第六章數(shù)列

第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

考試要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)，理解單調(diào)性是數(shù)列的一項重要性

質(zhì)，可用來求最值.

-知識診斷自測

【知識梳理】

1.數(shù)列的定義

按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列Cln+1>dn

項與項遞減數(shù)列1VCln其中“?N*

間的大常數(shù)列Cln+\=Cln

小關(guān)系從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項

擺動數(shù)列

小于它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列的表示法

數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.

4.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛服｝的第n項以與它的序號〃之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,

那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.

5.數(shù)列的遞推公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式

子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

［常用結(jié)論與微點提醒］

Si,n=1,

1.若數(shù)列｛麗｝的前〃項和為通項公式為人，則麗=?！?/p>

、SnSn-19^2.

QnNcin—l,

2.在數(shù)列｛斯｝中,若斯最大,則＜

若斯最小，則彳

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“/”或“X”)

(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.()

(2)1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.()

(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.()

(4)如果數(shù)列｛服｝的前〃項和為的，則對任意〃?N*,都有a〃+i=S〃+i—S".(

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)數(shù)列：1,2,3和數(shù)列：3,2,1是不同的數(shù)列.

⑵數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的，可以構(gòu)成數(shù)列.

⑶數(shù)列可以是常數(shù)列或擺動數(shù)列.

2.(選修二P8T3改編)已知數(shù)列｛斯｝滿足幻=2,?！?2—-^(“三2),則。5=

Cln-\

猜想an=.

6〃+1

答案5-

13243546

解析由題意知公=2—5=5,〃3=2—§=§，〃4=2—a=a，05=2一5=亍

猜想外=3」.

3.已知數(shù)列｛m｝的前n項和S"=*+2,貝lj｛z｝的通項公式an=.

3,n=l,

答案CI

2/71,n2

解析當(dāng)"三2時，

=2

anSn—S”-i=川+2—(〃-I)—2=2n—1,

又當(dāng)n=l時，＜71=51=3,不滿足上式.

13,n=l,

故""=io1

[2〃-1,〃與2.

4.已知外=/-3〃+1,則數(shù)列｛麗｝的最小項為.

答案01=42=—1

5

解析an=n~—3n+1L|)4,

故當(dāng)九=1或〃=2時，｛斯｝的最小項為

Q1=。2=一1.

■考點聚焦突破

考點一由與Sn的關(guān)系求通項

2

例1(1)已矢口數(shù)歹U｛a〃｝的前n項和Sn=n+2n,貝Ian=.

答案2n+1

解析當(dāng)〃=1時，ai=Si=3.

當(dāng)〃三2時，an=Sn—Sn-i=rr~\-2n—[(?—l)2+2(n—1)]=2n+1.

由于ai=3也滿足上式，an=2n+l.

(2)已知數(shù)列｛詞中,其是其前n項和，且Sn=2an+1,則數(shù)列的通項公式an=

答案一2G

解析當(dāng)〃=1時，^1=51=2(71+1,

a\——1.

當(dāng)時，Sn=2an+1,①

Sn-1=11.(§)

①一②得Sn—Sn-1=2an—2an-1,

即-2cin—i,即?！?2。九-

???｛〃〃｝是首項為ai=~l,公比為q=2的等比數(shù)歹人

=n

Clndl'Q1=-2"1.

遷移在本例(1)中，若5=川+2〃+1,求即

==

解當(dāng)時，anSn~Sn-i2n-\-1,

又當(dāng)〃=1時，m=Si=4,不滿足上式，

4,n=1,

故Cln=<

2n~\-1,〃22.

Si,〃=1,

感悟提升1.已知&求Z的常用方法是利用癡=。c—轉(zhuǎn)化為關(guān)于

、3八On—1,"12,

麗的關(guān)系式，再求通項公式.

2.Sn與an關(guān)系問題的求解思路

方向1：利用a〃=s,—S”1(72三2)轉(zhuǎn)化為只含S〃，s〃-1的關(guān)系式，再求解.

方向2：利用2—S〃_i=麗(〃22)轉(zhuǎn)化為只含詼,廝一1的關(guān)系式，再求解.

訓(xùn)練1(1)(2024?山西名校聯(lián)考)已知數(shù)列｛詞滿足0+3。2+5。3+…+(2〃-l)a“=

(〃+1)2,〃?N*,則｛?！ǎ耐椆絘”=.

