題（本大題共10個(gè)題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16．（16分）計(jì)算：（1）a3?a4?2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2；（2）|﹣3|﹣﹣（）﹣2+（3﹣π）0；（3）×；（4）（2a﹣5）（5+2a）．17．（6分）先化簡，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2+x（x﹣2y）]÷2x，其中18．（6分）讀懂下面的推理過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．中國漢字博大精深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無窮．如圖1是一個(gè)“互”字，其中AB∥CD，點(diǎn)E，M，點(diǎn)G，H，N在同一條直線上，MG∥FN．求證：∠EFN＝∠G．證明：如圖2，延長EF交CD于點(diǎn)P．∵AB∥CD（已知），∴∠AEF＝∠EPD（）．又∵∠AEF＝∠GHD（），∴∠EPD＝（等量代換）．∴EP∥GH（）．∴∠EFN+＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵（已知），∴∠FNG+∠G＝180°（）．∴∠EFN＝∠G（）．19．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E是△ABC外一點(diǎn)，∠C＝∠E20．（9分）（1）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC①計(jì)算△ABC的面積；②在圖（1）中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1；③若點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D（1）中標(biāo)出使PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置．（2）如圖（2），在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）①請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中找出一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC成為軸對(duì)稱圖形，畫出△ABC；②符合條件的格點(diǎn)C有個(gè)．21．（6分）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，不斷重復(fù)．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896116295484601摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.601（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（精確到0.1）（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？22．（7分）閱讀與思考：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，可以幫助我們求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求a2+4a+5的最小值．解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+l≥1，所以當(dāng)（a+2）2＝0時(shí)，即當(dāng)a＝﹣2時(shí)，a2+4a+5有最小值，最小值為1．【直接應(yīng)用】（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：x2+6x+；（2）2m2﹣4m+3的最小值等于；（3）當(dāng)x＝時(shí)，多項(xiàng)式﹣x2+6x+3有最值，是；【知識(shí)遷移】（4）代數(shù)式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10的最小值為．23．（10分）如圖1，長方形ABCD中，AB＝6，沿路線A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，已知點(diǎn)P在AB邊上的速度為每秒1個(gè)單位長度，在CD邊上的速度為每秒3個(gè)單位長度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△APD的面積為S（1）AD＝，a＝；（2）當(dāng)S＝12時(shí)，求x的值；（3）如圖3，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上時(shí)，x＝．24．（12分）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了“特殊化”問題解決策略，面對(duì)一般性問題，通過取特殊點(diǎn)、特殊位置（如頂點(diǎn)、中點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)等）、特殊數(shù)據(jù)等簡化問題【問題】如圖1，已知等邊三角形ABC中，AB＝6，過P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F．求PE+PF的值．【特殊化】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在邊BC上，考慮點(diǎn)P與頂點(diǎn)B重合這一特殊情形，此時(shí)PF＝0，借助勾股定理等知識(shí)可以求得此時(shí)PE的長，由此可得到特殊情形的結(jié)論：PE+PF的值等于．【一般化證明】（2）在上述條件下，請(qǐng)?jiān)趫D1中添加高線BD，求證：PE+PF＝BD．【遷移應(yīng)用】（3）已知等邊三角形ABC，AB＝6．①如圖2，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，過P向三邊作垂線，E，F(xiàn)，則PD+PE+PF的值為；②如圖3，若點(diǎn)P在線段BC的延長線上，過點(diǎn)P分別向AC，垂足為E，F(xiàn)，則用等式表示線段PE；③如圖4，若點(diǎn)P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，且∠BPC＝120°，則用等式表示線段PB，PC．