實(shí)驗(yàn)九用單擺測量重力加速度的大小

■夯實(shí)必備知識

原理裝置圖實(shí)驗(yàn)步驟注意事項(xiàng)

1.做單擺

將細(xì)線穿過帶中心孔的小鋼球，

1.擺線要選1m左右，

并打一個(gè)比小孔大一些的結(jié)，然

柔軟不易伸長的絲

后把線的另一端用鐵夾固定在鐵

線，不要過長或過短。

架臺上，讓擺球自然下垂。

2.懸線長要待懸掛好

2.測擺長

球后再測，計(jì)算擺長

鐵架臺擺線用米尺量出擺線長/'（精確到毫

時(shí)要將懸線長加上擺

米），用游標(biāo)卡尺測出小球直徑。，

球半徑。

記6擺球則單擺的擺長z=r+fo

3.單擺要在豎直平面

測擺長/和周期T,由3.測周期

內(nèi)擺動(dòng)，不要形成圓

"/曰4-2/將單擺從平衡位置拉開一個(gè)角度

T—2^^且傳g—72錐擺。

（小于5。），然后釋放小球，記下單

4.要從平衡位置開始

擺擺動(dòng)30次?50次的總時(shí)間，算

計(jì)時(shí)，并數(shù)準(zhǔn)全振動(dòng)

出一次全振動(dòng)的時(shí)間，即為單擺

的次數(shù)

的振動(dòng)周期。

4.改變擺長，重做幾次實(shí)驗(yàn)。

4兀2/

1.公式法：g—；2,算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。

2.圖像法：根據(jù)測出的一系列擺長/對應(yīng)的周期T,作/—p的圖像，

由單擺周期公式得/—靜72,圖像應(yīng)是條通過原點(diǎn)的直線，如圖所

數(shù)據(jù)處理示，求出圖線的斜率上即可利用g=4兀2左求重力加速度。

「

O72

■研透核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一教材原型實(shí)驗(yàn)

例1(2023?新課標(biāo)卷，23)一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn)。

(1)用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測微器測量擺球直徑，首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動(dòng)微調(diào)

旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動(dòng)刻度上的零刻度線未

對齊，如圖1(a)所示，該示數(shù)為mm,螺旋測微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖

(b)所示，該示數(shù)為mm,則擺球的直徑為mm。

(a)(b)

(c)

圖1

⑵單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點(diǎn)。

處，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小。若將角度盤固定在。點(diǎn)上方，則

擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5。時(shí)，實(shí)際擺角5。(填“大于”或“小

于”)。

(3)某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長度為81.50cm,則擺長為cm。實(shí)驗(yàn)中觀測

到從擺球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為54.60s,則此單

擺周期為s,該小組測得的重力加速度大小為m/s2o(結(jié)果均保

留3位有效數(shù)字,兀2取9.870)

答案(1)0.00620.03520.029(2)大于(3)82.51.829.83

解析(1)題圖(a)中，螺旋測微器固定刻度讀數(shù)為0,可動(dòng)刻度部分讀數(shù)為

0.6X0.01mm=0.006mm,所以示數(shù)為0.006mm；題圖(b)中，螺旋測微器固定刻

度讀數(shù)為20.0mm,可動(dòng)刻度部分讀數(shù)為3.5X0.01mm=0.035mm,所以示數(shù)為

20.035mm,擺球的直徑d=20.035mm—0.006mm=20.029mmo

(2)角度盤固定在。點(diǎn)時(shí)，擺線在角度盤上所指角度為擺角大小，若將角度盤固定

在。點(diǎn)上方，即角度盤到懸點(diǎn)的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤上掃過的

弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5。時(shí)，實(shí)際擺角大于5。。

(3)單擺的擺長L等于擺線長/與擺球半徑之和，即L=/+3=82.5cm；從擺球第

1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)，單擺完成30次全振動(dòng)，故單擺的周期T

5461747r2r

=黃s=1.82s；由單擺的周期公式可得且=窄，代入相關(guān)數(shù)據(jù)解得

g=9.83m/s2o

■跟蹤訓(xùn)練

1.(2024.廣東珠海高三期末)小明學(xué)習(xí)“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)后，利用圖2

