等式、根與系數(shù)關系、方程組

等式的性質

1.等式的兩邊同時加上同一個數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

2.等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

用符號語言和量詞表示上述等式的性質：

如果a=b,則對任意c,都有a+c=b+c；

如果a=6,則對任意不為零的c,都有a-c=b,c.

3、等式性質中的“加上”與“乘以”如果分別改為減去、除以，結論仍成立.

二.恒等式

1.恒等式的含義：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式,

也稱等式兩邊恒等.

【注意】恒等式是代數(shù)變形的依據(jù)之一.

2.常見的代數(shù)恒等式

(1)(a+Z?)2=a2+2ab+b2,(a-Z))2=a1-2ab+b2

(2)a2-b2+

(3)a2+b3=(a+b\a2-ab+b2^,a3-b3=(a-^)(o2+ab+b~^

(4)(x+a)(x+b)=x?+(a+6)x+ab,(ax+Z))(cx+(7)=acx2+(^ad+bc^x+bd

3.十字相乘法

給定式子V+Cx+D，如果能找到。和6,使得。=ab且C=a+6,則/+Cx+。=(x+a)(x+b)

為了方便記憶，己知C和。，尋找滿足條件的。和6的過程，常用圖來表示：]Q

其中兩條交叉的線表示對應數(shù)相乘后相加等于C,

正因為如此，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”./\

4.利用恒等式化簡的步驟：1b

(1)先看各項有無公因式，有公因式的先提取公因式；

(2)提公因式后，看多項式的項數(shù)

①若多項式為兩項，則考慮用平方差公式分解；

②若多項式為三項，則考慮用完全平方公式因式分解；

③若多項式為四項或四項以上，就考慮綜合運用上面的方法.

(3)若上述方法都不能分解，則考慮把多項式重新整理、變形，再按照上面步驟進行.

1

三.方程的解集

一般地，把一個方程所有解(或根)組成的集合，稱為這個方程的解集.

利用等式的性質和有關恒等式進行代數(shù)變形，可以得到一些方程的解集.

考點一等式的性質與應用

【例1】1.已知3x=7y(yw0),則下列比例式成立的是()

x3x7

卜冷B.冷C.-=-D.

N73y

【答案】B

Y7

【解析】因為3x=7y(ywO),則XHO,則彳=三，-=故B選項正確，ACD選項錯誤.故選：B.

73y3

【訓練1】1.下列運用等式的性質進行的變形中，正確的是()

A.如果〃=6,那么6—cB.如果〃=6。，那么a=6

ah

C.如果Q=b,那么巴=9D.如果3=2,那么“=6

cccc

【答案】D

【解析】選項A,當cwO時，顯然不成立；選項B,如果/=6〃，那么。=6或。=0,顯然不成立;

選項c,當c=o時，q=2無意義,不成立；選項D,如果巴=2,則cwO,故巴xc=2xc,

cccccc

即a=6,成立，故選：D

2.下列變形錯誤的是()

A.如果x=y,則工_5=了-5B.如果(%+l)x=%+l,則R=1

C.如果(〃+i)x=5,貝=D.如果a=6,則。加=6機

【答案】B

【解析】A、x=y,兩邊都加-5,得x-5=y-5,故A正確；B、加+1=0時，兩邊都除以0無意義，故B

錯誤；C、因為/+1>0,方程+1卜=5兩邊同除以/+1，得x=,“，故C正確；D、兩邊都乘以

m,故D正確；故選：B.

考點二恒等式的化簡

【例2】1.已知多項式2/+反+。分解因式為2(X-3)(X+1),則6,c的值為()

A.6=3,c=T；B.b--6,c-2；C.6=-6,c=-4；D.b--A,c--6

【答案】D

【解析】展開2(x-3)(x+l)=2(x2+x-3x-3)=2x2-4x-6

2x2-4x-6-2x2+bx+c>解得：b=-A,c=-6.故選：D

2

【訓練2】1.下列各式運算正確的是()

A./+4a+5—(a+1)(。+5)B.2a?+4ab+9b?—(2Q+3b)?

