第10講有理數(shù)的乘方

定義一種運(yùn)算相同因數(shù)的積

/浮*

【題型1有理數(shù)乘方的概念】

表示底數(shù)

【題型2有理數(shù)乘方的運(yùn)算]

乘方正數(shù)的任何次幕是正數(shù)【題型3乘方運(yùn)算的符題律】

有【題型4乘方的逆運(yùn)算（簡算）】

結(jié)果負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)

[35含財(cái)?shù)乃恪?/p>

理

負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)【題型6偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用】

數(shù)[題型7乘方的實(shí)際應(yīng)用】

的底數(shù)為負(fù)數(shù)或例必須用括號括起來【題型8乘方中的規(guī)律探究】

乘【題空9程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算】

方[SS10防中的新定義問題】

先乘方再乘除最后加減

同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行

混合運(yùn)算

如果遇到括號，則先進(jìn)行括號里的運(yùn)算小括號》中括號》大括號

預(yù)習(xí)目標(biāo)

1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，幕，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；

2.會求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)基；

3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則；

感受發(fā)現(xiàn)問題的過程中體會到從特殊到一般的思考方法，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

Q新知預(yù)學(xué)

【新課指引】

【課外閱讀】相傳，古印度有位國王很喜歡下國際象棋.有一天，他想要重賞國際象棋的發(fā)明者.發(fā)明者說:

“陛下，我不要您的重賞，只要您在我的棋盤上賞一些麥子就可以.在棋盤的第1個格子里放1粒，在第2

個格子里放2粒，在第3個格子里放4粒，在第4個格子里放8粒，依此類推，以后每一個格子里放的麥

粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放滿第64個格子就行了.”國王覺得這個要求很容易滿足,

就欣然答應(yīng)了.然而，當(dāng)人們開始在棋盤上放麥粒時，國王才發(fā)現(xiàn)問題的嚴(yán)重性.

提問：你知道是為什么嗎？

【思考1]

1）邊長為a的正方形的面積為

2）棱長為a的正方體的體積為

3）這兩個過程有什么簡單的寫法嗎？（類比單位的寫法）

1/54

4）這種寫法讀作什么呢？

知識點(diǎn)一有理數(shù)的乘方

乘方的概念

概念示例

〃個

乘方求n個相同因式的積的運(yùn)算，叫做乘方.f_____A_____\

n

如n個a相乘：?Q=a

暴乘方的結(jié)果叫做幕.

指數(shù)

底數(shù)在屋中，a叫做底數(shù).fl

底數(shù)-a---

.事

指數(shù)在屋中，n叫做指數(shù).

【補(bǔ)充】

1）一個數(shù)可以看作是這個數(shù)本身的一次方，例如：5就是51，指數(shù)1通常省略不寫.

2）指數(shù)是2時讀作平方（或二次方），指數(shù)是3時讀作立方（或三次方）.例如，I讀作，力的平方”（或、

的二次方”），/讀作“n的立方”（或“n的三次方”）.

3）指數(shù)n是正整數(shù)，底數(shù)a可以是任意有理數(shù).

4）書寫幕時，當(dāng)負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作為底數(shù)時，要先用括號將底數(shù)擴(kuò)上，再在其右上角寫指數(shù)，指數(shù)要寫得小一

有理數(shù)乘方運(yùn)算法則:

【補(bǔ)充】1）［考點(diǎn)］任何一個數(shù)的偶數(shù)次幕都是非負(fù)數(shù).

2）平方等于它本身的數(shù)有0和1,立方等于它本身的數(shù)有0,1,-1.

2/54

即學(xué)ep線

1.(23-24七年級上?四川樂山?期末)下列運(yùn)算中，正確的是().

A.(-2)2=-4B.-22=4C.32=6D.(-3)3=-27

【答案】D

【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和運(yùn)算法則計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可得到答案.

【詳解】解：A.(-2)2=4,此選項(xiàng)錯誤；

B.-22=-4.此選項(xiàng)錯誤；

C.3?=9,此選項(xiàng)錯誤；

D.(-3丫=-27,此選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.(24-25七年級上?河北石家莊?期中)若伍-1)2+|6-2|=0,貝1]("6廣4的值是()

A.-1B.1C.-2024D.2024

【答案】B

【分析】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，每一項(xiàng)都等于0,先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出°,

b的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：?.?("I)’十―,

???4—1=0,6—2=0,

解得a=l,b=2,

...(1_2戶4=(_1戶24=]

故選：B.

