2025新蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章三角形單元基礎(chǔ)鞏固測(cè)試卷

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：100分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.下列圖形中，是全等圖形的是（）

2.下列長(zhǎng)度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.1,2,3B.4,6,9C.2,9,6D.2,2,4

3.下列能表示VA3C的邊上的高的是（）

5.如圖，在VABC中，AB=AC=8,BC=5,線段AB的垂直平分線交A3于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，則BDC

的周長(zhǎng)為（）

6.如圖，在Rt^ASC中，ZC=90°,8。平分/ABC,DEJ.AB,垂足為點(diǎn)E,AD=6,AC=10,則

的長(zhǎng)是（

A.2B.3C.4D.6

7.如圖，在VABC中，D,E,尸分別是8C,AD,CE的中點(diǎn)，S5c=4cm"則SREF等于（）cn?

A.2B.1C.0.5D.0.25

8.如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=10c/w,3c=8。％,點(diǎn)E在邊AB上，AE=4cm,如果點(diǎn)尸從點(diǎn)8

出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C。上從點(diǎn)C以2c〃z/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng).則能夠使113p￡與VC。尸全等的時(shí)間為（）

A.IsB.2sC.3sD.4s

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.如圖是太原北中環(huán)橋的斜拉索，能確保橋面的穩(wěn)定性和安全性.那么其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是

10.如圖，已知要使AABC冬ADCB,還需要添加一個(gè)條件，那么這個(gè)條件可以是（只

需要填寫一個(gè)）.

AD

11.如圖，在等腰三角形ABC中，ZB==70。，點(diǎn)。是邊2C的中點(diǎn)，則/54。的度數(shù)為_____度.

A

Nl+/2=

13.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分/A4c交8c于。，若BC=15,3。=9,貝U點(diǎn)。到邊AB

的距離是.

的垂直平分線DE交3c于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)E,連接AD,若AD

平分/C4B,BC=6,則8。的長(zhǎng)為.

15.一個(gè)等腰三角形一條腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成了6和12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊

長(zhǎng)為.

16.如圖，VA3c為等邊三角形，AB=4,AD23C,點(diǎn)E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,以CE為邊作

等邊△CEF,連接則線段的最小值為.

三、解答題：本題共9小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.如圖，點(diǎn)。、C在線段AF上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.求證：ZS=ZE.

18.如圖，在邊長(zhǎng)是1的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)三角形A3C.請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作

圖痕跡，不寫作法）.

A謫：

(1)在直線A3上找一點(diǎn)尸，使PC的長(zhǎng)最小，并說明理由；

⑵找出格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))H,使AC〃BH.

(3)若AC=5,則四邊形的面積是.

19.如圖，已知AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD,Z1=25°,Z2=30°.

⑴求證：ABEqACD；

⑵求N3的度數(shù).

20.用無刻度直尺和圓規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡).

(1)如圖①，作NABC的平分線8。，交AC于點(diǎn)。；

(2)如圖②，作一條直線/,使得點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)尸.

21.如圖，在四邊形A3CD中，ZABC=ZADC=90°,M、N分別是對(duì)角線AC、8。的中點(diǎn)，連接MN,

求證：MN±BD.

22.如圖，點(diǎn)A,8分別在NMON的邊,ON上,NMON的平分線OC與A3的垂直平分線C。交于點(diǎn)C,

CELOM于點(diǎn)E,CFLON于點(diǎn)、F.求證：AE=BF.

M

E.

BN

23.如圖，AD為VABC的中線，班為△ABD的中線.