C.a3+b3=(a+b)(a1^ab+b1^D.a-b3-{a-b)(a1-ab+b1^

【答案】C

【解析】對于A選項，右邊=/+6Q+5W左邊，故A選項錯誤.

對于B選項，右邊=4/+12^+9/w左邊，故B選項錯誤.

對于C選項，根據(jù)立方和公式可知，C選項正確.

對于D選項，根據(jù)立方差公式可知，正確的運算是。3-63=(口一①(1+仍+〃)，故D選項錯誤.故選C.

考點三一元二次式因式分解

【例3】1.用十字相乘法分解因式：

(1)/+7x+12；(2)3-+7X-6;

【答案】(1)(x+3)(x+4)；(2)(x+3)(3x-2)

【解析】(1)X，+7X+12=(X+3)(X+4)；

(2)3x?+7x-6=(x+3)(3x-2)；

【訓練3】1.將下列各式因式分解：

(1)2X2-7X+3;(2)10(X+2)2-29(X+2)+10

【答案】答案見解析.

【解析】⑴2x2-7x+3=(2x-l)(x-3)；

(2)10(x+2)2-29(x+2)+10=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]=(2x-l)(5x+8)

2.求下列方程的解集：

(1)3/+工-2=0;(2)12/3-2=0;

【答案】⑴卻⑵｛泊｝

【解析】(1)3X2+X-2=(3X-2)(X+1),原方程化為(3X—2)(X+1)=0,

解得x=g或x=—1,所以原方程的解集為11.

(2)12f—5X-2=(3X-2)(4X+1),原方程化為(3x—2)(4x+l)=0,

解得x=g或x=-4，所以原方程的解集為

3434

3

考點四多元高次式因式分解

【例4】1.用十字相乘法分解因式:

(1)2x2-xy-3y2；(2)x4y4-3x2y2-4.

【答案】(1)(x+J)(2X-3J)；(2)(XJ+2)(XJ-2)(X2/+1).

【解析】(1)2x2-xj-3/=(x+j)(2x-3j)；

(2)x4y4-3x2y2-4=(x2y2-4)(x2y2+l)=(xy+2)(xy-2)(^x2y2+l^.

【訓練4】1.把下列各式因式分解：

(1)6m2-5mn—6n2；

(2)2爐+1少2―3方；

(3)6(x+y)+7jz(x+y)+2z(x>0/>0,z〉0).

【答案】(1)(3加+2〃)(2加一3〃)；(2)(%+歹)(%—丁)(2工2+3")；(3)

(3“+y+2A/Zj(2jx+y+4).

【解析】(1)6m2-5mn-6n2=(3m+2n)(2m-3w)；

(2)2x4+x2y2-3j/=(/—j?)(2—+3/)=(%+^)(了一夕)(2/+3/)；

(3)6(x+9)+7jz(x+y)+2z=(3jx+y+26乂2,%+歹+正).

2.把下列各式分解因式：

(1)x2-4mx-Smn-4n2;

(2)%2-y2+4x+6y—5；

(3)x3-4xy2-2x2y+8j/3.

【答案】⑴(x+2n)(x-2n-4m)；(2)(x+yT)(x-y+5)(3)(x+2y)(x-2y)2

【解析】(1)原式=(1-4"2)-4TM(X+2")=(X+2〃)(X—2〃)-4"7(X+2")=(x+2〃)(x—2"—4加).

(2)M^,=(x2+4x+4)-(y2-6y+9)=(x+2)2-(j^-3)2=(x+y-1)(x-y+5).

(3)(方法一)=x3+8y3-2xy(x+2y)=(x+2y)(x2-2xy+4y2^-2xy(x+2y)

=(x+2y)-4肛+4力=(x+2y)(x-2v)2.

(方法二)原式=W-2x2y)+(~4xy2+8j3)=/(x-2y)-4y2(x-2y)

=(x-2^)(x2-4y2)=(x+2y)(x-2y)2.

考點五方程的解

【例5】1.一元二次方程(x+3)(x-3)=3(x+3)的解集是()

4

A.{3}B.{6}C.{-3,6}D.{-6,3}

【答案】C

【解析】(x+3)(x—3)—3(x+3)=0,即(x+3)(x-3-3)=0,所以x+3=0或x—3—3=0,

解得X]=-3,X2=6.故選:C.