3.(24-25七年級上?廣東?期中)在-108中，底數(shù)是()

A.10B.8C.-10D.-8

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)哥的概念，根據(jù)有理數(shù)幕的概念解答即可，熟練掌握有理數(shù)哥的概念是解此題的

關(guān)鍵.

3/54

【詳解】解：在7（）8中，底數(shù)是10,

故選：A.

冽個

4.（24-25七年級上?北京?期中）式子……X：可表示為（）

9+9+....+9

5

A5m5m5mm

9"/9n9n

【答案】C

【分析】本題考查了乘法以及乘方的意義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)加個5相乘可表示為5為，〃

個9相加可以表示為9〃，即可得解.

機(jī)個

【詳解】解：式子MSvS-x-.-..-...-..-x5g可表示為二5"',

9+9+……+99n

故選：C.

5.（24-25七年級上?北京?期中）我國古代（易經(jīng)）一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄

數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”?如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄孩子自出生后

的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是天-

【答案】520

【分析】本題主要考查了乘方的運(yùn)算，

仿照“十進(jìn)制”的算法，可知總天數(shù)為右面第一個數(shù)字加上第二個數(shù)字乘以7,依次第三個數(shù)字乘以7"第四

個數(shù)字乘以73,再相加得出答案.

【詳解】解：孩子自出生后的天數(shù)是：2+4x7+3x72+1x73=343+147+28+2=520（天）.

故答案為：520.

知識點(diǎn)二含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算

有理數(shù)混合運(yùn)算定義：含有有理數(shù)的加，減，乘，除，乘方五種基本運(yùn)算中的多種運(yùn)算叫做有理數(shù)的混合

運(yùn)算.

4/54

運(yùn)算順序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加減;

2）同級運(yùn)算，從左到右依次進(jìn)行；

3）如果有括號，就先算括號里面的，按照小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

學(xué)6P線

1.（24-25七年級上?貴州貴陽?期中）下列計(jì)算中正確的是（）

A.-6-2+3=-lB.-l--x3=-l

3

C.生■|'（一12）=一1D.-24+22-20=-1

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷.

【詳解】解：A、-6-2+3=-5,此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B、-l-1x3=-9,此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

。、［一：〉（-12）=-9+8=-1,此選項(xiàng)正確’符合題意；

D、-24+224-20=-24+0.2=-23.8,此選項(xiàng)錯誤,不符合題意；

故選：C.

2.（24-25七年級上?陜西渭南?期中）若比=-3,則代數(shù)式4-加2的值為（）

A.2B.-2C.5D.-5

【答案】D

【分析】此題主要考查了求代數(shù)式的值，在解答過程中要注意符號的變化.

將機(jī)=-3直接代入4-機(jī)2,進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可.

【詳解】解:m=-3,則代數(shù)式4-療的值為4-（-3『=-5,

故選：D.

3.（24-25七年級上?河北邯鄲?期末）計(jì)算（-4）x（-3）+8+（-2）3,得（）

A.11B.13C.-11D.-13

【答案】A

【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減運(yùn)算即可.

5/54

【詳解】解：(-4)X(-3)+8+(-2)3

=12+8+(-8)

=12-1

=11;

故選：A

4.(24-25七年級上?云南昆明?期中)用“十”定義一種新運(yùn)算，對于任何有理數(shù)機(jī)和〃，規(guī)定

機(jī)十"=,如3十1=3,+F-3x1=7,則4十(-2)的值為()

A.4B.12C.24D.28

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題目中的新定義計(jì)算，即可

求出4十(-2)的值.

【詳解】解：依題意，4十(-2)=4?+(-2)2-4x(-2)=28

故選：D.

5.(24-25七年級上?山東聊城?階段練習(xí))計(jì)算-16+(-2)3-2?x(-￡|,結(jié)果應(yīng)是

【答案】4

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則.先算乘方，再算乘除,

最后算減法即可.

【詳解】解：-16^(-2)3-22

=-16-(-8)-4x

=2+2

=4,

故答案為：4.

6.(24-25七年級上?廣東佛山?階段練習(xí))計(jì)算：-/網(wǎng)―?x(l-+(-3)2+|2-3|

【答案】

2

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算.

6/54

先算乘方，化簡絕對值，括號內(nèi)的運(yùn)算，再算乘除法，最后算加減.