(1)已知AB-AC=5cm,△ABD的周長(zhǎng)為25cm,求△ADC的周長(zhǎng);

⑵在AAEB中作AE邊上的高；

⑶若VA3c的面積為40,AE=5,則點(diǎn)2到AE邊的距離為多少？

24.(1)如圖1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,分別從點(diǎn)5,C向直線/作垂線,

垂足分別為O,E,求證：AABD^ACAE；

圖1

【變式探究】

(2)如圖2,在VA3c中，AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)、D,E分別在直線/上，如果NCEA=ZADB=ABAC,

猜想DE,BD,CE有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

【拓展應(yīng)用】

(3)小明和科技興趣小組的同學(xué)制作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3所示，以VA3c的邊AB,AC為

一邊向外作54。和一C4E,其中/BAD=NCAE=90。，AB=AD,AC=AE,AG是邊上的高，延長(zhǎng)G4

交DE于點(diǎn)H.設(shè)4燈的面積為跖，的面積為$2,請(qǐng)猜想跖，$2大小關(guān)系，并說明理由.

25.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且

NBAD=2NEAF，則NFEC馬NBAE的數(shù)量關(guān)系為.

圖I

(2)如圖2,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZD=1SO°,E、/分別是邊8C、CD上的點(diǎn)，且

ZBAD=2ZEAF,請(qǐng)直接寫出EF、BE、DF三條線段間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是直線3C、CD上的點(diǎn)，且

NBAD=2NEAF,請(qǐng)直接寫出EF、BE、分三條線段間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

答案解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.下列圖形中，是全等圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了全等圖形，解題時(shí)注意：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.認(rèn)真觀察圖形,

找出大小或形狀都一致的圖形即可.

2.下列長(zhǎng)度的三條線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.1,2,3B.4,6,9C.2,9,6D.2,2,4

【答案】B

【分析】本題考查構(gòu)成三角形的條件，判斷兩較短長(zhǎng)度之和與較長(zhǎng)的長(zhǎng)度之間的大小關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.1+2=3,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B.4+6>9,能構(gòu)成三角形，符合題意；

C.2+6<9,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

D.2+2=4,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

故選：B.

3.下列能表示VABC的邊2c上的高的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了畫三角形的高，熟練掌握高的定義是解題的關(guān)鍵.

從3C所對(duì)的頂點(diǎn)A向或的延長(zhǎng)線作垂線段即可.

【詳解】解：A.破不是任何邊上的高，故不符合題意;

B.AE是VABC的邊8C上的高，故符合題意;

C.8E是VA3C的邊AC上的高，故不符合題意;

D.A3不是任何邊上的高，故不符合題意;

故選B.

4.如圖，已知八4。32△ACB，，ZACA=35°,則N3CB'的度數(shù)為（）

30°C.35°D.55°

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得=進(jìn)

而可求出NBC9的度數(shù).

【詳解】解：：△AC?^^A!CB',

ZB'CA'=ZBCA,

：.ZB'CA-ZBCA=ZBCA-ZBCA,

：.ZBCB'=ZACA=35°.

故選C.

5.如圖，在VABC中，AB=AC=8,BC=5,線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，貝UBDC

的周長(zhǎng)為（）

D

B匕-------<

A.21B.14C.13D.9

【答案】C

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得45=BD,據(jù)此根據(jù)三

角形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：：線段的垂直平分線交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)。，

/.AD=BD,

：.即C的周長(zhǎng)=SD+5C+CD=3C+CD+AD=3C+AC=8+5=13,

故選：C.

6.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,8。平分/A3C,DEJ.AB,垂足為點(diǎn)E,AD=6,AC=10,則

的長(zhǎng)是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=DC,再利

用線段的和差關(guān)系可求出結(jié)果.

【詳解】解：

ZB￡D=90°,

*/3。平分NABC,ZC=90°,

DE=DC,

VAD=6,AC=10,

DE=DC=AC-AD=10-6=4,

故選：C.

22

7.如圖，在VA3C中，D,E,P分別是BC,AD,CE的中點(diǎn)，SAABC=4cm,則5座等于（）cm

A.2B.1C.0.5D.0.25

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.

根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形可得S旗。=S48=：S項(xiàng)c=gx4=2cm2,得到

22

S.BDE=ABD=1cm,SCDE=3S.ACD=km?,求出SBCE=SBDE+SCDE=2cm?,得到SBEF=—SBCE=1cm,

即可得到答案.

