廣東省深圳市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足(l-z)i=2,則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

A.-iB.-1C.2iD.2

2.已知向量。與b的夾角為30。，同=5忖=2,則卜-6卜()

A.1B.2-6C.2+73D.V13

3.如圖所示，在VA2C中，。為BC邊上的三等分點(diǎn)，若AB="，AC=b,E為A。中點(diǎn),

則BE=()

c217

B.—ciH—b

36

c117

C.~—a+—bD.—a+—b

3636

4.設(shè)/,根是兩條直線，a,夕是兩個(gè)平面，則(

A.若a//〃，l//a,ml113,貝?！?相

B.若a〃￡,IUm,mA-13,則

C.若夕上尸，U/a,ml/f3,貝!

D.若el■刀，U/a,ml1/3,貝心〃相

5.已知向量b=(l,2),向量°在b方向上的投影向量為-g匕，則6=()

5_

A.BcD.

2-I-42

6.如圖，正四棱臺(tái)ABC。-A耳CQ],上下底面的中心分別為。1和。，若45=24與=4,

NAAB=60。，則正四棱臺(tái)ABC?！狝笈CQI的體積為()

歸z

AB

人20>/2028cC20A/6「28卡

3333

7.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩

次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件A為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件3

為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件C為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件。為“第二次記錄

的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）

A.A與。互斥B.C與。對(duì)立

C.A與B相互獨(dú)立D.A與C相互獨(dú)立

8.如圖，計(jì)劃在兩個(gè)山頂M,N間架設(shè)一條索道.為測(cè)量間的距離，施工單位測(cè)得以下

數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頂?shù)暮０胃進(jìn)C=lOO6m,N2=5O0m,在BC同一水平面上選一點(diǎn)A,在A

處測(cè)得山頂?shù)难鼋欠謩e為60。和30。，且測(cè)得NM4N=45，則M，N間的距離為（）

C.1000mD.100V3m

二、多選題

9.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖

（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是

A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

B.圖（2）的平均數(shù)〈眾數(shù)〈中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)（中位數(shù)<平均數(shù)

D.圖（3）的平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

10.函數(shù)〃x）=Asin（8+e“A>O,0>O,|d<S的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的

7T

c.“X）在-§,0上的最小值為-0

D./（X）向右平移ISiIr個(gè)單位后為一個(gè)偶函數(shù)

II.在直四棱柱ABC。-4耳G2中，所有棱長(zhǎng)均2,ZBAD=6O°,尸為cq的中點(diǎn)，點(diǎn)。

在四邊形。CC2內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)Q在線段CR上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體4出尸。的體積為定值

B.若4Q〃平面則AQ的最小值為行

c.若△AB。的外心為加，則4氏為定值2

D.若4。=近，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為年

三、填空題

12.一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫它的直觀圖，此直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方

形(如圖所示)，則原平面圖形的面積為.

13.已知函數(shù)〃x)=cos(s+⑼為奇函數(shù)，則符合條件的一個(gè)。的取值可以為.

14.在VA5c中，NACB=120,AC=2,AB=的角平分線交于。，則

CD=.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=asinxc°sx+c°s(2x+e],且；

(1)求a的值和/(x)的最小正周期；

⑵求在[0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.在VA5C中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且(2"+c)cosB+Z7cosc=0.

(1)求角2的大?。?/p>

(2)若b=屈,ac=3,求VABC的面積和周長(zhǎng).

17.為了解高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)的基本情況，抽取部分高一年級(jí)學(xué)生開展體質(zhì)健康能力測(cè)

試，滿分100分.參加測(cè)試的學(xué)生共40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中/的值，并估計(jì)全校高一年級(jí)體測(cè)成績(jī)的60%分位數(shù)；

(2)為提升同學(xué)們的身體素質(zhì)，校方準(zhǔn)備增設(shè)體育課的活動(dòng)項(xiàng)目.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從

得分在［70,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求兩人得分分別來(lái)自［70,80)

和［80,90)的概率;

(3)現(xiàn)已知直方圖中考核得分在［70,80)內(nèi)的平均數(shù)為75,方差為9,在［80,90)內(nèi)的平均數(shù)

為85,方差為4,求得分在［70,90)內(nèi)的平均數(shù)和方差.

