3.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.2.提高綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)．[知識(shí)鏈接]設(shè)兩正數(shù)之和為常數(shù)c，能否借助導(dǎo)數(shù)求兩數(shù)之積的最大值，并由此證明不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)?答：設(shè)一個(gè)正數(shù)為x，則另一個(gè)正數(shù)為c－x，兩數(shù)之積為f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x.令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝eq\f(c,2).故當(dāng)x＝eq\f(c,2)時(shí)，f(x)有最大值f(eq\f(c,2))＝eq\f(c2,4)，即兩個(gè)正數(shù)的積不大于這兩個(gè)正數(shù)的和的平方的eq\f(1,4).若設(shè)這兩個(gè)正數(shù)分別為a，b，則有eq\f(a＋b2,4)≥ab(a>0，b>0)，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是eq\x(優(yōu)化問(wèn)題)eq\x(優(yōu)化問(wèn)題的答案)eq\x(用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題)eq\x(用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題)上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.要點(diǎn)一用料最省問(wèn)題例1有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50千米，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。拷馊鐖D，由題意知，只有點(diǎn)C位于線段AD上某一適當(dāng)位置時(shí)，才能使總費(fèi)用最省，設(shè)點(diǎn)C距點(diǎn)D為x千米，則BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)，又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．∴y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402)).令y′＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，函數(shù)在x＝30處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(千米)．∴供水站建在A、D之間距甲廠20千米處，可使水管費(fèi)用最省．規(guī)律方法用料最省問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，解決這類問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象，正確書(shū)寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．跟蹤演練1一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10海里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)輪船的速度是多少時(shí)，航行1海里所需的費(fèi)用總和最?。拷庠O(shè)速度為每小時(shí)v海里的燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，那么由題設(shè)的比例關(guān)系得p＝k·v3，其中k為比例系數(shù)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0.006，于是有p＝0.006v3.又設(shè)當(dāng)船的速度為每小時(shí)v海里時(shí)，行1海里所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需時(shí)間為eq\f(1,v)小時(shí)，所以，航行1海里的總費(fèi)用為：q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v).q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.∵當(dāng)v<20時(shí)，q′<0；當(dāng)v>20時(shí)，q′>0，∴當(dāng)v＝20時(shí)取得最小值，即速度為20海里/時(shí)時(shí)，航行1海里所需費(fèi)用總和最?。c(diǎn)二面積、容積的最值問(wèn)題例2如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最??？解設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為(x－20)cm，eq\f(y－25,2)cm，其中x>20，y>25.兩欄面積之和為2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25.廣告的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18000,x－20)＋25))＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，∴S′＝eq\f(18000[x－20－x],x－202)＋25＝eq\f(－,x－202)＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140)．當(dāng)x＝140時(shí)，y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最?。?guī)律方法(1)解決面積、容積的最值問(wèn)題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．(2)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟①找關(guān)系：分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系；②列模型：列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；③寫(xiě)關(guān)系：寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；④求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比較：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；⑥結(jié)論：根據(jù)比較值寫(xiě)出答案．跟蹤演練2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最?。拷馊鐖D，設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h，得h＝eq\f(V,πR2)，則S(R)＝2πReq\f(V,πR2)＋2πR2＝eq\f(2V,R)＋2πR2，令S′(R)＝－eq\f(2V,R2)＋4πR＝0，解得R＝eq\r(3,\f(V,2π))，從而h＝eq\f(V,πR2)＝eq\f(V,π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(V,2π))))2)＝eq\r(3,\f(4V,π))＝2eq\r(3,\f(V,2π))，即h＝2R.因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值．所以，當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最?。c(diǎn)三成本最省，利潤(rùn)最大問(wèn)題例3甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v千米/時(shí)的平方成正比，比例系數(shù)為b(b>0)；固定部分為a元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解(1)依題意汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為eq\f(s,v)，全程運(yùn)輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，∴所求函數(shù)為y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，定義域(0，c](2)由題意s、a、b、v均為正數(shù)．由y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0得v＝eq\r(\f(a,b)).但v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，則當(dāng)v＝eq\r(\f(a,b))時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最?。虎谌鬳q\r(\f(a,b))>c，則v∈(0，c]，此時(shí)y′<0，即y在(0，c]上為減函數(shù)．所以當(dāng)v＝c時(shí)，y最小．綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)eq\r(\f(a,b))≤c時(shí)，行駛速度v＝eq\r(\f(a,b))；當(dāng)eq\r(\f(a,b))>c時(shí)，行駛速度v＝c.規(guī)律方法正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題的主要思路．另外需注意：①合理選擇變量，正確給出函數(shù)關(guān)系式．②與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系．③必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用．跟蹤演練3已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C＝100＋4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f(1,8)q.求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？解收入R＝q·p＝qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq\f(1,8)q2，利潤(rùn)L＝R－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0<q<200)L′＝－eq\f(1,4)q＋21令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，求得唯一的極值點(diǎn)q＝84.所以產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大．1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是()A．8B.eq\f(20,3)C．－1D．－8答案C解析原油溫度的瞬時(shí)變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取得最小值－1.2．設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)底面邊長(zhǎng)為()A.eq\r(3,V)B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)答案C解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．∴S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).則x＝eq\r(3,4V)是函數(shù)在(0，＋∞)上的一個(gè)極值點(diǎn)，且是S的最小值點(diǎn)．3．在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？解設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高h(yuǎn)＝eq\f(60－x,2)cm，箱子容積V(x)＝x2h＝eq\f(60x2－x3,2)(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－eq\f(3,2)x2令V′(x)＝60x－eq\f(3,2)x2＝0，解得x＝0(不合題意，舍去)或x＝40，因?yàn)閤∈(0,40)時(shí)V′(x)>0，V(x)是增函數(shù)，x∈(40,60)時(shí)V′(x)<0，V(x)是減函數(shù)．所以x＝40時(shí)V(x)取極大值，也是最大值，并求得V(40)＝16000.即當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm3.4．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米，當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因?yàn)閤∈(0,80)時(shí)，