第09講弧長及扇形的面積（核心考點(diǎn)講與練）

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.弧長的計(jì)算

（1）圓周長公式：C=2nR

（2）弧長公式：/=盟（弧長為/,圓心角度數(shù)為〃，圓的半徑為R）

①在弧長的計(jì)算公式中，〃是表示1°的圓心角的倍數(shù)，〃和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長.

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用IT表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等

弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

二.扇形面積的計(jì)算

（1）圓面積公式：S=

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是/,圓的半徑為H的扇形面積為S,則

S扇形=或s扇形=（其中/為扇形的弧長）

oo.UZ

（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

【考點(diǎn)剖析】

弧長的計(jì)算（共7小題）

1.（2021秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，點(diǎn)A、B、C是半徑為8的。。上的三點(diǎn).如果/AC8=45°,那么屈的

B.2itC.3KD.4Tl

2.（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，一把扇形的紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)。4和05的夾角為120。，OA

則貼紙部分的周長為（)cm.

C.18n+12D.1如+12

3.（2022?瑞安市校級(jí)開學(xué)）已知圓的半徑為3,扇形的圓心角為120。，則扇形的弧長為

4.（2022春?奈曼旗期中）如圖，48為。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，若/OCA=55°,A8=6,則成的長

5.（2022春?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形，ZBCZ）=120°,OB=2.則弧

84

A.2KB.3ITC.—nD.-n

33

6.（2022?鐵西區(qū)開學(xué)）如果一個(gè)扇形的半徑是2,弧長是？，則此扇形的圖心角的度數(shù)為

2--------

7.（2021秋?東城區(qū)校級(jí)月考）如圖，。。的半徑為10C7W,弦垂直平分半徑OC,垂足為點(diǎn)。.

C1）弦A2的長為

（2）求劣弧晶的長.

二.扇形面積的計(jì)算（共7小題）

8.（2021秋?汝州市期末）半徑為6的圓中，一個(gè)扇形的圓心角為60°,則該扇形的面積為（）

A.6nB.3TlC.2nD.n

9.（2021秋?畢節(jié)市期末）一個(gè)圓中有三個(gè)扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占總面積的百分比如圖所示,

那么扇形丙的圓心角是（）

10.（2021秋?西鄉(xiāng)縣期末）一個(gè)扇形的圓心角是135°,半徑為4,則這個(gè)扇形的面積為（）

32

A.-riB.-riC.4irD.6n

23

H.（2021秋?包頭期末）鐘面上的分針長為2c"3從8點(diǎn)到8點(diǎn)15,經(jīng)過了15分鐘，分針在鐘面上掃過

的面積是cm2.（結(jié)果保留n）

12.（2022春?巢湖市校級(jí)期中）如圖，C￡＞是RtaABC斜邊AB上的高線，以A。、BD、分別作半圓，

如果只已知一條線段的長度即可求出圖中的陰影部分面積，則這條線段可以是（)

c

A.CDB.ADC.ABD.BC

13.（2022春?渝北區(qū)月考）等腰直角三角形AOB中，。4=。8=2,以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑作扇形

AOB,則圖中陰影部分的面積為（）（結(jié)果保留TT）

A.4ir-2B.TTC.TT-2D.2

14.（2021秋?開化縣期末）如圖，已知AB是OO直徑，且AB=8.C,D是。。上的點(diǎn)，OC//BD,交

4。于點(diǎn)E,連結(jié)8C,NCBD=30°.

（1）求NCOA的度數(shù).

（2）求出CE的長度.

（3）求出圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留it）.