甲裝置做了該實(shí)驗(yàn)。

(1)測量擺長時(shí),先用毫米刻度尺測得擺球懸掛后的擺線長(從懸點(diǎn)到擺球的最上端)

為3再用游標(biāo)卡尺測得擺球的直徑，讀數(shù)如乙圖所示，則1=cm,

若再測得單擺周期為T,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=(用L、d、T表示)。

234cm

”『[川州浦|"山州八丫’5

I0102。|

乙

圖2

(2)在安裝裝置時(shí)，擺線上端有三種系掛方式，下列方式哪種是正確的(填

對應(yīng)序號)。

(CZDZ)c|[J1------------'

C|口

ABC

(3)在測量周期時(shí)，若從擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)且記數(shù)為I,到第〃次經(jīng)過最

低點(diǎn)所用的時(shí)間為3則單擺周期為T=(用心/表示)。

(4)假如把該裝置搬到月球上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，改變單擺的擺長I,多次測量單擺在不同

擺長下所對應(yīng)的周期T,并描繪出T2-/圖像如圖3所示，則可得知月球重力加速

度大小為m/s2o

圖3

4ML2t

答案⑴2.150—不一(2)C⑶右(4)1.6

解析(1)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)為主尺的讀數(shù)與游標(biāo)尺讀數(shù)之和，所以d=21mm+

n42.

10X0.05mm=2.150cm,根據(jù)周期公式可得g=*-=-------￥---。

(2)為防止擺球搖擺及實(shí)驗(yàn)過程擺長變化，應(yīng)該用夾子固定擺線懸點(diǎn)，故C正確。

(3)從擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)且記數(shù)為1,到第〃次經(jīng)過最低點(diǎn)所用的時(shí)間為

t,單擺全振動(dòng)的次數(shù)為N=一廠，則單擺的周期為7=三=衛(wèi)7。

2Jyn~1

(4)根據(jù)單擺周期公式由圖像可知

7=2兀2s2,Z=0.8m,可得g月=1.6m/s?。

考點(diǎn)二創(chuàng)新拓展實(shí)驗(yàn)

例2(2023?重慶卷，11)某實(shí)驗(yàn)小組用單擺測量重力加速度。所用實(shí)驗(yàn)器材有擺球、

長度可調(diào)的輕質(zhì)擺線、刻度尺、50分度的游標(biāo)卡尺、攝像裝置等。

乙

圖4

(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑d,當(dāng)量爪并攏時(shí)，游標(biāo)尺和主尺的零刻度線對齊。

放置擺球后游標(biāo)卡尺示數(shù)如圖4甲所示，則擺球的直徑d為mm。

(2)用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當(dāng)擺線長度/=9901mm時(shí)，記錄并分

析單擺的振動(dòng)視頻，得到單擺的振動(dòng)周期T=2.00s,由此算得重力加速度g為

m/s2(保留3位有效數(shù)字)。

(3)改變擺線長度/,記錄并分析單擺的振動(dòng)視頻，得到相應(yīng)的振動(dòng)周期。他們發(fā)

現(xiàn)，分別用/和/+自乍為擺長，這兩種計(jì)算方法得到的重力加速度數(shù)值的差異大

小Ag隨擺線長度/的變化曲線如圖5所示。由圖可知，該實(shí)驗(yàn)中，隨著擺線長度

/的增加，Ag的變化特點(diǎn)是

原因是________________________________________________________________

圖5

答案⑴19.20(2)9.86(3)隨著擺線長度I的增加，Ag逐漸減小隨著擺線長

度/的增加，則/+苧越接近于/,此時(shí)計(jì)算得到的g的差值越小

解析⑴用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑d=19mm+10X0.02mm=19.20mm。