【詳解】解：D,E,尸分別是6C,AD,CE的中點(diǎn)，5.酎=4加2,

112

..SAB。=SAc。=耳SA5c=]x4=2cm,

1212

BDE

?0-S=~^SABD=1cm,SCDE=—SACD=1cm,

一SBCE~SBDE+SCDE=2cm,

_12

..SBEF=2SBCE=km,

故選：B.

8.如圖，已知長(zhǎng)方形"CD的邊長(zhǎng)AB=10cm，5C=8cm,點(diǎn)片在邊AB上，AE=4cm,如果點(diǎn)尸從點(diǎn)5

出發(fā)在線段3C上以2./S的速度向點(diǎn)。向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段上從點(diǎn)。以2s/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng).則能夠使石與VCQP全等的時(shí)間為（）

A.1sB.2sC.3sD.4s

【答案】A

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程、全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì).設(shè)

能夠使3PE與VCQP全等的時(shí)間為ts,則的=2xm,CP=BC-BP=(S-2x)cm,CQ=2xcm,分兩種

情況分別討論即可得解：①,BPE—CQP；②BPE^CPQ.

【詳解】解：AB=10cm,AE=4cm,

:.BE=AB—AE=6cm,

設(shè)能夠使.瓦方與VCQ尸全等的時(shí)間為，s,

則=CP=BC—BP—(8—2xjcm,CQ=2xcm,

分兩種情況考慮：

①,出石之二CQ尸時(shí)，

:.CP=BE,

即8—2%=6,

解得x=1,

止匕時(shí)BP=CQ=2cm,

二?Is時(shí)能夠使JPE與NCQP全等；

②&BPEACPQ,

:.CQ=BE,

即2x=6,

解得％=3,

止匕時(shí)5P=6的，CP=8—2x=2,

即5尸wCP,與..5尸石也二。尸。矛盾(舍去)；

綜上，能夠使,母打與VCQ尸全等的時(shí)間為1s.

故選：A.

二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。

9.如圖是太原北中環(huán)橋的斜拉索，能確保橋面的穩(wěn)定性和安全性.那么其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是.

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

【分析】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【詳解】解：太原北中環(huán)橋的斜拉索，能確保橋面的穩(wěn)定性和安全性.那么其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是：三角

形具有穩(wěn)定性.

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

10.如圖，已知要使△ABC四△DCB,還需要添加一個(gè)條件，那么這個(gè)條件可以是（只

需要填寫一個(gè)）.

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意可得有一角一邊相等，結(jié)合全等三角形的判定定理

添加條件即可.

【詳解】解：添加的條件是=證明如下：

在VA3C和中，

'NABC=NDCB

<ZA=ZD,

BC=CB

：..ABC均。CB（AAS）,

故答案為：ZABC=NDCB（答案不唯一）.

11.如圖，在等腰三角形ABC中，4=70。，點(diǎn)。是邊2C的中點(diǎn)，則/&LD的度數(shù)為度.

B

【答案】20

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，根據(jù)三線合一可得/4D3=90。，進(jìn)

而根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求解.

【詳解】解：：在等腰三角形ASC中，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，

ADJ.BC,則NAD3=90。，

VZB=70°,

/BAD=90°—70°=20°

故答案為：20.

12.如圖，在2x2的正方形網(wǎng)格中，Zl+Z2=

【答案】90。/90度

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，證明ABC^DBE,得到N1=4?DE,進(jìn)而

得至l]Nl+N2=/3DE+/2=90。即可.

【詳解】解：如圖，由圖可知：AB=BD,NB=NB,BC=BE,

:：ABCWDBE,

：.Zl=ZBDE,

Zl+Z2=ZBDE+Z2=90°；

故答案為：90°.

13.如圖，在中，ZC=90°,AD平分NA4c交BC于。，若3C=15,BD=9,則點(diǎn)。到邊AB

的距離是.

C

D/

BA

【答案】6

【分析】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等.首先得出

CD=BC-BD=6,然后利用角平分線的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】解：,；3C=15,BD=9,

：.CD=BC-BD=l5-9=6,

VZC=90°,AD平分/胡C,

/.D到邊AB的距離=CD=6.