4,n=1,

答案2n+1

“22

2n-l9

解析因為Q1+3O2+5〃3+…+(2〃-=①

所以0=22=4,

當(dāng)時，

〃1+3。2+5〃3+…+(2〃-3)a〃—1=",②

由①一②，可得(2〃-l)z=2〃+1,

所以。產(chǎn)智(”>2,

〃?N*),

當(dāng)n=l時，不滿足上式，

[4,n=l,

所以數(shù)列｛an｝的通項公式是2〃+1

區(qū)H"三2.

(2)設(shè)S〃是數(shù)列｛斯｝的刖〃項和，且Ql=—1?Un+l=SnSn+l,則S〃=.

答案T

解析因為Cln+\—Sn+\—Sn,Cln+\~SnSn+\,

所以由兩式聯(lián)立得Sn+l—Sn=SnSn+l.

因為S〃W0,所以=1,

OH+1

即J—1=T

DH+1On

又所以數(shù)列

2=—1,是首項為-公差為一的等差數(shù)列.

kJ!1,1

所以］=一1+(九一1)><(-1)=一",

on

所以Sn=

考點二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

角度1累加法——形如an+1-an=f（n）,求an

例2（2024.西安質(zhì)檢）已知數(shù)列｛a”｝中，ai=l,z+i=a”+〃+l,則數(shù)列｛或｝的通項

公式是

...n（n+1）

答案癡=----2------

解析依題意，癡+1=如+〃+1,

當(dāng)幾22時,an—cin-1+n,

即Un—Un-1=H,

所以當(dāng)時，an—｛an一—I）+（Q〃—i+斯—2）+…+（。2—ai）+ai=〃+（〃-1）+…

n（n+1）

+2+1=2，

當(dāng)n=l時，ai=l符合上式，

故數(shù)列｛麗｝的通項公式是為=」^一.

角度2累乘法——形如筌=A〃），求a”

Un

例3（2023?重慶育才中學(xué)調(diào)研）已知m=2,斯=〃（癡+i—如），則數(shù)列｛斯｝的通項公

式是)

A.nB.〃+1

n

n~\~1

C.2nD.

、n

答案C

解析由Cln—Tl(^Cln+\—，

〃+1

侍(〃+?！?〃斯+即=

1)1,ClnM

annH—1an—2n—2

則當(dāng)心2時,絲_2

an-in-1'an-2n-2'an-3n—3'ai~V

由累乘法可得

ClnUnCln-\Cln-2O1/

?…?加=〃(〃32)

a\dn-\Cln-2?！ㄒ?

因為ai=2,所以訪!=2幾

感悟提升1.形如以+1=斯+4〃）的遞推關(guān)系式，可利用累加法求和，特別注意能

消去多少項，保留多少項.

2.形如以+1=或次〃）的遞推關(guān)系式可化為誓=火0的形式，可用累乘法，也可用

Cln

ClnCln-1

Cln—…若"1代入求出通項?

Cln-1Cln—2

訓(xùn)練2(1)在數(shù)列｛〃〃｝中，(21=2,Q〃+i=z+ln[l+[],則癡等于()

A.2+lnnB.2+(〃-l)lnn

C.2+nlnnD.l+n+lnn

答案A

Yl~\~1

解析因為斯+i—“〃=ln—^-=ln(n+1)—Inn,

所以al—(21=In2—In1,

。3—〃2=ln3—In2,

。4—〃3=ln4—In3,

an—斯―i=lnn—ln(n—1)(〃22),

把以上各式相加得an~ai=lnn—In1,

則〃〃=2+lnn(n22),且QI=2也滿足此式,

因此an=2+ln〃(〃￡N*).

—t心a、i〃i.Cln+l2(〃+l)ri

(2)已知在數(shù)列｛〃〃｝中，tzi—1?~~~一=~9則斯=________.

Clnrl

答案

ClnCln-1Cln-203ai

解析Cln=??'一-一41

Cln-\Cln-2Cln-3aia\

%2(n-1)2(〃一2)2X32X2

―^2-*-—3X…X-y-Xj-X1=2"]〃,

n~1n

又”=1時，＜21=1適合上式，所以＜2"=止2"—1.

考點三數(shù)列的性質(zhì)

角度1數(shù)列的周期性

例4（2024?廈門質(zhì)檢）已知數(shù)列{an}W足Qn+i=，ai=2,〃?N,右Tn=aia2…an,

1-Cln

“GN*,則T1O=.

答案一6

解析因為刃=2'即+1=目,

1+<71八1+〃21

ai=~=-3,a3=~t=-77

1-（211—6Z22

1+〃311+。4-

6Z4="L=不，。5=-；=2=41,???,

1-4331一。4

所以數(shù)列｛圓｝的周期為4,

n1

_X-

3=

又A=。1。2〃3。4=2X（—3）X2J

所以710=（。1。2。3。4）?（。5〃6。7。8＞（。9。10）

=lXlX2X（-3）=-6.

