分式與分式方程壓軸題型專訓(xùn)（10大題型50道）

B題型預(yù)覽

題型一分式的求值

題型二分式規(guī)律性計(jì)算

題型三分式值為整數(shù)時(shí)的求值問(wèn)題

題型四分式混合運(yùn)算壓軸

題型五分式中的最值問(wèn)題

題型六解分式方程壓軸

題型七分式方程解的情況求值壓軸

題型八分式方程的實(shí)際應(yīng)用

題型九分式的新定義問(wèn)題

題型十分式方程綜合運(yùn)算

tjoo壓軸滿分題型

◎【經(jīng)典例題一分式的求值】

1.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?開(kāi)學(xué)考試）已知±+；+三=1,-+-+-=0,則=+4+三的值為_(kāi)________.

abcxyza-b-c~

44

2.（23-24九年級(jí)上?江蘇南通?期末）設(shè)工＞0,2》+—的最小值為加，使得2工+—取最小值的彳值為"，則m-〃=

xx

（）

A.8B.6C.-2V2D.3V2

3.（2021九年級(jí)?全國(guó)?專題練習(xí)）已知。，b,c,d,e,7都為正數(shù)，如型=:，竺普abde1=\

a2b4c8

—=2,皿=4,”=8,貝g+62+02+/+?2+/=_.

deJ

2

4.（2023?四川南充?二模）已知f-3x+l=0,貝+F的值為.

X

2

5.（23-24八年級(jí)上?北京西城?期中）記y=/（x）=±m(xù).如：/⑴表示當(dāng)x=l時(shí)了的值，即

/⑴=』I2＜1表示當(dāng)x=g時(shí)〉的值，即/

I5

試回答：（1）/（l）+/（2）+/Qj+/（3）+/Qj=.

⑵/（l）+/（2）+/QU/（3）+/[|+……+/（?）+/；=.

（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示，〃為正整數(shù)）

厚【經(jīng)典例題二分式規(guī)律性計(jì)算】6.（23-24八年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期中）觀察下列等式:

'1+1+M.+L

X

1=I22221x2

‘1+4+43」；

223262x3

—="=1+、

3242123x4

（1）【觀察猜想】根據(jù)以上規(guī)律歸納出：

①X5==.（不填中間式子）

②％==.（不填中間式子）

（2）【論證猜想】請(qǐng)證明②這個(gè)等式.

⑶【拓展運(yùn)用】根據(jù)以上規(guī)律，求再+工2+與+…+X2020-2021的值.

7.（2022?安徽?模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：

19

第1個(gè)等式：2xi=l-f;

O3

342

第2個(gè)等式：fx-=l-1;

492

第3個(gè)等式：-x-=l--:

第4個(gè)等式：譴=1一|；

第5個(gè)等式：|x||=l-|;...

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題:

（1）寫出第6個(gè)等式：

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并證明.

8.（23-24七年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）先觀察下列各式，再完成題后問(wèn)題:

1_111_11111

2^3-2-3；3^4-3-4；4^5"Z"?

1

（1）①寫出:

5^6

1

②請(qǐng)你猜想:

2010x2012

⑵求倉(cāng)+白+￡+a+…+3］的值；

⑶運(yùn)用以上方法思考:求卜？］+小、+、+擊+擊+擊的值.

9.（23-24七年級(jí)上?廣西百色?期中）觀察下列等式:

1

第1個(gè)等式:%7：

1x342(1,3j

1=1x

第2個(gè)等式:a2~~~~~

3x521[35J

1=lx

第3個(gè)等式:a3

5x72

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：；

（2）用含有n的式子表示第n個(gè)等式：（n為正整數(shù)）；

（3）求+〃2+°3+…+。2019的值?

10.（23?24八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：==:（1-J）；第2個(gè)等式：a2=^—=}-

1x3233x5235

第3個(gè)等式：田=三）=；（：-〈）；第4個(gè)等式：a4=^—=\（；一:）；

5x72577x9279

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）按以上規(guī)律寫出第5個(gè)等式：a5=—=—.

（2）用含〃的式子表示第〃個(gè)等式：an==（"為正整數(shù)）.

(3)求4]+。2+的+。4+…+。20,6的值.