【訓練5】1.己知關于x的方程三=：+1的解集為0,則實數(shù)。的值()

A.0B.1C.D.-

32

【答案】C

【解析】由十1+L得仁因為關于x的方程彳=*1的解集為0，

所以《一2=0,得“=：,故選：C

233

2.(多選)方程=2+%解集為單元素集，那么該方程的解集可以是()

x+1X

A.{1}B.{2}C.{3}D.{4}

【答案】ABC

2x+TYl

【解析】由題意可知XH—1且XW0,則原方程可化為》=■------得/—2x—加=0，

X

若A=4+4m=0,解得小=一1,故原方程為X2—2X+1=0,解得X=l；

若此方程有一根為一1，m=3,此方程解為x=3(舍去x=-l)；

若此方程有一根為0,m=0,此方程解為x=2(舍去x=0)選：ABC.

3.用因式分解法求下列方程的解集.

(1)6x(x+l)=5(x+1)；

(2)(2x—I)2—(x+1)2=0；

【答案】(1)(2){0,2}；

【解析】(1)分解因式，得(6%—5)(%+1)=0,所以6工一5=0或x+l=0,所以刈=*,x2=—l.

6

所以方程的解集為。-1}.

(2)分解因式，得[(2x—l)+(x+l)][(2x—1)—(x+l)]=0,

所以3x(x—2)=0,所以々=0,無2=2.所以方程的解集為{0,2}.

5

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關系

一.一元二次方程

1.定義：形如。必+樂+。=0的方程稱為一元二次方程，其中a,b,c是常數(shù)，且awO.

2.一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解；

(2)配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個非負常數(shù),

則可以直接開平方求解；

—b+J—

(3)公式法：將一元二次方程中的系數(shù)a,b,c的值代入式子x=——--------中求解；

2a

(4)因式分解法：通過移項將等式右邊變成0,再因式分解，令每個因式為0即可求解.

3.一元二次方程根的判別式與解集

式子廿-4碇叫做一元二次方程以2+區(qū)+。=0(。70)根的判別式，通常用A表示，即A=廿-4ac

(1)當A>0時，一元二次方程以2+江+。=0(°70)有兩個不相等的實數(shù)根；

此時，方程的解集為：卜+揚-4aq,一J/4”,

2a2a

(2)當A=0時，一元二次方程ax2+6x+c=0(aH0)有兩個相等的實數(shù)根；此時，方程的解集為：

(3)當AO時，一元二次方程。必+為+。=0(°70)沒有實數(shù)根；此時，方程的解集為0

一元一次方程根與系數(shù)的關系(韋達定理)

1.一元二次方程根與系數(shù)的關系：

b0

如果a/+bx+c=0(。。0)的兩根玉、x2,那么西+/二——，x^x2=—

aa

2.應用一元二次方程根與系數(shù)的關系時，常有一下變形：

(1)X；+X：=(%+/丁-2匹12；

6

11_%/

(2)---1-----------

為

x2XjX2

(3)=X1X2(X1+12)；

(4).2I%］二(％1+%2)—2,9

再X2XyX2

(5)(/+左)(%2+左)=匹％2+左(%1+12)+左2

11_%；+*_(再+%)2—2m工2

v0J---1-----------------------------

X；X；x；x；x；x；

(7)(占一％2)2=(玉+%2)2-4%1%2

(8)"_%|二J(X「X2)2=加］+/)2_4X/2

考點一一元二次方程的解集

【例1】1.方程4(1-尤)2=1的解集是()

【答案】C

【解析】由方程4（1-X）2=1,可得方程（x-1）2=；,解得工一1=；或%一1=一;，所以x=T或x=；,

即方程的解集為故選：C.

【訓練1】1.集合{x|2/-3x+2=0,xeR}=.

【答案】0

【解析】因為2/—3x+2=0的A<0,所以方程無實數(shù)解，所以A=0.

2.方程，+x）2+X2+x=42的解集為.