25．（12分）類比思維是根據(jù)兩個(gè)具有相同或相似特征的事物間的對(duì)比，從一事物的某些已知特征去推測另一事物的相應(yīng)特征存在的思維活動(dòng)．請(qǐng)嘗試用類比思維解決以下問題：（1）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直線l經(jīng)過點(diǎn)C但不與邊AB相交，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D小明同學(xué)分析圖形關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了∠ACD＝∠CBE，以及三角形全等，請(qǐng)進(jìn)一步探索并直接寫出AD，BE；（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，E分別在邊BC，AC上，且DA＝DE，若BC＝a，求CE的長度（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別是邊AC，以DE為腰向右作等腰△DEF，使得∠EDF＝45°，連接CF，∠FCA＝22.5°；①探索BE與AD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F位置也隨之發(fā)生改變，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)，C共線時(shí)

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CDB．CBDCDBD一、選擇題（本大題共10個(gè)題，每題4分，共40分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（4分）2的算術(shù)平方根是（）A．2 B．±2 C． D．【解答】解：2的算術(shù)平方根是，故選：C．2．（4分）下列關(guān)于天氣的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C的圖標(biāo)不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．選項(xiàng)D的圖標(biāo)能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：D．3．（4分）在全球?qū)η鍧嵞茉葱枨笕找嫫惹械漠?dāng)下，太陽能作為一種取之不盡、用之不竭的可再生能源，其開發(fā)與利用備受關(guān)注．某實(shí)驗(yàn)室研發(fā)的高效太陽能電池的超薄納米涂層（）A．6.8×108 B．6.8×10﹣8 C．6.8×10﹣7 D．0.68×106【解答】解：0.000000068＝6.2×10﹣8．故選：B．4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4 C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a(chǎn)12÷a6＝a2【解答】解：a2+a3不能化簡，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；（a+7）2＝a2+8a+4，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；（﹣2a6b3）3＝﹣4a6b9，故C選項(xiàng)正確；a12÷a3＝a6，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．5．（4分）如圖，在△ABC中，以A為圓心，再分別以B，D為圓心的長為半徑作弧，兩弧分別交于M，N，已知△ADE的周長為13，AC＝5（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由作圖知AD＝AC＝5，直線MN垂直平分BD，∴BE＝DE，∵△ADE的周長為13，∴AD+DE+AE＝AE+BE+AD＝AB+AD＝13，∴AB＝13﹣5＝3，故選：B．6．（4分）已知a，b，c是△ABC的三條邊，則下列條件能判定△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝2：2：3 B．∠A＝∠B＝2∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．（a+c）2+（a﹣c）2＝2b2【解答】解：A、22+62≠38，不能判定△ABC為直角三角形，不符合題意；B、∵∠A＝∠B＝2∠C，∴A＝∠B＝72°，∠C＝36°，不符合題意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：6：5，∴最大角∠C＝×180°＝75°，不符合題意；D、∵（a+c）7+（a﹣c）2＝2b6，∴a2+2ac+c7+a2﹣2ac+c7＝2b2，∴a4+c2＝b2，∴能判定△ABC為直角三角形，符合題意；故選：D．7．（4分）在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠CDE＝72°，則∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°【解答】解：延長ED，交AC于F，∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，故選：C．8．（4分）如圖是一個(gè)H型連通器模型，甲、乙水箱是兩個(gè)等高的圓柱體，甲水箱的底面積是乙水箱底面積的2倍（體積忽略不計(jì)），現(xiàn)用水管往甲水箱中持續(xù)勻速注水，直到連通器中水恰好不溢出為止．下列圖象能大致反映甲水箱的水面高度y與注水時(shí)間x之間關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：由連通器的原理可知，整個(gè)過程分為三個(gè)階段：第一階段為甲水箱中的水面隨著時(shí)間的推移逐漸上升；第二階段為甲水箱中的水面不上升，注入的水通過連通器流入乙中，直至到達(dá)連通器的入口；第三階段為甲、乙兩個(gè)水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一階段慢）．四個(gè)選項(xiàng)中，只有D選項(xiàng)中的函數(shù)圖象符合題意，故選：D．9．