專題15不定方程和不等方程的分析求解

小升初數(shù)學思維拓展數(shù)論問題專項訓練

(知識梳理+典題精講+專項訓練)

融的梳理

1、不定方程。

(D不定方程的定義：不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限

制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組.

(2)一般是求解一次不定方程：關于ax+by=c的不定方程，(a,b)為a,b的最大公約數(shù)，

如果有整數(shù)特解(x。,y.),則該方程所有整數(shù)解為：x=x0kb+(a,b),y=y?+ka4-(a,b),

k為整數(shù).

2、不等方程。

(1)幾個含有同一■個未知數(shù)的一元一次不等式合在一■起，就組成了一■個一元一■次不等式

組.幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集.

(2)求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組.

(3)解一元一次不等式組的步驟：

①分別求出不等式組中各個不等式的解集；

②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集.

典教精餅

【典例一】某電視臺在時段的2分鐘廣告時間內(nèi)，計劃播長度為15秒和30秒的兩種廣告.15

秒的廣告每播一次收費0.6萬元，30秒的廣告每播一次收費1萬元.若要求每種廣告播放

不少于兩次，則電視臺在播放時收益最大的播放方式是()

A、15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次

B、15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放4次

C、15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次

D、15秒的廣告播放3次，30秒的廣告播放2次

【分析】本題中的等量關系：15秒X次數(shù)+30X次數(shù)=2X60,根據(jù)這個等量關系列出方程，

然后再根據(jù)“要求每種廣告播放不少于2次，則電視臺在播放時收益最大”這個要求分析解

的情況.

【解答】解：設15秒的廣告播x次，30秒的廣告播y次.

則15x+30y=120,

因為每種廣告播放不少于2次，

所以x=2,y=3,或x=4,y=2;

當x=2,y=3時，

收益為：2X0.6+3X1=42（萬元）；

當x=4,y=2時，

收益為4X0.6+1X2=44(萬元)，

所以電視臺在播放時收益最大的播放方式是：15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次.

故選：A.

【點評】解題關鍵是弄清題意，找到合適的等量關系，合理分析得出結論.

【典例二】某商場促銷，小魚將促銷信息告訴了媽媽，小魚媽媽假設某一商品的定價為X,

并列出不等式為0.7X(2x100)<1000,那么小魚告訴媽媽的信息是()

A、買兩件等值的商品可減100元，再打3折，最后不到1000元

B、買兩件等值的商品可打3折，再減100元，最后不到1000元

C、買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元

D、買兩件等值的商品可打7折，再減100元，最后不到1000元

【分析】根據(jù)0,7(2x100)<1000,可以理解為買兩件減100元，再打7折得出總價小于

1000元.

【解答】解：由關系式可知：

0.7(2x100)<1000,

由2x100,得出兩件商品減100元，以及由0.7(2x100)得出買兩件打7折，

故可以理解為：買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元.

故選：0.

【點評】此題主要考查了由不等式聯(lián)系實際問題，根據(jù)已知得出最后打7折是解題關鍵.

【典例三】有四個房間，每個房間里不少于4人，如果任意三個房間里的總?cè)藬?shù)不少于14

人，那么這四個房間里的總?cè)藬?shù)至少有()人.

A、18B、19C、20D、21

【分析】任意三個房間的總?cè)藬?shù)不少于14人，每個房間不少于4人，那就來推測一下，14

可以分成4、5、5,任意三個房間的總?cè)藬?shù)不少于14人，那第四個房間也應該是5人，這

樣就可以完全的滿足已知條件了，所以應該是14+5=19.

【解答】解：5X3+4=19(人)；

答：這四個房間的總?cè)藬?shù)至少有19人.

故選：B.

【點評】求最少多少人，就按每個房間的人數(shù)在限度內(nèi)最少時計算.

【典例四】某旅游景點團體門票票價如下:

購票人數(shù)100人以上

每人門票(元)30元25元20元

今有甲、乙兩個旅行團，已知甲團人數(shù)少于50人，乙團人數(shù)不超過100人.若分別購票,

兩團共計應付門票費3200元，若合在一起作為一個團體購票，總計應付門票2400元.