【過關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?費(fèi)縣一模）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示意圖，AC,

分別與。。相切于點(diǎn)C,D,延長AC,8。交于點(diǎn)P.若/尸=120°,。。的半徑為5c則圖中弧

CD的長為cm.（結(jié)果保留TT）（）

2.（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=2.以點(diǎn)A為圓心，為半徑作

BD，向菱形內(nèi)部作成，使元=助，則圖中陰影部分的面積為（）

A.yyB.373-yC.273-yD.^3-1

3.（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12m則扇形的弧長為（）

A.4B.2C.4TTD.27t

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知8（2,0）,四邊形ABCO和AEFG都是正方形，點(diǎn)A、。、E共線,

點(diǎn)G、A、8在x軸上，點(diǎn)C,E,尸在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，則戶g的長為（）

\155n

A.—JIB.C.—D.5TC

22

5.（2022?蓬安縣模擬）如圖，在半徑為4的扇形。45中，NAO5=90°,點(diǎn)。是A5上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是

0。的中點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交03于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積的最小值為（)

C

B

A

B.4n-孥

A.4IT-4C.2ir-4

6.（2022?達(dá)拉特旗一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的OO分別與BC,AC交于點(diǎn)

點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DFLAC,垂足為點(diǎn)F,若。。的半徑為28/CDF=15°,則陰影部分的面積為

A.16n-1273B.16TT-2473C.20TT-12^/3D.4n-34

—.填空題（共8小題）

7.（2022?呼蘭區(qū)一模）一個(gè)扇形的面積為3m它所對(duì)的弧長為2nc〃z,則這個(gè)扇形的半徑為cm.

8.（2022?南平模擬）在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是.

9.（2022?虎丘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等腰三角形ABC中，ZA=90°,BC=2.分別以點(diǎn)8、點(diǎn)C為圓心,

線段8c長的一半為半徑作圓弧，交A8、BC、AC于點(diǎn)。、E、F,則圖中陰影部分的面積為.

10.（2022?莆田模擬）如圖，方格紙中2個(gè)小正方形的邊長均為1,圖中陰影部分均為扇形，則這兩個(gè)小

扇形的面積之和為（結(jié)果保留TT）.

11.（2022春?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知扇形的弧長為4it,直徑為16,則此扇形的圓心角為.

12.（2022?福州模擬）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長是.

13.（2022春?沐陽縣期中）如圖所示，分別以w邊形的頂點(diǎn)為圓心，以3c機(jī)為半徑畫圓，則圖中陰影部分

的面積之和為.

14.（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖，扇形AOB中，90°,04=2,連接AB,以點(diǎn)8為圓心，以

的長為半徑作弧，交弧AB于點(diǎn)C,交弦A8于點(diǎn)D則圖中陰影部分的面積為.

三.解答題（共6小題）

15.（2022春?長興縣月考）如圖，已知扇形A08的圓心角為120°,半徑OA為6c7加求扇形AO8的弧

長和面積.

16.（2022?費(fèi)縣一模）如圖，48為。。的直徑，C為OO上一點(diǎn)，弦AE的延長線與過點(diǎn)C的切線互相垂

直，垂足為。，ZCAD=36°,連接8C.

（1）求的度數(shù)；

（2）若A8=3,求應(yīng):的長.

17.（2022?石家莊模擬）如圖，Rt^ABC中NACB=90°,AC=4,MBOAC,以邊AC為直徑的。。交

斜邊A8于。，AO=2,點(diǎn)E為AC左側(cè)半圓上一點(diǎn)，連接AE,DE,CD.

（1）求乙4磯）的度數(shù).

（2）求08的長.

（3）求圖中陰影部分的面積.

18.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，NC=90°,以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑的圓交A8

于點(diǎn)。.

（1）若NB=28°,求助的度數(shù);

（2）若。是AB的中點(diǎn)，AB=4,求陰影部分的面積;

（3）若4。=2的，求4。乂8的值.

19.（2021秋?船營區(qū)校級(jí)期末）如圖，在。。中，弦BC垂直于半徑OA,垂足為E,。是優(yōu)弧BC上一

點(diǎn)，連接3D、AD,OB、OC.已知/AO8=30°.

（1）求/AOC的度數(shù)；

（2）若弦BC=8Wcwi,求圖中扇形30C的面積（結(jié)果保留it）.

20.（2021秋?亭湖區(qū)期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田

面積的公式為：弧田面積=,（弦X矢+矢2）.如圖，弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指

圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面

積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角/AOB為120°,弦長48=2/機(jī)的弧田.