（4分）如圖，AE是∠BAC的平分線，BD是中線，EF⊥AB于F，若AB＝14，S△BDC＝20，則EF的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：過點(diǎn)E作EG⊥AC，∵AE是∠BAC的平分線，EF⊥AB于F，∴EF＝EG，設(shè)EF＝EG＝x，∵BD是中線，S△BCD＝20，AC＝12，∴，S△ABD＝S△BCD＝20，∴S△ABE+S△ADE＝20，∴，∴，解得：x＝2，∴EF＝2．故選：B．10．（4分）某班同學(xué)都報(bào)名參加了學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)節(jié)闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有A，B，C，D，E五個(gè)項(xiàng)目（不考慮順序），以下是該班的報(bào)名表：項(xiàng)目類型ABCDE報(bào)名人數(shù)1510131012若選擇BD組合的剛好有10人，則選擇AC組合的人數(shù)是（）人．A．15 B．12 C．10 D．8【解答】解：∵每位同學(xué)選擇其中的兩項(xiàng)，∴該班人數(shù)有＝30（人）；選擇BD組合的剛好有10人，則還有20人，其中選E的人數(shù)有12，那么沒選E的有8人，即全部是AC組合，∴AC組合的人數(shù)有2人．故選：D．二、填空題（本大題共5個(gè)題，每題4分，共20分。）11．（4分）如圖，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，則∠DCE的度數(shù)為80°．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°＝60°﹣40°＝80°，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB＝80°．故答案為：80°．12．（4分）四邊形ABCD的邊長如圖所示，線段AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)3．【解答】解：分兩種情況：①AC＝AB＝3時(shí)，在△ACD中，2+2＞3；②AC＝BC＝4.6時(shí)，在△ACD中，2+2＜5.5，不符合題意；綜上所述，線段AC的長為3，故答案為：7．13．（4分）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同．小亮每次投擲飛鏢均扎在該飛鏢游戲板上，且扎在飛鏢板上任意點(diǎn)處的機(jī)會(huì)是均等的．則小亮隨機(jī)投擲一次飛鏢．【解答】解：設(shè)小正方形的面積為a，∵飛鏢游戲板由大小相等的9個(gè)小正方形格子構(gòu)成，∴飛鏢游戲板由大小相等的面積為9a，陰影區(qū)域的面積為4a，∴隨意投擲一個(gè)飛鏢，擊中陰影區(qū)域的概率為：＝．故答案為：．14．（4分）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，AD＝8，AB＝45．【解答】解：∵矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，∴∠1＝∠2，而∠6＝∠3，∴∠2＝∠8，∴ED＝EB，設(shè)ED＝EB＝x，而AD＝8，∴AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，EB7＝AB2+AE2，即x3＝（8﹣x）2+22，解得x＝5，∴DE的長為4．故答案為：5．15．（4分）如圖，∠ABC＝30°，AB＝6，點(diǎn)D是射線BA上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在CD左側(cè)作等邊三角形CDE，則CE+AE的最小值是6．【解答】解：如圖，以BC為邊在BC下方作等邊△BCF、BF、EF，∴BF＝BC＝CF，∠FBC＝∠BCF＝60°，∵△CDE是等邊三角形，∴CE＝CD，∠ECD＝60°，∴∠ECD＝∠BCF＝60°，∴∠ECD+∠BCE＝∠BCF+∠BCE，∴∠FCE＝∠BCD，∴△FCE≌△BCD（SAS），∴∠EFC＝∠DBC＝30°，∴∠FOC＝90°，∴EF⊥BC，∴EF垂直平分BC，∴BE＝CE，∴CE+AE＝BE+AE≥AB，則當(dāng)點(diǎn)B、E，如圖，∴BE+AE最小，即CE+AE最小，故答案為：6．三、解答題（本大題共10個(gè)題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16．（16分）計(jì)算：（1）a3?a4?2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2；（2）|﹣3|﹣﹣（）﹣2+（3﹣π）0；（3）×；（4）（2a﹣5）（5+2a）．【解答】解：（1）原式＝2a8﹣a3+9a8＝10a8；（2）原式＝3﹣2＝﹣5；（3）原式＝﹣+2＝4﹣3+7＝1+7；（4）原式＝（2a﹣3）（2a+5）＝6a2﹣25．17．（6分）先化簡，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x﹣y）2+x（x﹣2y）]÷2x，其中【解答】解：原式＝（4x2﹣y5+x2﹣2xy+y8+x2﹣2xy）÷4x＝（6x2﹣2xy）÷2x＝3x﹣4y；當(dāng)x＝，y＝4時(shí)，原式＝3×﹣2×1＝﹣6.5．18．（6分）讀懂下面的推理過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．中國漢字博大精深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無窮．如圖1是一個(gè)“互”字，其中AB∥CD，點(diǎn)E，M，點(diǎn)G，H，N在同一條直線上，MG∥FN．求證：∠EFN＝∠G．證明：如圖2，延長EF交CD于點(diǎn)P．∵AB∥CD（已知），∴∠AEF＝∠EPD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠AEF＝∠GHD（已知），∴∠EPD＝∠GHD（等量代換）．∴EP∥GH（同位角相等，兩直線平行）．∴∠EFN+∠FNG＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵M(jìn)G∥FN（已知），∴∠FNG+∠G＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠EFN＝∠G（同角的補(bǔ)角相等）．【解答】證明：如圖2，延長EF交CD于點(diǎn)P．