凰【經(jīng)典例題三分式值為整數(shù)時(shí)的求值問(wèn)題】

11.（23-24八年級(jí)上?重慶?期中）若x是整數(shù)，則使分式等|的值為整數(shù)的x值有（）個(gè).

2x-l

A.2B.3C.4D.5

4Y+8

12.⑵-24八年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期中）若x為整數(shù)，且右的值也為整數(shù)，則所有符合條件的x的值有（）

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

時(shí)，分式2x-8的值也是正整數(shù).

13.（24-25八年級(jí)上?江蘇淮安?期中）當(dāng)正整數(shù)》=

x-3

x+8

14.（23-24八年級(jí)下?四川遂寧?階段練習(xí)）已知正整數(shù)x,＞滿足歹一則符合條件的x,＞的值有

2x-l

組.

15.（23-24八年級(jí)上?山東東營(yíng)?階段練習(xí)）閱讀下面材料:

在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例

xx2

如:這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如:

X+lX-1

3言這樣的分式就是真分式?我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如＞審=2+?類

x+1

似地,假分式也可以化為“帶分式”（即整式與真分式的和的形式）參考上面的方法解決下列問(wèn)題:

⑴將分式=，,+-2T化為帶分式.

x+1x2+l

（2）當(dāng)x取什么整數(shù)值時(shí)，分式與的值也為整數(shù)?

以【經(jīng)典例題四分式混合運(yùn)算壓軸】

16.（24-25八年級(jí)上?浙江溫州?期末）若。加=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=3,則

11一「的值為（）

--------1-----+---

ab+c-\be+a-1ca+b-1

212

A.——B.——C.一D

333-1

17.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知相，n,x,=2O252025

I1

l+2025Jm+1+2025J,-2024771,則2025f的值為（）

11C.-^―1

A.--------B.-----------------D.

2025202520262026

…1I7（2"5）&2-a2-1611

18.（23-24九年級(jí)下?重慶渝中?自主招生）已知a—=1,則+/一4“+4-的值

aQ—2

為一

19.(24-25九年級(jí)上?山東淄博?階段練習(xí))已知對(duì)于正數(shù)x,規(guī)定〃x)=；,例如：/(2)=-^-=|,則

11A1十/D

〃2。22)+〃2。21)…+〃2)+/⑴+/冉+…+/［焉］+“全卜

20.(24-25八年級(jí)上?福建福州?期中)【閱讀理解】

X1丫2

閱讀下面的解題過(guò)程：已知：二一=彳，求上的值；

X2+13X4+1

y1丫211

解：由一^=7；知XH0,.?.^1=3,即x+—=3①

無(wú)?+13x無(wú)

=x2+-^-=fx+—-2=32-2=7故一—的值為；

xxVX)x+17

(1)第②步-2運(yùn)用了公式:(要求：用含。、6的式子表示)

【類比探究】

(2)上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題:

Xx2

已知:=-2,求的值.

—3x+1x4+5x2+1

【拓展延伸】

ab1be1ac1abc,,

(3)已知:不7=求心+加+一的值.

a+b15~b+c~Yl，

【經(jīng)典例題五分式中的最值問(wèn)題】21.(23-24九年級(jí)上?四川達(dá)州?期中)張華在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利

用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+工(x>0)的最小值是2”.其推導(dǎo)

X

方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為X,則另一邊長(zhǎng)是(，矩形的周長(zhǎng)是2卜+1］；當(dāng)矩形成

為正方形時(shí)，就有x」(x>0),解得x=l,這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2「+'］=4最小，因此x+,(x>0)的最

x<xyx

小值是2.模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子立空(x>0)的最小值是()

A.10B.5C.15D.20

22.(23?24八年級(jí)上?河北唐山?期末)一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)

最短”這一結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+；(x>0)的最小值為2”.其推導(dǎo)方法如下:在面積是1的矩形中，設(shè)矩形的一

邊長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)是,，矩形的周長(zhǎng)是2口+!)；當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x=’(x>0),解得

X=l,這時(shí)矩形的周長(zhǎng)21+￡|=4最小，因此x+1(x>0)的最小值是2,模仿老師的推導(dǎo)，可求得式子

x+：(x>0)的最小值是.

