第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

考試要求1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.

2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應用.

■知識診斷自測

【知識梳理】

1.伯努利試驗與二項分布

⑴伯努利試驗

只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復進行

n次所組成的隨機試驗稱為〃重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),

用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=&(l-pY-k,k=0,1,

2,,,,,n,稱隨機變量X服從二項分布，記作X?B(n,〃).

2.兩點分布與二項分布的均值、方差

(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)=g,D(X)=p(l-pY

(2)若X?B(〃，p),則6(為=迎，D(X)=np(l-pY

3.超幾何分布

一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不

放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=Z)=^^,

k=m,m+1,m+2,…，r,其中，n,N,MGN*,M&N,nWN,m=max{0>

n—N+M1,r=min{n,M},稱隨機變量X服從超幾何分布.

4.正態(tài)分布

⑴定義

-52

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為火力=西方.e2c2,XGR,其中，〃CR,

。>0為參數(shù)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記為X?N@,冷.

⑵正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的，它關于直線x=a對稱.

②曲線在處達到峰值g屋.

③當國無限增大時，曲線無限接近x軸.

(3)3。原則

①trWXW〃+心0.6827；

②尸(//—2(TWXW〃+2。)亡0.9545；

③尸(//—3?WXW〃+3。)心0.9973.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N〃，/)，則E(X)=w，D(X)=2

［常用結論與微點提醒］

1.兩點分布是二項分布當”=1時的特殊情形.

2.超幾何分布有時也記為X?85,M,N)，其均值E(X)=R,

nM(—Nn—-1Jj

N,

3.若X服從正態(tài)分布，即X?叫，/)，要充分利用正態(tài)曲線關于直線對稱

和曲線與x軸之間的面積為“1”解題.

4.利用〃重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率

模型是否滿足公式P(X=A)=a/(l-p)〃r的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A

發(fā)生的概率是一個常數(shù)p-,(2)〃次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試

驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示〃次試驗中事件A恰好發(fā)

生了上次的概率.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“?”或“X”)

(1)X表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是2的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分

布.()

⑵從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分

布.()

(3)〃重伯努利試驗中各次試驗的結果必須相互獨立.()

(4)正態(tài)分布是對于連續(xù)型隨機變量而言的.()

答案(1)J(2)V(3)V(4)V

2.(選修三P76練習1改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝

上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機變量X的均值E(X)=()

A.2B.lC.gD.1

答案A

解析由題意可知，X?3(4,目，

E(X)=4x1=2.

3.(選修三P78例5改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到

的次品數(shù)，則P(X=2)=.

3

答案10

解析由題意，X服從超幾何分布，其中N=10,M=3,n=4,

C支彳3

故P(X=2)=G7=而.

4.(必修三P87T2改編)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(X>2c—1)=

P(X<c+3),則,=.

4

答案3

解析隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),

VP(X>2c-l)=P(X<c+3),

.2c—l+c+3._4

1?03,?*c3*

■考點

考點一二項分布

例1(2024.常德模擬)某大學一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學生研究了多款學習軟件，

其中有A,B,C三款軟件投入使用，經(jīng)一學年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一

四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：

班級—、二三四

人數(shù)3234

⑴從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；

(2)從這12名學生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習時間每人

選擇一款軟件，其中選A,3兩款軟件學習的概率都是尢且他們選擇A,B,C

任一款軟件都是相互獨立的，設這三名學生中下午自習時間選軟件。的人數(shù)為蜃

求《的分布列和數(shù)學期望.

解(1)從這12人中隨機抽取2人，共有C12=66種可能情況，

記“這2人恰好來自同一班級”為事件A,

則事件A包含的可能情況有

CHCHCHC?=3+1+3+6=13種，

13

所以P(A)=而

(2)由題意知，《的可能取值為0,1,2,3,

因為選A,5兩款軟件學習的概率都是去且他們選擇A,B,C任一款軟件都是

相互獨立的，

所以他們選擇C款軟件學習的概率是

11

---2

66手

所以這三名學生中下午自習時間選軟件C的人數(shù)服從二項分布3(3,|

1

所以p(0=o)=c9

27'

P（口）=C（|）停）君=|,

124

---

PC=2）=C3-27-9

P(一)=C切團=藥

所以^的分布列為

e0123

1248

P

279927

2

所以E(^)=3X-=2.

感悟提升判斷某隨機變量服從二項分布的關鍵點

(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.

(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.