(1)請你判斷乙團的人數(shù)是否也少于50人？

(2)求甲乙兩個旅行團各有多少人？

【分析】(1)首先假設乙團的人數(shù)為50人，因為甲旅行團人數(shù)少于50人，計算出各自繳

費所要交的錢數(shù)，與3200元比較即可；

【解答】解（1）假設乙團的人數(shù)為50人，因為甲旅行團人數(shù)少于50人，

所以可得甲乙分別購票所需的錢數(shù)小于3000,

又因為分別購票，兩旅行團共計應付門票費3200元，

所以可得出乙團的人數(shù)大于50人；

（2）設甲團人數(shù)為x人，乙團人數(shù)為y,由題意得：

②當甲乙兩團總?cè)藬?shù)在100人以上時，

答：甲旅行團有40人、乙旅行團有80人.

【點評】此題主要考查了二元一次方程的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)題意判斷兩團的人數(shù)，

一定要仔細分析，根據(jù)題目條件進行推理計算.

專項制煉

選擇題（共8小題）

1.一個28人的旅游團到租車公司租車。小汽車限坐4人，商務車限坐6人，如果每輛車都

坐滿，那么旅游團要租（）

A.5輛小汽車和2輛商務車B.4輛小汽車和2輛商務車

C.3輛小汽車和3輛商務車

3.某單位舉行工會主席選舉，有三位候選人甲、乙、丙，由139名代表投票選舉一人，不

能棄權也不能多選，最終得票多的當選.當統(tǒng)計了100張選票時，甲已獲得45票，乙已獲

20票，丙已獲35票.甲至少要再得多少票才能確保當選？（）

A.39B.15C.20D.13

4.大于200的自然數(shù)被47除，商和余數(shù)一樣，這樣的數(shù)有（）個.

A.5B.42C.46D.無數(shù)

5.下列解關于x的不等式中正確的是（）

7.某電視臺在時段的2分鐘廣告時間內(nèi)，計劃播長度為15秒和30秒的兩種廣告.15秒的

廣告每播一次收費0.6萬元，30秒的廣告每播一次收費1萬元.若要求每種廣告播放不少

于兩次，則電視臺在播放時收益最大的播放方式是（）

A.15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次

B.15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放4次

C.15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次

D.15秒的廣告播放3次，30秒的廣告播放2次

8.超市有4支裝和6支裝不同包裝的碳素筆，小明想買36支，有（）種不同的買法。

A.3B.4C.5

二.填空題（共8小題）

10.百葉龍是一種浙江長興的傳統(tǒng)民俗活動，是舞龍表演中最有特色的表演之一。百葉龍身

軀由同樣的大荷花組成，分9段層層聯(lián)結延伸，每段9朵荷花，每朵荷花由x片花瓣組成，

百葉龍身軀共有5103片花瓣。根據(jù)題意可解得》=o

11.商店里有2元和3元的兩種筆記本，小文買筆記本正好花了20元，可以有種不同

的買法。

12.將一根長為374厘米的合金鋁管截成若干根36厘米和24厘米兩種型號的短管，加工損

耗忽略不計，問：剩余部分的管子最少是厘米.

13.成語“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難假設愚公家門口的大山有120萬噸重，愚

公有兩個兒子，他的兩個兒子又分別有兩個兒子，依此類推，愚公和他的子孫每人一生能搬

運150噸石頭.如果愚公是第1代，那么到了第代，這座大山可以搬完.

14.學校買來桌椅若干，共用去2500元，每把椅子50元，每張桌子150元.買椅子張.

15.旅行團23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個房間不能有空床位），有種不

同的安排.

16.一個科普展覽會的門票價格是：普通票每人20元，團體票20人以上（含20人）按八

折優(yōu)惠，最少人時買團體票省錢.

三.計算題（共1小題）

四.解答題

19.五（2）班有37位同學，六一節(jié)老師要給每位同學買一支筆，商店里只有4支一盒或3

支一盒的包裝.不能打開盒零售，也不能多買.老師有多少種不同的買法？

20.地球上的“逃逸速度”是11.2千米/秒，這意味著地球上的物體，如果速度大于11.2

千米/秒，它就能脫離地球的影響而飛出去.大到火箭，小到分子的任何物體都適用，現(xiàn)有

一個大氣分子，太陽輻射把它的速度提高到15千米/秒，已知它與其他分子每碰撞一次，速

度依次減少到碰撞前的2,—,—,則至少碰撞次才能使它不“逃離”地球.

