第4章水動力學(xué)基礎(chǔ)4.1理想液體元流的能量方程4.2實際液體元流的能量方程4.3實際液體總流的能量方程4.4恒定總流動量方程4.5理想液體運動微分方程及其積分4.6實際液體運動微分方程4.7恒定平面勢流§4.5理想液體運動微分方程及積分

液體的運動規(guī)律涉及力，在研究理想液體運動時，首先要了解理想液體中的應(yīng)力。因為理想液體沒有粘滯性，所以液體運動時不產(chǎn)生切應(yīng)力，表面力只有壓應(yīng)力，即動水壓強。理想液體的動水壓強與靜水壓強一樣亦具有兩個特性：

(1)動水壓強的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向；

(2)任意一點的動水壓強大小與作用面的方位無關(guān)，

即同一點上各個方向的動水壓強大小相等。4.5.1理想液體的運動微分方程液體是一種物質(zhì)，在運動過程中亦必須遵循牛頓第二定律。下面應(yīng)用牛頓第二定律建立理想液體的運動微分方程。在理想液體流場中，任取一點該點的動水壓強為速度為以為中心，取微小平行六面體，如圖4-24所示?！?.5理想液體運動微分方程及積分設(shè)液體為均質(zhì)，密度為因為是理想液體，表面力只有動水壓力。

六面體上形心點的壓強仍采用泰勒級數(shù)并略去二階以上小量而得。根據(jù)牛頓第二定律，在x軸方向，所有作用于六面體上的力投影的代數(shù)和應(yīng)等于六面體的質(zhì)量與加速度投影之乘積。

§4.5理想液體運動微分方程及積分即對單位質(zhì)量而言，化簡得同理：即為理想液體的運動微分方程，是由歐拉在1775年首先推導(dǎo)出來的，所以又稱為歐拉運動微分方程。它表示了液體質(zhì)點運動和作用力之間的相互關(guān)系，適用于不可壓縮的理想液體或可壓縮的理想氣體。對前者密度值為常量，而后者值為變量?！?.5理想液體運動微分方程及積分對于靜止液體，得即為液體的平衡微分方程，即歐拉液體平衡微分方程。

歐拉運動微分方程可寫為§4.5理想液體運動微分方程及積分對于不可壓縮的均質(zhì)理想液體而言,未知數(shù)僅為,,,與連續(xù)性微分方程式聯(lián)合構(gòu)成封閉的方程組，結(jié)合具體問題的定解條件，才能求得不可壓縮理想液體運動的解。§4.5理想液體運動微分方程及積分4.5.2葛羅米柯（TpoMeko）運動微分方程因，由此可寫出對軸偏導(dǎo)數(shù)的表達式:故將上式代入§4.5理想液體運動微分方程及積分整理得：因，代入上式整理后得：同理§4.5理想液體運動微分方程及積分若液體是不可壓縮均質(zhì)的，密度為常數(shù)則,,,可分別寫為,

,若為恒定流，則將以上條件代入可化簡為同理可得：§4.5理想液體運動微分方程及積分4.5.3理想液體運動微分方程的積分由理論力學(xué)可知，力勢場中的力在，，三個坐標(biāo)軸上的分量可用某一函數(shù)的相應(yīng)坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)來表示即其中，稱為勢函數(shù)或力勢函數(shù)，而具有勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢力，例如重力和慣性力?！?.5理想液體運動微分方程及積分將以上各式分別乘以坐標(biāo)任意增量，，，并將它們相加，得因為恒定流時各運動要素與時間無關(guān)上式等號左邊為對空間坐標(biāo)的全微分，§4.5理想液體運動微分方程及積分等號右邊可用行列式的形式來表示顯然，當(dāng)行列式的值等于零時，上式即可積分為=常數(shù)該式是理想液體恒定流的能量方程。這個方程式是瑞士科學(xué)家伯努利（Bernoulli）在1738年提出的，該方程又稱為伯努利方程?！?.5理想液體運動微分方程及積分應(yīng)用條件⑴液體是不可壓縮均質(zhì)的理想液體，密度為常數(shù)；