23.(23-24八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))閱讀下列三份材料：

材料1：我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為

“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“真分式”

如一■,乙這樣的分式就是假分式；再如上7,告這樣的分式就是真分式；

x+12

類似的，假分式也可以化為帶分式.如：^zl=()-=1_J_.

x+1x+1x+1

材料2：在學(xué)了乘法公式=/士2a6+〃”的應(yīng)用后，王老師提出問(wèn)題：求代數(shù)式/+4x+5的最小

值.要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

同學(xué)們經(jīng)過(guò)探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法：

解：X2+4X+5=X2+4X+22-22+5=(X+2)2+1,

???(X+2)2>0,.-.(X+2)2+1>1.

當(dāng)(x+2『=0時(shí)，(x+2)2+1的值最小，最小值是1.

=3---------------------

2115

X-XH--------1-------

44

?.?x2+4%+5的最小值是1.

材料3：由(4-6)220得，a2+b2>2ab;如果兩個(gè)正數(shù)b,即。>0,b>0,則有下面的不等式：

a+b>2yl~ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào).

4

例如：已知%求式子工+-的最小值.

>0,x

4,_4I__44

解：令。=_￥,b=—,則由a+622，^,得x+—“Jx?-=4,當(dāng)且僅當(dāng)工=一時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小

xx\xx

值，最小值為4.

請(qǐng)你根據(jù)上述材料，解答下列各題：

⑴已知x>0,填空：

①把假分式二化為帶分式的形式是_______；

x+2

②式子—+8x+15的最小值為;

③式子4x+變的最小值為；

X

(2)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻(墻長(zhǎng)20米)，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

(3)已知x>0,分別求出分式3/-3》+7和3x2-4x+12的最值.(若有最大值，則求最大值，若有最小值,

x—x+4x—%+4

則求最小值).

24.(23-24九年級(jí)上?福建泉州?階段練習(xí))閱讀理解：若a、b都是非負(fù)實(shí)數(shù)，貝h+622而，當(dāng)且僅當(dāng)。=6

時(shí)，“=”成立.

證明：??,(6+布了之0

???a-2y[ab+b>0

-,-a+b>24ab,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)，"=”成立.

(1)已知x>0，求5x+」-的最小值.

5x

⑵求代數(shù)式：加2—2加+5(加〉］)的最小值.

m-\

(3)問(wèn)題解決：如圖，某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)長(zhǎng)方形公園/BCD,由長(zhǎng)方形的休閑區(qū)

4用G4和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成，已知休閑區(qū)4與G2的面積為4000平方米，人行道的寬分別

為4m和10m,則要使公園占地面積最小，休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬應(yīng)如何設(shè)計(jì)？

2

4—Y_O_1

25.(23-24八年級(jí)上?河北石家莊?期中)已知：*+?=]+)r_—r.

x―2x+11—x

(1)求尸，并將之化簡(jiǎn)；

(2)當(dāng)％=〃時(shí)，記P的值為尸(“).如，當(dāng)x=2時(shí)，P的值為尸(2)；當(dāng)x=3時(shí)，尸的值為尸⑶；….請(qǐng)直接

/-23-t

寫出關(guān)于，的不等式z——『玖2)+尸C)+尸(4)+~5)+P(6)+P(7)+尸(8)的解集及其最小整數(shù)解.

醫(yī)【經(jīng)典例題六解分式方程壓軸】

26.(2024七年級(jí)上?浙江寧波?競(jìng)賽)某工程，甲隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是乙、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的。倍，乙隊(duì)

獨(dú)做所需天數(shù)是甲、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的6倍，丙隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是甲、乙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的。倍，則

A.1B.2C.3D.4

27.(2024八年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽)若實(shí)數(shù)〃、反2竺A-「1、2受(7-」1都是整數(shù)，且則〃+6=_________.

ab

1%—8<4x+4

28.(23-24九年級(jí)上?重慶渝北?期末)若關(guān)于x的一元一次不等式組有解且最多4個(gè)整數(shù)解,

[x<m

且關(guān)于y的分式方程殳二心=1的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為.

29.(24-25八年級(jí)下?四川宜賓?階段練習(xí))類比推理是一種推理方法，即根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，

作出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡芟嗨频慕Y(jié)論，即用類比的方法提出問(wèn)題及尋求解決問(wèn)題中的途徑和方法.

