第三章

線性動(dòng)態(tài)電路分析《電工電子技術(shù)基礎(chǔ)》線性動(dòng)態(tài)電路分析換路定律一階電路的分析三要素法求解一階電路3.1換路定律《第三章線性動(dòng)態(tài)電路分析》學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解動(dòng)態(tài)過(guò)程、動(dòng)態(tài)電路的概念及動(dòng)態(tài)變化發(fā)生的條件2.掌握換路定律及其解題方法3.1.1動(dòng)態(tài)過(guò)程RL動(dòng)態(tài)電路

電路從一種穩(wěn)態(tài)變?yōu)榱硪环N穩(wěn)態(tài)需要的中間過(guò)程，稱為動(dòng)態(tài)過(guò)程，亦稱過(guò)渡過(guò)程或暫態(tài)過(guò)程。3.1.1動(dòng)態(tài)過(guò)程電感和電容都是儲(chǔ)能元件，電路中至少含有一個(gè)儲(chǔ)能元件電感L或電容C的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路產(chǎn)生動(dòng)態(tài)過(guò)程是有內(nèi)因和外因原因的。內(nèi)因是電路中含有儲(chǔ)能元件（L或C）外因是電路發(fā)生電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)改變也就是說(shuō)發(fā)生了換路，如：電路接通、斷開、短路、電壓改變等。產(chǎn)生動(dòng)態(tài)過(guò)程的原因是發(fā)生變化時(shí)儲(chǔ)能元件的能量不能躍變（或突變）。3.1.1動(dòng)態(tài)過(guò)程動(dòng)態(tài)過(guò)程的實(shí)質(zhì)是儲(chǔ)能元件的充、放電過(guò)程。電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程一般比較短暫，它的作用和影響都非常重要。有些電路設(shè)計(jì)時(shí)專門利用其動(dòng)態(tài)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)延時(shí)、波形產(chǎn)生等。3.1.2換路定律

uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)3.1.2換路定律t=0表示換路瞬間（定為計(jì)時(shí)起點(diǎn)）t=0_表示換路前最后一瞬間t=0+表示換路后開始一瞬間，即換路的初始值電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能躍變，這就是換路定律，用公式表示為設(shè)：3.1.2換路定律注意：換路定律僅用于確定換路瞬間uC、iL的初始值只有電容的電壓與電感的電流不能躍變，其余變量如iC、uL、uR、iR、電壓源的電流都可在換路時(shí)躍變3.1.3初始值的計(jì)算初始值的計(jì)算，即t=0+時(shí)電路中的電壓、電流初始值的計(jì)算，解題步驟為：根據(jù)換路前的電路求換路前瞬間uC(0–)、iL(0–)，注意電路視為一穩(wěn)態(tài)，此時(shí)電感短路，電容開路根據(jù)換路定律求換路瞬間的uC(0＋)、iL(0＋)畫出t＝0＋時(shí)的等效電路用直流電路分析方法，計(jì)算換路瞬間的其他電流、電壓值3.1.3初始值的計(jì)算【例1】在下圖（a）所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關(guān)S閉合瞬間各元件電壓和各支路電流的初始值。解：開關(guān)S閉合前uC(0-)=0開關(guān)S閉合后，根據(jù)換路定律，可得:uC(0+)=uC(0-)=03.1.3初始值的計(jì)算

【例1】在下圖（a）所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關(guān)S閉瞬間各元件電壓和各支路電流的初始值。3.1.3初始值的計(jì)算

【例2】在圖（a）所示電路中，電路原已穩(wěn)定，t=0時(shí)，合上開關(guān)S。試求初始值i1(0+)、iL(0+)和uL

(0+)。3.1.3初始值的計(jì)算解：根據(jù)KVL可得：2i1(0+)-12=0，則i1(0+)=6A根據(jù)KCL可得：i(0+)=i1(0+)-iL(0+)=6-2=4A根據(jù)KVL有：4×4+uL(0+)=0，則uL(0+)=-16V【例2】在圖（a）所示電路中，電路原已穩(wěn)定，t=0時(shí)，合上開關(guān)S。試求初始值i1(0+)、iL(0+)和uL

