中考試題二〇二五年綏化市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．本試題共三道大題，28個(gè)小題，總分120分3．所有答案都必須寫在答題卡上所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)一、單項(xiàng)選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將你的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方框涂黑1.下列數(shù)學(xué)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2025年端午期間，我國(guó)民航客運(yùn)累計(jì)發(fā)送旅客萬(wàn)人次，把萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A.圓柱 B.長(zhǎng)方體 C.圓錐 D.四棱柱4.如圖，是的平分線，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A B. C. D.6.兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是和，并且它們的周長(zhǎng)之和為，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）A. B. C. D.7.小新同學(xué)參加某次詩(shī)朗誦比賽，七位評(píng)委的打分是：，工作人員根據(jù)評(píng)委所打的分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，那么下列統(tǒng)計(jì)量中一定不發(fā)生變化的是（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)8.一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為，則這個(gè)矩形的面積是（）A.25 B. C. D.9.在中，如果的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，那么的半徑是（）A. B. C. D.10.用A，兩種貨車運(yùn)輸化工原料，A貨車比貨車每小時(shí)多運(yùn)輸15噸，A貨車運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等．若設(shè)貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料噸，則可列方程為（）A. B. C. D.11.如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、、．若，，則的值是（）A. B. C. D.12.如圖，二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，其中．則下列結(jié)論：①；②方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③；④．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)13.計(jì)算：________．14.若式子有意義，則的取值范圍是________．15.分解因式：________．16.已知，是關(guān)于一元二次方程的兩個(gè)根，則________．17.在平面直角坐標(biāo)系中，把以原點(diǎn)為位似中心放大，得到．若點(diǎn)和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則與的相似比為_(kāi)_______．18.計(jì)算：________．19.如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），堤壩高，則迎水坡面的長(zhǎng)度是________．20.如圖，在菱形中，，對(duì)角線，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．則的最小值是________．21.觀察下圖，圖（1）有2個(gè)三角形，記作；圖（2）有3個(gè)三角形，記作；圖（3）有6個(gè)三角形，記作；圖（4）有11個(gè)三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．22.在邊長(zhǎng)為7等邊三角形中，點(diǎn)在上，．點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是________．三、解答題（本題共6個(gè)小題，共64分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)23.尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）[初步嘗試]如圖（1）用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過(guò)圓心的直線，使扇形的面積被直線平分．[拓展探究]如圖（2），若扇形的圓心角為，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點(diǎn)為圓心的弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，使扇形的面積與扇形的面積比為．24.2025年1月，哈爾濱亞冬會(huì)舉辦前，亞冬會(huì)組委會(huì)為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊一致，隨機(jī)抽取部分志愿者，對(duì)其身高情況進(jìn)行了調(diào)查，將身高（單位：）數(shù)據(jù)分為、、、、五組，并制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．組別身高分組人數(shù)54129根據(jù)以上信息回答：（1）這次抽查的志愿者共有________人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)是________，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）若組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法，求出剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率．25.自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國(guó)的科技快速發(fā)展，“中國(guó)智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計(jì)劃投入一筆資金用來(lái)購(gòu)買、兩種型號(hào)的芯片．已知購(gòu)買顆型芯片和2顆型芯片共需要元，購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片共得要元．（1）求購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片各需要多少元．（2）若該公司計(jì)劃購(gòu)買、兩種型號(hào)的芯片共頻，其中購(gòu)買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的倍．當(dāng)購(gòu)買型芯片多少顆時(shí)，所需資金最少，最少資金是多少元．