2026年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：正方形講義

正方形（知識精煉）

重難講解

1.正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì).

元素性質(zhì)

邊對邊平行，四條邊都相等

角四個角都是直角

對角線兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角

對稱性是軸對稱圖形，有四條對稱軸

【辨析】平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)對比

類型平行四邊形矩形菱形正方形

共性對.邊平行且相等

邊

特性四條邊都相等

共性對角相等且鄰角互補

角四個角都是直

特性四個角都是直角

角

共性對.角線互相平分

對角線

特性對角線相等對角線互相垂直對角線相等且互相垂直

軸對稱圖開

對稱性特性

2條對稱軸2條對稱軸4條對稱軸

2.正方形的判定

1.先證明是矩形，再從矩形出發(fā)：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）對角線互相垂直

的矩形是正方形.

2.先證明是菱形，再從菱形出發(fā)：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）對角線相等的菱

形是正方形.

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延伸拓展

中點四邊形

依次連接任意一個四邊形的中點所得的四邊形叫做中點四邊形.

各四邊形的中點四邊形如下：

類別對角線特征中點四邊形

任意四邊形—平行四邊形

平行四邊形互相平分平行四邊形

菱形互相垂直平分矩形

矩形相等且互相平分菱形

正方形相等且互相垂直平分正方形

中點四邊形的形狀僅與原四邊形的對角線有關(guān)，即對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形,

對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形.

解題方法

1.正方形性質(zhì)的應(yīng)用問題

正方形既是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四邊形、矩形、

菱形的所有性質(zhì).

掌握正方形性質(zhì)的特殊性，對求與正方形有關(guān)角的度數(shù)及線段的長度問題非常有用，如正方形

對角線與邊的夾角為45。；正方形的一條對角線把正方形分成兩個完全相同的等腰直角三角形;

兩條對角線把正方形分成4個完全相同的等腰直角三角形.

2.正方形的判定問題

判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等；或者先證明它是菱

形，再證明它有一個角是直角；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再判定這個平行四邊形有

一個角為直角和一組鄰邊相等.

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正方形（綜合測試）

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分，給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相垂直B.對角線互相平分

C.對角線相等D.四個角都是直角

2.如圖，已知線段按下列步驟作圖：分別以A、3為圓心，大于』A3長為半徑畫弧，兩弧相交

2

于點M、N,作直線交A3于點。，分別連接MA、MB、NA、NB,如果四邊形朋ANB是正

A.AO^MOB.MA/INBC.MA=NBD.AB平分NM42V

3.下列說法正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

4.如圖，正方形ABCD中，AB=4,點尸為線段3C上一點，且3尸點K為上的

4

任意一點，則FK+KC的最小值為（）

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A.5B.A/7C.7D.4

5.小明用四根長度相等的木條制作了角度能夠調(diào)整的菱形學(xué)具.他先將學(xué)具調(diào)整為圖⑴所示的

菱形淇中4=60。,然后調(diào)整為圖⑵所示的正方形，此時對角線AC=6后，則圖⑴中菱形的對

(1)(2)

A.6B.8C.6g_D.6企

6.把邊長為5的正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。得到正方形AB'C力'，邊5C與DC交于點

。，則四邊形的周長是（）

A.10V2B.10C.5A/2D.5+5V2

7.如圖，在正方形ABC。中，點&F分別是BC,A3上的點,DE,CF相交于點M點N是的中點,

若AF=1,CE=5尸=2,則的長為（）

A4C.2D.V5

8.如圖，在正方形AS中，分別以點A和點5為圓心，以大于93的長為半徑作弧,兩弧

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相交于點E和點R作直線EF,再以點A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線EF于點G