201918---------

21.55個蘋果分給甲、乙、丙三人，甲的蘋果個數(shù)是乙的2倍，丙最少但也多于10.丙得

到了多少個蘋果？

22.要修一條長1800米的水渠，工作5天后，修了的占未修的!，照這樣的進度修下去,

3

還要多少天才能修完這條水渠？

23.一種鋼筆有6支裝和8支裝兩種不同的包裝。張老師要買46支鋼筆作為學生獎品，一

共有多少種不同的買法？（請一列舉出來。）

24.一次夏令營活動有21位學生參加，請你安排住宿，住3人間和2人間（每個房間不能

有空床位），有多少種不同的安排？（填表并找出答案）

3人間

2人間

答：一共有種不同的安排。

25.工程隊用載重量分別為3噸和5噸的兩種卡車給工地送黃沙.一共運送了26噸，兩種

車各送了幾次？

26.用載質(zhì)量4噸和6噸的兩輛車運沙子，如果每次每輛車都裝滿，怎樣安排能恰好運完18

噸沙子？

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用“小汽車限坐4人，商務車限坐6人”，而且“每輛車都坐滿”，

根據(jù)總?cè)藬?shù)及選項租車方案，利用嘗試法找到符合題意的答案即可。

故選：Bo

【點評】本題關鍵利用嘗試法解答，找到符合題意的租車方案。解答本題也可列方程。

故選：A.

【點評】此題主要考查利用加減消元法解方程組的方法，關鍵是把x、y的值代入原方程中，

得出關于左和6的方程組.

3.【答案】B

【解答】解：共139名代表投票，即有139票；

設甲至少還要得無票，可得：

解得：

x為正整數(shù)，所以x的最小值為15；

答：甲至少還要再得15票才能確保當選.

故選：Bo

【點評】解答此題關鍵要明確剩下的39票要從最差情況考慮，即39票只選了兩人：甲和乙

或甲和丙.

4.【答案】B

【解答】解：設商和余數(shù)均為x,則

故選：Bo

【點評】考查了不等方程的分析求解，解題關鍵是得到商和余數(shù)的取值范圍.

5.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可求解.

故選：D.

【點評】考查了不等方程的分析求解，關鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì).

故選：A.

【點評】主要考查不等式的性質(zhì)，應注意不等號的方向什么時候改變.

【解答】解：設15秒的廣告播x次，30秒的廣告播y次.

因為每種廣告播放不少于2次，

所以電視臺在播放時收益最大的播放方式是：15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次.

故選：A.

【點評】解題關鍵是弄清題意，找到合適的等量關系，合理分析得出結論.

8.【答案】B

【分析】把36分成4的倍數(shù)與6的倍數(shù)的和，找出正好是36支的全部可能，從而解決問

題。

所以買9盒4支裝或6盒4支裝和2盒6支裝或3盒4支裝和4盒6支裝或6盒6支裝。

答：有4種不同的買法。

故選：B。

【點評】本題主要考查了整數(shù)的拆分，把36分成4的倍數(shù)和6的倍數(shù)相加的和是解答的關

鍵。

二.填空題（共8小題）

9.【分析】先利用不等式的性質(zhì)將原不等式進行變形，再據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)得出A的取值

范圍，進而求出A的數(shù)值，問題得解.

故答案為：12、7.

【點評】此題主要考查分數(shù)的基本性質(zhì)的靈活應用.