【答案】{一3,2}.

【解析】令x2+x=f,則"Y+x4x+gr=，原方程化為「+"42=0,解得a=-7（舍）或

244

%2=6,

即r+x=6,得X2+X-6=0,解得網(wǎng)=-3或％=2.即方程(/+乃2+/+》=42的解集為{-3,2}.

3.求下列方程的解集:

(1)(J_l)—4(x2—xj—12=0；

7

(2)x2+x+A/X2+x+7=5?

【答案】(1){-2,3}；(2){-2,1}

【解析】(1)令——原方程化為4/12=0,解得"-2或％=6.

當￡=一2時，x2-x=-2,即工2_1+2=0,A=(-1)2-4x2=-7<0,此方程無解.

當”6時，X2-X=6,BPX2-X-6=0,解得％=-2或X=3.所以原方程的解集為{-2,3}.

(2)令Ji+x+7=(/>0)方程化為++7-12=0,解得，=3或(舍).

由，=3得，工2+'+7=3,BPx2+x-2=0解得％=-2或x=l,

經檢驗，x=-2,x=l是原方程的解.所以原方程的解集為{-2,1}.

4.方程――+口=12的實數(shù)根是

x'+lx23x

1X

.??3〃-10/+3=0,/=3或=彳，由^^=3可得3/-尤+3=0,方程3/一x+3=0無實數(shù)解，

3x+1

由仁=:可得/一3》+1=0,方程X2-3X+1=0的解為

X+132

考點二一元二次方程根的分布

【例2】1.關于x的一元二次方程/+8》+?=0有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是()

A.q>16B.”16C.q<4D.q>4

【答案】B

【解析】；/+如+?=0有兩個不相等的實數(shù)根.?.△=82-曲>0W<16

【訓練2】1.已知關于x的一元二次方程*一26》+左=0沒有實數(shù)根，則左的取值范圍是.

【答案】k>3

【解析】由題意得：A=(-2A/3)2-4A：<0=>^>3.

2.方程/-2如+4=0的兩根均大于1,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［2,j)

a>\

【解析】?.?/-2姓+4=0的兩個根者口大于1；」5—2。>0,

A=4/-1620

解得2Wa<g可求得實數(shù)”的取值范圍為［2,3

3.已知一元二次方程加/-2工+切+3=0有兩個正實根，則實數(shù)機的取值范圍是.

8

V13-3

【答案】0〈機w

-2~

加w0

A=4—4m(m+3)>0

2n,屈-3

【解析】設兩個正實數(shù)根分別為4%,《x+x=—>0,n°<加"

12m2

加+3八

—>U

.m

4.若關于x的方程/一履+2=。的一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)后的取值范圍為.

【答案】（3,+s）

【解析】由題意，關于x的方程X?-代+2=0的一根大于1,另一根小于1,設/（力=》2+2,

根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得/（1）=-左+3<0,解得左>3,所以實數(shù)人的取值范圍為（3,+8）.

考點三根與系數(shù)的關系

【例3】1.若關于x的方程f一6x+2=0的兩根分別是與當，則3+±=（）

X]x2

A.6B.7C.8D.9

【答案】c

【解析】因為可,馬是方程x2-6x+2=0的兩根，所以不+迎=6,再毛=2

所以4+4=4^=5±父尸i=阻心=8,故選：C

演x2再x2x24

【訓練3】1.若須、馬是方程2x2+6x+3=0的兩個根，則￡+/=（）

1

A.——B.2C.4D.8

2

【答案】C

3

【解析】因為西、馬是方程2/+6x+3=0的兩個根，所以由根與系數(shù)之間的關系，西+/=-3,

故選+五=Xj+x??=（網(wǎng)+%）22&%=4.故選:C.

x1x2XxX2XxX2

2.若相，力滿足加?_3m-1=0,“2—3”-1=0,且加w”，則—I—的值為（）

mn

A.-11B.-9C.9D.11

【答案】A

【解析】依題可得，m,〃為方程--3x-l=0的兩個不等實根，所以m+〃=3,mn=-l,

所以？+'="2+加2=（加+〃）2-2加=32-2><（-1）=_]],故選：人.