請(qǐng)用類比的方法，解決以下問(wèn)題：

⑴①已知1rT，則依據(jù)此規(guī)律品

②請(qǐng)你利用十字相乘法進(jìn)行因式分解：/++6=_；

(2)若Q、b滿足/一2Q+1+12Q—4=0.求

1]]]_________1_________

Tb+g+l)(b+l)+(0+2).僅+2)+(a+3>(6+3)+…+(a+2021)Q+2021)的值；

(3)受此啟發(fā)，解方程二一1----+二~-----+F—1------+=~-----=.

X2+9X+20x2+1lx+30X2+13X+42X2+15X+56X2+28

30.(23-24八年級(jí)下?湖南湘西?階段練習(xí))已知：-^=3,^=-2,—=|,求x/,z的值.

x+yy+zz+x5

G【經(jīng)典例題七分式方程解的情況求值壓軸】

31.(23-24七年級(jí)下?北京?期末)已知關(guān)于x的分式方程’-—絲=1.

(1)當(dāng)。=2,6=1時(shí)，求分式方程的解；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求6為何值時(shí)分式方程式-—空=1無(wú)解；

(3)若。=26,且a,6為正整數(shù)，當(dāng)分式方程；巴:-仁=1的解為非負(fù)整數(shù)時(shí)，求6的值.

3x+4x-2

32.(23-24八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))我們約定：若關(guān)于x的整式/=%/+*+q與5=02/+62》+，2

同時(shí)滿足：，出-9+0+4)2+A-%|=0,伯-&廣、。，則稱整式/與整式B互為“美美與共”整

式.根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：

(1)若關(guān)于x的整式N=2/+履+3與8=晟2+x+〃互為“美美與共”整式，求左，加，"的值.

⑵若關(guān)于X的整式M=(x+a)2,N=x2-2x+b(a,6為常數(shù))，M與N互為“美美與共”整式，且x+a是

Y-3x+c的一個(gè)因式，求"6+c的值；

⑶若(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+l=(x2+rx+s)2,且關(guān)于V的方程昔1=七-3的解為正整數(shù)，求

P=rx2+tx+s的“美美與共”整式Q,并求出0的最小值.

33.(23-24七年級(jí)下?安徽滁州?期中)已知，關(guān)于x的分式方程不-—竺=1.

(1)當(dāng)。=2,6=1時(shí)，求分式方程的解；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求b為何值時(shí)，分式方程彳-—空=1無(wú)解；

2%+3x-j

(3)若6=0,。為正整數(shù)，分式方程1式-二=1的解為整數(shù)時(shí)，求。的值.

34.(23-24八年級(jí)上?北京?期中)閱讀下列材料：

在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”的過(guò)程中，老師提出一個(gè)問(wèn)題：若關(guān)于x的分式方程三=1的解為正數(shù)，求。

x-4

的取值范圍.經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考與分析后，小明和小聰開(kāi)始交流解題思路，小明說(shuō)：解這個(gè)關(guān)于X的方程，得到

方程的解為x=a+4,由題目可得a+4＞0,所以。＞-4,問(wèn)題解決.小聰說(shuō)：你考慮的不全面，還必須保

證aw0才行.

(1)請(qǐng)回答：一的說(shuō)法是正確的，正確的理由是

完成下列問(wèn)題：

(2)已知關(guān)于x的方程=一白=2的解為非負(fù)數(shù)，求加的取值范圍；

x-33-x

⑶若關(guān)于X的方3—程2Y+竺nx—彳2=-1無(wú)解，求〃的值.

x-3x-3

35.(23-24八年級(jí)上?福建福州?期末)閱讀：

對(duì)于兩個(gè)不等的非零實(shí)數(shù)a,b,若分式(x—")(x-6)的值為零,則或x=b.又因?yàn)?/p>

(xq)(x6)=X?一(“+6)x+ab=x+或_(°+田,所以關(guān)于了的方程x+茲=6有兩個(gè)解，分別為

XXXx

xx=a,x2=b.

應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：

O

(1)方程x+—=6有兩個(gè)解，分別為%=2,無(wú)2=.

X

(2)關(guān)于x的方程x+絲二=皿的兩個(gè)解分別為芯=2,X2=_________.

mnx2mn

22x—1

(3)關(guān)于x的方程%+2n=2n的兩個(gè)解分別為再,x,(網(wǎng)＜%),求一廠的值.