（1）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；

（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與（1）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方

米？（取IT近似值為3,0近似值為1.7）

D

O

11/40

12/40

第09講弧長及扇形的面積（核心考點(diǎn)講與練）

【基礎(chǔ)知識(shí)】

弧長的計(jì)算

（1）圓周長公式：C=2nR

（2）弧長公式：/=錯(cuò)（弧長為/,圓心角度數(shù)為"，圓的半徑為R）

①在弧長的計(jì)算公式中，W是表示1。的圓心角的倍數(shù)，”和180都不要帶單位.

②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長.

③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用7T表示.

④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等

弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

二.扇形面積的計(jì)算

（1）圓面積公式：5=豆/

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=-7..Tr/?"或S扇形=WlR（其中/為扇形的弧長）

oOUI

（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

【考點(diǎn)剖析】

弧長的計(jì)算（共7小題）

1.（2021秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，點(diǎn)A、B、C是半徑為8的上的三點(diǎn).如果/ACB=45°,那么存的

長為（）

13/40

c

A.90°B.2nC.3irD.4n

【分析】根據(jù)圓周角定理可得出NAO8=90。，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接04、0B.

VZACB=45°,

AZAOB=90°,

???。4=8,

907rx8

???盆的長是:----------=4n.

180

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長的計(jì)算以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式.

2.（2021秋?奉賢區(qū)期末）如圖，一把扇形的紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)04和的夾角為120°,OA

長為12cm,貼紙的部分CA長為6c徵，則貼紙部分的周長為（）cm.

A.6IT+12B.36K+12C.18IT+12D.12K+12

【分析】先求出OC,再根據(jù)弧長公式計(jì)算徐和福的長，加上2AC即為貼紙部分的周長.

【解答】解：?.?。4的長為125，貼紙部分的寬AC為6on,

OC=OA-AC=6cm,

又。4和03的夾角為120°,

1207TX6

：4TI,

而=180

12O7TX12

=8TC,

-180-

14/40

貼紙部分的周長為4TT+81T+2X6=12TT+12.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長的計(jì)算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?瑞安市校級(jí)開學(xué)）已知圓的半徑為3,扇形的圓心角為120。，則扇形的弧長為2n

【分析】把已知數(shù)據(jù)代入弧長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：扇形的弧長=嚕合=2n，

180

故答案為：2TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式：修警是解題的關(guān)鍵.

loU

4.（2022春?奈曼旗期中）如圖，A8為的直徑，點(diǎn)C在。。上，若NOCA=55°,AB=6,則配的長

【分析】先求出圓心角N80C的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算弧長即可.

【解答】解:由題知，NOC4=55°,AB=6,

/.ZBOC^ZOCA+Z<9AC=2ZOCA=110",

NND1107TX611

?SRCC-----------=----TC，

"3603606

故答案為:"

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZBCD=120°,OB=2.則弧

3。的長為（）

84

A.2nB.3nC.-71D?二靠

33

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出N30D的度數(shù)，利用弧長公式

15/40

計(jì)算即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是O。的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZBCD=180°,

?.ZA=180°-ZBCZ）=180°-120°=60°,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=120°,

京q八120rrx24

弧BD的長為-------=-it,

1803

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及弧長的計(jì)算，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ)、弧長公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?鐵西區(qū)開學(xué)）如果一個(gè)扇形的半徑是2,弧長是生，則此扇形的圖心角的度數(shù)為45°.

2

【分析】根據(jù)修黑，結(jié)合題意可得出扇形圓心角的度數(shù).

【解答】解：?.?扇形的弧長是2,半徑為2,

2

.nn7rx2

??一=,

2180

解得:n=45.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?東城區(qū)校級(jí)月考）如圖，。。的半徑為10cm弦AB垂直平分半徑OC,垂足為點(diǎn)。.

（1）弦AB的長為l0?c%.

（2）求劣弧荏的長.

【分析】（1）先利用垂徑定理得出ZODB=9Q°,OD=5,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出即

可得出結(jié)論；

（2）先利用銳角三角函數(shù)求出/80。=60。，最后利用扇形的弧長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖，。。半徑為10C",

.?.O8=OC=10,

弦AB垂直平分半徑OC,

16/40

：.AB=2BD,ZODB=90°,OD=-OC=5,

2

在RtAB。。中，根據(jù)勾股定理得，BD=&OB2_OD2=50,

/.AB=2BD=1U用cm；

故答案為：10代。加；

（2）由（1）知，0D=5,

OD1

在RtZXBOZ）中，cosZBOD=

：.ZBOD=60°,

OCLAB,

：.ZAOB=2ZBOD=120°,

,nnr120TTX1020。

.cc=TTTZ-=cCm

451801803

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，弧長公式，求出是解本題的關(guān)鍵.