（點G在正方形A3CD的內(nèi)部），連接DG并延長交3c于點K.若5K=2,則正方形A3CD的

邊長為（）

C3+A/5

A.V2+1BD.V3+1

i2

9.如圖，在正方形ABCD中,AB=4,延長8c至E,使CE=2.連接AE,C/平分NOCE交AE于點

E則CF的長為（）

A.1V2B|C.1D.V2

10.如圖,EF分別是正方形ABCD的邊AD,上的點，將正方形紙片ABCD沿EF折疊,使得點

B的對應(yīng)點皆恰好落在邊CD上，要想知道正方形ABCD的邊長，只需知道（）

B.AB'CF的周長

?.△5Z>G的周長D.ZWEG的面積

11.在正方形ABCD中，E、G分別為邊5C、AD上兩點，連接AE、GE,ZAEG=45°,延長

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GF

EG交。的延長線于點R若3DF=OC,則無的值為（）

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點￡、廠分別在邊DC、5C上，且8尸=CE,AE平分NCW,

連接。/，分別交AE、AC于點G、M,P是線段AG上的一個動點，過點P作PNJ_AC,垂足

為N,連接.有下列四個結(jié)論：①AE垂直平分。M；②PM+PN的最小值為3后；③

CF2=GEAE-,④S△如=4逝.其中正確的是（）

A.①②B.②③④C.①③D.①③④

二、填空題（每小題3分，共15分）

13.正方形ABCD的邊長為4,點P在DC邊上，且DP=1,點。是AC上一動點，則DQ+PQ的最

小值為

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14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊A5在x軸上，點A的坐標(biāo)為(-2,0),點E

在邊上.將△BCE沿BE折疊,點C落在點R處.若點F的坐標(biāo)為(0,6)，則點B的坐標(biāo)為—.

15.如圖，在正方形ABCD中,P,Q分別是邊CQ和對角線上的動點，且DP=3Q,當(dāng)5P+CQ的

最小值為2小時，則正方形的邊長為.

16.如圖，直線/經(jīng)過正方形ABCD的中心分別與和AD相交于點E和點交的延長線

于點G,正方形ABCD的面積是16,若鹿=1,則△GO尸的面積為.

17.如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是平面上一動點，且CE=3,連接BE,將BE繞點E

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到所，航為A3邊上的點，且9/=2,則線段萬村長的最小值是.

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三、解答題（本大題共6小題，共計57分，解答題應(yīng)寫出演算步驟或證明過程）

18.（6分）如圖，在RtAABC中,ZABC=90。,5。平分ZABC交AC于點P,過點P作PW，AB于

點M,PN工BC于點N,求證：四邊形BMPN為正方形.

19.（8分）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與相交于點。.

⑴在08上求作點E,使得點E到AB,AC的距離相等；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留

作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若AB=4i,求點E到AB的距離.

20.（8分）如圖，點E為正方形ABCD外一點,ZAEB=90°，將RtAABE繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°

得到/XNDE,DF的延長線交BE于H點.

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DC

⑴試判定四邊形A/77E的形狀，并說明理由；

⑵已知BH=7,BC=13,求DH的長.

21.(10分)如圖，在△ABC中，NC4B=90。，AD是邊上的中線，以AD,CD為邊作平

行四邊形AZXE,連接BE,3戶分別與A。，AC相交于點E,G.

⑴當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AZJCF為正方形，并說明理由.

(2)在(1)條件下，若AB=66,求EE的長.

22.(12分)如圖，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，連結(jié)EC,ED,過點C作OE的

垂線交OE,AD于點G,F.

(1)求證：R是A。的中點;

(2)求變的值；

⑶求△EGC與4FDG的面積比.

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23.（13分）如圖,在正方形川。。中,點石在43邊上（不與點4,3重合）,詼，￡）￡于點。,交8。

于點F點、G在0D上,0G=Q4,ZDOF的平分線交CG于點現(xiàn)連接DM并延長與AF的延長線

交于點N.

（2）點E在邊上運動時，探究NODM的大小是否發(fā)生變化？若不變，求出ZODM的度數(shù)；若

變化，說明理由；

⑶若=10,當(dāng)點E運動到AB中點時，求BN的長.