(2)單擺的擺長為L=990.1mm+^X19.20mm=999.7mm,根據(jù)T=2TC\^,可得

代入數(shù)據(jù)得g=----------9------------m/s-=9.86m/s2o

(3)由圖可知，隨著擺線長度/的增加，Ag逐漸減小，原因是隨著擺線長度/的增

加,則/十苧逐漸趨近于/,兩種計(jì)算方法計(jì)算得到的g的差值越小。

j跟蹤訓(xùn)練

2.(2024.遼寧大連高三質(zhì)檢)現(xiàn)代智能手機(jī)自帶了許多傳感器，利用智能手機(jī)

Phyphox軟件能夠采集傳感器記錄的數(shù)據(jù)。某同學(xué)在家根據(jù)Phyphox界面提示的

原始傳感器，給出了2種測量重力加速度的方案：

方案1.使用“含(g)的加速度”模塊，令手機(jī)靜置在桌面上20s,直接讀出重力加

速度(圖一)；

方案2.使用“擺”功能，該同學(xué)找到一把量程為30cm的刻度尺，長度為100cm

左右的細(xì)線和一把鐵鎖，制成一個(gè)單擺，于小角度釋放。輸入擺長后，利用手機(jī)

讀取周期，手機(jī)將計(jì)算出重力加速度(圖二)。

含(g)的加速擺

圖表絕對值多方向簡明值結(jié)果g擺長共振自相關(guān)原始數(shù)據(jù)

加速度絕對值

T周期2.05s

10.0

g9.8L擺長100cm

Q6g=9.42m/s2

°麗/s,°

此處你可以輸入你的擺長(支點(diǎn)

加速度絕對值9.8()m/s2到質(zhì)心)來確定地球加速度g

朗-圖二

回答下列相關(guān)問題：

(1)根據(jù)方案2,可知手機(jī)計(jì)算重力加速度g的表達(dá)式為(用g、兀、T、L

表示)。

(2)與方案1測得的重力加速度g相比，方案2測得的重力加速度g結(jié)果有一定的

誤差，產(chǎn)生誤差的主要原因?yàn)閛

A.鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準(zhǔn)

B.測量擺長的刻度尺量程太小，測擺長時(shí)多次移動(dòng)產(chǎn)生了一定的誤差

C.鐵鎖質(zhì)量過大，導(dǎo)致g測量誤差較大

(3)方案2重力加速度g計(jì)算結(jié)果誤差較大，該同學(xué)想到一個(gè)修正方案：實(shí)驗(yàn)時(shí)，

可以在細(xì)線上的A點(diǎn)做一個(gè)標(biāo)記，使得懸點(diǎn)。到A點(diǎn)間的細(xì)線長度小于刻度尺量

程；保持該標(biāo)記以下的細(xì)線長度不變，通過改變間細(xì)線長度以改變擺長，當(dāng)

Q4間細(xì)線長度分別為心、以時(shí)，測得相應(yīng)單擺的周期為乃、Ti,由此可測得重

力加速度g的數(shù)值，此方案計(jì)算g的表達(dá)式為(其中￡2>LI)O

4.2⑷一⑷4兀23一⑷

A.g—-%一7~B.g—-注一7

_4瘧(片一千)_4兀2⑺-E)

C-8=L2-L1Dg=L1—L2

答案(l)g=^(2)AB(3)A

解析(1)根據(jù)單擺周期公式得重力加速度g的表達(dá)式為g=曙。

(2)方案2測得的重力加速度g結(jié)果有一定的誤差，產(chǎn)生誤差的主要原因有鐵鎖的

重心不方便確定，所以擺長不準(zhǔn)；方案2是用長度為100厘米左右的細(xì)線和一把

鐵鎖，制成一個(gè)單擺，而該同學(xué)找到一把量程為30cm的刻度尺，所以測量擺長

的刻度尺量程太小，會導(dǎo)致測擺長時(shí)多次移動(dòng)產(chǎn)生了一定的誤差，故A、B正確，

C、D錯(cuò)誤。

(3)當(dāng)間細(xì)線長度分別為心、心時(shí)，測得相應(yīng)單擺的周期為Ti、T2,設(shè)A點(diǎn)到

硬，可得5=2

鐵鎖重心的距離為/,根據(jù)公式T=2

可解得g=4"器故A正確。

■提升素養(yǎng)能力(限時(shí)：35分鐘)