10.【答案】63o

【分析】先用9乘9求出9段有多少朵荷花，再乘x就是百葉龍身軀共有多少片花瓣。據(jù)此

列方程解答即可。

答：每朵荷花由63片花瓣組成。

故答案為：63o

【點評】本題主要考查了用方程解答應用題的能力。

11.【答案】4。

【分析】2元筆記本為1本、4本、7本、10本，求出買完2元筆記本后剩下的錢數(shù)，根據(jù)

“數(shù)量=總價+單價”求出可以購買3元筆記本的本數(shù)，最后列出表格，據(jù)此解答。

【解答】解：第1種：購買1本2元筆記本。

=6（本）

第2種：購買4本2元筆記本。

=4（本）

第3種：購買7本2元筆記本。

=2（本）

第4種：購買10本2元筆記本。

2元筆記本3元筆記本

第1種1本6本

第2種4本4本

第3種7本2本

第4種10本0本

由上可知，可以有4種不同的買法。

故答案為：4?

【點評】本題主要考查搭配問題，按順序列舉做到不重復、不遺漏是解答題目的關鍵。

由上述計算可得，剩余部分的管子最少是2厘米.

故答案為：2.

【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)截得的兩種管子的長度，求出截掉部分的長度是12的倍數(shù)，

從而列出方程解決問題.

13.

【解答】解：設到了第"代，這座大山可以搬完

答：到了第13代，這座大山可以搬完.

故答案為：13.

【點評】此題考查學生對不等方程的分析與求解的能力.

【解答】解：設買椅子尤把，買桌子y張，

所以買椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把.

答：買椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把.

故答案為：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47.

【點評】此題主要考查了不定方程的分析求解，考查了分類討論思想的應用，弄清題意，找

出合適的等量關系，進而列出方程是解答此類問題的關鍵.

【解答】解：設有x間3人房間，y間2人房間，根據(jù)題意可得方程：

3人間/間1357

2人間/間10741

答：綜上所述，23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個房間不能有空床位），有4種

不同的安排.

【點評】此題考查了利用不定方程的整數(shù)解，解決實際問題的靈活應用，這里要注意討論X、

y的取值范圍.

16.【分析】已知團體票20人以上(含20人)按八折優(yōu)惠，八折意思是團體票的價格是普

通票價格的80%,把普通票的價格看作單位“1”，根據(jù)題意列不等式解答比較簡便.

【解答】解：設至少x人時買團體票要比買普通票省錢.

答：若買團體票，至少17人時買團體票要比買普通票省錢.

故答案為：17.

【點評】此題解答關鍵是把普通票的價格看作單位“1”，八折即普通票價的80%,以此列

式解答即可.

三.計算題(共1小題)

17.【分析】先根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)化簡，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時乘15,再去括

號、合并、系數(shù)化1即可.

【點評】本題考查了不等方程的分析求解，關鍵是掌握解題步驟.

四.解答題

【解答】解：設以后幾天平均每天修路x千米，根據(jù)題意得：

答：以后幾天內(nèi)該工程隊平均每天至少要修路0.8千米.

【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出

的條件，找出合適的不等關系列出一元一次不等式，再求解.

【解答】解：設4支一盒的x盒，3支一盒的y盒，得：

所以有3種買法：

(1)4支一■盒的有1盒，3支一■盒的有11盒；

(2)4支一盒的有4盒，3支一盒的有7盒；

(3)4支一盒的有7盒，3支一盒的有3盒.

答：老師有3種不同的買法.

【點評】此題解答的關鍵在于根據(jù)等量關系：4x盒數(shù)+3x盒數(shù)=總支數(shù)37,列出等式，然

后求解.

【解答】解：設至少碰撞〃次才能使它不逃離地球：

56

"75'

"是整數(shù)，"最小取值就是6;

答：至少碰撞6次才能使它不“逃離”地球.

故答案為：6.

【點評】本題關鍵是找出碰撞〃次之后的速度是原速度的幾分之幾的求解方法，以及求出逃

逸速度是原速度的幾分之幾，列出不等方程，求出〃的取值即可.

利用數(shù)軸表示這個不等式組的解集為：

,-------1—6?0--------1---------->

1213141516

=13（個）,

答：丙得到了13個蘋果.

【點評】本題考查理解題意能力，關鍵是根據(jù)等量關系列出不等式組求解.

22.

【分析】根據(jù)題意，“工作5天后，修了的占未修的也就是已修的占這條水渠總長的

3

—,根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，用乘法求出5天修了多少米，再根據(jù)工作量+工作時間=

1+3

工作效率，求出平均每天的工作效率，進而求出一共用多少天完成，然后再減