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答案以及解析

1.答案：A

解析：矩形具有的性質(zhì)為對角線互相平分，對角線相等，四個角都是直角，

正方形具有的性質(zhì)為對角線互相平分且垂直，對角線相等，四個角都是直角,

故選：A.

2.答案：A

解析：由作法得41/=3M=加=加，

四邊形4WBN為菱形，

當(dāng)Q4=時，即AB=AGV時，四邊形AMNB為正方形.

故選：A.

3.答案：D

解析：A、對角線相等的平行四邊形是矩形,原說法錯誤；

B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,原說法錯誤；

C、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形,原說法錯誤；

D、對角線互相垂直的矩形是正方形,原說法正確；

故選：D

4.答案：A

解析：如圖，作點尸關(guān)于5。的對稱點片，連接的，

則期的長即為FK+KC的最小值,

3

vAB=4,BP=—AB，

4

BP=BP1=3,BC=AB=4

2

/.PXC=^BI^+BC=5,

則PK+KC的最小值為5,

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故選：A

5.答案：C

解析：如圖1中，連接AC,3r),交點為。,

(1)

在圖2中,?..四邊形ABCD是正方形，

AB=BC,ZB=90°,

'：AC=6A/2,AB-+BC-=2AB2=AC2=72,

AB=BC=6,

在圖1中,：ZABC=60°,BA=BC,

...ZiABC是等邊三角形，

I.AC=AB=6

?菱形ABC。，

AC±BD,OA=OC=-AC=3,OB=OD,

2

OB=y/AB2-AO2=A/62-32=3A/3,

：.BD=2OB=673,

故選：C.

6.答案：A

解析：連接AC',

?.?四邊形AB'C力'是正方形,

.-.ZZ/AC^45°,

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旋轉(zhuǎn)角ZBAB'=45°,ZBAD'=45°,

ZjyAC'=ZD'AB=45°,

.?.5在對角線AC上，

B'C'=AB'=5,

在RtAAB,C,中,AC'=VB'A2+B'C2=,25+25=572,

:.BC=5s/2-5,

在等腰RtAOBC中,08=BC'=5貶一5,

在RtAOSC中,OC=0(5后—5)=10—5后，

:.OD'=5-OC=5y11-5,

四邊形ABO。'的周長是：2Azy+08+00=10+5后—5+5后—5=10底，

故選：A.

7.答案：B

解析：-：AF=1,BF=2,

：.正方形ABCD的邊長為3,

在RtAZMF中,由勾股定理得DF=^AD2+AF2=回,

,?DC=BC,ZDCE=NCBF=9Q。，CE=BF,

：.ADCE^ACBF(SAS),

/CDE=/BCF,

,?NCDE+NCED=90。,

：.ZBCF+NCED=90°,

：.DE±CF,

?.?點N是Ob的中點，即MN為R3DFM斜邊。/上的中線，

MN，DF=眄,

22

故選：B.

8.答案：D

解析：方法一：設(shè)正方形A3。的邊長為機如圖，連接AG,BG,由作圖可知ER垂直平分線

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段AB,:.AG=BG.X-.'AG=AD=AB,.?.△ABG是等邊三角形，:.ZPAG=60°,

:.GP^—AG^—m,:.GH=m--m=[l-

機.易知GH是△CDK的中位線，

222

:.CK=2GH=(2-5m,/.(2-百)〃z+2=m,解得機=6+1,即正方形ABCD的邊長為73+1.

方法二:如圖，連接AG,設(shè)班'交A3于點H,正方形A3CD的邊長為2x,由作圖知AG=AD=2],

EF垂直平分AB,:.AH=BH=-AB=x,ZAHG=90°,:.GH7AG2—AH?=&.易知

2

AD//GH//BC,—=—=l,：.DG^GK..BK=2,..GH=-(AD+BK)=x+1,:.s/3x^x+l,

CKHB2

x=+],2x—y/3+1.