mnmnmn-1

9

3.已知一元二次方程2/+3x-4=0的兩根為X］、x2,則婷-可為

【答案】±12叵

8

3

【解析】結合韋達定理可知玉+々=-］，

所以多一%2=土咚，且X：-年=（再一￡乂X：+個2+=），由⑴知X；+W=（芭+工2丫-2中2=亨,

+1歷

所以xj-超3

8

4.已知方程-3/+5方+3=0的兩根為玉、馬，分別計算下列各式的值:

（1）龍?zhí)?再2工2；（2）IXJXJ-X,xi；（3）—~"2%；

2(4)無

11

一一再_2X2

【答案】（1）-j；（2）；（3）I"；（4）.

3333

5

__x+X-）——

【解析】；X1,X2是方程一3/+5x+3=0的兩根，.1y3；

AX2=-!

⑴謁+工包』2（為+小一年=等

（2）卜芯-X；%2|二|七%2（x2一玉）|=|七'2I.'（再+'2）2-4%1%2=+4=；

X；-再尤2-2考_（再一2%）（再+%）__5

（3）Z---------------------------------------------一項十I2—~.

xx-2X2X1-2X23

（4）X］（x；-1）=&（x；+XjX2）=X1X2（x2+%］）=-1x=-1-;

考點四利用根與系數(shù)的關系求參數(shù)

【例4】1.已知為凡是關于x的一元二次方程/+2"+/+a=0的兩個實數(shù)根，則x；+x；=12,貝心的值

是（）

A.a=3B.a——2C.a=3或a=—2D.a=—3或a=2

【答案】B

ccfXi+=—2a

【解析】由題意得A=（2a）-4（。+。）20且｛2，解得QKO,

［再入2=Q+Q

又X；=（石+%2?一2再工2=（-2〃）2-2（/+。）=12,解得。=一2或a=3（舍）.故選：B

【訓練4】1.已知方程/+31+2=0的兩個實數(shù)根是。和萬，若|。-刈=5,求實數(shù)夕.

【答案】-4

10

【解析】???方程/+3x+p=0的兩個根是a和夕，由韋達定理得,a+4=-3，矽=p,

又|a_0=、（a-外|=、（a+外_軌/=、（一3）2-4p|=5,即9—42=25,得，解得°=一4

2.若6為實數(shù)，關于無的方程辦2+.隊+6=0的解集為{-1,3},則a+b=.

【答案】、4

2

【解析】由關于x的方程&++b=0的解集為{-1,3},即-1,3是方程ax+abx+b=0的兩個實數(shù)根,

［一1+3=一或

?4

所以八°n,解得。=；,6=-2,所以。+6=-二.

,b33

-1x3o=—

、a

3.已知關于x的方程x?-2（加+l）x+加之一3=0有兩個不等實根.

（1）求實數(shù)加的取值范圍；

（2）設方程的兩個實根為%,%2，且（2+工2）2-（再+、2）-12=0,求實數(shù)加的值；

【答案】（1）（-2,+00）；（2）1

【解析】（1）由題意，關于、的方程r-2（加+1）、+/_3=0有兩個不等實根

則A=4（加+1）2-4（m2-3）＞0,即8加+16＞0,解得加＞一2,即實數(shù)相的取值范圍為（-2,+8）.

2

（2）由方程一—2（加+l）x+加2—3=0的兩個實根為石，可得A=4（加+1）2-4（m-3）＞0,

解得相＞一2且再+x2=2（m+1）,因為區(qū)+9）2-（再+X2）-12=0,可得4（加+1）2-2（m+l）-12=0,

解得〃?=1或相（舍去），所以實數(shù)〃?的值為1.

4.己知否,三是關于x的一元二次方程4履2一4履+左+1=0的兩個實根.

（1）若其-馬卜;，求實數(shù)上的值；

（2）是否存在實數(shù)左，使（2再-9）（國-2x2）=-］成立？若存在，求出上的值，若不存在，說明理由;

（3）若土+生—2eZ,求整數(shù)上的值.

x2再

【答案】（1）左=—16；（2）不存在，詳見解析；（3）左=—2或—3或-5.