(0+)。感謝聆聽3.2一階電路的分析《第三章線性動(dòng)態(tài)電路分析》一階電路的分析可用一階微分方程描述的電路稱為一階電路。除了電源（電壓源或電流源）與電阻元件，只含一個(gè)儲(chǔ)能元件（電容或電感）的電路都是一階電路。分析一階電路的過(guò)程就是根據(jù)激勵(lì)（電壓源或電流源）求電路的響應(yīng)（電壓和電流值）。根據(jù)初始條件的不同，電路的響應(yīng)可分為三種。零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)一階電路的分析零輸入響應(yīng)指輸入激勵(lì)信號(hào)為零，僅有儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能所激發(fā)的響應(yīng)。零輸入響應(yīng)也是儲(chǔ)能元件放電的過(guò)程。零狀態(tài)響應(yīng)指電路初始狀態(tài)為零，電路僅有外加電源作用所激發(fā)的響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)也是儲(chǔ)能元件充電的過(guò)程。全響應(yīng)指電路初始狀態(tài)和輸入都不為零的一階電路。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握RC、RL一階電路零輸入響應(yīng)的概念及響應(yīng)變化規(guī)律。2.掌握RC、RL一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的概念及響應(yīng)變化規(guī)律。3.熟悉一階電路中時(shí)間常數(shù)的概念。3.2.1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)有RC電路和RL電路兩種。1.RC電路零輸入響應(yīng)如圖所示電路中，開關(guān)S在A位置時(shí)電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容元件已充電，即電容電壓uC(0-)=US。t=0時(shí)刻，開關(guān)S從A點(diǎn)切換到B點(diǎn)，電路發(fā)生換路，電容元件開始對(duì)電阻元件R放電。

RC零輸入電路由于電容兩端電壓不能突變，根據(jù)換路定律可知：uC(0+)=uC(0-)=US

。此時(shí)電路中僅有電容和電阻組成，電路中的電壓和電流都是由uC(0+)=US引起，這時(shí)電路中的電壓和電流為零輸入狀態(tài)，也是電容放電的過(guò)程。3.2.1零輸入響應(yīng)根據(jù)KVL,列出電壓方程uR-uC=0圖中，uR=iRR，電容兩端的電壓與通過(guò)的電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，則有

RC零輸入電路所以電壓方程為上式是一階常系數(shù)齊次線性微分方程，可得該微分方程的解為初始條件uC(0+)=US代入上式中則3.2.1零輸入響應(yīng)令τ=RC，τ為時(shí)間常數(shù)，電阻R的單位為歐姆，電容C的單位為法，則時(shí)間常數(shù)τ的單位為秒?？杀硎緸?/p>