9.答案：A

解析：過點R作引以，CE于點M作FNLCD于點N,如圖所示。

四邊形ABCD為正方形,AB=4,

:.ZB=ZDCB=ZDCE=9Q°,

BC=AB=CD=4,

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FM^CE,FN±CD,ZDCE=ZB=9Q°,

四邊形CMW為矩形。

?/b平分NDCE,,FM±CE,FN±CD,

:.FM=FN.

■.四邊形CMFN為正方形.

：.FM=FN=CM=CN,

^CM=aFM=FN=CM=CN=a,

.CE=2,

BE=BC+CE=6,

EM=CE-CM=2-a,

???ZB=901FM工CE

..FMIIAB,

:.Z\EFMs/\EAB

:.FM:AB=EM:BE,^a:4=(2-a):6,

解得:a=~^

4

.-.FN=CN=~,

在RtAC/W中,由勾股定理得

CF=y/CN2+FN2=,

故選:A.

10.答案:C

解析：連接過點3作5K_LA?于點K,則NGKB=ZB'KB=90。,

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FJ

?..四邊形ABCD是正方形，

BA=BC,ZABC=ZC=ZA^90°,

由翻折得,ZABF=ZAB'F=90°,FB=FB,

：.Z1=Z2,

；Z1+ZBB'C=90°,Z2+Z3=90°,

Z3=ZBB'C,

'：ZC=ZBKB'=90°,BB'=BB',

：.△BKBSABCB^AAS),

：.B'K=B'C,BK=BC,

：.BA=BK,

'：BG=BG,

GK=GA,

：.△B'DG的周長為:B'D+DG+B'G^B'D+DG+GK+B'K=B'D+DG+GA+CB'=DC+DA,

即△EDG的周長為正方形邊長的2倍,故只需要知道△5ZXG的周長，即可知道正方形的邊長,

故C符合題意；

對于A、B、D選項條件不足，不能證明，

故選：C.

1L答案：C

解析：連接AF,AC,如圖所示：

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F

BEC

?.?四邊形ABC。為正方形,

AZACF=45°,ZABE=ZADC=90°,AB=AD,

：.ZADF=90°,

'：NA￡F=45。，

，A、E、C、/四點共圓，

ZAEC+ZAFC=1SQ°,

ZAEB+ZAEC=1SQ°,

：.ZAEB^ZAFC,

'：AB=AD,ZABE=ZADF,

：.AABE^AADF,

BE=DF,

^BE^DF=x,貝ijAD=CD=BC=3x,

CF=x+3x=4x,CE=3x-x=2x,

ZGDF=ZECF=90°,ZDFG=ZCFE,

/\DFG^/\CFE,

DG_DF_x

CECF4x4,

DG=-CE=-x

，42,

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GF=yjDG2+DF2=

/.CE2x4.

故選：C.

12.答案：D

解析：?.?正方形ABC。，

/.AD=DC=BC=AB,ZADE=NDCF=90°,

*/BF=CE,

：.CF=DE,

AD

BFC

AD=DC

'：\ZADE=ZDCF,

DE=CF

：.AADE^ADCF(SAS),

AE=DF,ZDAE=ZCDF.

,：ZDAE+ZAED=90°,

：.ZCDF+ZAED=9G°,

：."GE=90。，

,?AE平分NC4D,

ZDAG^ZMAG,

ADAG=ZMAG

v\AG=AG,

ZAGD=ZAGM

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AAGE^AAGMF(ASA),

/.DG=MG,

.?.AE垂直平分DM,

故①正確；

連接3。交AC,AE于點。,。，

?正方形ABCD,且AB=4,

/.OA=OB=OC=OD=-BD=-^AB2+BC2=272,

22

：AE垂直平分DM,

，點膽，點G關(guān)于直線AE對稱，

故PN+PM的最小值是點P與點。重合時，取得，且為。0,

故PN+PM的最小值是2行，

故②錯誤；

,?AADE^ADCF(SAS),

:.DE=CF,ZDAE=ZCDF,

"：ZDGE=ZADE,

：.△DGEs△ZADE,

.DEGE

??—,

AEDE

DE2=GEAE,

：.CF2=GEAE,

故③正確；

,?AE垂直平分DM,

AD=AM=4,

OD=2y/2,

：.S八ADM=-AM.D(9=-X4X2V2=4V2,

22

第19頁共31頁

故④正確.