［詳解］X

_F24_§+(-3)2+|2-3

4

,2721,

=-1------X—X—+1,

439

=-1--+1,

2

__!

-2-

典例精研

考點(diǎn)一：有理數(shù)乘方的概念

1.（24-25七年級上吶蒙古巴彥淖爾?期中）-25表示的意義是（）

A.-2與5相乘B.2個-5相乘

C.5個2相乘的相反數(shù)D.2個5相乘的相反數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)塞的概念、相反數(shù)，熟練掌握有理數(shù)幕的概念和相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)有理數(shù)幕的概念和相反數(shù)的定義即可解答.

【詳解】解：-2$表示的意義是5個2相乘的相反數(shù).

故選：C.

2.（24-25七年級上?河北保定?期中）甲、乙、丙、丁4位同學(xué)，學(xué)了有理數(shù)的乘方之后，發(fā)表了以下見解,

觀點(diǎn)正確的有（）

甲：25是2個5相力口；乙：與是不同的結(jié)果;

丙：（-3）4中底數(shù)是-3,指數(shù)是4；丁：/是〃個4相乘

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義以及有理數(shù)乘方法則是解題的關(guān)鍵.根

7/54

據(jù)有理數(shù)的乘方的意義以及有理數(shù)乘方法則逐個判斷即可.

【詳解】解：25是5個2相乘，故甲的觀點(diǎn)不正確;

,結(jié)果相同，故乙的觀點(diǎn)不正確;

（-3）4中底數(shù)是-3,指數(shù)是4,故丙的觀點(diǎn)正確;

"4是4個〃相乘，故丁的觀點(diǎn)不正確；

所以觀點(diǎn)正確的有1個.

故選：B.

3.（24-25七年級上?湖北孝感?期中）下列可以表示5"的是（）

5個aZ5個aa個5a個5

A'-------------------'B-------'c,---------A---------sD,-----------------x

*a+a+a+---+a'axaxax…xa'5+5+5H—+5'5x5x5x…x5

【答案】D

【分析】本題考查乘方的定義：即4〃表示有〃個。相乘.根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念進(jìn)行選擇即可.

【詳解】解：5。表示有〃個5相乘；

故選：D.

注意：書寫事時，當(dāng)負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作為底數(shù)時，要先用括號將底數(shù)擴(kuò)上，再在其右上角寫指數(shù)，指數(shù)要寫得

小一些.如：

善k

1.（24-25七年級上?廣西南寧?期中）下列關(guān)于（-3）2的說法中，錯誤的是（）

A.結(jié)果為-9B.底數(shù)是-3C.表示2個-3相乘D.指數(shù)是2

【答案】A

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵.乘方的定義為：求〃個相同因數(shù)a

的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫做幕.在a"中，它表示〃個a相乘，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).根

據(jù)乘方的定義解答即可.

【詳解】解：A.（-3>=9,原計(jì)算錯誤，符合題意；

8/54

B.（-3）2的底數(shù)是-3,正確，不符合題意;

C.（-3>表示2個-3相乘，正確；不符合題意；

D.（-3）2的指數(shù)是2,正確；不符合題意；

故選A.

2.（24-25七年級上?河北保定?期中）計(jì)算2+2+2+…+2+2*2、奪…X?的過程為（）

10個21242

A.2xl0+212B.2+10+2x12

C.2x10+2x12D.210+2x12

【答案】A

【分析】本題考查了乘法和乘方的意義，理解乘方和乘法的意義是解題關(guān)鍵.由乘法的意義知10個2相加

可表示為2x10,由乘方意義可得12個2相乘表示為2%即可獲得答案.

【詳解]解：2+2+[+…+2+2><2><2><…><2=2x10+22,

10個21舒2

故選：A.

3.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）對于-5,與（-5））下列說法中，正確的是（）

A.讀法相同，底數(shù)不同，結(jié)果不同B.讀法不同，底數(shù)不同，結(jié)果相同

C.讀法相同，底數(shù)相同，結(jié)果不同D.讀法不同，底數(shù)不同，結(jié)果不同

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)乘方定義，熟練掌握有理數(shù)乘方的定義是解題的關(guān)鍵；

〃個相同的因數(shù)。相乘，記作優(yōu)，這種求”個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕.在乘方運(yùn)

算中，.叫做底數(shù)，"叫做.的塞的指數(shù)，簡稱指數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：-52讀作：負(fù)的5的平方，表示的是2個5的乘積的相反數(shù)，底數(shù)是5,指數(shù)是2,運(yùn)算結(jié)果

為-25.