故答案為：6.

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB的垂直平分線DE交8C于點(diǎn)O,垂足為點(diǎn)E,連接AD,若AD

平分NC4B,BC=6,則8。的長(zhǎng)為.

A

CDB

【答案】4

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到八4=則由等邊對(duì)等角和角平分線的定義可得

NCAD=NBAD=NB,再由三角形內(nèi)角和定理可推出NC4D=30。，則可得到AD=2CD,再由線段

的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】解：TAB的垂直平分線OE交5C于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)E,

JDA=DB,

:.ZDAB=ZB,

AD平分/C4B,

:.ZCAD=ZBAD=ZB,

ZC=90°,

ZCAD+ZBAD+ZB=90°f

JZCAD=30°,

???BD=AD=2CD,

,:BC=CD+BD=6,

；.-BD+BD=6,

2

BD=4,

故答案為:4.

15.一個(gè)等腰三角形一條腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成了6和12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊

長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】本題考查了二元一次方程組的求解、三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義，正確分類、熟練掌

握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.

設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為x,底邊長(zhǎng)為y,分兩種情況：當(dāng)腰和腰的一半的和為6與當(dāng)腰和腰的一半的和為12

時(shí)，分別列出方程組結(jié)合三角形的三邊關(guān)系求解即可.

【詳解】解：設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為無，底邊長(zhǎng)為》分兩種情況：

x+—x=6

2

當(dāng)腰和腰的一半的和為6時(shí)，貝IJ

—x+y=12

2

解得x=4,y=10,

此時(shí)三角形的三邊為4,4,10,不能構(gòu)成三角形，故舍去;

x+—x=12

2

當(dāng)腰和腰的一半的和為12時(shí)，則

—x+y=6

2

解得尤=8,y=2,

此時(shí)三角形的三邊為8,8,2,能構(gòu)成三角形；

所以三角形的底邊長(zhǎng)是2；

故答案為：2.

16.如圖，VA3C為等邊三角形，Afi=4,點(diǎn)E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,以CE為邊作

等邊△CEF,連接則線段的最小值為.

【答案】1

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，連接班可證

3cp組ACE(SAS),得到NCB尸=NG4E=30。，BF=AE,可知當(dāng)*'時(shí)，線段叱的值最小，進(jìn)

而解答即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接即，

：VA3C為等邊三角形，AB=4,ADJ.BC,

：.BC=AC=AB=4,BD=CD=-BC=2,ABAC=ZACB=60°,ZCAE=30°,

2

?.?△CEF為等邊三角形，

CF=CE,ZFCE=60°,

ZFCE=ZACB,

：.ZBCF=ZACE,

在V3C廠和"支中，

BC=AC

<ZBCF=ZACE,

CF=CE

：.BCF^ACE(SAS),

ZCBF=ZCAE=30°,BF=AE,

.?.當(dāng)時(shí)，線段。廠的值最小,

此時(shí)/BED=90°,NCBF=30°,

：.DF=-BD=\,

2

故答案為：1.

三、解答題：本題共9小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.如圖，點(diǎn)。、C在線段AF上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.求證：ZB二ZE.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先結(jié)合^AC=DF,證明一ABC空。跖（SSS）,

即可作答.

【詳解】證明：?.?AO=Cf\

AD+DC—CF+DC,

：.AC=DF,

在VABC和1）所中，

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

.：ABCDEF(SSS),

:.NB=NE.

18.如圖，在邊長(zhǎng)是1的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)三角形ABC.請(qǐng)僅用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留作

圖痕跡，不寫作法）.

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(1)在直線AB上找一點(diǎn)尸，使PC的長(zhǎng)最小，并說明理由;

⑵找出格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))H,使AC〃出7.

(3)若AC=5,則四邊形ABHC的面積是.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)9

【分析】(1)根據(jù)垂線段最短畫圖即可.

(2)根據(jù)平行線的判定畫圖即可.