故選D.

13.答案：5

解析：如圖，連接3P,

由正方形ABCD的性質(zhì)可知點3和點。關(guān)于直線AC對稱,

：.QB=QD,

則3尸就是DQ+PQ的最小值，

?正方形A3CD的邊長是4,DP=1,

CP=3,

：.BP=A/42+32=5,

DQ+PQ的最小值是5.

故答案為5.

14.答案：(8,0)

解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為a,

BC=AB=a,

???折疊，

BF=BC=a,

?.?點A的坐標(biāo)為(-2,0),點R的坐標(biāo)為(0,6),

AO=2,FO=6,

?*.BO-AB—AO=a—2,

在中，BO2+FO2=BF2,

A(a-2)2+62=?S

第20頁共31頁

解得a=10,

50=AB—AO=8

.,.點5的坐標(biāo)為（8,0）,

故答案為：（8,0）.

15.答案:2

解析：設(shè)正方形的邊長為。，

在正方形ABCD^,AB^BC=CD=AD=a,ZABD^ZBDC^45°,ZABC=9Q°,

則BD=VBC2+CD2=42a,

延長BA至點E,使得BE=BD=逝a,連接EQ,EC,

在△BEQ與△DBP中，

BQ=DP

<ZEBQ=ZBDP=45°,

BE=DB

Z\BEQ^^DBP（SAS）,

：.EQ=BP,

5P+CQ=EQ+CQ2CE,當(dāng)點。在CE上時，取得最小值CE,

,.?5P+CQ的最小值為2石，即：CE=26

在Rt2\6CE中,3。2+3七2=&2,即/+（缶『=卜6『，

解得：a=2（負值舍去），

第21頁共31頁

故答案為：2.

16.答案：1

：正方形ABCD的中心。，面積是16,

二AD//BC,AD^BC=4,OA^OC,

：.NFAO=NECO,

'：ZFOA=ZCOE,

：.AA(9F^AC(9E(ASA),

/.AF=CE=BC-BE=3,

：.FD=AD-AF=1

'：AD//BC,

：.△GFDS^GEC,

...空="即22」解得：GD=2,

GCEC4+GD3

...△GDE的面積為▲ED?GO=!義1義2.

22

故答案為：L

17.答案：10-372

解析：連接3￡),3尸,又。，如圖:

第22頁共31頁

?四邊形ABCD是正方形，

：.ZBCD^90°=ZBAD,BC=CD=S,ZCBD=45°,

BD=7BC2+CD2=782+82=8A/2,

,BD=86；6

,：BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,

:.ZBEF^9Q°,EB=EF,

：.ZEBF=ZEFB=45°,

：.BF=VBE2+EF2=CBE,

.?竺=行，

BE

.BFBD

??------,

BEBC

ZFBE-ZDBE=ZDBC-/DBE,

：.ZFBD=ZEBC,

在△BED和△5￡C中，

BFBD

<BE~BC，

ZFBD=ZEBC

:.△BFX公BEC,

.?匹=也=叵,

ECBE

DF=yflEC=372,

在RtZVLDM中，AD=8,AMAB-BM=S-2=6,

第23頁共31頁

DM=y/AD2+AM2=A/82+62=10,

FM>DM-DF=10-3A/2,

點R落在DM上時，F(xiàn)N最小，最小值為10-3四,

故答案為：10-30.