訓練1(2024.煙臺模擬)為了了解觀眾對某電視劇的評價，某機構隨機抽取了10

位觀眾對其打分(滿分為10分)，得到如下表格：

觀眾序號12345678910

評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

(1)求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機抽取3人對該電視劇進行評價，記抽取的3

人中評分超過9.0的人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學期望與方差.

解(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排列，

7.4,7.8,8.3,8.5,8.5,8.6,8.9,9.1,9.5,9.9,

因為75%X10=7.5,

所以第8個數(shù)據(jù)為所求，

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.

(2)樣本中評分超過9.0的有3個，

所以評分超過9.0的概率(頻率)為0.3,

依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,

且X?3(3,0.3),

則P(X=O)=C2XO.73=0.343,

P(X=1)=C^X0.3X0.72=0.441,

P(X=2)=C3義0.32*0.7=0.189,

P(X=3)=dX0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以E(X)=3X0.3=0.9,

D(X)=3X0.3X0.7=0.63.

考點二超幾何分布

例2(2024.宿州模擬)宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計算數(shù)據(jù)中心、

CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟南之后的全國第5家量子通

信節(jié)點城市.為了統(tǒng)計智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機房和6個小型機房中

隨機抽取若干機房進行算力分析，若一次抽取2個機房，全是小型機房的概率為去

(1)求〃的值；

(2)若一次抽取3個機房，假設抽取的小型機房的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學

期望.

解(1)由題知，共有幾十6個機房，抽取2個機房有C/+6種方法，其中全是小機

房有CM種方法，因此全是小機房的概率為〃=意=木

解得〃=4.即n的值為4.

(2)X的可能取值為0,1,2,3.

CgC?41

P(X=O)=_CT=12O=3O,

pry=n=C^=.3￡=A

i'—C?o—120—10，

P(X=3)=-CT=12O=6-

則隨機變量X的分布列為

X0123

1311

P

301026

13119

則X的數(shù)學期望E(X)=0X—+1X—+2X-+3X-=-

感悟提升L超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體

的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù);

(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.

2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典

概型.

訓練2(2024.鄭州調(diào)研)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設一盤中有10個粽子,

其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選

取3個.

⑴求三種粽子各取到1個的概率;

（2）設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列，并求E（X）.

解（1）令A表示事件“三種粽子各取到1個”，

則由古典概型的概率計算公式有

尸⑷一C5o—4，

（2）X的所有可能值為0,1,2,且

「陽。）=品=看P（X=D=詈=看，

"=2）=胃』

例3（1）（多選）（2024.哈爾濱模擬）某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件,

零件的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態(tài)分布，X?N@i,諭,Y?Ng

囪），其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論中正確的是（）

A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值

C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性

答案AC

解析X,V均服從正態(tài)分布，X?tr?）,Y?Ng,cn）,

結合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，W=〃2,OT<O2,

故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確,

B錯誤；

甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D

錯誤.

(2)(多選)(2024.泉州部分學校聯(lián)考)已知某地區(qū)有20000名同學參加某次模擬考試

(滿分為150分)，其中數(shù)學考試成績X近似服從正態(tài)分布N(90,/)9>0),則下列

說法正確的是()

(參考數(shù)據(jù)：①P〃一aWXW〃+㈤弋0.6827；②尸(//一〃+2R心0.9545；

③尸〃一3oWXW〃+3。)Q0.9973)

A.根據(jù)以上數(shù)據(jù)無法估計本次數(shù)學考試的平均分

Bo的值越大，成績不低于100分的人數(shù)越多

C.若(7=15,則這次考試分數(shù)高于120的約有46人

D.從參加考試的同學中任取3人，至少有2人的分數(shù)超過90的概率為:

答案BD

解析對于A,由題意知，數(shù)學考試成績X的平均值為90,故A錯誤；

對于B,根據(jù)N(90,(J2)?！怠?中標準差的意義，a的值越大則高于90分低于100

分的人數(shù)越少，

所以成績不低于100分的人數(shù)越多，故B正確；

對于C,當(7=15時，

P(X>120)=1[1—P(60WXW120)]

^X(l-0.9545)=0.02275,

故這次考試分數(shù)高于120的約有

20000X0.02275=455(人)，故C錯誤;

對于D,由數(shù)學考試成績X近似服從正態(tài)分布N(90,〃)g0)知P(X>90)=|,

由〃重伯努利試驗可知，從參加考試的同學中任取3人，至少有2人的分數(shù)超過

23

90的概率為Cgg)&+C§G)=|+|=|，故D正確.