(3)根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)如圖點(diǎn)尸即為所求.

理由：在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短.

(2)如圖，點(diǎn)H即為所求.

BP

(3)四邊形ABAC的面積是3x3=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、垂線段最短、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題.

19.如圖，已知AB=AC,AD^AE,^BAC=ZEAD,Z1=25°,Z2=30°.

⑴求證：

⑵求N3的度數(shù).

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)55°

【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定定理.

根據(jù)N54C=NZME,通過角的計(jì)算即可得出Nl=/B4E,結(jié)合AB=AC、AD=A￡即可證出

BAE②CAD(SAS),進(jìn)而即可得出NABD=N2=30。.再根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出N3的度數(shù).

【詳解】(1)證明：NBAC=/DAE,ZBAC=ZBAE+ZCAE,ZDAE=Zl+ZCAE,

:.Z1=ZBAE,

在4ABE和ACD中

AB=AC

<Zl=ZBAE,

AD=AE

ABE空,ACD(SAS)；

(2)解：ABE^,-,ACD,

:.ZABD=Z2=30°,

Z3=ZBAE+ZABD=Zl+ZABD=25°+30°=55°.

20.用無刻度直尺和圓規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡).

B

圖2

(1)如圖①，作—ABC的平分線3。，交AC于點(diǎn)。；

(2)如圖②，作一條直線/,使得點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)尸.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作一個(gè)角的平分線，尺規(guī)作圖一作線段的垂直平分線，軸對(duì)稱圖形,

解題關(guān)鍵是正確作出圖形.

(1)利用尺規(guī)角平分線；

(2)依據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分進(jìn)行作圖即可.

(2)如圖，直線/即為所求.

21.如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,M、N分別是對(duì)角線AC、8。的中點(diǎn)，連接MV,

求證：MN±BD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即

2

可.

【詳解】證明：如圖，連接aw、DM,

ZABC=ZADC=90°,M是AC的中點(diǎn),

BM=DM=-AC,

2

點(diǎn)N是3。的中點(diǎn)，

MN1.BD.

22.如圖，點(diǎn)A,8分別在NMON的邊。M,ON上,ZMON的平分線OC與A3的垂直平分線C。交于點(diǎn)C,

CELO河于點(diǎn)E,CF1.ON于點(diǎn)F.求證：AE=BF.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，連接AC,

BC,由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=BC,由角平分線的性質(zhì)得到CE=CF,據(jù)此可證明

RtCEA^RtCFB(HL),則可證明AE=BF.

【詳解】證明：如圖所示，連接AC,BC,

CD垂直平分AB,

AC=BC,

.CE±OM,CFION,OC平分NMON,

CE=CF,ACEA=NCFB=90°,

RtCEA^SXCFB(HL),

AE=BF.

23.如圖，AD為VABC的中線，班為△ABD的中線.

(1)已知AB-AC=5cm,的周長(zhǎng)為25cm,求△ADC的周長(zhǎng)；

⑵在中作AE邊上的高；

⑶若VA3c的面積為40,AE=5,則點(diǎn)B到AE邊的距離為多少？

【答案】(1)20cm

(2)見解析

⑶4

【分析】本題考查了三角形的面積，三角形的中線、高線，解決此類題目最常用的是等底等高的三角形的

面積相等，要熟練掌握.

(1)根據(jù)中線的定義可得3D=CD,然后表示出△ABD的周長(zhǎng)，再把A3用AC表示，8。用CD表示，整

理即可得解；

(2)根據(jù)三角形高線的定義作出即可；

(3)根據(jù)等底等高的三角形的面積相等用VABC的面積表示出.樨的面積，再利用三角形的面積公式列

式計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：AD為VA3C的中線，

/.BD=CD9

AB—AC=5cm,

AB=AC+5,

??.△ABD的周長(zhǎng)=3D+A￡>+AS=5￡)+AZ)+AC+5=25cm,

/.BD+AD+AC=20cm,

AADC的周長(zhǎng)=CD+AD+AC=5D+AD+AC=20cm；

(2)解：如圖，即即為AABE中AE邊上的高，

(3)解：設(shè)點(diǎn)3到邊的距離為，

AD為VA5C的中線，砥為的中線,

S/\ABD=3*^AABC，*^AABE=/*^AABD

?*.SA人OMC=—4S/aiobCc=—4x40=10,

—AE-h=—x5h=10,

22

k=4,

.1點(diǎn)8到AE邊的距離為4.