∵AB∥CD（已知），∴∠AEF＝∠EPD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵∠AEF＝∠GHD（已知），∴∠EPD＝∠GHD（等量代換）．∴EP∥GH（同位角相等，兩直線平行）．∴∠EFN+∠FNG＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵M(jìn)G∥FN（已知），∴∠FNG+∠G＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠EFN＝∠G（同角的補(bǔ)角相等）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠GHD，兩直線平行；MG∥FN，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．19．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E是△ABC外一點(diǎn)，∠C＝∠E【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∠CAD＝∠CAD，則∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE．20．（9分）（1）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC①計(jì)算△ABC的面積5；②在圖（1）中作出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1；③若點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D（1）中標(biāo)出使PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的位置．（2）如圖（2），在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）①請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中找出一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC成為軸對(duì)稱圖形，畫出△ABC；②符合條件的格點(diǎn)C有4個(gè)．【解答】解：（1）①△ABC的面積為＝9﹣7﹣2＝5．故答案為：2．②如圖（1），△A1B1C7即為所求．③如圖（1），連接AB1，交直線l于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)PA+PB＝PA+PB1＝AB8，為最小值，則點(diǎn)P即為所求．（2）①如圖（2），△ABC1，△ABC2，△ABC5，△ABC4均滿足題意．②由圖可知，符合條件的格點(diǎn)C有4個(gè)．故答案為：6．21．（6分）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，不斷重復(fù)．下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896116295484601摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.601（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.60；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4；（精確到0.1）（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？【解答】解：（1）根據(jù)題意可得當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.60，故答案為：0.60；（2）因?yàn)楫?dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近3.60；所以摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是6.4；故答案為：0.2，0.4；（3）因?yàn)槊桨浊虻母怕适?.6，摸到黑球的概率是0.7，所以口袋中黑、白兩種顏色的球有白球有20×0.6＝12（個(gè)）．22．（7分）閱讀與思考：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，可以幫助我們求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求a2+4a+5的最小值．解：a2+4a+5＝a2+4a+22﹣22+5＝（a+2）2+1，∵（a+2）2≥0，∴（a+2）2+l≥1，所以當(dāng)（a+2）2＝0時(shí)，即當(dāng)a＝﹣2時(shí)，a2+4a+5有最小值，最小值為1．【直接應(yīng)用】（1）在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：x2+6x+9；（2）2m2﹣4m+3的最小值等于1；（3）當(dāng)x＝3時(shí)，多項(xiàng)式﹣x2+6x+3有最大值，是12；【知識(shí)遷移】（4）代數(shù)式4a2+b2+4ab﹣8a﹣4b+10的最小值為6．【解答】解：（1）∵x2+6x+3＝（x+3）2，∴在橫線上添上7可使之成為完全平方式．故答案為：9．（2）由題意得，2m3﹣4m+3＝7（m2﹣2m+4﹣1）+3＝4（m2﹣2m+3）+1＝2（m﹣4）2+1．∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m都有（m﹣2）2≥0，∴3m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+1≥1．∴4m2﹣4m+6的最小值等于1．故答案為：1．（3）由題意得，﹣x4+6x+3＝﹣（x4﹣6x+9）+12＝﹣（x﹣5）2+12．∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有（x﹣3）2≥0，∴﹣（x﹣3）8≤0．∴﹣x2+5x+3＝﹣（x﹣3）3+12≤12．∴當(dāng)x＝3時(shí)，多項(xiàng)式﹣x2+3x+3有最大值．故答案為：3；大；12．（4）由題意得，4a2+b2+3ab﹣8a﹣4b+10＝（3a+b）2﹣4（8a+b）+10＝（2a+b﹣2）3+6．又∵對(duì)于任意的a，b都有（2a+b﹣3）2≥0，∴7a2+b2+5ab﹣8a﹣4b+10＝（3a+b﹣2）2+5≥6．