（3）該公司用甲、乙兩輛芯片運(yùn)輸車，先后從地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地，兩車到達(dá)地后均停止行駛．如圖，、分別是甲、乙兩車離地的距離與甲車行駛的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題：①甲車的速度是________．②當(dāng)甲、乙兩車相距時(shí)，直接寫出的值________．26.如圖．，與相切于點(diǎn)、連接，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線．（2）當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．27.綜合與實(shí)踐如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，作射線，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，連接交射線于點(diǎn)，連接．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并利用圖（1）說(shuō)明你的理由．【用數(shù)學(xué)思維思考】（2）若，請(qǐng)你用含的代數(shù)式直接寫出的正切值________．【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）設(shè)，正方形的面積為．請(qǐng)求出與的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）28.綜合與探究如圖，拋物線交軸于A、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，若點(diǎn)，．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、重合）．（1）求拋物線函數(shù)解析式．（2）過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)判斷在點(diǎn)右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

二〇二五年綏化市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時(shí)間120分鐘2．本試題共三道大題，28個(gè)小題，總分120分3．所有答案都必須寫在答題卡上所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)一、單項(xiàng)選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上用2B鉛筆將你的選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方框涂黑1.下列數(shù)學(xué)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟知軸對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果將一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，即可解答.【詳解】解：選項(xiàng)中的數(shù)學(xué)符號(hào)是軸對(duì)稱圖形的是，其它的都不是；故選：D.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2025年端午期間，我國(guó)民航客運(yùn)累計(jì)發(fā)送旅客萬(wàn)人次，把萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a、n的值是解題的關(guān)鍵．將萬(wàn)寫成其中，n為整數(shù)的形式即可．【詳解】解：萬(wàn)．故選C．3.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體是（）A.圓柱 B.長(zhǎng)方體 C.圓錐 D.四棱柱【答案】A【解析】【分析】本題考查了由幾何體的三視圖還原幾何體，熟知常見(jiàn)幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵；由題目給出的三視圖可知，這個(gè)幾何體是圓柱，即得答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得：這個(gè)幾何體是圓柱；故選：A.4.如圖，是的平分線，，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴．故選C．5.下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查整式乘法運(yùn)算、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)整式乘法運(yùn)算、算術(shù)平方根逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選B．6.兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是和，并且它們的周長(zhǎng)之和為，那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)最長(zhǎng)邊分別為和確定相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，再根據(jù)周長(zhǎng)之和為即可求解．【詳解】解：兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別為和，相似比為，較大三角形與較小三角形的周長(zhǎng)比為：，它們的周長(zhǎng)之和為，較小三角形的周長(zhǎng)為：，故選：B．7.小新同學(xué)參加某次詩(shī)朗誦比賽，七位評(píng)委的打分是：，工作人員根據(jù)評(píng)委所打的分?jǐn)?shù)對(duì)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，那么下列統(tǒng)計(jì)量中一定不發(fā)生變化的是（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)【答案】D【解析】【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分不影響中位數(shù)）解答即可．本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量的變化情況，需逐一分析平均數(shù)、方差、眾數(shù)和中位數(shù)在去掉極端值后的變化．【詳解】解：原數(shù)據(jù)去掉最高分10和最低分（其中一個(gè)）后，剩余數(shù)據(jù)為．原平均數(shù)總和為，平均數(shù)為．去掉后總和為，平均數(shù)為，則平均數(shù)變化，故A選項(xiàng)不符合題意．方差與每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差值有關(guān)．因平均數(shù)改變，所有數(shù)據(jù)的離差平方和必然變化，方差隨之改變，故B選項(xiàng)不符合題意．原眾數(shù)為（出現(xiàn)2次）．去掉一個(gè)后，剩余數(shù)據(jù)中所有數(shù)均出現(xiàn)1次，眾數(shù)消失或變?yōu)闊o(wú)眾數(shù)，故眾數(shù)變化，故C選項(xiàng)不符合題意．原數(shù)據(jù)中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)即．