角度2數(shù)列的單調(diào)性

例5（多選）（2024.湖南六校聯(lián)考）已知數(shù)列｛劣｝滿足m=l,?則下列說

法正確的是（）

A.Q〃+I

B1等4是遞增數(shù)列

[UnJ

C.｛z+i—4a”｝是遞增數(shù)列

D.a”三〃2—2〃+2

答案ABD

解析對于A,法一由誓■=&〃+；,

ClnUn

得a”+1=晶+1三1.

又0=1,所以?！ㄈ?,

所以=?！?—22、/a—=2,

anan\jnan

所以m+1三2或，當(dāng)且僅當(dāng)。"=’，

Cln

即an=l時取等號，故A正確.

法二由于與里'=a〃+J,

ClnCln

所以Cln+1=C&+19

所以cin-\-\—2Q〃=晶+1—2Q〃=—1）2N0,

所以。〃十122Z，故A正確.

對于B,由于Cln+122dn9

所以｛〃”｝為遞增數(shù)列，

由（21=1,尸%+：在［1,+8）上單調(diào)遞增，可得1為遞增數(shù)列，故B正確.

IUnI

對于C,由Un+1=忌+1yQI=1,

得。2=2,Q3=5,

所以CL2—4。1=—2,。3—4。2=—3,

所以數(shù)列｛癡十1—4斯｝不是遞增數(shù)列，故C錯誤.

對于D,因為外三1,

所以晶=1〃+1—斯，

所以。九+1=（?！?1—+—Z-1）+…+（。3—。2）+（。2—〃1）+。12〃+1,

所以Cln2n,所以斯+1=忌+1三層+1,

則即—1）2+l=n2—2〃+2,故D正確.

角度3數(shù)列的最值

2

例6（2024?合肥質(zhì)檢）若數(shù)列｛〃”｝的前n項積為=1—產(chǎn)則z的最大值與最小值

之和為（）

157

A.—ByC.2D.g

答案C

2

解析???數(shù)列｛公｝的前〃項積bn=l―甲,

當(dāng)n=l時，（21=1；

當(dāng)“三2時，萬—1=1一三(n—1),

.2

617n2n—72

a>lb-i[2]、2n~9In—9'

n1—y(n—1)

當(dāng)n=l時也適合上式，

2

???斯―I1十L2〃_9,

...當(dāng)時，數(shù)列｛麗｝單調(diào)遞減，且?！?lt;1；

當(dāng)"日5時,數(shù)列｛?｝單調(diào)遞減，且曲>1,

故所的最大值為05=3,最小值為G4=-1,

.?.z的最大值與最小值之和為2.

感悟提升1.解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

(1)用作差比較法，根據(jù)以+1—圓的符號判斷數(shù)列｛期｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常

數(shù)列.

(2)用作商比較法，根據(jù)或所<0)與“1”的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.

(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.

2.求數(shù)列的最大項或最小項的常用方法

(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

(2)利用(〃>2)確定最大項，利用(〃巳2)確定最小項.

(3)解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

訓(xùn)練3⑴已知數(shù)列｛③｝的前n項積為Tn,m=2且a”+i=1—匕則Ti025=___________.

Cln

答案T

解析V<22=1—a\z<23=1——ai=—1,

04=1—\=2,…，

數(shù)列｛礪｝是周期為3的數(shù)列.

又aiQ2Q3=2X；X(—l)=—l,

且2025=3X675,

，乃025=(一1嚴(yán)5=—1.

(2)已知數(shù)列｛m｝滿足或=/—M(〃?N*),若｛或｝是遞增數(shù)列，則2的取值范圍是

答案(一8,3)

解析已知an=rr-An(nN*),

若｛z｝是遞增數(shù)列，

22

則當(dāng)〃三2時，an—n—Xn>an-i—(n—I)—k(n—1),

得2〃一1>A,所以i<3,

則丸的取值范圍為(一8,3).

2〃—19

(3)已知數(shù)列｛劣｝的通項4=2〃_21'“?N*，則數(shù)列｛外｝前20項中的最大項與最

小項分別為，

答案3--1

解析。戶2n口—1r9K2nF—2=1i+2+￡i2T,

2

當(dāng)〃》11時，而刁>°，且數(shù)列僅”｝單調(diào)遞減；

2

當(dāng)IWMWIO時，市不<0,且數(shù)列｛劣｝單調(diào)遞減.