1.(2024.四川成都高三月考)在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)進(jìn)行如

下步驟：

(1)用游標(biāo)為10分度(測量值可準(zhǔn)確到04mm)的卡尺測量小球的直徑。某次測量

的示數(shù)如圖1甲所示，讀出小球直徑d的值為mm。

(2)把擺球從平衡位置拉開一個(gè)小角度由靜止釋放，使單擺在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，用

秒表測出單擺做n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t,秒表讀數(shù)如圖乙所示,讀數(shù)為So

(3)如果測得的g值偏大，可能的原因是。

A.先將單擺放在水平桌面上測出擺長/,后把單擺懸掛起來

B.擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長度增加了

C.擺球不在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，成為圓錐擺運(yùn)動(dòng)

D.測周期時(shí)，當(dāng)擺球通過最低點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)秒表并數(shù)“1”，數(shù)到擺球第40次通過平衡

位置時(shí)按下秒表，讀出時(shí)間3得周期T=5

答案(1)15.2(2)100.0(3)CD

解析(1)游標(biāo)卡尺的主尺讀數(shù)為15mm,游標(biāo)讀數(shù)為2X0.1mm=0.2mm,則小

球的直徑為d=15mm+0.2mm=15.2mmo

(2)秒表的讀數(shù)等于大盤讀數(shù)加上小盤讀數(shù)，則讀數(shù)為90s+10.0s=100.0s。

(3)根據(jù)單擺的周期公式T=2cj1,變形可得且=零，先將單擺放在水平桌面上

測出擺長/,后把單擺懸掛起來，測得的擺長偏小，則最終測得重力加速度偏小，

故A錯(cuò)誤；擺線上端未牢固地系于懸點(diǎn)，振動(dòng)中出現(xiàn)松動(dòng)，使擺線長度增加了，

則測量的擺長偏小，則最終測得的重力加速度偏小，故B錯(cuò)誤；擺球不在同一豎

直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，成為圓錐擺運(yùn)動(dòng)，實(shí)際擺長/cos。變短，而測量擺長偏大，所測

重力加速度偏大，故C正確；測周期時(shí)，當(dāng)擺球通過最低點(diǎn)時(shí)啟動(dòng)秒表并數(shù)“1”，

數(shù)到擺球第40次通過平衡位置時(shí)按下秒表，讀出時(shí)間/，實(shí)際周期7=/匕=今，

4U—iJy

2

則測量周期偏小，重力加速度偏大，故D正確。

2.(2024?山東臨沂模擬)某同學(xué)在學(xué)習(xí)完單擺的相關(guān)知識后，想要在家利用手邊的

物品測量本地的重力加速度。用不規(guī)則的鑰匙扣代替小球做成簡易單擺裝置，手

機(jī)上的計(jì)時(shí)功能代替秒表，實(shí)驗(yàn)過程如下：

圖2

⑴用家中軟尺測得懸掛點(diǎn)。到鑰匙扣連接處M的長度為Lo

(2)拉開較小角度后將鑰匙扣由靜止釋放，并在鑰匙扣第1次通過最低點(diǎn)按下計(jì)時(shí)

“開始”按鈕，第N次通過最低點(diǎn)停止計(jì)時(shí)，記錄手機(jī)上的時(shí)間為/,則單擺的

周期T為.o

(3)若該同學(xué)改變細(xì)線長度后只做兩次實(shí)驗(yàn)，得到兩組長度和周期的數(shù)據(jù)：Li、Ti；

L2、T2,利用數(shù)據(jù)測得重力加速度為o

(4)若該同學(xué)多次改變細(xì)線長度得到多組數(shù)據(jù)，描點(diǎn)作出T2—乙圖像，得到的圖像

可能是o

⑸鑰匙扣的形狀不規(guī)則，對上述實(shí)驗(yàn)測得的重力加速度(填“有”或者

“無”)影響。

“人士2t4兀2(L1—L2)十

答案(2)/二(3)g=-亓二這一(4)B(5)無

解析(2)鑰匙扣第1次通過最低點(diǎn)按下計(jì)時(shí)“開始”按鈕，第N次通過最低點(diǎn)停

2t

止計(jì)時(shí)，記錄手機(jī)上的時(shí)間為，，則單擺的周期為丁=『7。

⑶設(shè)擺線末端與鑰匙扣重心間的距離為r,根據(jù)單擺周期公式T=2T^!