RC零輸入電路圖中，電阻兩端電壓為電路中的電流3.2.1零輸入響應(yīng)2.RL電路零輸入響應(yīng)如圖所示電路中，開關(guān)S在A位置時(shí)電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電感元件充電電流為由于電感的電流不能突變，根據(jù)換路定律可知：t=0時(shí)刻，開關(guān)S從A點(diǎn)切換到B點(diǎn)，電路發(fā)生換路，電感元件開始釋放磁場(chǎng)能。RL零輸入電路此時(shí)電路中僅有電感和電阻組成，電路中無(wú)有電源，電路中的電壓和電流為零輸入狀態(tài)。3.2.1零輸入響應(yīng)根據(jù)KVL,列出電壓方程uR+uL=0。圖中，uR=iLR，電感兩端的電壓與通過(guò)的電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則有所以電壓方程為上式是一階常系數(shù)齊次線性微分方程，可得該微分方程的解為RL零輸入電路初始條件代入上式中則3.2.1零輸入響應(yīng)令τ為時(shí)間常數(shù)，電阻R的單位為歐姆，電感L的單位為亨，則時(shí)間常數(shù)τ的單位為秒?？杀硎緸镽L零輸入電路圖中，電阻兩端電壓為電感兩端電壓為3.2.1零輸入響應(yīng)3.一階響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)由上式可知零輸入響應(yīng)，即電容放電和電感釋放磁場(chǎng)能的過(guò)程，對(duì)應(yīng)通式可寫為式中f(0+)為t=0+的初始值，τ為時(shí)間常數(shù)，其中RC電路，τ=RC，RL電路，不同時(shí)間常數(shù)下的f(t)變化曲線上式表明零輸入響應(yīng)uC和iL是按指數(shù)規(guī)律衰減的，如變化曲線圖所示。3.2.1零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)τ是表示衰減快慢的物理量，時(shí)間常數(shù)τ越大，衰減越慢。當(dāng)t=τ時(shí)，f(τ)=0.368f(0+)t=2τ時(shí)，f(2τ)=0.135f(0+)t=3τ時(shí)，f(3τ)=0.05f(0+)t=4τ時(shí)，f(4τ)=0.018f(0+)t=5τ時(shí)，f(5τ)=0.007f(0+)理論上τ=∞，電路才達(dá)到穩(wěn)定，實(shí)際上當(dāng)t=5τ，儲(chǔ)能元件的響應(yīng)已衰減到初始值的0.7%。工程中，當(dāng)t≥5τ時(shí)，可認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。不同時(shí)間常數(shù)下的f(t)變化曲線解：換路前電容開路，由題意可知：uC(0-)=80V開關(guān)切換到B后，根據(jù)換路定律得：uC(0+)=uC(0-)=80V時(shí)間常數(shù)則【例1】如圖所示電路中，已知電路在換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求開關(guān)S由A切換到B后電容電壓uC(t)和電流iC(t)。3.2.1零輸入響應(yīng)解：S打開前，電感短路【例2】在如圖所示電路中，電路原已穩(wěn)定，求打開開關(guān)S后，電感的電流iL(t)和電感的電壓uL(t)。3.2.1零輸入響應(yīng)打開S，根據(jù)換路定律得時(shí)間常數(shù)則根據(jù)KVL，可得3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)1.RC零狀態(tài)響應(yīng)如圖所示電路中，開關(guān)S閉合前，電容未充電且處于穩(wěn)態(tài)，即uC(0-)=0。t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，發(fā)生換路，電路中的電源通過(guò)電阻R給電容元件C充電。由于換路前uC(0-)=0，換路后電路中的電流、電壓都是由電源激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。RC零狀態(tài)電路開關(guān)S閉合后，根據(jù)換路定律可知，根據(jù)KVL，列出電源方程為3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)因?yàn)镽C零狀態(tài)電路，代入上式，則有上式為一階常系數(shù)非齊次線性微分方程，

uC(0+)=0時(shí)，解得微分方程的解為上式中，時(shí)間常數(shù)τ=RC，當(dāng)t=∞，uC(∞)=US。又可寫為3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)上式表明電容電壓uC是按指數(shù)規(guī)律增加的，變化曲線如圖所示。時(shí)間常數(shù)τ表示電容充電的快慢，時(shí)間常數(shù)τ越小，充電越快。當(dāng)t=τ時(shí)，uC(τ)=0.632uC(∞)；當(dāng)t=5τ時(shí)，uC(5τ)=0.993uC(∞)，已經(jīng)很接近另一個(gè)穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=US。理論上τ=∞，電路才達(dá)到穩(wěn)定，實(shí)際上當(dāng)t=5τ，電容元件電壓已增加到穩(wěn)態(tài)值的99.3%。工程中，當(dāng)t≥5τ時(shí)，可認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。RC零狀態(tài)電路換路后，電路中電阻兩端的電壓，根據(jù)KVL可得電路中的電流為3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)由上兩式可知，在RC電路零狀態(tài)響應(yīng)中，電阻兩端的電壓和電路中的電流在換路后都按指數(shù)規(guī)律衰減。解：開關(guān)閉合后，根據(jù)換路定律，可知uC(0+)=uC(0-)=0換路結(jié)束后，電容視為開路，此時(shí)有uC(∞)=12V時(shí)間常數(shù):τ=RC=5×103×100×10-6=0.5s【例3】在如圖所示電路中，開關(guān)S閉合前uC(0-)=0，試求開關(guān)S閉合后的時(shí)間常數(shù)τ、uC(t)和i(t)3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)則有3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)2.RL零狀態(tài)響應(yīng)在圖所示電路中，開關(guān)S閉合前，電路處于穩(wěn)態(tài)，即iL(0-)=0。t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，發(fā)生換路，電路中的電源通過(guò)電阻R給電感元件L充電。由于換路前iL(0-)=0，電路中的電流、電壓都是由電源激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。RL零狀態(tài)電路開關(guān)S閉合后，根據(jù)換路定律可知，根據(jù)KVL，列出電源方程為因?yàn)?代入上式，則有3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)上式為一階常系數(shù)非齊次線性微分方程，iL(0+)=0時(shí)，可解得微分方程的解為電感電流變化曲線時(shí)間常數(shù)，當(dāng)t=∞，。又可寫為此式表明電感的電流iL是按指數(shù)規(guī)律增加的，變化曲線如圖所示。時(shí)間常數(shù)τ表示電感充電的快慢，時(shí)間常數(shù)τ越大，充電越慢。當(dāng)t=τ時(shí)，iL(τ)=0.632iL(∞)；當(dāng)t=5τ時(shí)，iL(5τ)=0.993iL(∞)，已經(jīng)很接近另一個(gè)穩(wěn)態(tài)值iL（∞）=US/R。