18.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PA=PD^DC=BC=-AB^1,AB//CD,

2

ZAPD=ZABC=90°,平面上M>_L平面ABC。，E為Bi中點(diǎn).

(1)求證：PAJL面尸BD；

⑵點(diǎn)。在棱刃上，若二面角P-的余弦值為g,求爵的值.

19.對(duì)于兩個(gè)平面向量a,b,如果有->5>0，則稱向量。是向量b的“迷你向量

⑴若機(jī)=(l,x),〃=(2,1-力，加是”的“迷你向量"，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)一只螞蟻從坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)沿最短路徑爬行到點(diǎn)N(〃,〃)處(〃cN且〃N2).螞蟻每次

只能沿平行或垂直于坐標(biāo)軸的方向爬行一個(gè)單位長(zhǎng)度，爬完第i次后停留的位置記為

2n)，設(shè)M(〃-1,0).記事件T="螞蟻經(jīng)過(guò)的路徑中至少有"個(gè)￡.使得OM是用的迷

你向量”.(假設(shè)螞蟻選擇每條路徑都是等可能的)

①當(dāng)〃=3時(shí)，求尸（T）；

②證明：P（T）V，.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《廣東省深圳市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DAABCBDCACDBD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】先求出z,再結(jié)合虛部定義可解.

【詳解】(l—z)i=2,貝ijl-z=；=-2i,貝ijz=l+2i,虛部為2.

故選：D.

2.A

【分析】借助向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.

[詳解],一,==郴-2口|cos30°+件

=^3-2xV3x2x^+4=l.

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

BE=AE-AB=-AD-AB=-(AB+-Bc]-AB=--AB+-(AC-AB]=--AB+-AC=--a+-b

23J26、,3636

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)線面平行或垂直的判定及性質(zhì)定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若&//￡,Illa,mlIp,貝心與機(jī)可能平行，也可能相交，還可能異面，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若/〃〃7,mL/3,貝!]/_L/,又0//￡,所以/La,故B正確；

對(duì)于C,D,aL/3,U/a,ml1(3,則/與機(jī)可能平行，也可能異面或相交，故C,D錯(cuò)

誤；

故選：B.

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

5.C

a-bb

【分析】利用向量〃在人方向上的投影向量為代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得。?小

a-bb1,a-b,21,2j,11-125

【詳解】由題意：互*『一5』修、"y2=一卅一了

故選：C

6.B

【分析】利用解等腰梯形可求得棱臺(tái)的高，從而利用臺(tái)體體積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳BC。一ABCA是正四棱臺(tái)，A8=2A再=4,Z^AB=60°,

側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形,

故=^￡2^2=2，AO=^AC=^AB=2叵,

FcosNAAB22

40\=與ABI=6,,所以0Oj=JA41yA0_aa）2=近，

所以該四棱臺(tái)的體積為1=；。?！竾?guó)心+%”+再湎￡7）=#（16+4+8）=竿,

故選：B.

7.D

【分析】列舉出基本事件，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷:

對(duì)于A：由事件A與。有相同的基本事件，否定結(jié)論；對(duì)于B：由事件C與。有相同的基

本事件，否定結(jié)論；對(duì)于C、D：利用公式法進(jìn)行判斷.

【詳解】連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體兩次，基本事件有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,

（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

其中事件A包括：（1,2）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,3）.

事件8包括：（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）.

事件C包括:（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）.

事件。包括：（1,2）,（1,4）,（2,2）,（2,4）,（3,2）,（3,4）,（4,2）,（4,4）.

對(duì)于A：因?yàn)槭录嗀與。有相同的基本事件，（L2）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,故A與?；コ獠怀闪?