可得。=2兀小鏟,72=2兀｛牛，聯(lián)立可得重力加速度為g=4兀之。

?，可得7"=寫+嚀，故72與L為一次函數(shù)關(guān)系，且與

(4)根據(jù)T=2it

OOO

縱軸正半軸有截距，故B正確。

⑸由(3)(4)數(shù)據(jù)處理分析可知，鑰匙扣的形狀不規(guī)則雖導(dǎo)致重心位置無法測量，但

對重力加速度的測量無影響。

3.(1)在“探究單擺周期與擺長的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)中，兩位同學(xué)用游標(biāo)卡尺測量小球

的直徑的操作如圖3甲、乙所示。測量方法正確的是(選填“甲”或

“乙”)。

甲乙

(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，若擺球在垂直紙面的平面內(nèi)擺動(dòng)，為了將人工記錄振動(dòng)次數(shù)改為自動(dòng)

記錄振動(dòng)次數(shù)，在擺球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電

阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動(dòng)記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值

R隨時(shí)間t的變化圖像如圖丁所示，則該單擺的振動(dòng)周期為。若保持懸

點(diǎn)到擺球頂點(diǎn)的繩長不變，改用直徑是原擺球直徑2倍的另一擺球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則

該單擺的周期將（選填“變大”“不變”或“變小”），圖丁中的At將

（選填“變大”“不變”或“變小”）。

圖3

答案⑴乙（2）2/o變大變大

解析（1）游標(biāo)卡尺應(yīng)該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是題圖乙。

（2）一個(gè)周期內(nèi)小球應(yīng)該兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，故周期為

T=tl+2to-tl=2to-,擺球的直徑變大后，擺長變長，根據(jù)T=2、^可知,周期

變大；每次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球的擋光的時(shí)間變長，即加變大。

4.（2024?安徽池州高三質(zhì)檢）實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)們在讀到惠更斯用單擺測出巴黎的重

力加速度后，設(shè)計(jì)用圖示的裝置（如圖4甲）測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

⑴若測得：單擺的擺線長度為L,擺球直徑為D,單擺的周期為T,則重力加速

度g=（用L、T、。表示）。

（2）某次實(shí)驗(yàn)中，力傳感器記錄了繩子上的拉力大小R隨時(shí)間/的變化如圖乙所示,

則單擺運(yùn)動(dòng)的周期為T=So

（3）在完成圖乙的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測量后，用天平測得小球質(zhì)量機(jī)=98.8g,則當(dāng)?shù)氐闹?/p>

力加速度g=m/s2（保留3位有效數(shù)字）。

22兀2（24+。）

答案⑴一早~-（2）2（3）9.79

解析（1）周期公式為T=27ry（整理有g(shù)=筆，由題意可知/=￡+?,解得g

2川（2L+D）

一尸O

⑵擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，所以擺球運(yùn)動(dòng)

到最低點(diǎn)時(shí)，繩子拉力最大，而一個(gè)周期內(nèi)擺球有兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，則此單擺的

周期為T=2So

（3）小球速度為零，沿繩子方向合力為零，在最高點(diǎn)有Fi=mgcosa小球在最低

點(diǎn)有F2—mg=rrrY

設(shè)繩子與豎直方向的最大夾角為8,有mgZ（l—cos0）=^mv2,整理有Fi=mg（3

—2cos0）

2F\+Fi2X0.963+0.976

聯(lián)立Fi和Fi解得g=一茄一m/s2=9.79m/s2o