∴代數(shù)式4a5+b2+4ab﹣5a﹣4b+10的最小值為6．故答案為：7．23．（10分）如圖1，長方形ABCD中，AB＝6，沿路線A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，已知點(diǎn)P在AB邊上的速度為每秒1個(gè)單位長度，在CD邊上的速度為每秒3個(gè)單位長度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△APD的面積為S（1）AD＝8，a＝12；（2）當(dāng)S＝12時(shí)，求x的值；（3）如圖3，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上時(shí)，x＝．【解答】解：（1）由題意可知，在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，解得AD＝7，點(diǎn)P在AB邊上的速度為每秒1個(gè)單位長度，在CD邊上的速度為每秒3個(gè)單位長度.，故答案為：3，12；（2）當(dāng)S＝12時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，，解得x＝6，當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，，解得x＝11，綜上可知，x＝3或11；（3）連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)，連接AP，則AP＝CP＝8﹣m，∵∠ABC＝90°，∴AB2+BP2＝AP2＝32+m2＝（3﹣m）2，解得m＝，x＝6÷1+÷2＝；當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上時(shí)，作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵∠ABC＝90°，∴BP＝PQ，設(shè)BP＝PQ＝n，∵∠BAP＝∠QAP，∠B＝∠AQP＝90°，∴△ABP≌△AQP（AAS），∴AQ＝AB＝2，∵AB＝6，BC＝8，∴，∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝8，在Rt△CPQ中，PQ2+CQ2＝CP4，∴n2+44＝（8﹣n）2，解得n＝6，∴x＝6÷1+3÷2＝，故答案為：，．24．（12分）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了“特殊化”問題解決策略，面對(duì)一般性問題，通過取特殊點(diǎn)、特殊位置（如頂點(diǎn)、中點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)等）、特殊數(shù)據(jù)等簡化問題【問題】如圖1，已知等邊三角形ABC中，AB＝6，過P作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F．求PE+PF的值．【特殊化】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P在邊BC上，考慮點(diǎn)P與頂點(diǎn)B重合這一特殊情形，此時(shí)PF＝0，借助勾股定理等知識(shí)可以求得此時(shí)PE的長，由此可得到特殊情形的結(jié)論：PE+PF的值等于3．【一般化證明】（2）在上述條件下，請(qǐng)?jiān)趫D1中添加高線BD，求證：PE+PF＝BD．【遷移應(yīng)用】（3）已知等邊三角形ABC，AB＝6．①如圖2，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，過P向三邊作垂線，E，F(xiàn)，則PD+PE+PF的值為3；②如圖3，若點(diǎn)P在線段BC的延長線上，過點(diǎn)P分別向AC，垂足為E，F(xiàn)，則用等式表示線段PE；③如圖4，若點(diǎn)P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，且∠BPC＝120°，則用等式表示線段PB，PCPA＝PB+PC．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)PF＝0（因?yàn)镻，PF⊥AB，PE為AC邊上的高，△ABC是等邊三角形，AB＝6．過B作BD⊥AC于D，則D為AC中點(diǎn)（等邊三角形三線合一），．在Rt△ABD中，BD6+AD2＝AB2，即，把AB＝6，AD＝5代入可得：，此時(shí)，PF＝0，所以，故答案為：；（2）作BD⊥AC交AC于點(diǎn)D，連接AP，∵，，∴，∵AB＝AC，∴PE+PF＝BD；（3）①連接PA、PB，作AG⊥BC，將△ABC分割為△ABP、△ACP，∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BCP.過P向三邊作垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)．∴PD⊥BC，PE⊥AC，∴，，．因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB＝AC＝BC＝6．將上述面積關(guān)系代入S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BCP可得：，AG＝PF+PE+PD．在等邊三角形ABC中，AB＝6，由（1）得等邊三角形的高公式（a為邊長），所以．故答案為：；②連接AP，將圖形分割為△ABP和△ACP，S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC，對(duì)于△ABP，以AB為底，面積，以AC為底，面積．對(duì)于△ABC，以BC為底，面積．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6．將上述面積關(guān)系代入S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC可得：得PF﹣PE＝BD．在等邊三角形ABC中，AB＝4（a為邊長），，，；故答案為：；③延長PC至Q，使CQ＝PB．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在四邊形ABPC中，∠BPC＝120°，∴∠ABP+∠ACP＝180°．∵∠ACQ+∠ACP＝180°，∴∠ABP＝∠ACQ，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝60°，