【解析】（1）因為不、%是關于x的一元二次方程4船2-4fct+《+1=0的兩個實根，

左w0左+1-4k1

所以〈/彳7\2/,77,八八，解得左＜0，/入2=.77-，玉+、2=----~77~-1?因為國一司二二，

（—44）-4x4^x（A：+l）＞04k4k114

\21Rn/\2.11dk+\1左+115

所以（$—4）=77，即（玉+4）-4x^2=—^l-4x-T7-=77J~T~=72,k=-16.

10104/10K10

（2）由（1）易知左＜0,=A］，西+x2=1，若存在實數(shù)左，使（2國一工2）（國-2々）=一3成立，

11

則（2%一%）（七一2%）=2（占+%）2-9￥2=2-乎?。=一|,解得左=|,因為左＜0,所以不存在實數(shù)上使

（2再—x2）（x1—2X2）=一］成立.

左+1

（3）由（1）易知左＜0,xx=——,再+%2=1,貝U

124k

%|X22_（再+%y必__4_^

x2xiXjX2x1x2左+1左+1

因為±+±-2eZ,所以一717cz,因為人為整數(shù)，所以后+1=±1、±2、±4,因為左＜0,所以左=—2或

%x,k+\

一3或-5.

方程組的解集

-.方程組的解集與表示

1.方程組的解集：一般地，將多個方程聯(lián)立，就能得到方程組，方程組中，由每個方程解集得到的交集稱

為這個方程組的解集.

2.二元一（二）次方程組的解集表示方法為：{（x4）|（a,A）,…},其中。，6為確定的實數(shù).

三元一次方程組解集的表示方法為：{（x,y,z）|（a,仇c）,…},其中a,b,c為確定的實數(shù).

二.二元一次方程組

1.定義：方程組含有兩個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有兩個方程，像這樣

的方程組叫做二元一次方程組.

2.二元一次方程組的解法：

（1）代入法：將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程

中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程，這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡

稱代入法.

（2）加減法：對某些二元一次方程組可通過方程兩邊分別相加（減）消去其中一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程，從而求出它的解，這種解方程組的方法稱為加減消元法，簡稱加減法.

三、二元二次方程組

1.定義：含有兩個未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，稱為二元二次方程，由一個二

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元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組成的方程組，稱二元二次方程組.

2.解二元二次方程組的思路：消元和降次.

四、三元一次方程組

1、定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程，像這樣

的方程組叫做三元一次方程組。

2.三元一次方程組的解法：

(1)先觀察三個方程中各未知數(shù)系數(shù)及整個式子的特點，然后確定先要消去的未知數(shù)，

再靈活選擇代入消元法或加減消元法將三元化為二元，達到消元的目的.

(2)當“三元一次方程組”只含有兩個方程時，我們將其中一個未知數(shù)看成已知數(shù)，

此時，方程組即二元一次方程組，利用消元法思想即可求解.

3.解三元一次方程組時要特別注意：

(1)三元一次方程組的解法多種多樣，只要逐步消元，解出每一個未知數(shù)即可；

(2)解三元一次方程組時，每個方程都至少要用到一次，否則解出的結果也不正確.

考點一解一元二次方程組

【例1】1.方程組尸+'=1的解集是()

A.{x=O,y=l}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{x=0或y=l}

【答案】C

【解析】由［D導：尸］\方程組的解集為{(0,1)}.故選:C.

Ix—y—_1Iy_1Ix—y—_1

,、，一■f2x+y=0

【訓I練1】L(多選)有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組二八的解集的是()

A.{(")忖=-1或y=2}B.

C.{x=-l,y=2}D.{(-1,2))

【答案】BD

(2x+y=0fx=-1f.［x=-11

【解析】由jx_j，+3=o,得。=2，解集用集合表示為：⑶叫尸2］或{(T2%故選：BD.

2.若關于x,了的方程組］:的解集為{(L2)},貝I］機-〃=(.)