二.扇形面積的計(jì)算（共7小題）

8.（2021秋?汝州市期末）半徑為6的圓中，一個(gè)扇形的圓心角為60°,則該扇形的面積為（）

A.6irB.3TtC.2nD.TT

【分析】根據(jù)扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：5=霸=駕入n.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?畢節(jié)市期末）一個(gè)圓中有三個(gè)扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占總面積的百分比如圖所示,

那么扇形丙的圓心角是（）

A.30°B.108°C.110°D.120°

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義可得，扇形丙的圓心角占3600的30%,計(jì)算即可得答案.

【解答】解：360°X（1-50%-20%）

=360°X30%

=108°,

故選：B.

17/40

【點(diǎn)評(píng)】本題考查認(rèn)識(shí)平面圖形，掌握扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義是正確解答的前提.

10.（2021秋?西鄉(xiāng)縣期末）一個(gè)扇形的圓心角是135°,半徑為4,則這個(gè)扇形的面積為（）

32

A.—KB.—irC.4TTD.6n

23

【分析】利用扇形的面積公式求解即可.

【解答】解：扇形的面積=13；,胃4"=6m

360

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積.

11.（2021秋?包頭期末）鐘面上的分針長為從8點(diǎn)到8點(diǎn)15,經(jīng)過了15分鐘，分針在鐘面上掃過

的面積是TT面.（結(jié)果保留TT）

【分析】首先要明確分針1小時(shí)（60分鐘）轉(zhuǎn)1周，掃過的面積是一個(gè)圓的面積，15分鐘分針掃過的

面積是圓面積的士，根據(jù)圓的面積公式s=na,把數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行解答.

4

【解答】解：依題意，得

15

——X7tx22=7T（cm2）；

60

故答案為：TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).此題解答關(guān)鍵是明確分針的尖端30分鐘走的路程

是圓周長的一半，掃過的面積是圓面積的一半，然后根據(jù)圓的周長和面積公式解決問題

12.（2022春?巢湖市校級(jí)期中）如圖，C。是斜邊上的高線，以AD、BD、分別作半圓，

如果只已知一條線段的長度即可求出圖中的陰影部分面積，則這條線段可以是（）

C

A.CDB.ADC.ABD.BC

【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法得出s陰影部分=彳。（孫加），再根據(jù)射影定理得到°2=皿皿即

可得出答案.

【解答】解:S陰影部分=S大半圓-S小半圓1-S小半圓2

11AD1/BD、

=-71X()?-----1TX(X)?-----71X()?

222222

18/40

—卜義(AB1-AD2-BD2)

=^TtX[CAD+BD)2-AD1-BD2]

^nX(2AD?BD)

=-n（AD'BD）,

4

,:CD是RtAABC斜邊AB上的高線，

J.CD^^AD'BD,

...只要已知CD的長即可，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積的計(jì)算方法以及射影定

理是解決問題的關(guān)鍵.

13.（2022春?渝北區(qū)月考）等腰直角三角形AOB中，OA=OB=2,以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑作扇形

AOB,則圖中陰影部分的面積為（）（結(jié)果保留it）

A.4n-2B.7iC.n-2D.2

【分析】根據(jù)S陰影部分=S扇形利用扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：S陰影部分=5扇形A03-S/\AOB

90JTX221

X2X2

3602

=n-2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.

14.（2021秋?開化縣期末）如圖，已知AB是OO直徑，且AB=8.C,D是。。上的點(diǎn)，OC〃8O,交

A。于點(diǎn)E,連結(jié)BC,NCBD=30°.

（1）求/CQ4的度數(shù).

（2）求出CE的長度.

（3）求出圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留口）.

