已知正數(shù)滿足13x+22y=7xy,求8x+28y的最小值主要內(nèi)容：通過替換、代入、柯西不等式、k值換元法、二次方程判別式、導(dǎo)數(shù)法及多元函數(shù)最值法等，介紹8x+28y在13x+22y=7xy，且x，y為正數(shù)條件下最小值的計(jì)算步驟。主要公式：1.均值不等式：正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：對(duì)于四個(gè)正實(shí)數(shù)x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))2，等號(hào)條件為：cx=by。3.導(dǎo)數(shù)公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x2).方法“1”的代換8x+28y=eq\f(1,7)*(8x+28y)*7=eq\f(1,7)*(8x+28y)(eq\f(22,x)+eq\f(13,y))=eq\f(1,7)*(176+364+104*eq\f(x,y)+616*eq\f(y,x))利用均值不等式，則有：8x+28y≥eq\f(1,7)*(176+364+2eq\r(22*13*8*28))即：8x+28y≥eq\f(1,7)*(176+364+16eq\r(1001))則：8x+28y≥eq\f(540+16eq\r(1001),7)。所以：8x+28y的最小值=eq\f(540+16eq\r(1001),7)。方法柯西不等式法對(duì)已知條件變形為:eq\f(22,x)+eq\f(13,y)=7，再運(yùn)用不等式公式：∵(eq\f(22,x)+eq\f(13,y))(8x+28y)≥(eq\r(8*22)+eq\r(13*28))2∴7(8x+28y)≥(4eq\r(11)+2eq\r(91))2,即：8x+28y≥eq\f(1,7)*(4eq\r(11)+2eq\r(91))2，所以：8x+28y的最小值=eq\f(540+16eq\r(1001),7)。方法二次方程判別式法設(shè)8x+28y=t,則y=eq\f(1,28)*(t-8x),代入已知條件得：eq\f(22,x)+eq\f(364,t-8x)=7,方程進(jìn)行通分有：22(t-8x)+364x=7x(t-8x)7*8x2+(364-7t-176)x+22t=0,方程有解，則判別式為非負(fù)數(shù)，即：△=(364-7t-176)2-4*7*8*22t≥0，化簡(jiǎn)得：(7t-540)2≥4*22*13*8*28。要求t的最小值，則對(duì)不等式兩邊開方有：7t-540≥16eq\r(1001),7t≥540+16eq\r(1001)，即tmin=eq\f(540+16eq\r(1001),7)。方法代入法：由已知條件13x+22y=7xy可知：y=eq\f(13x,7x-22)＞0,代入所求表達(dá)式有：8x+28y=8x+28*eq\f(13x,7x-22)=eq\f(1,7)*[8(7x-22)+eq\f(22*13*28,7x-22)+540]≥eq\f(1,7)*[540+2eq\r(22*13*8*28))]=eq\f(1,7)*(540+16eq\r(1001))=eq\f(540+16eq\r(1001),7).方法k值換元法設(shè)y=kx,k＞0，代入已知條件有：13x+22kx=7xkx，即：x=eq\f(13+22k,7k),則y=eq\f(13+22k,7),代入所求表達(dá)式8x+28y有：8*eq\f(13+22k,7k)+28*eq\f(13+22k,7)=eq\f(1,7)[8*eq\f(13+22k,k)+28(13+22k)]=eq\f(1,7)(eq\f(8*13,k)+8*22+28*13+28*22k)=eq\f(1,7)(eq\f(8*13,k)+28*22k+540)≥eq\f(1,7)[2eq\r(22*13*8*28)+540]=eq\f(1,7)*(540+16eq\r(1001))=eq\f(540+16eq\r(1001),7).方法導(dǎo)數(shù)法：設(shè)所求代數(shù)式的最小值為t，則8x+28y=t,求導(dǎo)有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(2,7);對(duì)已知條件變形為eq\f(22,x)+eq\f(13,y)=7，求導(dǎo)有:-eq\f(22,x2)-eq\f(13,y2)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(22,13)*(eq\f(y,x))2,所以：-eq\f(2,7)=-eq\f(22,13)*(eq\f(y,x))2，求出：y=eq\r(\f(13,77))x,代入有：13x+22*eq\r(\f(13,77))x=7x*eq\r(\f(13,77))x,即：x=eq\f(22+\r(1001),7),進(jìn)一步求出:y=eq\r(\f(13,77))*eq\f(22+\r(1001),7)=eq\f(91+2\r(1001),49),所以:8x+28y的最小值=8*eq\f(22+\r(1001),7)+28*eq\f(91+2\r(1001),49)=eq\f(540+16eq\r(1001),7)。方法多元函數(shù)極值法設(shè)F(x,y)=8x+28y+λ(eq\f(22,x)+eq\f(13,y)-7),分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：Fx=8-eq\f(22λ,x2),Fy=28-eq\f(13λ,y2),Fλ=eq\f(22,x)+eq\f(13,y)-7。令Fx=Fy=Fλ=0,則：8x2=22λ,28y2=13λ,x=eq\r(\f(22λ,8)),y=eq\r(\f(13λ,28))。代入得方程：eq\f(\r(8*22),eq\r(λ))+eq\f(\r(13*28),eq\r(λ))=7,eq\r(λ)=eq\f(1,7)*(eq\r(8*22)+eq\r(13*28)),則：8x+28y的最小值=(eq\