A.4B.-4C.6D.-6

【答案】D

fmx+4y=7zz、、［加+4x2=7［m=-1

【解析】???關于X,y的方程組，’的解集為1,2,,解得，<,=

［3x-my=n\3—mx2=n［n=j

13

ax-3y=6

3.關于x,y的方程組々/力的解集，不正確的說法是（）

3x-2j=4

A.可能是空集B.必定不是空集C.可能是單元素集合D.可能是無限集

【答案】A

9oax-二3y==6解集是

［解析］當〃=5時，=6與3x—2y=4重合,3x4無限集，則D正確;

9ax-3y=6_

當”5時,3一尸4有單元素集合,則B，0正確；故選：A

ax+by=2,

4.若(3,-2)e(")|,貝!1。+6的值為

bx+ay=-3

【答案】-1

ax+by=2,3?！?6=2

【解析】???（3,-2）e36-2-3,兩式相加可得:a+b=-\,故答案為：

bx+ay=-3

考點二解二元二次方程組

x+y=1

【例2】1.方程組22°的解集是()

x-y=-9

A.(4,5)B.(5,-4)C.{(5,-4)}D.{(-4,5)}

【答案】D

x+y=1x=-4x+y=l

【解析】由-4解得尸5,所以方程組22。的解集是{(-4,5)},故選：D

x-y=-9

(x-3)2+y2=9

【訓練2】1.解方程組:

x+2y=0

24

x=——

x=0

【答案】5或

12-乂V=0

°12

【解析】依題意％=—2歹，貝|J(一2＞—3)+y2=9,5y2+12y=0,解得＞=。或＞=一~—

24

X=——

x=0

所以方程組的解為:1或

y=0

尸-不

\則丁-孫+艮之值為（）

2.若相異兩實數(shù)x,y滿足2

y+x-2=0

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

14

【解析】兩式作差消元得：（x7）（x+y-l）=Onx+y=l（xwy）,反代回去得：x2-x-l=0,

同理可得：y-y-\=Q,由同構及韋達定理有：《丫+_］繼而有：x-2xy+y^x（2-y）+2+y（2-x）

（x+y

=2（x+y）-2盯+2=2+2+2=6.故選：D

42_Q2-15

3.求方程組r7V一的解集.

2、一3歹=5

【答案】｛（2,-；）｝

【解析】由題設，4x2=9y2+15=（3y+5）2,整理有”+1=0,可得了=一；，代入2x-3y=5,可得x=2,

???方程組的解集為｛（2,-g）｝.

考點三解三元一次方程組

x+2y+z=0,

【例3】1.方程組2x-y-z=l,的解集的是（）

3x—y—z=2

A.{(1,-2,3)}B.{(1,0,1)}C.{(0,-1,0)}D.{(0,1,-2)}

【答案】A

x+2y+z=0,

【解析】由題意＜2x-y-z=l,將第一個式子分別與第二、第三個式子相加得：

3x—y—z=2

f3x+y=1[x=1

,」.代入第一個式子，可得Z=3故方程組的解集為：{(1,-2,3)},故選：A

[4x+y=2[y=-2

■f3x+y-2z=0

【訓練3】1.已知?！?。,則x：V：z=()

[2x-y+3z=0

A.(-1):13:5B.1:(-17):(-5)C.1:5:13D.1:17:5

【答案】A

[3x+y-2z=0

【解析】因為、Q八，兩式相加得5x+z=0,則z=—5x,則＞=-13x,

[2x-y+3z=0

所以:z=x:(-13x):(-5x)=1(-5)=(-1):13:5.

2.方程組的解集為

[2x+y+3z=12

【答案】{(x,y,z)|x=5-z/=2-z,zeR}

x-2y-z=]fx-2y=1+zx=5-zx-2y-z=1

【解析】由,聯(lián)立求解得,故方程組的解集為

2x+y+3z=12\2x+y=12—3zy=2—z2x+y+3z=12

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{(x,y,z)|x=5-z,y=2-z,ze7?}故答案為：{(x,y,z)|x=5-z,y=2-z,ze7?}

考點四方程組在實際問題中的應用

【例4】1.某校運動員分組訓練，若每組7人，余3人；若每組