19/40

D

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOC3=NC3O=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOCB=N

080=30°,即可求得NCOA=60°；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAEO=NAQ3=90°,由NAOC=60°,求得NA=30°,即可得到

OE=^OA=^OC,即可求得0c=2；

（3）根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）VOC//BD,

：.ZOCB=ZCBD=30°,

???OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=30°,

ZCOA=ZOCB+ZOBC=60°；

（2）〈AB是。。直徑,

ZADB=90°,

OC//BD,

：.ZAEO=ZADB=90°,

VZAOC=60°,

：.ZOAE=30°,

：.OE=-OA

2f

CE=：OC='X4=2;

(3)連接OD,

'：ZCBD=ZOBC=30°,

：.ZBOD=60°,

OB=OD,

???△80。是等邊三角形，

607rx/

S陰影=S扇形50。-S/\BOD=—=X4X-yX4=z^~代巴

360

20/40

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，圓周角定理，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

【過關(guān)檢測(cè)】

一.選擇題（共6小題）

1.（2022?費(fèi)縣一模）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.如示意圖，AC,

分別與O。相切于點(diǎn)C，D,延長AC,BD交于點(diǎn)P.若/尸=120°,O。的半徑為5cm,則圖中弧

CZ）的長為（結(jié)果保留TT）（）

552525

A.-JtB.-JIC.—nD.—n

3636

【分析】連接OC,OD,求出圓心角/COZ）的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求出弧長即可.

【解答】解：連接。C,OD,

".'AC,8。分別與相切于點(diǎn)C、D,

：.ZOCP=ZODP=90Q,

由四邊形內(nèi)角和為360?？傻?，

ZCOD=360°-ZOCP-ZODP-ZCPD=360°-90°-90°-120°=60°,

60x?rx55

???CD-------------------=—IT

1803

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=2.以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作

21/40

BD,向菱形內(nèi)部作品，使市1=劭，則圖中陰影部分的面積為（

A.—B,3日一勺C.2g-咨D.遍號(hào)

3266J

【分析】首先判斷出△A3。是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得A5=3Z）=2,然后根據(jù)S陰影=S

菱形一S扇形BAD-S弓形m。求出陰影部分的面即可.

【解答】解：如圖所示：連接BO,

???四邊形A5CD是菱形，

：.AB=AD,

9：ZBAD=60°,

???△A3。是等邊三角形，

：.AB=BD=2,

?s7co的0607rx2?607rx2?y/3_4n

??3陰影一3菱形-3扇形區(qū)4。-3弓形5石?！?乂**2-----記/----（----------------—xV=343-丁?

2：36°36023

故選：B,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，明確S陰影=S菱形-S扇形5A。-S弓形5EC是解題的關(guān)

鍵.

3.（2022?上城區(qū)二模）已知半徑為6的扇形的面積為12m則扇形的弧長為（）

A.4B.2C.4TlD.2n

【分析】根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式即可求出答案.

【解答】解：設(shè)扇形的弧長為/,由扇形面積公式可得，

1

—IR=12n，

2

解得/=4n,

故選：C.

22/40

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算公式是正確解答的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B(2,0),四邊形ABCD和AEFG都是正方形，點(diǎn)A、D、E共線,

點(diǎn)G、A、B在x軸上，點(diǎn)C,E,尸在以。為圓心。C為半徑的圓上，則元的長為()

Sn

C.—D.5n

2

【分析】設(shè)點(diǎn)A(a,0),貝“8=2"，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=AB=2-a,根據(jù)勾股定理在Rd

OBC中，可得0c2=OB2+BC2=22+(2-a)2=8-4°+/,由圓的性質(zhì)可得OE=OC,在Rt/\OAE

中，AE=AG=2a,根據(jù)勾股定理可得。爐=。42+&￡2,即可算出。的值，即可算出乃”的長

度，可證明△O8C空△EG。中，可得,即//OC=90°,由弧長公式心=舞計(jì)

