2025年數(shù)列極限的競賽真題本文借鑒了近年相關經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應試能力。---一、選擇題（每題5分，共20分）1.設數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2\sqrt{a_n}+1，則\lim_{n\to\infty}a_n的值為：A.1B.2C.3D.發(fā)散2.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{b_n}，則\lim_{n\to\infty}b_n的值為：A.1B.\sqrt{2}C.2D.發(fā)散3.設數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_{n+1}=\sqrt{c_n+2}，則\lim_{n\to\infty}c_n的值為：A.1B.2C.\sqrt{2}D.發(fā)散4.若數(shù)列{d_n}滿足d_1=1，d_{n+1}=d_n+\frac{1}{n^2}，則\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}的值為：A.0B.\frac{1}{2}C.1D.發(fā)散二、填空題（每題6分，共24分）5.設數(shù)列{e_n}滿足e_1=1，e_{n+1}=e_n+\frac{1}{e_n^2}，則\lim_{n\to\infty}e_n的值為：________。6.若數(shù)列{f_n}滿足f_1=1，f_{n+1}=\sqrt{f_n+1}，則\lim_{n\to\infty}f_n的值為：________。7.設數(shù)列{g_n}滿足g_1=1，g_{n+1}=\frac{1}{2}g_n+\frac{1}{g_n}，則\lim_{n\to\infty}g_n的值為：________。8.若數(shù)列{h_n}滿足h_1=1，h_{n+1}=h_n+\frac{1}{n}，則\lim_{n\to\infty}\frac{h_n}{n}的值為：________。三、解答題（每題10分，共40分）9.設數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2}，證明\lim_{n\to\infty}a_n存在，并求其極限。10.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=\sqrt{b_n+1}，證明\lim_{n\to\infty}b_n存在，并求其極限。11.設數(shù)列{c_n}滿足c_1=1，c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n+\frac{1}{c_n}，證明\lim_{n\to\infty}c_n存在，并求其極限。12.若數(shù)列{d_n}滿足d_1=1，d_{n+1}=d_n+\frac{1}{n^2}，證明\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}存在，并求其極限。四、證明題（每題12分，共24分）13.設數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}，證明\lim_{n\to\infty}a_n存在，并求其極限。14.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=\sqrt{b_n+2}，證明\lim_{n\to\infty}b_n存在，并求其極限。---答案與解析一、選擇題1.C解析：令a_n=x_n^2，則x_{n+1}=x_n+1，x_1=1，故x_n=n，a_n=n^2，\lim_{n\to\infty}a_n=\infty。2.B解析：令b_n=y_n^2，則y_{n+1}=\frac{1}{2}y_n+\frac{1}{y_n}，y_1=2，故y_n=\sqrt{2}，b_n=2。3.B解析：令c_n=z_n^2，則z_{n+1}=z_n+\frac{1}{z_n}，z_1=1，故z_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}，c_n=n，\lim_{n\to\infty}c_n=2。4.C解析：d_n=n+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n^2}，\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}=1。二、填空題5.\sqrt{2}解析：令e_n=x_n^2，則x_{n+1}=x_n+1，x_1=1，故x_n=n，e_n=n^2，\lim_{n\to\infty}e_n=\sqrt{2}。6.\sqrt{2}解析：令f_n=y_n^2，則y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2y_n}，y_1=1，故y_n=\sqrt{2}，f_n=2。7.\sqrt{2}解析：令g_n=z_n^2，則z_{n+1}=z_n+\frac{1}{z_n}，z_1=1，故z_n=\sqrt{2}，g_n=2。8.\frac{1}{2}解析：h_n=n+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}，\lim_{n\to\infty}\frac{h_n}{n}=\frac{1}{2}。三、解答題9.證明：令a_n=x_n^2，則x_{n+1}=x_n+1，x_1=1，故x_n=n，a_n=n^2，\lim_{n\to\infty}a_n=2。10.證明：令b_n=y_n^2，則y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2y_n}，y_1=1，故y_n=\sqrt{2}，b_n=2。11.證明：令g_n=z_n^2，則z_{n+1}=z_n+\frac{1}{z_n}，z_1=1，故z_n=\sqrt{2}，g_n=2。12.證明：h_n=n+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}，\lim_{n\to\infty}\frac{h_n}{n^2}=1。13.證明：令a_n=x_n^2，則x_{n+1}=x_n+1，x_1=1，故x_n=n，a_n=n^2，\lim_{n\to\infty}a_n=2。14.證明：令b_n=y_n^2，則y_{n+1}=y_n+\frac{1}{y_n}，y_1=1，故y_n=\sqrt{2}，b_n=2。---四、證明題13.證明：令a_n=x_n^2，