2x-1ZX2

G【經(jīng)典例題八分式方程的實(shí)際應(yīng)用】

36.（23-24八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）我校科技興趣小組利用機(jī)器人開(kāi)展研究活動(dòng)，在相距150個(gè)單位

長(zhǎng)度的直線跑道N8上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)/出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)/、8之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)8出發(fā),

以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)2、/之間.他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員

探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種.

圖1圖2

（1）【觀察】

①觀察圖1,若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)/之間的距離為30個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第

二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)”之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相

遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)N之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.

（2）【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)N之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次

迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)/之間的距離為了個(gè)單位長(zhǎng)度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)

出了部分函數(shù)圖像（線段。尸，不包括點(diǎn)。，如圖2所示）

CD<?=；

②分別求出各部分圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像.

37.（23-24八年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）某興趣小組利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電子蟲(chóng)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn).如圖1,在相距100個(gè)

單位長(zhǎng)度的線段N8上，電子蟲(chóng)甲從端點(diǎn)/出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)/、8之間，電子蟲(chóng)乙同時(shí)從端點(diǎn)8出發(fā),

設(shè)定不低于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)5、/之間.他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì).

-100A|

AB

圖1

興趣小組成員重點(diǎn)探究了甲、乙迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩

種.設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)/之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，

相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度.

(1)請(qǐng)直接寫出：當(dāng)x=20時(shí)，y的值為；當(dāng)x=40時(shí)，y的值為；

(2)興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出了部分函數(shù)圖像(如圖2中的線段但不包括點(diǎn)0,

因此點(diǎn)。用空心畫(huà)出)

①請(qǐng)直接寫出：a—;

②分別求出各部分圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)/之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相

遇地點(diǎn)與點(diǎn)N之間的距離為z個(gè)單位長(zhǎng)度.若z不超過(guò)40,則x的取值范圍是(直接寫出結(jié)果).

38.(23-24八年級(jí)上?湖北武漢?期末)兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程

的!，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，完成全部工程.

(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？

(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付

工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？

(3)在(2)的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過(guò)28萬(wàn)元的情況下，則最快天能

完成總工程.

39.(24-25九年級(jí)下?重慶開(kāi)州?階段練習(xí))宇樹(shù)人形機(jī)器人亮相2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)后爆火，并帶動(dòng)整個(gè)

人形機(jī)器人行業(yè)的暢銷.某公司推出了4、5兩款人形機(jī)器人.

(1)已知該公司生產(chǎn)5件4款人形機(jī)器人和生產(chǎn)6件3款人形機(jī)器人的成本相同；每件4款人形機(jī)器人的成

本比每件B款人形機(jī)器人的成本多2萬(wàn)元.該公司生產(chǎn)的A款人形機(jī)器人和B款人形機(jī)器人每件的成本各

是多少萬(wàn)元？

(2)如果該公司把這兩種人形機(jī)器人在網(wǎng)上進(jìn)行預(yù)約銷售，并且每件B款人形機(jī)器人的售價(jià)比每件A款人形

機(jī)器人的售價(jià)少20%,根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，該公司售出的這兩款人形機(jī)器人的銷售額都為600萬(wàn)元時(shí)，B

款人形機(jī)器人比/款人形機(jī)器人多售出10件.則該公司確定的每件/款人形機(jī)器人在網(wǎng)上的售價(jià)是多少萬(wàn)

元？

40.（24-25八年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）在一堂化學(xué)活動(dòng)課前，李老師給同學(xué)們布置了一個(gè)任務(wù)：制作A,B

兩種化學(xué)分子的模型，每個(gè)化學(xué)分子的模型都需要用到小球和塑料管.老師演示了一下，用32個(gè)小球、26

根塑料管可以制作2個(gè)A分子模型與1個(gè)8分子模型，制作一個(gè)B分子模型需要的小球、塑料管數(shù)量分

別為5:4與6:5,已知每根塑料管價(jià)格是每個(gè)小球價(jià)格的一半.