（-5『讀作：負(fù)5的平方，表示的是2個-5的乘積，底數(shù)是-5,指數(shù)是2,運(yùn)算結(jié)果為25.

所以，-5?與（-5）2讀法不同，底數(shù)不同，結(jié)果不同，

故選：D.

考點(diǎn)二：有理數(shù)乘方的運(yùn)算

9/54

1.(24-25七年級上?山東聊城?階段練習(xí))下列各組數(shù)中，相等的一組是()

A.2?和2?B.(-2)3和(-3)2

C.(一2)3和_23D.(-2x3)2和-(2x3)2

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.熟練掌握運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、2^=8,2?=4，824,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、(-2)3=-8,(-3)2=9,-8r9,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、(-2)3=-8,-2?=-8,所以-23=(-2)3,故此選項(xiàng)符合題意；

D、(-2x3)2=36,-(2x3)2=-36,36--36,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

2.(24-25七年級上?陜西西安?期中)已知a是絕對值最小的有理數(shù)，b是平方等于本身的正數(shù)，c的平方

等于4,貝!|a+b+c=.

【答案】-1或3

【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，絕對值和有理數(shù)的平方，根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得。的值，根據(jù)平

方的定義可得6、c的值，據(jù)此代值計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：:a是絕對值最小的有理數(shù)，6是平方等于本身的正數(shù)，c的平方等于4,

■,*a—0,6=1,c—zt2,

；.a+6+c=0+l+2=3ia+6+c=0+l—2=—1,

故答案為：-1或3.

3.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))計(jì)算：

(1)(-4)3;

⑵(-2)%

10/54

【答案】(1)-64

(2)16

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算.

(1)根據(jù)乘方的定義將(-4)3展開算乘法即可;

(2)根據(jù)乘方的定義將(-2)4展開算乘法即可;

(3)根據(jù)乘方的定義將展開算乘法即可.

【詳解】(1)解：(-4)3=(-4)X(-4)X(-4)=-64；

(2)解：(-2)4=(-2)X(-2)x(-2)x(-2)=16；

2

(3)解:

I計(jì)算有理數(shù)乘方的步驟

!1.先根據(jù)底數(shù)與指數(shù)確定幕的；

；2.計(jì)算基的.

；答案：1.符號2.絕對值

磨

1.(24-25七年級上?福建廈門?期中)下列各數(shù)：(-1)2,-(-3),(-2)3,(-1卜(-2),卜2|其中負(fù)數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】本題主要考查了負(fù)數(shù)的識別，有理數(shù)的乘方計(jì)算，乘法計(jì)算，化簡多重符號和計(jì)算絕對值，根據(jù)

11/54

乘方，乘法計(jì)算法則，化簡多重符號和絕對值的求解方法求出對應(yīng)數(shù)的結(jié)果，再根據(jù)負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)即

可得到答案.

【詳解】解：(-l)2=l,-(-3)=a(-2)3=-8(-H-^=2|-?="

負(fù)數(shù)有(-2?共1個，

故選：A.

2.(24-25七年級上?北京?期中)在數(shù)軸上，。所表示的點(diǎn)在6所表示的點(diǎn)的左邊，且時=3,從=1,貝

的值為.

【答案】-4或-2

【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意，得到。<6,再根據(jù)絕對值的意義和有理數(shù)的

乘法運(yùn)算，求出。=-3,6=±1,再利用減法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：???在數(shù)軸上，。所表示的點(diǎn)在6所表示的點(diǎn)的左邊，

a<b,

v問=3,/?2=1,

a=±3/=±1,

a<b,

：.a=-3,b=±1,

a—b=—3—1=—4或a—6=—3+1=—2；

故答案為：-4或-2.

3.(24-25七年級上?山西呂梁?期中)張琪準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算(-9)x(Ir)33.發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字

被墨水污染了.張琪的媽媽看到該題參考答案的結(jié)果等于-9,請通過計(jì)算求出被污染的數(shù)字

【答案】v=(

2

【分析】本題考查解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.把^看作未知數(shù)，先算乘方再

移項(xiàng)，然后除以-9,得g-v=-2,最后移項(xiàng)系數(shù)化1,即可作答.

