第09講綜合分析法解相似三角形（六大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、會證明相似三角形的對應(yīng)線段成比例問題;

2、知道中間比代換的重要性；

3、綜合分析法解相似三角形。

02思維導(dǎo)圖

03知識清單

一.分析法

解數(shù)學(xué)問題，若從命題的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理和定理逐步尋找這個結(jié)論成立的條件，

直至這個結(jié)論成立的條件就是已知條件，這種方法叫作分析法。它的思維形式是逆向推理。

對問題的分析過程不能代替解答過程的書寫，通常是“倒退著分析“，書寫解題過程時則需反過來“順

著書寫”。

—.綜合法

解數(shù)學(xué)問題，若從已知條件出發(fā)，運(yùn)用已學(xué)過的公理、定義和定理逐步推理，直到推出結(jié)論為止,

這種方法叫作綜合法。

用綜合法進(jìn)行推理時，語氣是肯定的，且每一步推理都必須是正確的。書寫時應(yīng)先寫原因后寫結(jié)

論，一般都用“因?yàn)椤浴眮肀硎鐾评?。在敘述過程中，當(dāng)前面一步陳述的結(jié)論，同時是后面

一步陳述的條件時，常把后一步推理的條件省略不寫。

三.綜合分析法

對于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，利用分析法和綜合法很難解決問題，常常將分析法和綜合法結(jié)合起來使用。

一方面從已知條件入手，看能推出什么結(jié)論；另一方面從結(jié)論著眼，想需要找到什么條件，從而找到解

題途徑。這種方法稱為分析綜合法(或綜合分析法)。

【即學(xué)即練1】已知：如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、AC上，AD.3E相交于點(diǎn)尸,

ZAFE=ZABC,AB2=AEAC.

(2)求證：DFBC=DBCE.

【即學(xué)即練2】如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZACD,過。作龐〃47交BC的延長線于點(diǎn)E,且

CD2=ACDE.

(2)^AD2=AB-AD+AC-DE,求證：ZACD=90°.

【即學(xué)即練3】如圖，已知：在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊48、BC上，S.ZBDE=ZBCA.

⑴求證：AABESABDC；

(2)如果AE=AC,求證：AC2=ADAB.

【即學(xué)即練4】在VABC中，點(diǎn)。，E分別在邊BC,上，A￡＞與CE交于尸，且AC=AD,BE=EC.

A

(1)求證：AE2=EFCE；

⑵若3D:CD=5:3,BE=16,求A3的長.

【即學(xué)即練5】已知：如圖，在四邊形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，ABDE=AEEC,ZABE^ZAED.

(1)求證：AABEs^ECD；

(2)如果尸、G、H分別是AE、DE、AD的中點(diǎn)，連接8尸、HF、HG、CG.求證：BFHF=CGHG.

04題型精講

題型1：含平行線問題

【典例1].如圖，在VABC中，點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)E在邊3c上,DB=DC,EG//AB,AE,BD交

于點(diǎn)RBF=AG.

(1)求證：ABFEsACGE；

(2)當(dāng)/4EG=/C時，求證：AB2=AGAC.

【典例2].如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E在邊AB上，AC1=AD-AB,AC=AE,過點(diǎn)。作小〃C￡1交

邊AC于點(diǎn)尸.

A

(1)求證：AACDSAABC；

(2)求證：AEEB=ABFC.

題型2:在三角形中解相似三角形對應(yīng)線段成比例問題

【典例3].如圖，VABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，CE_LAD延長線于E,且BC=2AE.

⑴求證：AD=CD-,

⑵求證：AB2=ADBC.

【典例4].已知：如圖，在VA3C和VADE中，是VA3C的角平分線，ZADE=ZB,邊DE與AC相

(2)如果AE〃臺C,求證：ABAF=DFDE.

【典例5].如圖，已知在VA3C中，AD是VABC的中線，=點(diǎn)E在邊AD上，CE=CD.

BD

ACEC

⑴求證:

AB-AD

(2)求證：AC2=2AEAD.

【典例6].已知：如圖，在△回(7中，AB=AC,。是3c中點(diǎn)，點(diǎn)E在B4延長線上，點(diǎn)尸在AC邊上,

NEDF=NB.求證：

Q)ABDES＜：FD；

⑦DF?=EFCF.