⑵作用于液體上的質(zhì)量力是有勢的；⑶液體運動是恒定流；⑷行列式§4.5理想液體運動微分方程及積分當(dāng)質(zhì)量力只有重力時，并取軸鉛垂向上為正，則

，，因此積分得=常數(shù)又由可得=常數(shù)任意兩點§4.5理想液體運動微分方程及積分4.5.4絕對運動和相對運動的能量方程⒈絕對運動的能量方程

絕對運動是指液流的固體邊界對地球沒有相對運動，作用在液體上的質(zhì)量力只有重力而沒有其它慣性力。若質(zhì)量力是有勢的，則故§4.5理想液體運動微分方程及積分稱為不可壓縮均質(zhì)理想液體恒定流的絕對運動能量方程，又稱為絕對運動的伯努利方程。

⒉相對運動的能量方程相對運動是指液流沿固體邊界運動的同時，固體邊界相對于地球是運動的，例如水泵葉輪內(nèi)水流的運動就是這種情況。一方面液體在葉片之間由中心向外運動右圖為離心泵葉輪示意圖。另一方面葉輪以等角速度繞中心軸作旋轉(zhuǎn)運動。

§4.5理想液體運動微分方程及積分單位質(zhì)量力的分量為所以積分得§4.5理想液體運動微分方程及積分整理得即：應(yīng)用于同一條流線上的任意兩點，則即為相對運動的能量方程，它常用來分析流體機械，如離心泵及水輪機中的液體運動。§4.5理想液體運動微分方程及積分

在實際工程中，絕大部分液體運動其粘滯性是不能忽略的，因此，在本節(jié)將導(dǎo)出實際液體的運動微分方程。4.6.1液體質(zhì)點的應(yīng)力狀態(tài)在實際液體的流場中任取一點由切應(yīng)力互等定理可得§4.6

實際液體運動微分方程4.6.2應(yīng)力與變形的關(guān)系牛頓內(nèi)摩擦定律給出二維平行直線流動中切應(yīng)力大小為，速度梯度

實際上又代表了液體的切應(yīng)變率（又稱剪切變形速率或角變形率），即將這個結(jié)論推廣到一般的空間流動，稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律?！?.6

實際液體運動微分方程在平面上的角變形速率為

因為，所以則切應(yīng)力同理可得§4.6

實際液體運動微分方程關(guān)于正應(yīng)力，即動水壓強，在同一點上，三個互相垂直作用面上的動水壓強之和，與那組垂直作用面的方位無關(guān)，也就是說，無論直角坐標(biāo)系如何轉(zhuǎn)動，的值總是保持不變。平均值三個互相垂直方向的動水壓強§4.6

實際液體運動微分方程對于不可壓縮液體附加動水壓強和線變形速率之間有下列關(guān)系聯(lián)立上述公式整理得：§4.6

實際液體運動微分方程4.6.3實際液體運動微分方程在實際液體流場中，取一個以任意點，如下圖所示。

沿軸方向現(xiàn)根據(jù)牛頓第二定律，§4.6

實際液體運動微分方程同理可得y,z軸上的值，并化簡整理后可得

這就是以應(yīng)力表示的實際液體運動微分方程。可整理得：§4.6

實際液體運動微分方程這就是不可壓縮均質(zhì)實際液體運動微分方程。稱納維埃－司托克斯（Navier–Stokes）方程，簡稱N-S方程。如果液體為理想液體，上式即成為理想液體運動微分方程；如果是靜止液體，上式即成為液體的平衡微分方程?！?.6

實際液體運動微分方程按液體質(zhì)點有無轉(zhuǎn)動，將液體運動分為有旋流和無旋流，無旋流又稱為有勢流。嚴(yán)格地講，只有理想液體的運動才有可能是有勢流。4.7.1流速勢和等勢線在恒定有勢流中必然存在流速勢函數(shù)，對平面內(nèi)的勢流來說，且有所以§4.7

恒定平面勢流流速勢函數(shù)可表達為下列積分勢函數(shù)相等的點連成一條曲線，稱為等勢線，其方程為常數(shù)