理論上τ=∞，電路才達(dá)到穩(wěn)定，實(shí)際上當(dāng)t=5τ時(shí)，電感元件電流已增加到穩(wěn)態(tài)值的99.7%。工程中，t≥5τ時(shí)，可認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)換路后，電路中電感兩端的電壓，根據(jù)KVL可得電感電流變化曲線由上式可知，在RL電路零狀態(tài)響應(yīng)中，電感兩端的電壓在換路后是按指數(shù)規(guī)律衰減的。解：開關(guān)S閉合后，根據(jù)換路定律可得：iL(0+)=iL(0-)=0電感儲(chǔ)能穩(wěn)定后達(dá)新穩(wěn)態(tài)值，電感視為短路【例4】電路如圖所示，開關(guān)S閉合前iL（0-）=0，求閉合后iL（t）和uL（t）。3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)則3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)3.零狀態(tài)響應(yīng)的推廣若動(dòng)態(tài)電路如圖1（a）和2（a）所示，其中N為只含電源和電阻的線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，可應(yīng)用戴維南定理對(duì)把有源二端網(wǎng)絡(luò)N等效為一個(gè)理想電壓源UOC和一個(gè)電阻R0的串聯(lián)電路，如圖1（b）和2（b）所示。圖1RC電路及等效電路圖2RL電路及等效電路3.2.2零狀態(tài)響應(yīng)圖1中若uC(0+)=uC(0-)=0，則τ=RC，uC(∞)=UOC，電容的電壓為圖1RC電路及等效電路圖2RL電路及等效電路圖2中若iL(0+)=iL(0-)=0，則τ=L/R0，iL(∞)=UOC/R0，通過(guò)電感的電流為感謝聆聽3.3三要素法求解一階電路《第三章線性動(dòng)態(tài)電路分析》全響應(yīng)初始狀態(tài)為零的動(dòng)態(tài)過(guò)程為零狀態(tài)響應(yīng)，激勵(lì)源為零的動(dòng)態(tài)過(guò)程為零輸入響應(yīng)，而電路中儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)和輸入激勵(lì)源都不為零的一階動(dòng)態(tài)電路，則稱為全響應(yīng)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟悉全響應(yīng)的概念及特點(diǎn)。2.掌握全響應(yīng)的解題方法及應(yīng)用。一階線性電路的全響應(yīng)對(duì)于一階線性電路的全響應(yīng)，根據(jù)疊加定理，全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，即整理后，為式中第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)值，第二項(xiàng)為瞬態(tài)值，全響應(yīng)也等于穩(wěn)態(tài)值和瞬態(tài)值的疊加。由上式可知：①f(0+)=f(∞)時(shí)，f(t)=f(∞)為穩(wěn)態(tài)值，電路無(wú)動(dòng)態(tài)過(guò)程。②f(0+)>f(∞)時(shí)，換路后響應(yīng)從初始值f(0+)開始放電直到新穩(wěn)態(tài)值f(∞)，變化曲線如圖（a）所示。③f(0+)<f(∞)時(shí)，換路后響應(yīng)從初始值f(0+)開始充電直到新穩(wěn)態(tài)值f(∞)，變