【典例7].如圖，已知VAT?的頂點(diǎn)￡＞在VABC的邊上，DE1與相交于點(diǎn)尸，ZFEA=ZB,

ZDAF=ZCAE.

D

DFCE

⑵求證:~DE~CB

題型3：在特殊平行四邊形中解相似三角形對應(yīng)線段成比例問題

【典例8].如圖，正方形ABCD中，對角線AC、5。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)尸在OC上，連接5尸，延長成交CO

于點(diǎn)Q,過點(diǎn)尸作正，族分別交AZXBD于點(diǎn)E、F.

⑴求證：^APE^^DBQ；

(2)求證：DECP=CQ?DF.

【典例9].已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,NDBC的平分線交AD延

長線于點(diǎn)E,交C。于點(diǎn)?

(1)求證：四邊形BCED是菱形；

⑵連接AC交所于點(diǎn)G,如果NC_L怎，求證：AB'=AGAC.

【典例10].已知：如圖，菱形ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AF上BC點(diǎn)、F,連接￡F、ED、DF,DE交

"于點(diǎn)G,且

⑴求證：AE2=EGED

⑵求證：BC2=2DFBF.

題型4:在梯形中解相似三角形

【典例11].如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=C￡),點(diǎn)E在邊BC上，DE與AC交于點(diǎn)F,且

(1)求證：

NCDE=NCAD；

⑵求證：

AB2=EC-BC.

【典例12].已知：如圖，AD//BC,ZABD=ZC,AE1BD,DF上BC,點(diǎn)、E、尸分別為垂足.

AD

AE_BD

(1)求證:

DF~BC

(2)連結(jié)跖，如果NAD3=N8DF,求證：DFDC=EFBC.

【典例13].如圖，在四邊形ABCD中，=NBCD,點(diǎn)E在邊2c上,連接AC、DE,滿足NCDE=ACAD,

S.CECB^ABCD.

(1)求證：四邊形ABCD是等腰梯形；

(2)當(dāng)時，求證；AF2=CFCA.

【典例14].如圖，已知VA3C和△￡>區(qū)都是等邊三角形，點(diǎn)8、C、E在同一直線上，連接3。交AC邊

于點(diǎn)尸.

(2)如果3c=2EC,的面積為1,求四邊形ABCD的面積.

【典例15].如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,E是邊BC上一點(diǎn)，AE與對角線3。相交于點(diǎn)E

SLBE2=EFAE.

⑴求證：ADAB^AAFB；

(2)聯(lián)結(jié)AC,與3D相交于點(diǎn)。，若AB?OBBC1AF,求證：AF2=OD^<BF.

【典例16].已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,點(diǎn)E在邊上，AC與DE交于

點(diǎn)尸，ZADE=NDCA.

⑴求證：AFg4C=AEgCr＞；

(2)如果點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，求證：AB2^2DFDE.

題型5：含雙平方關(guān)系的對應(yīng)線段成比例問題

【典例17].已知：如圖，在VABC中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，DE//BC,EB平分NDEC.

BF2AF

(2)如果牛=空，求證：AABESAACB.

BC2AC

【典例18].如圖，在VABC中，NACB=90。，CDLAB,垂足為點(diǎn)O,E是AC的中點(diǎn)，DE的延長線與BC

的延長線交于點(diǎn)F.

⑴求證：FD?=FC-FB；

DF2_AD

(2)求證:

BF2-BD

題型6:數(shù)字與對應(yīng)線段復(fù)合式成比例問題

【典例19].已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=^BC,對角線AC與交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是AB

邊上的中點(diǎn)，連接CG交于點(diǎn)E,并滿足反?2=GE.GC.

⑴求證：ZGAE=ZGCA；

(2)求證：AD?BC=2DF?DE

【典例20].已知:如圖，在VABC中，點(diǎn)r>,E分別在AB,AC上，DE〃臺C,點(diǎn)尸在邊AB上，BC2=BFBA,

CP與。E相交于點(diǎn)G.

(1)求證：AABCsAGDF.

2FGAF

(2)當(dāng)點(diǎn)￡為4。的中點(diǎn)時，求證：黑.

DGDF

【典例21].如圖，過VA3C頂點(diǎn)C作直線與A3與及中線AD交于尸、E,過。作DM〃尸C交AB于M.