24.(1)如圖1,在VABC中，N54c=90。，AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,分別從點(diǎn)B,C向直線/作垂線,

垂足分別為O,E,求證：AABD^ACAE；

【變式探究】

(2)如圖2,在VA3C中，AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)、D,E分別在直線/上，如果ACEA=ZADB=ABAC,

猜想￡>E,BD,CE有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明;

【拓展應(yīng)用】

(3)小明和科技興趣小組的同學(xué)制作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3所示，以VA3C的邊AB,AC為

一邊向外作54。和C4E,其中/BAD=NC4E=90。，AB=AD,AC=AE,AG是邊上的高，延長(zhǎng)G4

交DE于點(diǎn)H.設(shè)的面積為跖，的面積為S2,請(qǐng)猜想跖，S?大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)DE=BD+CE；證明見解析(3)S,=S2；理由見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不同圖形條件，準(zhǔn)確找到全等三角形的對(duì)

應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，利用AAS等判定定理證明全等，進(jìn)而推導(dǎo)邊的關(guān)系和面積關(guān)系。

(1)根據(jù)垂直定義得NBZM=NAEC=90。，貝!JNDW+NDR4=90。，再根據(jù)"40=90。得

ZDAB+ZEAC=90°f由此得ND84=NE4C,進(jìn)而可依據(jù)AAS判定△板)和一。場(chǎng)全等；

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)得？石4C?R4C2ADB?DBA,再根據(jù)NAD5=NR4C得44C=NDBA,進(jìn)

而可依據(jù)AAS判定石4。和“DBA全等得CE=4),AE=BD,由此可得出BD,CE的數(shù)量關(guān)系；

(3)過點(diǎn)。作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過點(diǎn)石作硒于點(diǎn)N,則？AG52M90?,進(jìn)而

得NABG+NR4G=90。，再根據(jù)NB4D=90。得？BAG1DAM90?,由此得？ABG1DAM,進(jìn)而可依據(jù)

AAS判定-ABG和△D4”全等，則QN=AG,同理可證明一ADC之一硒A得￡7V=AG,則。M=然后

再根據(jù)三角形的面積公式即可得出用，S2大小關(guān)系.

【詳解】(1)證明：???加/直線/,CE,直線/,

???ZBDA=ZAEC=9Q°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

?.?ABAC=90°,

：.ZDAB-^-ZEAC=90°,

：.ZDBA=NEAC,

在△板)和4c4E中，

ZBDA=ZAEC

</DBA=NEAC,

AB=AC

：.ABD^CAE(AAS)；

(2)解：DE,BD,CE的數(shù)量關(guān)系是：DE=BD+CE,證明如下：

,/NE4B是的外角，

：.1EAB?ADB?DBA,

：.?EAC1BAC?ADB?DBA,

■:ZADB=ZBACf

：.NEAC=ZDBA,

在.E4C和。及1中，

ZEAC=/DBA

<ZCEA=ZADB,

AB=AC

Z)BA(AAS),

ACE=AD,AE=BD,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(3)Si，邑大小關(guān)系是：Si=S?,理由如下:

過點(diǎn)。作。暇，AH交A"的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過點(diǎn)E作硒，AH于點(diǎn)N,如圖所示:

：.?AGB?M90?,

??.ZABG+ZBAG=90°,

*：ZBAD=9Q0,

：.?BAG1DAM90?,

：.?ABG?DAM,

在.ABG和△DAM中，

ZAGB=ZM

<NABG=ADAM,

AB=AD

：..ABG^OAM(AAS),

?,.DM=AG,

同理可證明