因此數(shù)列｛板｝前20項中的最大項與最小項分別為第11項，第10項.01=3,mo

=-1.

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.數(shù)列｛斯｝的前幾項為3,1121

3,2，8,2'…，則此數(shù)列的通項可能是()

&5〃-43n—2

A.Un=2B.Un=2

6n~510n-9

2D.斯=

答案A

解析數(shù)列為］6n1621

T'2,2，2，…，其分母為2,

分子可表不為1+5（〃-1）=5〃-4,

因此通項公式可能為以="/.

Yl—1

2.已知—〃?],那么數(shù)列｛?！ǎ牵ǎ?/p>

A.遞減數(shù)列B.遞增數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺數(shù)列

答案B

解析以=1—鬲，將?！笨醋麝P(guān)于〃的函數(shù)，“GN*,易知數(shù)列｛z｝是遞增數(shù)列.

3.（2024?青島質(zhì)檢）在數(shù)列｝中，ai=l,cin+i=cin~\~/i,則aio=（）

A.36B.15C.46D.66

答案C

解析由題意得?！?1—Cln—n,

則<710=(<710—<29)+(。9-48)+…+(。2—

(1+9)X9

卜

=9H-----P2+l+l=21=46.

4.（2024.沈陽市郊聯(lián)體聯(lián)考）九連環(huán)是一種流傳于我國民間的傳統(tǒng)智力玩具，有多

種玩法.在某種玩法中：已知解下1個圓環(huán)最少需要移動圓環(huán)1次，解下2個圓環(huán)

最少需要移動圓環(huán)2次，記a.（3W〃W9,〃GN*）為解下n個圓環(huán)需要移動圓環(huán)的最

少次數(shù)，且外=斯一2+2〃一1,則解下8個圓環(huán)所需要移動圓環(huán)的最少次數(shù)為（）

987654321

jttimiiim

0000O0OOO

A.30B.90C.170D.341

答案C

解析由題意，。8=。6+27,〃6=。4+25,

44=42+23=2+23,

所以6Z8=2+23+25+27=170.

（3-。）〃-8,

5.（2024?濰坊調(diào)研）已知數(shù)列｛詼｝滿足an=\,,〃QN*,且數(shù)列

an0,n>6,

｛z｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(2,3)B.[2,3)C.[y,3)D.(b3)

答案C

角翠析當(dāng)時，有3——6/>0,即Q<3；

當(dāng)n>6時，有a>\,

又m>Q6,所以解得與.

綜上，有與<〃<3,故選C.

6.已知數(shù)列｛〃“｝滿足Cbi+l=[，若。1=5，貝!]02025=()

1ClnZ

A.-lB.|C.lD.2

答案A

解析由〃]=5，Cln+1得

21—an

。2=2,Q3=—19。4=5，05=2,,,,,

可知數(shù)列｛板｝是以3為周期的數(shù)列，

因此〃2025=。3*674+3=。3=—1.

7.（多選）已知數(shù)列｛麗｝的通項公式為斯=（〃+2）］勺，則下列說法正確的是（）

A.4Z1是數(shù)列｛劣｝的最小項

B.6Z4是數(shù)列｛。n｝的最大項

C.Q5是數(shù)列｛麗｝的最大項

D.當(dāng)〃三5時，數(shù)列｛麗｝遞減

答案BCD

解析假設(shè)第〃項為｛麗｝的最大項,

Un^Un-l，

則＞

Cln+1,

n、"一

/6（）.（/z力1

(川+2)?2n+1

（〃+2）用三（附+3）?伊

幾W5,

所以《

、心4,

又〃￡N*,所以〃=4或〃=5,

65

故數(shù)列｛〃"｝中。4與。5均為最大項，且。4=〃5=方，

當(dāng)〃三5時，數(shù)列｛斯｝遞減.

8.(2024?深圳調(diào)研)已知數(shù)列｛z｝的前n項和&=一2層+4〃(〃￡N*),貝！J〃5=

答案T4

解析當(dāng)〃=1時，(2i=Si=—2+4=2,

2

當(dāng)時，an—Sn—Sn-\——2/+4〃一[—2(〃-l)+4(n—1)]=—4n+6.

當(dāng)n—1時上式也符合，所以an——4n+6.

所以<25=—20+6=—14.

3

9.已知數(shù)列｛斯｝,為其前〃項和，S〃=2Q〃+I+1,6/1=2,則-

解析由S幾=2〃及+1+1,①

得&-i=2z+l,②

①一②得Cln=2。九+1—2dn9

3

即。〃+1=]〃九，77^2.