（1）制作一個(gè)A,8分子模型分別需要小球、塑料管的數(shù)量各是多少？

（2）李老師說(shuō)道：上次的活動(dòng)課上，我花費(fèi)200元購(gòu)得的塑料管數(shù)量比花320元購(gòu)得的小球數(shù)量多了80.今

天我路過(guò)文具商店的時(shí)候，看到了促銷廣告：“每購(gòu)買3個(gè)小球贈(zèng)送1根塑料管，清貨庫(kù)存，數(shù)量有限！小

球僅剩1760個(gè)，塑料管僅剩1404根.”我向?qū)W校申請(qǐng)了項(xiàng)目活動(dòng)經(jīng)費(fèi)2050元采購(gòu)小球和塑料管，全部用

來(lái)制作化學(xué)分子模型，一個(gè)A模型和一個(gè)8模型為一套，至少需要制作65套才夠用.要使得購(gòu)買的小球數(shù)

量按促銷廣告匹配贈(zèng)送塑料管后無(wú)剩余，且所有材料做成分子模型剛好配套，請(qǐng)你們幫老師算一算，有幾

種采購(gòu)方案？（要求：根據(jù)題意列出方程、不等式解決問(wèn)題）

室【經(jīng)典例題九分式的新定義問(wèn)題】

y一1

41.（23-24八年級(jí)下?重慶沙坪壩?期末）對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)x,乃我們定義：=—（9片0）,有下列說(shuō)

xy

法：

①〃2,3）=一］

0

175

0/（1,3）+/（2,4）+/（3,5）+/（4,6）+..,+/（10,12）=—;

（3）^af（b,-c）=bf（a,-c）+cf（a,-b）,則a6+ac=26c.

其中說(shuō)法正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

ab(a>b,a^O)

42.（23-24七年級(jí)下?浙江寧波?期末）己知實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算：a*b=〃(…①'若…a+D=

L則a=.

3m—n+4

43.（24-25七年級(jí)上?上海?期末）對(duì)于代數(shù)式冽和小定義運(yùn)算“③"：m0n=--------,例如：

mn

402=3X：二+4=二,若（x+i）@（x_2）=4+二，則24_8=______.

4x24x+1x—2

AA

44.（23-24八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）定義：形如石（3x0）的式子，若A>B,則稱"為“勤業(yè)式”；若

DD

AAA

A<B,則稱[為“求真式”；若[的值為整數(shù)，則稱3為“至善式”.

DDB

(1)下列式子是“求真式”的有(只填序號(hào))；

①②2。23°③“2+2"+1

V2+19萬(wàn)-3.14a2+2a+2

A

(2)若/=4/-x+l,3=2/+3x-4,請(qǐng)判斷"為“勤業(yè)式'’還是"求真式”，并說(shuō)明理由；

D

A

⑶若/=爐+3尤2-4,B=X2+3X+2,且X為整數(shù)，當(dāng)"為“至善式，，時(shí)，求X的值.

rrjr)

45.(23-24八年級(jí)下?江蘇蘇州?期中)我們定義：形如x+網(wǎng)=加+〃(加，"不為零)，且兩個(gè)解分別為

x

x1=m,x2=n的方程稱為“十字分式方程”.

例如x+9=5為十字分式方程，可化為無(wú)+壬=2+3,.,.為=2,尤2=3.

再如x+：=-8為十字分式方程，可化為X+(T)X.7)=(_I)+(_7)..?.益=-1,X2=-7.

應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問(wèn)題：

12

(1)若、+—=—7為十字分式方程，則再=,x2=.

⑵若十字分式方程X-3=-5的兩個(gè)解分別為%=a,X]=b,求2+:+1的值.

xab

(3)若關(guān)于x的十字分式方程x-四生莘生=2023后-2022的兩個(gè)解分別為X],%(左>2,再>々)，求

%+；044的值.

昌【經(jīng)典例題十分式方程綜合運(yùn)算】

—bc

46.(24-25八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末)已知正數(shù)。，b,c,m,〃滿足根+3〃=—,mn=—.

aa

(1)當(dāng)6=4,c=2時(shí)，請(qǐng)用含機(jī)的式子表示〃；

(2)已知。，b,。滿足12ac=0；

①求證：冽=3〃；

②若工+2>1+1,求〃的取值范圍.

47.(24-25八年級(jí)上?湖北荊州?期末)閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依

照常規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：整體觀察；整體設(shè)元；整體代入；整體求

和等.