【詳解】解：依題意

.?.(-9)XQ-^-27=-9,

12/54

.?.(-9)xQ-vj=-9+27,

gr=18,

1-V=184-(-9),

則g-v=-2,

則_,=-2一萬,

考點(diǎn)三：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律

1.（24-25七年級上?湖南湘潭?階段練習(xí)）若（一。）20°9>（）,則一定有（）

A.a>。B.a=0C.a<0D.a>0

【答案】c

【分析】本題考查的是乘方運(yùn)算的符號規(guī)律，分別根據(jù)。>0,a=o,“<0進(jìn)行探究即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)。>0,則（-a）"。'<0,

2009

當(dāng)“=0,則（-fl）=0,

當(dāng)。<0,貝IJ-a>0,則（-°嚴(yán)°9>0,

.?.當(dāng)（-0嚴(yán)>0,則“<0,

故選：C

2.（2024七年級上?江蘇?專題練習(xí)）如果一個有理數(shù)的奇次幕是正數(shù)，那么這個有理數(shù)（）

A.一定是正數(shù)B.是正數(shù)或負(fù)數(shù)

C.一定是負(fù)數(shù)D.可以是任意有理數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行判斷即可.此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方運(yùn)算法則是解本

13/54

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???正數(shù)的任何次嘉是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕數(shù)負(fù)數(shù)，0正整數(shù)次嘉是0

二一個有理數(shù)的奇次幕是正數(shù)，這個數(shù)一定是正數(shù).

故選：A.

雪T

1.（24-25七年級上?河南鄭州?期末）當(dāng)。<0時，下列各式成立的有（）

①/>0；②③/=_/；④q3=_q3.

A.①②B.①③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】本題考查乘方的運(yùn)算，掌握乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)乘方的意義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：當(dāng)。<0時，

①/>0，正確.

②/=（_.『，正確.

（3）a2>0,-a2<0,a2^—a1,故錯誤.

?a3<0，-/>0,則/W-Q'，故錯誤.

故選：A.

2.（23-24七年級上?黑龍江齊齊哈爾?期中）如果〃是正整數(shù)，那么"[1-（-1）]的值（）

A.一定是零B.一定是正偶數(shù)C.一定是正奇數(shù)D.是零或正偶數(shù)

【答案】D

14/54

【分析】分為兩種情況當(dāng)〃是偶數(shù)時，當(dāng)〃是奇數(shù)時，求出即可.

【詳解】解：當(dāng)〃是偶數(shù)時，原式=〃(1-1)=0,

當(dāng)“是奇數(shù)時，原式=小(1+1)=2〃，是正偶數(shù).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵.

3.(23-24七年級上?廣東揭陽?期末)計(jì)算：(-4+(-1)2+(-1)3+…+(-碟°=

【答案】0

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方找到規(guī)律，計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=(-1)+1+(-1)+…+1

=0,

故答案為：0.

考點(diǎn)四：乘方的逆運(yùn)算(簡算)

典停I、

門、2021

1.(21-22六年級下?山東泰安?期中)計(jì)算32°2°.；的結(jié)果是()

11

A.9B.-C.2D.一

39

【答案】B

【分析】根據(jù)乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：32020x(1)2020x(I)1*3=(3x1)2020x(I)1=1x1=|

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)乘方的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

2.(24-25七年級上?全國?單元測試)如果/=_32,/=8那么正=.

【答案】4

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義及法則.熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)有理

數(shù)乘方的定義，已知等式中的-32相當(dāng)于-2的5次方，由此可以求出x的值為-2.已知等式中的8相當(dāng)于

15/54

2的3次方，由此可以求出y的值為2.進(jìn)而可求出正的值.

【詳解】解：???-32=(-2)5,

X5=(-2)5,

x=-2.

也=8,

.-.y=2,

因止匕X>=(-2)2=4.

故答案為:4.

3.(22-23七年級上?福建三明?期中)(1)計(jì)算下面兩組算式：

①(3x5)2與3,X52；

②[(-2)x3了與(_2px32；

(2)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：(斜丫等于什么？(直接寫出結(jié)果)

(3)猜想與驗(yàn)證：當(dāng)〃為正整數(shù)時，(曲)”等于什么?請你利用乘方的意義說明理由.

(4)利用上述結(jié)論，求(-4蘆2x0.252023的值.