139

又。1=2公+1,所以。2=4/5〃1=不

所以數(shù)列｛斯｝從第二項起是公比為:3的等比數(shù)歹心

n22.

■.若數(shù)列｛〃”｝的前n項和8=/—ioW￡N*),則數(shù)列｛飆｝的通項公式an=

，數(shù)列｛〃斯｝中數(shù)值最小的項是第項.

答案2〃一n3

=2

解析Snn—10n9

當(dāng)〃22時，an—Sn—Sn-1=2n—11；

當(dāng)〃=1時，QI=SI=—9也適合上式.

???斯=2〃一H(〃￡N*).

記加)=〃〃〃="(2〃-11)=2/—11〃，

此函數(shù)圖象的對稱軸為直線”=,,但“?N*,

.?.當(dāng)n=3時,取最小值,

二數(shù)列｛九刈｝中數(shù)值最小的項是第3項.

n.求下列數(shù)列｛板｝的通項公式.

(1)<71=1>tZn+l=tZn4_3,!；

(2)<71=1>Cln+\~2.nCln.

解(1)由Gn+1--?！?3"得—?！?3",

當(dāng)n》2時，<2n=6Zl+(tZ2-。1)+(。3-6Z2)+(4Z4—。3)+…+(?！?Un-1)

=l+31+32+33H------卜3“一1

IX(1—3D3"—1

=2

31—1

當(dāng)n=i時，ai=l=一3—,滿足上式,

3”-1*

"尸三一(〃?N).

(2)由cin+\—仔=2",

9Cln

23n-1

當(dāng)〃22時，an—a\X—X—X—X???X~^~=lX2X2X2X???X2

a\ai〃3an-i

n(〃一1)

++-

—2123+-+(?1)=2-------

當(dāng)九=1時，ai=l滿足上式,

n(〃一1)

：.an=r~^｛n^^.

12.已知數(shù)列｛斯｝中，ai=l,其前〃項和為S“且滿足2s”=("+l)a“SGN*).

(1)求數(shù)列｛劣｝的通項公式;

(2)記瓦=3〃-7后，若數(shù)列｛仇｝為遞增數(shù)列，求7的取值范圍.

解(1)：2&=(〃+1)或，

??2s九+1=(〃+2)。〃+1,

:.2an+1=(〃+2)an+1—(n+l)an,

即HCln+l1)Q〃，

.an+\an.anCln-la\1

**n+1n，'"nn—II'

GN*).

Q)bn=3"—Xn2.

萬z+i—瓦=3"+i—4(〃+l)2—(3"一初2)

=2?3"—A(2n+1).

?.?數(shù)列｛為｝為遞增數(shù)列,

：.2-3n~A(2n+l)>0,

n

n一237人2-3

即《Cn=2n+V

Cn+i2-3n+l2n+l6n+3

Cn2〃+32,3n2〃+3

TI4"、，

=1+2H+3>L

為遞增數(shù)列，.?"<CI=2,

即丸的取值范圍為(一8,2).

【B級能力提升】

、3

13.(2024?南充檢測)已知數(shù)列｛如｝滿足ai=Q,a+2—a^3n,斯+6—。辰91?33則

Onn

。2023=()

32023.3.32023?3

AA.2+]B.&+]

Q2023Q2023

C.QoD.oZ

答案C

解析,?*z+2—如W3",

n+2n+4

??Q〃+4-an+2^3,tZn+6—a,1+4^3,

an+6—an=(an+6—m+4)+(。"+4—。"+2)+(跖+2—On)3,l+4+3,;+2+3n=3,z(34+32+

l)=91-3n,

又(2n+6—ClnN91?3",??Cln+6—Qn=91,3",

??Cln+2—Z=3",Cln+4—Q〃+2=3"，

Cln+6一。九+4=3"+’,

==n

.?.Q3—ai3,as—。3=3)…，〃〃+2—an3,

.**a2n+1-=(。2〃+1-Cl2n—1)+(。2九-1—。2〃-3)+…+(。5一〃3)+(。3一)

=3^-1+32n-3H——P33+3,

則^2?+i=ai+3+33+,,,+32/1-3+32/1-1,

3_33X(1-91011)32023

又0=|,=，320192091

Q2023g+3+3+,,,+3+38十1-9

14.(2024?石家莊調(diào)研)已知數(shù)列｛斯｝滿足2〃用=4+以Z+1,且〃3=1,S”為數(shù)列｛斯｝

的前〃項和，則S2024=.

答案2024

&“廣)一4

角窣析由2。n+1=4+ClnCln+1得/PIUn+1=,

2~an

444

貝*]CLn+l-Z=7=2一

2~an+l2一4an

2—