感悟提升解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點

(1)對稱軸為x=〃.

（2）標準差為o.

（3）分布區(qū)間.

由〃，。利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值，使分布區(qū)間轉化為3a特殊區(qū)間，

從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.

訓練3（1）（2024?棗莊模擬）某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試.經(jīng)

過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N（72,82）,則數(shù)學成績位于［80,88］

的人數(shù)約為（）

參考數(shù)據(jù)：Pa—?WXW〃+<7）勺0.6827,

Pa一2（TWXW〃+2（7）Q0.9545,3<7WXW〃+3（T）心0.9973.

A.455B.2718C.6346D.9545

答案B

解析由題意可知，林=72,<7=8,P（8OWXW88）=Pa+（rWXW〃+2Q=；［Pa—

2t7WXW〃+2（7）—P〃一（7WXW〃+（0.9545—0.6827）=0.1359,

則數(shù)學成績位于［80,88］的人數(shù)約為0.1359X20000=2718.

（2）（多選）（2024.常州調(diào)研）已知在數(shù)學測驗中，某校學生的成績服從正態(tài)分布N（U0,

81）,其中90分為及格線，則下列結論中正確的有（附：若隨機變量^服從正態(tài)分

布N"『），蚓」P〃一2t7W/W〃+2（7）=0.9545）（）

A.該校學生成績的期望為no

B.該校學生成績的標準差為9

C.該校學生成績的標準差為81

D.該校學生成績及格率超過95%

答案ABD

解析因為該校學生的成績服從正態(tài)分布N（H0,81）,則〃=no,方差〃=81,

標準差（7=9,

因為〃一2（7=110—2X9=92,

。（片90）>2092）=P（<>〃一2Q

=W+2（7）

0.9545=0.97725>0.95,

所以該校學生成績的期望為110,標準差為9,該校學生成績及格率超過95%.

所以A,B,D正確，C錯誤.

r■■二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系微點突破

1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學生對這兩種模型的定義不能很

好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，事實上，超幾

何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.

2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回

抽取，各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應的總體數(shù)量很大時可以近似地看作

二項分布.

例1寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服

從超幾何分布的是哪些？

⑴Xi表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).

(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有“件(M>M>0),采用有放回抽取方法抽取

〃次抽出的次品件數(shù)為X2.

⑶有一批產(chǎn)品共有N件，其中〃件為次品，采用不放回抽取方法抽〃件，出現(xiàn)

次品的件數(shù)為X3(N—且般三叫

解(1)X1的分布列為

Xi012???n

???

P?2

Xi服從二項分布，即Xi?3",3

(2)X2的分布列為

X20i2???n

2〃一2

p嚶“T???

X2服從二項分布，即X2?個，討

(3)X3的分布列為

X301???k???n

C為_Mc-c俱犯。

p???cfec???

c的CWoCJV

X3服從超幾何分布.

例2為慶祝建軍節(jié)的到來，某校舉行“強國強軍”知識競賽.該校某班經(jīng)過層層

篩選，還有最后一個參賽名額要在A,B兩名學生中產(chǎn)生，該班委設計了一個選

拔方案：A,3兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問

題中，學生A能正確回答其中的4個問題，而學生3能正確回答每個問題的概率

2

均為B兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.

(1)分別求A,3兩名學生恰好答對2個問題的概率；

(2)設A答對的題數(shù)為X,3答對的題數(shù)為匕若讓你投票決定參賽選手，你會選

擇哪名學生？請說明理由.

解(1)由題意，知A恰好答對2個問題的概率為8=普=|,

B恰好答對2個問題的概率為

1

P2=C3=9-

(2)X的可能取值為1,2,3,

則P(X=1)=^=|；

dc33

P(X=2)=~CT~5;

eld1

P(X=3)="cF"?

131

所以E(X)=lX-+2X-+3X-=2,

1312

D(X)=(l-2)12X-+(2-2)2X-+(3-2)2X^=-

易知y?5(3,|),

2212

所以E(r)=3Xg=2,D(Y)=3X^X-=~.

因為E(X)=E(F)，D(X)<D(Y),

所以A與5答題的平均水平相當，但A比3更穩(wěn)定.所以選擇學生A

訓練某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的

40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490,495],(495,

500],…，（510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；

⑵在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求

X的分布列；

（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求y的分布

列.

解（1）質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為

5X0.05+5X0.01=0.3,

所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40X0.3=12（件）.