⑴若S^AEF:$四邊形AS=2：3,求AE：ED的值;

(2)求證：AEFB=1AFED.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、解答題

1.如圖，D、E分別是VABC的邊A3、AC上的點(diǎn)，且/4￡E>=NB.求證：AEAC=ADAB.

2.如圖，在VABC中，ZACB=90°,CDYAB,垂足為點(diǎn)。，E是BC上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)AE交CO于點(diǎn)廠,

S.AC2=CDAE.

c

⑴求證：ZCE4=ZC4B；

(2)作CGLAE,垂足為點(diǎn)G,延長CG交A8于點(diǎn)M,求證：AECM=ABCF.

3.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)尸在邊C。上，連接AF并延長，交對角線于點(diǎn)E、BC的延長線與點(diǎn)G.

⑴求證：AE是EG、E尸的比例中項；

FF

(2)若BC=6,DF=4,求行的值.

EG

4.如圖，已知：。是VABC的邊3C上一點(diǎn)，點(diǎn)E在VABC外部，S.ZBAE=ZCAD,ZACD=ZADC=ZADE,

DE交AB于點(diǎn)F.

⑴求證：AB=AE；

(2)如果求證：EF-=BFAB.

5.已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是邊。C上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)。、C重合)，AE交對角線比)于R

過點(diǎn)E作EG〃BC交BD于點(diǎn)G.

(1)求證：DF2=FGBF-,

⑵當(dāng)3DZ1F=2AD-DE時，求證：AELDC.

6.已知：如圖，直線所經(jīng)過矩形ABCD頂點(diǎn)。，分別過頂點(diǎn)A、C作即的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)?

且。E=連接AC.

(2)連接BE和3尸，求證：BE=BF.

7.已知：如圖，在VA3C中，點(diǎn)￡＞、￡■分別在邊A3、AC上，DE//BC,NBDC=NDEC.求證:

6CD-AE

⑵定=玄

8.如圖，已知在VABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在邊BC上，CEJ.AB,CFLAD,E,尸分別是垂足.

(2)連接￡F,求證：AEDB=ADEF.

9.如圖，已知在VA3C中，點(diǎn)后尸在邊BC上.

⑴如果△AEF是等邊三角形，且NBAC=120。，求證：^ABE^ACF；

1

orAE12

(2)如果AB=AC,AE2=EF-EC,求證：——=.

CEAE2

10.如圖，在中，ZR4C=90°,CD平分"C4,作AE_LCD交3c于點(diǎn)E,垂足為足作BG_LAE,

垂足為G.

A

G

⑴求證：AC2=CFCD.

⑵求證：AEAG^IBGCF.

H.已知：如圖，在菱形45co中，點(diǎn)E、尸分別在邊BGCD上，BE=FD,AF的延長線交BC的延長線

于點(diǎn)a,AE的延長線交DC的延長線于點(diǎn)G.

⑴求證：AAF4AGAD.

⑵如果。尸=cccr),求證：BE=CH.

12.已知：如圖，在VA3C中，AD平分23AC,點(diǎn)。、E分別在邊3C、AB上，線段AD與CE相交于點(diǎn)尸,

S.ABAF^ACAD.

(2)如果AE=AF,求證：CF2=DFDA.

13.已知，如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,48=90。，對角線AC、8。相交于點(diǎn)E,且ACSBO.

(2)點(diǎn)尸是邊BC上一點(diǎn)，連接AF,與3。相交于點(diǎn)G,如果NBAF=NDBF,求證：絲=些.

AZTBD

14.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，兩對角線AC和相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)X,

?！焙虯C交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)H0并延長H0交邊CD于點(diǎn)G.求證：

(1)ZDHG=/OCD；

Q)OG-AE=DE-CG.

15.如圖，在梯形ABC。中AD〃3C,點(diǎn)尸，E分別在線段BC,AC上，S.ZFAC=ZADE,AC=AD

⑴求證：DE=AF

⑵若ZABC=NCDE,求證：AF2=BFCE

16.已知，在AABC中，BE、CF是44BC的兩條高，BE、CF交于點(diǎn)G.求證:

(1)AGCE=CF>GC；

(2)1AFE?ACB.

17.如圖，在VABC中，NACB=90。，AC=3C,點(diǎn)。是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的一點(diǎn)，ZEDF=45°,

。產(chǎn)交