去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩余5個(gè)數(shù)的中位數(shù)為第3個(gè)數(shù)（仍為），故中位數(shù)不變．故選：D．8.一個(gè)矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為，則這個(gè)矩形的面積是（）A.25 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖：根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，∴矩形的面積．故選：B．9.在中，如果圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，那么的半徑是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查弧長(zhǎng)公式，根據(jù)圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)公式，代入已知條件求解半徑即可．【詳解】解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式：，其中，代入得：解得：故選：A．10.用A，兩種貨車運(yùn)輸化工原料，A貨車比貨車每小時(shí)多運(yùn)輸15噸，A貨車運(yùn)輸450噸所用時(shí)間與貨車運(yùn)輸300噸所用時(shí)間相等．若設(shè)貨車每小時(shí)運(yùn)輸化工原料噸，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．熟練掌握工作量與工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸x噸，則A貨車每小時(shí)運(yùn)輸噸．根據(jù)A運(yùn)輸450噸的時(shí)間等于B運(yùn)輸300噸的時(shí)間，列方程．【詳解】解：設(shè)B貨車每小時(shí)運(yùn)輸x噸，則A貨車每小時(shí)運(yùn)輸噸．∵A貨車運(yùn)輸450噸的時(shí)間為，B貨車運(yùn)輸300噸的時(shí)間為，∴，即．故選：C．11.如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、、．若，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握值幾何意義是關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，設(shè)，則，求出，，進(jìn)而得到，證明四邊形是矩形，再求出，得到，根據(jù)，建立方程求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，設(shè)，∵，∴，∵軸，軸，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴，，∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故選：D．12.如圖，二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，其中．則下列結(jié)論：①；②方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；③；④．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象開(kāi)口，對(duì)稱軸直線，最值的計(jì)算方法是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸直線為，，則，當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線的位置關(guān)系可判定②；根據(jù)題意得到，可判定③；根據(jù)函數(shù)最小值的大小可判定④；由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)、，圖象開(kāi)口向上，∴對(duì)稱軸直線為，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴，∴，故①正確；圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸直線為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值軸的下方，∴拋物線與直線兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故②錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，其中，∴當(dāng)，，∴，∵，∴，∴，解得，，故③正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，錯(cuò)誤的有②，∴錯(cuò)誤的有1個(gè)，故選：A

．二、填空題（本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)13.計(jì)算：________．【答案】0【解析】【分析】此題考查了乘方和零指數(shù)冪，根據(jù)乘方和零指數(shù)冪計(jì)算后再計(jì)算加法即可．【詳解】解：故答案為：014.若式子有意義，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于零．分式有意義的條件：分母不為零．根據(jù)二次根式以及分式有意義，得出關(guān)于x的不等式，解出即可得出x的取值范圍．【詳解】解：要使式子有意義，即，∴．故答案為：．15.分解因式：________．【答案】【解析】分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．先提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．16.已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及代數(shù)式求值，先求出根與系數(shù)的關(guān)系，將代數(shù)式變形后代入計(jì)算即可．【詳解】解：，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，，故答案為：．17.在平面直角坐標(biāo)系中，把以原點(diǎn)為位似中心放大，得到．若點(diǎn)和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則與的相似比為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：把以原點(diǎn)為位似中心縮小得到，點(diǎn)和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則與的相似比為，故答案為：．18.計(jì)算：________．【答案】【解析】【分析】本題考查分式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先將分式的分子分母因式分解，再由分式混合運(yùn)算法則求解即可得到答案．【詳解】解：故答案為：．19.如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），堤壩高，則迎水坡面的長(zhǎng)度是________．