【答案】⑴①見解析；②見解析；(2)(ab)3=a3b3；(3)(ab)n=a"b"；理由見解析；(4)0.25

【分析】(1)前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，據(jù)此即可計(jì)算求值；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果即可得到答案；

(3)根據(jù)乘方(次))"的意義寫成〃個數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為"二也和竺二色的乘積即可證明猜想;

(4)利用乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：(1)①(3x5)2=15?=225,

32X52=9X25=225;

②[(-2)x31=(-6)2=36,

(-2)2x32=4x9=36；

16/54

(2)(ab)3=a3/；

(3)(ab)n=a"bn,理由如下:

(ab)=gb.(ib?…?ab

〃個ab相乘

=g.a......a*.b......b

〃個a相乘〃個b相乘

=a"b";

(4)(-4)2M2XO.252023

=(-4)2儂X0.252022x0.25

=(-4x0.25戶2鼠0.25

=(-1)2022X0.25

=0.25.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，乘方的意義，以及對師資普遍規(guī)律的猜想和驗(yàn)證，熟練運(yùn)用乘方運(yùn)

算以及逆運(yùn)算來簡便運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

I----------------------------------------------------

晦

乘方是特殊的乘法，利用乘法的運(yùn)算律可簡化計(jì)算.即:

anbn=a*a*...*a*b*b*...*b=?…功)=

"個an個b''''

?!個(ab)

1.（22-23七年級上?福建廈門?期中）若126x3'=0,則126x3$的值可以表示為（）

11

A--pB.p-9C.p-6D.-p

O9

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，乘方的逆運(yùn)算，等式的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則即

可得解,熟練掌握有理數(shù)的乘方的意義是解題關(guān)鍵.

【詳解】???126x38=〃,

17/54

???126X36X32=/7,

??.126x36x9=p,

.-.126x36=-n,

9

故選：D.

2.（23-24七年級下?全國?課后作業(yè)）若（2尤）:64,則x等于.

【答案】2

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方和積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；

先進(jìn)行積的乘方運(yùn)算，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算即可；

【詳解】解：.??（2x）3=8/=64

?"3=8

x=2

3.（24-25七年級上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）善于反思的小聰在學(xué)習(xí)了有理數(shù)及其運(yùn)算后，進(jìn)行了如下總結(jié)與

反思.請你仔細(xì)閱讀并補(bǔ)全小聰?shù)奶骄窟^程.

［典例再現(xiàn)|3|=3,卜3|=3；2?=4，（-2）2=4；

［總結(jié)歸納］

（1）觀察上述例題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值;

②互為相反數(shù)的兩個數(shù)的；

［知識應(yīng)用］

（2）已知國=7,/=9,貝i」x=,v=,若x<y,貝ijx=,y=.

【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）±7；±3；-7；±3；

【分析】本題考查了絕對值、平方、相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂材料信息，利用分類討論的思想進(jìn)行求解.

（1）①根據(jù)絕對值的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；②根據(jù)平方運(yùn)算的規(guī)律，觀察得出相應(yīng)結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）中的總結(jié)歸納及分類討論的思想即可求解.

【詳解】解:⑴鄧|=3,卜3卜3；2?=4，（-2）2=4；

18/54

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等；

②互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方相等；

(2)國=7,y~=9

x=±7,y=±3f

/.x=-7,y=±3.

考點(diǎn)五：含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算

1.(24-25七年級上?北京?期中)計(jì)算(-1)2024x23-8+(-4)的結(jié)果是()

A.12B.10C.-10D.-6

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，按照有理數(shù)運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解:(一產(chǎn)X23-8+(-4),

=8-(-2),

=10,

故選：B.

2.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))使用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序?yàn)?/p>

【答案】D

【分析】本題主要考查計(jì)算器的基礎(chǔ)知識，含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)的按鍵和乘

方的按鍵，并依據(jù)其功能列出算式；根據(jù)計(jì)算器的順序列出算式計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)如圖所示的按鍵順序，輸出結(jié)果應(yīng)為：

3

故選：D.

19/54

3.（24-25七年級上?河北邢臺?階段練習(xí)）計(jì)算：（-1]^^X3-22+3X（-1）4.

【答案】

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序.

先計(jì)算乘方，然后計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減.

【詳解】解：原式=（一g]x:x3-4+3xl

Q

=——4+3

3

_11

?---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

加和減屬于運(yùn)算中的第一級運(yùn)算，級別是最低的，通常放在最后面計(jì)算；乘和除屬于運(yùn)算中的第二級運(yùn)算,

級別中等，運(yùn)算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運(yùn)算，級別較高，通常是最優(yōu)先計(jì)算的（如

果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運(yùn)算中，要從左至右進(jìn)行運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要

注意先定符號后運(yùn)算）.