算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)A(a,0),則AB=2-a,

根據(jù)題意可得，

BC=AB=2-a,

在RtZXOBC中，

OC1=OB1+BC1=21+(2-〃)2=8-4〃+〃2,

??,0E=0C,

在RtAOAE中，AE=AG=2a,

：.OE1=OA1+AE1,

/.8-4a-^a2=a2+(2。)2,

解得：a—1,a=-2(舍去)，

???點(diǎn)A(1,0),AB=1,

***OC=V22+I2=百，

在△05C和△EGO中，

OB=FG=2

乙EGO=AOBC=90S

GO=BC=1

△OBCQAEGO(SAS),

23/40

；?NEOG=NOCB,

9：ZCOB+ZOCB=90°,

：.ZCOB+ZFOG=90°,

：.ZFOC=90°,

?.?弧"的長=黑=智=梟

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長的計(jì)算，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握弧長的計(jì)算，坐標(biāo)

與圖形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

5.（2022?蓬安縣模擬）如圖，在半徑為4的扇形。48中，NAO8=90°,點(diǎn)C是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)〃是

0c的中點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積的最小值為（）

A.4n-4B.4TT—%C.2n-4D.2n一空

33

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以畫出相應(yīng)的輔助線，OX=^,ZAOE=90°,則當(dāng)OE取得最大值時(shí),

陰影部分的面積取得最小值，則當(dāng)AE和半徑為2的小圓。相切時(shí)，OE最大，然后計(jì)算即可.

【解答】解：?..點(diǎn)。是。C的中點(diǎn)，OC=4,

：.OD=2,04=4,

...點(diǎn)。在以點(diǎn)O為圓心2為半徑的圓弧上，

...當(dāng)AE'與小圓。相切時(shí)，0E，最大，此時(shí)。C'與小圓O交于點(diǎn)。'，

V0A=4,ZAOE=9Q°,

當(dāng)OE最大時(shí)，陰影部分取得最小值，

VZAD'0=90°,OD'=2,OA=4,

：.OA=2OD',

：.Z0AD'=30°,

/.tanZOAE,=%=孚,

0A4

np1

即tan30°=華，

4

24/40

解得OE'=包3,

3

o4V3.

...圖中,陰影部分_面_積的最小值為：9也07吆rx4_2_二----_-x4，口o挈Q

36023

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是分析出何時(shí)陰影部分面積最小.

6.(2022?達(dá)拉特旗一模)如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的OO分別與8C,AC交于點(diǎn)。，

點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF±AC,垂足為點(diǎn)F,若。。的半徑為2收，/CDF=15。,則陰影部分的面積為

()

A.16n-12y/3B.16Tt-24避C.20TT-1273D.4ir-373

【分析】連接A。，OE,先通過直徑所對(duì)是圓周角是直角，證出從而得出/BAC=2

ND4c=30°,再通過S陰影=S扇形OAE-S^AOE計(jì)算即可.

【解答】解：連接AQ,OE,作OH_LAE于",

：A3為直徑,

25/40

AZADB=ZADC=90°,

ZADF+ZCDF=90°,

■:DF工AC,

AZAFD=90°,

AZADF+ZDAF=90°,

：.ZCDF=ZDAC,

VZC￡>F=15°,

：.ZDAC=15°,

'：AB=AC,ADLBC,

：.ZBAC=2ZDAC=30°,

°：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°,

AZAOE=120°,

在RtZkAOH中，OA=2yf3,

：.0H=i%OA=&AH=cos30。XOA=3,

：.AE=2AH=6f

??s陰影—S扇形OAE-SMOE=-----?LV■—x6xV3=4n-33?

O3602V

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，求出扇形的圓心角

度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題（共8小題）

7.（2022?呼蘭區(qū)一模）一個(gè)扇形的面積為3m它所對(duì)的弧長為如c",則這個(gè)扇形的半徑為3cm.

【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式S=2ri，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r,

1.

5c=-rb

1

-

2x2而，

解得：r=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

26/40

8.（2022?南平模擬）在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是三

-2-

【分析】應(yīng)用扇形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

q_H7TT2_2O7TX33_71

【解答】解:

=360=360=2

故答案為：2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2022?虎丘區(qū)校級(jí)模擬）如圖，等腰三角形A8C中，ZA=90°,BC=2.分別以點(diǎn)8、點(diǎn)C為圓心，

線段8c長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點(diǎn)。、E、F,則圖中陰影部分的面積為

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出43,AC的長，再計(jì)算出△ABC的面積，根據(jù)/B+/C=

90°,兩個(gè)扇形的半徑相等，即可算出扇形的面積，再根據(jù)陰影部分的面積等于三角形的面積減去扇形

的面積，計(jì)算即可得出答案.