【答案】##米【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的概念求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵坡的斜坡坡度，∴，而，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，由勾股定理得，（米），故答案為：．20.如圖，在菱形中，，對(duì)角線，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．則的最小值是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的最小值為，再結(jié)合菱形的性質(zhì)得，然后根據(jù)勾股定理得，可得，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得，，接下來(lái)根據(jù)勾股定理得，此題可解．【詳解】解：如圖，連接，作點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知的最小值為，∵四邊形是菱形，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，．在中，．所以的最小值為．故答案為：．21.觀察下圖，圖（1）有2個(gè)三角形，記作；圖（2）有3個(gè)三角形，記作；圖（3）有6個(gè)三角形，記作；圖（4）有11個(gè)三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解決此類探究性問(wèn)題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的共同規(guī)律以及與第一個(gè)圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．仔細(xì)觀察圖形變化，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第一個(gè)圖形中有個(gè)三角形；第二個(gè)圖形中有個(gè)三角形；第三個(gè)圖形中有個(gè)三角形；第四個(gè)圖形中有個(gè)三角形；；第n個(gè)圖形中有個(gè)三角形．故答案為：22.在邊長(zhǎng)為7的等邊三角形中，點(diǎn)在上，．點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是________．【答案】6或8或9【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，分類討論，逐個(gè)分析，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，①當(dāng)時(shí)，如圖（1），∵是等邊三角形，，∴，，即是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，即，∴．②當(dāng)時(shí)，如圖（2）同理可得，，∴，即，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，如圖（3）同理可證，∴∴．∴．④當(dāng)時(shí)，如圖（4）同理可證，∴，∴，∴．綜上所述，的長(zhǎng)是6或8或9．故答案為：6或8或9．三、解答題（本題共6個(gè)小題，共64分）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上把你的答案寫在所對(duì)應(yīng)的題號(hào)后的指定區(qū)域內(nèi)23.尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）[初步嘗試]如圖（1）用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過(guò)圓心的直線，使扇形的面積被直線平分．[拓展探究]如圖（2），若扇形的圓心角為，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點(diǎn)為圓心的弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，使扇形的面積與扇形的面積比為．【答案】[初步嘗試]見(jiàn)解析；[拓展探究]見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了扇形面積，基本作圖，熟練掌握扇形的面積公式和尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．[初步嘗試]經(jīng)過(guò)圓心的直線平分扇形的面積，作圓心角的角平分線或作扇形弧對(duì)應(yīng)弦的垂直平分線；[拓展探究]根據(jù)扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形的面積與扇形半徑之比為，只要畫出或的中點(diǎn)即可．方法一：作扇形半徑的垂直平分線找到中點(diǎn)，然后以為半徑作弧交半徑于點(diǎn)．方法二：扇形的圓心角為，根據(jù)含的直角三角形是斜邊的一半，過(guò)點(diǎn)作出的垂線，構(gòu)造直角三角形，取垂線段的長(zhǎng)度為半徑，以為圓心畫弧即可．【詳解】解：[初步嘗試]作法一：如圖所示①連接，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，標(biāo)注出點(diǎn)②畫直線③直線即為所求作法二：如圖所示①以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，②分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，標(biāo)注出點(diǎn).③畫直線，直線即為所求[拓展探究]扇形的面積與扇形的面積比為，設(shè)扇形的半徑為，扇形的半徑為扇形的面積∶扇形的面積只要畫出或的中點(diǎn)即可作法一：①作的垂直平分線交于點(diǎn)，標(biāo)注出點(diǎn)②以為圓心長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，標(biāo)注出點(diǎn)③弧即為所求．（同理作的垂直平分線也可得分）作法二：過(guò)點(diǎn)作出的垂線或者過(guò)點(diǎn)作的垂線，取垂線段的長(zhǎng)度為半徑，以為圓心畫弧即可．（依據(jù)：含的直角三角形是斜邊的一半）24.2025年1月，哈爾濱亞冬會(huì)舉辦前，亞冬會(huì)組委會(huì)為使參與服務(wù)的志愿者隊(duì)伍整齊一致，隨機(jī)抽取部分志愿者，對(duì)其身高情況進(jìn)行了調(diào)查，將身高（單位：）數(shù)據(jù)分為、、、、五組，并制成了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．組別身高分組人數(shù)54129根據(jù)以上信息回答：（1）這次抽查的志愿者共有________人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)是________，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）若組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，請(qǐng)用列表法或畫樹(shù)狀圖法，求出剛好抽中兩名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率．【答案】（1）40，，見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析，【解析】【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，樹(shù)狀圖或列表法求概率，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)D組的人數(shù)和百分比求出抽查的總?cè)藬?shù)，再利用乘以組的的百分比即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)，再求出C組的人數(shù)并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）畫出樹(shù)狀圖或列表法得到所有等可能情況，用概率公式求出答案即可．【小問(wèn)1詳解】解：這次抽查的志愿者共有：（人），扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角度數(shù)是，C組的人數(shù)為（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：故答案為：40，【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)2名男志愿者分別記作、，2名女志愿者分別記作、根據(jù)題意可以畫出如下的樹(shù)狀圖列表法如下圖