雪式4

1.（24-25七年級上?甘肅定西?階段練習(xí)）計(jì)算（-中⑼-㈠）.的結(jié)果是（）

A.2B.-1C.0D.-2

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟記乘方的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義進(jìn)行計(jì)算即

可得解.

【詳解】解：（-1）2020-（-1）2003=1-（-1）=2,

故選：A.

2.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）下面是小剛同學(xué)做的一道有理數(shù)的混合運(yùn)算題：-23+gx]_|；.

解：原式=8q4x：Q=8.四位同學(xué)看了小剛的解答，給出4個看法：①運(yùn)算順序錯了；②計(jì)算-23時符號

QQ

錯了，應(yīng)為-8；③計(jì)算結(jié)果是-8；④第一步應(yīng)該等于-8x：x；.其中正確的是（）

20/54

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答的關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算

法則和運(yùn)算順序解答即可.

【詳解】解：

81

一一了，

???運(yùn)算順序錯了，計(jì)算-23時符號錯了，應(yīng)為-8；計(jì)算結(jié)果為81第一步應(yīng)該等于-8x019x:,看法正確的

244

是①②④，

故選：C.

71

3.（24-25七年級上?河南洛陽?期末）計(jì)算：-12。。3+（-3）-+/-k2|=.

【答案】6-/6.5/^

22

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.首先進(jìn)行乘方運(yùn)

算和化簡絕對值，然后相加減，即可獲得答案.

【詳解】解：原式=-1+9+!-2=6：.

故答案為：6；.

4.(24-25七年級上?湖南永州?期中)計(jì)算.

(l)-4+|5-8|+24^(-3)x1；

(2)-12024-(1-0.5)x|x[2-(-3)2]；

⑶9.6+]2.8義5+3.6)；

(4)-24x卜■:

【答案】⑴-，

21/54

⑵:

(3)2

⑷15

【分析】本題考查了有理數(shù)的四則混合運(yùn)算和含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解

題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算絕對值和有理數(shù)的乘除，再計(jì)算有理數(shù)的加減，即得答案；

(2)先計(jì)算有理數(shù)的乘方，然后計(jì)算兩個括號中的加減，再計(jì)算有理數(shù)的乘法，最后計(jì)算有理數(shù)的加減,

即得答案.

(3)先算括號，再算除法即可；

(4)先算乘方，再算乘除，最后算加減即可

【詳解】(1)解：原式=-4+3+(-8)X；

=-4+3-總

3

--1-1?

3，

(2)解：原式=一1—gx；x[2—9]

=-1-—x—x(-7)

23

J+Z

6

~6；

(3)解：原式=9.6+(1.2+3.6)

=9.6+4.8

二2；

(4)解：原式=+4+(-4))

273

=1——

22

=15.

偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用

22/54

1.（24-25七年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）己知（》-2）2與|y+4|互為相反數(shù)，貝!|/=.

【答案】16

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)的x、y的值.

根據(jù)相反數(shù)的意義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)建立方程，可以得到x、y的值，從而可以求得.

【詳解】解：???（x-2）2與卜+4|互為相反數(shù)，

.-.（%-2）2+|^+4|=0,

x-2=0,夕+4=0,

x=2,y=-4,

/=（-4）2=16,

故答案為：16.

2.（24-25七年級上?福建寧德?期中）如果同=2,（6-3）2=0,則斜的值為.

【答案】-6或6/6或-6

【分析】本題考查了絕對值、乘方的逆運(yùn)算、代數(shù)式求值，熟練掌握絕對值的性質(zhì)和乘方的逆運(yùn)算法則是

解題關(guān)鍵.先根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得。=±2,再根據(jù)乘方的逆運(yùn)算可得6=3,然后代入計(jì)算即可得.

【詳解】解：:lai=2,

?**a—±2，

???伍-3『=0,

.??6—3=0,

:.b=3,

當(dāng)。=—2,6=3時，ab=-2x3=-6；

當(dāng)Q=2,6=3時，ab=2x3=6；

綜上，仍的值為-6或6,

故答案為：-6或6.

23/54

i任何二個數(shù)的偶數(shù)次幕都是非負(fù)數(shù).

I

1.(24-25七年級上?廣東汕頭?階段練習(xí))若(a+3『+M-2|=0,則(”+6戶1=.

【答案】-1

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出。、b的值，即可得到答案.