⑵質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,

X的取值為0,1,2,

X服從超幾何分布.

__C12Ci8_28

尸(X—0)—C%-130,Pp(rXy—nD—Go—65,

,,C?211

r(X-2)-c^-130,

??.X的分布列為

X012

632811

p

13065130

12

（3）根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為常

_3_

-To-

從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗，質(zhì)量超過505

3

克的件數(shù)丫的可能取值為0,1,2,且￥一聞2

10/

2-kk

k=0,1,2.

所以P（y=O）=C*闔=需,

3721

。尸1）=@而正=力

2

p（y=2）=c［御=高

.?.y的分布列為

Y012

49219

P

loo50Too

■課時分層精練

【A級基礎鞏固】

L若隨機變量X?553則P（X=3）等于（）

140

ABCD

-3-243-27t

答案B

解析隨機變量X?3（5,1

40

則尸

(X=3)=Cg243,

2.(2024?湖州質(zhì)檢)設隨機變量X?N〃，/)，且P(XNa)=0.5,P(X<")=3P(XN0),

貝UP(XW2a—。)=()

A.0.25B.0.3C.0.5D.0.75

答案A

解析由已知得。=〃，P(X<b)=l—P(X》b),P(XN0)=0.25,

故由正態(tài)曲線的對稱性可得

P(XW2a—0)=P(XN0)=0.25.

3.(2024?長沙調(diào)研)已知隨機變量X,￥分別滿足X?3(8,p),Y?N@,/)，且E(X)

=E⑺，若P(y?3)=g,則2=()

答案c

解析由y?N@,/)和P(YN3)=W得〃=3,

所以E(X)=E(Y)=3,

又X?3(8,p),所以E(X)=8p=3,

3

所以？=和

4.(多選)(2024.張家口模擬)袋子中有2個黑球，1個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨

機取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X,貝!!()

A.X?3(4,§B.P(X=2)=普

88

C.E(X)=2D.Z)(X)=g

答案ACD

解析從袋子中有放回地隨機取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的

黑球概率相等，又取到黑球記1分，取4次球的總分數(shù)，即為取到黑球的個數(shù)，

所以隨機變量X服從二項分布，

即X?8(4,故A正確；

22

P(X=2)=C直=捺故B錯誤;

因為X?3(4,|),所以及X)=4x|=|,故C正確；

218

D(X)=4X-X-=-,故D正確.

5.若隨機變量X?N(l,『)，且正態(tài)分布NQ,接)的正態(tài)密度曲線如圖所示，則

下列選項中不可以表示圖中陰影部分面積的是()

A.；一尸(XW0)

B.|-P(X^2)

C.；P(XW2)一%(XW0)

Dq—PQWXW2)

答案D

解析根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)密度曲線關于直線x=l對稱，所以題圖中

陰影部分的面積為義一P（XWO）,A正確；

根據(jù)對稱性，P（XW0）=P（XN2）,B正確;

陰影部分的面積也可以表示為

P(XW2)-P(XWO)

正確;

2,C

陰影部分的面積也可以表示為尸（0WXW1）,

而尸(OWXW1)=P(1WXW2),D不正確.

6.（多選）（2024.成都段測）袋中有6個大小相同的黑球，編號分別為1,2,3,4,5,

6,還有4個同樣大小的白球，編號分別為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球，則下

列結論中正確的是（）

A.取出的最大號碼X服從超幾何分布

B.取出的黑球個數(shù)￥服從超幾何分布

C.取出2個白球的概率為上

D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為七

答案BD

解析對于A,根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取,

由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學

模型計算概率，故A錯誤；

對于B,取出的黑球個數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視

作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故B正確；

對于C,取出2個白球的概率為窗=*故C錯誤；

對于D,若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，

則取出四個黑球的總得分最大，總得分最大的概率為部==，故D正確.

7.（多選）（2024.廈門模擬）李明每天7：00從家里出發(fā)去學校，有時坐公交車，有時

騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：

坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36,騎自行車平均用時34分鐘，樣本方

差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時V都服從正態(tài)分布，則()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(XW36)=P(yW36)

C.李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車

D.李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車

答案BCD

解析對于A,由條件可知X?N(30,62),y?N(34,22),根據(jù)正態(tài)曲線的對稱

性可知P(y>32)>0.5>P(X>32),故A錯誤；

對于B,尸(XW36)=P(XW30+6),P(yW36)=P(YW34+2),所以P(XW36)=

產(chǎn)(YW36),故B正確；

對于C,尸(XW34)>0.5=P(YW34),

所以P(XW34)>P(y<34),故C正確；

對于D,P(XW40)<P(X<42)=P(X<30+12),

P(yW40)=P(YW34+6),

所以P(XW40)<P(YW40),故D正確.