由樹(shù)狀圖法或列表法可以看出共有12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，選中的2名女志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的是和的情況有兩種.25.自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國(guó)科技快速發(fā)展，“中國(guó)智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計(jì)劃投入一筆資金用來(lái)購(gòu)買、兩種型號(hào)的芯片．已知購(gòu)買顆型芯片和2顆型芯片共需要元，購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片共得要元．（1）求購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片各需要多少元．（2）若該公司計(jì)劃購(gòu)買、兩種型號(hào)的芯片共頻，其中購(gòu)買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的倍．當(dāng)購(gòu)買型芯片多少顆時(shí)，所需資金最少，最少資金是多少元．（3）該公司用甲、乙兩輛芯片運(yùn)輸車，先后從地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地，兩車到達(dá)地后均停止行駛．如圖，、分別是甲、乙兩車離地的距離與甲車行駛的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題：①甲車的速度是________．②當(dāng)甲、乙兩車相距時(shí)，直接寫出的值________．【答案】（1）購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元（2）當(dāng)該公司購(gòu)買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元（3）①；②或或【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題：（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）結(jié)合不等式約束條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值即可；（3）求出解析式代入計(jì)算即可；求出甲乙兩車的函數(shù)解析式，分類討論即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)：購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元由題意得解得答：購(gòu)買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)買型芯片顆，則購(gòu)買型芯片顆，所需資金為元由題意得：隨的增大而減小購(gòu)買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的3倍，解得取正整數(shù)當(dāng)時(shí)，取最小值，（元）此時(shí)答：當(dāng)該公司購(gòu)買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元【小問(wèn)3詳解】①設(shè)的解析式為將點(diǎn)，代入得解得所以，的解析式為，當(dāng)時(shí)，所以，甲車的速度為②的解析式為將點(diǎn)代入得，解得所以的解析式為當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)上方時(shí)可列方程解得當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)下方時(shí)可列方程解得當(dāng)甲車到達(dá)地，乙離目的地時(shí)，可列方程解得綜上所述，的值為：或或．26.如圖．，與相切于點(diǎn)、連接，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線．（2）當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，則，由為的半徑得到為的半徑，由即可證明是的切線；由角平分線的性質(zhì)定理得到，由為的半徑得到為的半徑，由即可證明是的切線；（2）證明，則，求出，則，在中，求出，得到，，證明，則，設(shè)，則，即可求出答案．【小問(wèn)1詳解】方法一：證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，與相切于點(diǎn)，，，，，，，為的半徑，為的半徑，，是的切線；方法二：證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，是的平分線，，為的半徑，為的半徑，，是的切線；【小問(wèn)2詳解】，為半徑，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．27.綜合與實(shí)踐如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形中，作射線，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作正方形，連接交射線于點(diǎn)，連接．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）【用數(shù)學(xué)的眼光觀察】（1）請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并利用圖（1）說(shuō)明你的理由．【用數(shù)學(xué)的思維思考】（2）若，請(qǐng)你用含的代數(shù)式直接寫出的正切值________．【用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)】（3）設(shè)，正方形的面積為．請(qǐng)求出與的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）；（3）與的函數(shù)解析式為．【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系和角之間的數(shù)量關(guān)系，綜合應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)即可確定