【詳解】解：?.?(a+3)2+|6-21=0,

/.tz+3=0,6—2=0,

???。二-3,6=2,

???S+6)2°”=(—3+2)如1=—1;

故答案為：-1.

2.(24-25七年級上?四川眉山?期末)若(2〃+4『與|26-6|互為相反數(shù).

(1)求。，6的值；

(2)規(guī)定一種新運(yùn)算：x*y=xy+2,如3*4=3x4+2=14,求。2*(a*b)的值.

【答案】⑴。=-2,6=3；

(2)-14.

【分析】本題主要考查了相反數(shù)的概念，絕對值和偶次幕的非負(fù)性，有理數(shù)的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)相反數(shù)的概念和平方，絕對值的非負(fù)性即可得出。，6的值；

(2)根據(jù)新定義運(yùn)算列式即可求解；

【詳解】(1)解：?；(2a+4)2與|26-6|互為相反數(shù)，

.-.(2a+4)2+|26-6|=0,

2。+4=0,2b—6=09

a=—2,6=3；

24/54

(2)解：由(1)得：〃=—2,b=3,

：.a*(q*6)

=(-2)2*[(-2)*3]

=4*[(-2)x3+2]

=4*(-6+2)

=4*(-4)

=4x(-4)+2

=-16+2

=—14.

考點(diǎn)七：乘方的實(shí)際應(yīng)用

I.（24-25七年級上?廣東佛山?階段練習(xí)）一根1米長的木棒，第一次截去它的（，第二次截去剩下的;，

第三次再截去剩下的!，如此截下去，第七次截去后剩下的木棒的長度是（）

A.卜一0］米B.卜一］口卜C.百米D.［「米

【答案】C

【分析】本題考查乘方的應(yīng)用，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意和乘方的意義可知，第二次截

去后剩下的木棒的長度為（$2,第三次截去后剩下的木棒的長度為（；）3,依此類推，第〃次截去后剩下的

木棒的長度為彳4）〃米，由此可解.

【詳解】解：第一次截去后剩下的長度為1-/1=（4米，

414

第二次截去后剩下的長度為］X（l-*=（1）2米，

414

第三次截去后剩下的長度為（-）2x（l--）=（-）3米，

25/54

以此類推，

4

第七次截去后剩下的木棒的長度是6）7米，

故選：C.

2.（24-25七年級上?廣東廣州?期中）因?yàn)楣ぷ髅?，IT人小杰給他兒子留下今天的早餐錢（1010%元，請用

十進(jìn)制表示（1010）2為.

【答案】10

【分析】本題考查進(jìn)位制，本題解題的關(guān)鍵是找出題目給出的運(yùn)算順序，按照有理數(shù)混合運(yùn)算的順序進(jìn)行

計(jì)算即可，括號里的數(shù)字從左開始，按照有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

312

【詳解】解：（1010）2=1X2+0X2+1x2'+0x2°=8+2=10

故答案為：10.

3.（24-25七年級上?遼寧盤錦?期中）細(xì)菌是靠分裂進(jìn)行生殖的，也就是1個細(xì)菌分裂成2個細(xì)菌，分裂完

的細(xì)菌長大以后又能進(jìn)行分裂.例如，圖中所示為某種細(xì)菌分裂的電鏡照片，顯示這種細(xì)菌每20分鐘就能

分裂一次.1個這種細(xì)菌經(jīng)過5個小時可以分裂成個細(xì)菌.

細(xì)菌的分裂生殖

Omin/0、

/分裂、

20人

40R/Q又R

【答案】215

【分析】本題考查乘方的應(yīng)用.先根據(jù)題意求出分裂的次數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解；分裂次數(shù)為：5x60+20=15（次），

1個這種細(xì)菌經(jīng)過5個小時可以分裂成的細(xì)胞為：2卜個，

故答案為：215.

此類題型的難點(diǎn)在于分析問題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型.基本步驟為:首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納,

找出變化規(guī)律;然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型;最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果.

1.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期中）蘭州牛肉面制作技藝是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，為了更好的弘揚(yáng)優(yōu)秀

26/54

的傳統(tǒng)文化，2024年秋季學(xué)期開始以來，蘭州市部分中小學(xué)將蘭州牛肉面納入課程教學(xué)范疇，在每周的勞

動教育課程中開展.制作時，拉面師傅，將一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，

反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條截成了許多細(xì)細(xì)的面條，如下圖所示.請問