18.答案：詳見解析

解析：'.?BP平分ZABC交AC于點P,

/.ZABP=ZCBP,

'：過點P作，AB于點M,PN，于點N,

：.ZBMP=ZBNP=90°,

,：ZABC=90°,

四邊形砌〃W為矩形，

/.PM//BN,

：.ZCBP=ZMPB=ZABP,

：.MP=MB,

???四邊形BMPN為正方形.

19.答案：⑴見解析

Q)立-1

解析：如圖所示，點E就是所求的點.

(2)解析：?.?AC與血是正方形ABCD的對角線,

:.OA=OB,ZAOB^90°,ZABO=45°.

過點石作川,至于點E

第24頁共31頁

由(1)得EF=￡O,

.-.BF=EF=OE.

由勾股定理，OA2+OB2=AB2=(V2)2=2,

2OB2=2.

：.OB=1.

設(shè)BF=EF=OE=x,則=—=l—

由勾股定理，BF2+EF2=BE2,

x2+x2=(1-X)2.

解得：%,=^2—l,x2——y/2-l(舍去).

二點E到A3的距離為&-1.

20.答案：(1)正方形，理由見解析

⑵17

解析：(1)四邊形A/77E是正方形，理由如下：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)：/AEB=NAFD=90。，AE=AF,NDAF=NEAB,

?四邊形ABCD是正方形

ZZMB=90°

/.ZFAE=ZDAB=90°

：.ZAEB=ZAFH=ZFAE=90°

??.四邊形AFHE是矩形，

又,:AE=AF

矩形AFHE是正方形.

(2)連接

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,?BC=CD=13,

在RtABCD中,5D=VCD2+CB2=1372

:四邊形AFHE是正方形

NEHD=90°

在RtZ\DHB中,7BD?—BH。，又BH=1,

，DH=n.

故答案是17.

21.答案：(1)當(dāng)△ABC滿足AC=AB時，四邊形ADCF為正方形，理由見解析

(2)3辨

解析：(1)當(dāng)△ABC滿足AC=AB時，四邊形AZJCN為正方形，理由如下：

VZC4B=90°,AC^AB,A￡＞是邊上的中線，

:.AD=CD=BD,AD±BC

:四邊形ADCF是平行四邊形，且AD=CD,

...平行四邊形是菱形，

'：AD±BC,

...四邊形ADCb為正方形；

(2)由(1)得，ZADB=90°,

"：AD=BD,AB=6A/2,

AD^BD=AF=6,

?四邊形AZXE為正方形，

AZFAD^90°,AF//CD

第26頁共31頁

在△E4E和△5DE中，

ZAEF=NDEB

<ZFAE=ZBDE=90°,

AF=BD

AFAE學(xué)八BDE(AAS),

AE=DE=—AD=—x6=3,EF=BE，

22

EF=BE=yjAF2+AE2=375.

22.答案：(1)見解析

3

(3)6：1

解析：(1)?.?四邊形ABCD是正方形，

:.AB=AD=DC,ZA=ZFDC^90°,

?.?CFLDE于點G,交AD于點R

:.NCGD=/DGF=9Q°,

ZADE=ZDCF=900-NCDE,

在△">￡和ADCF中，

NA=NFDC

<AD=DC,

ZADE=ZDCF

.-.△ADE^ADCF(ASA),

?.?點E是A3的中點，

：.AE=DF=-AB=-AD,

22

.?.歹是AD的中點.

(2)解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2根，則AB=AD=OC=2w,

/.AE=DF=一x2m=m,

2

CE=DE=CF=7m2+(2m)2=有m,

DG

—=tanZDCF=~,

~CGDC2

第27頁共31頁

：.CG=2DG,DC72G2+CG?=JDG?+QCG.=非DG=2m,

.n「_2逐”_4出

??DCJ-m,CCr-------TYl,

55

2/s3A/5

EG=DE-DG=&n—---m=-----m

59

375

.^_=_5__=3

EC也m5

空的值為工

EC5

DG=^-m,EG=^-m,CG^—m,

(3)解析：由(2)得CT=J5〃Z,