【解答】'：AB=AC,ZA=90°,

:.BC2=AB2+AC2,

.,.AB=AC-O,

SAABC=累B?4c=恭但X①=1，

4CM

1

VZA+ZC=90°,BE=CE=^BC=1，

22

,cnnr907Txln

??扇=360=360=Z'

?'?5陰=S/\ABC-S扇=1-7

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算及根據(jù)題意應(yīng)用面積差求陰影部分

的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

10.（2022?莆田模擬）如圖，方格紙中2個(gè)小正方形的邊長均為1,圖中陰影部分均為扇形，則這兩個(gè)小

扇形的面積之和為-（結(jié)果保留TT）.

27/40

【分析】由平行線的性質(zhì)可得，Z1=Z2,因?yàn)閮蓚€(gè)扇形的半徑相等，即可算出兩個(gè)扇形的圓心角的和

為Nl+N3=90°,根據(jù)扇形面積計(jì)算公式即可得出答案.

【解答】解：如圖，

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，

N1=N2,

VZ2+Z3=90°,

.,.Zl+Z3=90o，

22

.cnirr907rxln

3603604

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2022春?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知扇形的弧長為4n,直徑為16,則此扇形的圓心角為90°.

【分析】設(shè)此扇形的圓心角為優(yōu)，代入弧長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：設(shè)此扇形的圓心角為x°,

由題意得，---=4TT,

180

解得，x=90,

故答案為：90°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長公式修罌是解題的關(guān)鍵.

LoU

12.（2022?福州模擬）在半徑為6的圓中，150°的圓心角所對(duì)的弧長是5冗.

【分析】利用弧長公式計(jì)算即可.

150X7TX6

【解答】解：弧長==5TT,

180

故答案為：5TT.

28/40

【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式二瑞，屬于中考?？碱}型.

180

13.（2022春?沐陽縣期中）如圖所示，分別以w邊形的頂點(diǎn)為圓心，以3cm為半徑畫圓，則圖中陰影部分

的面積之和為9TTC〃P.

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積之和等于以3c%為半徑的圓的面積.

【解答】解：由圖可得，

陰影部分所對(duì)的圓心角之和為360。，

...圖中陰影部分的面積之和為：nX32=9it（cm2）,

故答案為：9Tte

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、多邊形內(nèi)角與外角，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積之和等

于以3c機(jī)為半徑的圓的面積.

14.（2022?九龍坡區(qū)模擬）如圖，扇形AOB中，90°,。4=2,連接A2,以點(diǎn)B為圓心，以

的長為半徑作弧，交弧于點(diǎn)C,交弦于點(diǎn)則圖中陰影部分的面積為5”：6v3.

【分析】利用扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法，根據(jù)圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接。C、BC,則△03C是等邊三角形，

>>*S陰影部分=S凸△OBC-S扇形OBD

=2S扇形OBC-S/\OBC-S扇形OBD

c607rx221457rx2?

=2X^60~——X2x—

360

29/40

5n—6y[2

-6-'

故答案為：千.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理、扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積、三角形面積的計(jì)算方法是正確解答的

前提.

三.解答題（共6小題）

15.（2022春?長興縣月考）如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑OA為6c機(jī).求扇形AOB的弧

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和扇形的面積公式求解即可.

【解答】解：扇形AOB的弧長=等般=4n（四）；

180

扇形AOB的扇形面積=12:震62=121T（。后）.

360

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查了扇形的弧長和面積的計(jì)算，熟練掌握扇形的弧長和面積是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?費(fèi)縣一模）如圖，為。。的直徑，C為上一點(diǎn)，弦AE的延長線與過點(diǎn)C的切線互相垂

直，垂足為ZC4D=36°,連接2C.

（1）求的度數(shù)；

（2）若48=3,求比的長.

【分析】（1）連接OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定義求出/COB,再利用等腰三角形的性質(zhì)求

出NB即可；