給出不同的常數(shù)值，可在勢流場內(nèi)得到一簇等勢線。因為等勢線方程滿足，所以若已知流速場，等勢線方程也可寫為平面流動的連續(xù)性方程為§4.7

恒定平面勢流可得到可見流速勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。

4.7.2流函數(shù)及其性質(zhì)對于平面流動來說，流線的微分方程式為當(dāng)§4.7

恒定平面勢流即為不可壓縮液體的連續(xù)性方程令此函數(shù)為，稱為流函數(shù)，則有因為存在可得流速場與流函數(shù)的關(guān)系式為§4.7

恒定平面勢流

流函數(shù)存在的充分必要條件就是不可壓縮液體的連續(xù)性方程，所以，不可壓縮液體作平面連續(xù)運動時就有流函數(shù)存在。流函數(shù)有如下性質(zhì)：⑴同一條流線上各點的流函數(shù)為常數(shù)。⑵平面勢流的流函數(shù)是一個調(diào)和函數(shù)。⑶兩流線間所通過的單寬流量等于該兩條流線的流函數(shù)值之差。§4.7

恒定平面勢流4.7.3等勢線與流線的關(guān)系在恒定平面勢流中，流速勢函數(shù)取為常數(shù)則為等勢線方程即可得則等勢線上某一點的斜率為在平面流場中，流函數(shù)為常數(shù)的線即為流線，即可得在同一點上，流線的斜率為§4.7

恒定平面勢流因為所以，通過平面勢流中任意一點的等勢線與流線是正交的。4.7.4流網(wǎng)及其繪制⒈流網(wǎng)及其性質(zhì)流速勢函數(shù)的等值線就是等勢線，其方程式為取為不同常數(shù)（如，…）§4.7

恒定平面勢流可得到一簇等勢線；流函數(shù)的等值線亦為流線，其方程式為取常數(shù)為不同數(shù)值（如，…），同樣可得到一簇流線。這兩組線形成的網(wǎng)格，就稱為流網(wǎng)，如圖4-30所示。流網(wǎng)的性質(zhì)如下：§4.7

恒定平面勢流（1）流網(wǎng)是正交網(wǎng)格。（2）流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的邊長之比，等于流速勢函數(shù)與流函數(shù)的增值之比。（3）流網(wǎng)的每個網(wǎng)格均為曲線正方形，任意兩條流線之間的單寬流量為常數(shù)。根據(jù)流函數(shù)的性質(zhì)，不可壓縮液體恒定平面流動中，任意兩條流線之間所通過的單寬流量等于該兩條流線的流函數(shù)值之差，即寫成差分形式，可得=常數(shù)§4.7

恒定平面勢流流場中的壓強分布，可應(yīng)用能量方程求得。恒定平面勢流中任何兩點之間都滿足能量方程：整理可得，兩點的壓強差為⒉流網(wǎng)的繪制邊界條件：有固體邊界、自由表面邊界、入流斷面和出流斷面邊界等?！?.7

恒定平面勢流根據(jù)流網(wǎng)的性質(zhì)，可得=常數(shù)流場中某點的速度為已知，就可由上式求得其它各點的速度。兩條流線的間距愈大，則速度愈小；間距愈小，則速度愈大。則可以得出：§4.7

恒定平面勢流由于勢流是理想液體運動，液體質(zhì)點在固體邊界上允許有滑移，所以液體必然沿著固體邊界流動。固體邊界是一條流線，等勢線必須與邊界正交。固體邊界上的流動條件，是垂直于邊界的流速分量應(yīng)等于零。恒定流自由表面邊界與固體邊界的流動條件關(guān)系流動條件一樣，垂直于自由表面的速度分量應(yīng)等于零。即，自由表面也是一條流線，等勢線應(yīng)與之垂直。相同點：§4.7

恒定平面勢流不同點：（1）自由表面的壓強一般是大氣壓強，這是它的動力學(xué)條件。（2）固體邊界的位置、形狀為已知，而自由表面的位置、形狀是未知的。因此，繪制有自由表面的流網(wǎng)比較復(fù)雜。入流斷面和出流斷面的流動條件，有一部分應(yīng)該是已知的，根據(jù)這些已知條件