8.小趙計劃購買某種理財產(chǎn)品，設該產(chǎn)品每年的收益率為X,若尸(X>0)=3P(XW0),

則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有2年是正收益的概率為.

小心27

口水128

3

解析由題可知該產(chǎn)品每年為正收益的概率為本則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有

22

2年是正收益的概率為=蕊.

9.(2024?蘇北四市調(diào)研)某學校組織1200名學生進行“防疫知識測試”.測試后統(tǒng)

計分析，學生的平均成績1=80,方差§2=25.學校要對成績高于90分的學生進行

表彰.假設學生的測試成績X近似服從正態(tài)分布N@,/)(其中〃近似為平均數(shù)口

，近似為方差』)，則估計獲表彰的學生人數(shù)為?(四舍五入，保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃，片)，則尸(//—oWXW/z+o)仁0.6827,

P〃一2oWXW〃+2㈤勺0.9545,P〃一3(7WXW〃+3㈤弋0.9973.

答案27

解析由題意得〃=80,cr=5,〃+2cr=90,

故P(X>90)=P(X>/u+2(7)X0.9545=0.02275,所以1200X0.02275=

27.3心27.

10.一袋中有除顏色不同，其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任

意取出3個球，有黃球的概率是,若］表示取到黃球的個數(shù)，則￡(0=

解析從中任意取出3個球，樣本點總數(shù)九=色=10,

其中有黃球包含的樣本點個數(shù)

m=?&+?△=9.

所以有黃球的概率是P=々=總

^表示取到黃球的個數(shù)，

則《的所有可能取值為0,1,2,

…c、e1…，、Cic?6

PC=o)=『正P(1)=w，

所以E(^)=OX^+1X^+2X^=1.

n.為普及空間站相關知識，某部門組織了空間站模擬編程闖關活動，它是由太空

發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)萯o個相互獨立的程序題目組成.

規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從io個不同的題目中

隨機選擇3個進行編程，全部結束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確

即為闖關成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個

程序的概率均為熱每位選手每次編程都互不影響.

(1)求乙闖關成功的概率；

(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和均值，并判斷甲和乙誰闖關成功的可能

性更大.

解（1）乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關成功，記乙闖關成功為事件A,

則P(A)=C(|)x|+[l)*

（2）由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

「陽。）=肝=白，P（X=D=普得，

產(chǎn)區(qū)=2）=詈M，P（X=3）=懸",

小工812

因為但,

所以甲闖關成功的可能性更大.

12.（2024.九江模擬）為保護學生視力，讓學生在學校專心學習，促進學生身心健康

發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關于加強中小學生手機管理工作的

通知》，對中小學生的手機使用和管理作出了規(guī)定.某中學研究型學習調(diào)查研究

“中學生每日使用手機的時間”，從該校中隨機調(diào)查了100名學生，得到如下統(tǒng)

計表:

時間//min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人數(shù)1038321073

⑴估計該校學生每日使用手機的時間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表）；

（2）以頻率估計概率，若在該校學生中隨機挑選3人，記這3人每日使用手機的時

間在［48,72］的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望E（X）.

解（1）由題意得，該校100名學生每日使用手機的時間的平均數(shù)為

1Q383210732700

;v=6XToo+18XToo+3OXToo+42XToo+54Xioo+66XToo=^oo-=27^min^

所以估計該校學生每日使用手機的時間的平均數(shù)為27min.

101

（2）由題意知該校學生每日使用手機的時間在［48,72］內(nèi)的概率估計為

100-10,

1

則X?33

10/

3

所以P(X=0)=C(l—春I_729

I—1000,

P(x=i)=Cx*x(i—高243

1000'

P(X=2)=dx|j^)x(l-總=1000'

1

P(X=3)=

w)1000'

所以X的分布列為

X0123

729243271

p

1000100010001000

7292432713

+3X=

所以E(X)=0X1oog+lXi000+2XJoool00010

(或E(X)=3X杼粉

【B級能力提升】

13.（多選）（2024.武漢調(diào)研）已知離散型隨機變量X服從二項分布3（九,2）,其中〃6N*,

0<p<l.記X為奇數(shù)的概率為a,