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)槭录﨏與。有相同的基本事件，（1,2）,（1,4）,（3,2）,（3,4）,故C與。對(duì)立不成

立.故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)槭?）=提=［尸（3）=t="而尸（旗）=9=3.因?yàn)槭W(wǎng)）工尸（4）尸（3）,

162168x7168

所以A與8不是相互獨(dú)立.故C錯(cuò)誤；

Q1Q1J1

對(duì)于D：因?yàn)槭?5=式$?=白=不而*40=%=：.因?yàn)閮蓚€(gè)事件的發(fā)生與否互

162162164

不影響，且P（AC）=P（A）尸（C）,所以A與C相互獨(dú)立.故D正確.

故選：D

8.C

【分析】根據(jù)題意，在直角"函和直角一ABN中，分別求得40=200和AN=100夜，

再在AMN中，利用余弦定理，即可求解

【詳解】由題意，可得NAMC=60,NM4B=3O,MC=1。。百,N2=5O0,NM4N=45,

S.ZMCA=ZNBA=90,

MC

在RtACM中，可得AV=--------=200m,

sin60

在Rt^ABN中，可得4V=*-=lOO0m,

sin30

在中，由余弦定理得

MN2=AM2+AN2-2AM-ANcosZMAN

=100222+（V2）2-2x2x72x^=20000,

所以MN=1000m.

故選：C.

9.ACD

【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.

【分析】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；

圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；

圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

10.BD

【分析】由圖可知A=0,結(jié)合周期求得0=2,進(jìn)而求得〃x）=0sin（2x+°）,進(jìn)而逐

項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

【詳解】由圖知;/（x）*=—A=-應(yīng)，則4=0,

IE7兀兀LL….2兀-

—T=-兀=—,所以7=兀，則口=——=2,

41234T

即f(x)=^/2sin(2x+cp).

因?yàn)??兀+0］二°,所以■|兀+0=也，ZwZ2

BP(p=--Tt+kjtkqZ.

因?yàn)閮?lt;?得9=］，所以〃x）=0sin（2x+1,

對(duì)于選項(xiàng)A,》=弋時(shí)，2x+|=-p又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx不關(guān)于，=_］對(duì)稱，

所以》=一方不是/（叼=0$布（2》+4）的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)勺時(shí)，2彳+恭\［,"因?yàn)楹瘮?shù)A也在［-9］上單調(diào)遞

增，

所以仆）=肉?2%+三）在（-與1）上單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)XE--50時(shí)，2x+—G,最小值為/（-二）,故C錯(cuò)誤;

_3」32

對(duì)于選項(xiàng)D,f（x----）=—\/2cos2x,又因?yàn)閏os2（—%）=—^/^cos2%,

所以/（尤-普）=-0cos2x是偶函數(shù)，故〃x）向右平移二個(gè)單位后為一個(gè)偶函數(shù)，故D正

確.

故選：BD.

11.ABD

【分析】由題易證得〃C〃面ABP,所以直線CA到平面A8P的距離相等，又A8P的面

積為定值，可判斷A；取r>2，nc的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,腦V,AN,由面面平行的

判定定理可得平面A8P〃面AAW,因?yàn)锳Qu面用WN,所以4Q〃平面A8P,當(dāng)AQ_LMN

時(shí)，A。有最小值可判斷B；由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在。R,RG

上取點(diǎn)人,4,使得04=豆，24=1，易知點(diǎn)。的軌跡為圓弧44可判斷D.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

(詳解】對(duì)于A,因?yàn)?國(guó)/℃,又因?yàn)锳Bu面ABP，<Z面\BP,所以D,C//面A.BP,

所以直線C2到平面A8尸的距離相等，又42尸的面積為定值，故A正確;

對(duì)于B,取Z>2，DC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AM,肱V,AN,

則易證明：AMIIPC,AMU面A8P,PCO面A8P,所以AM〃面

又因?yàn)锳B〃AW,,ACV<Z面AB尸，A8(Z面A8P,所以肱V〃面AfP,

MNcAM=M,所以平面AB尸〃面4”N,AQu面AAW,所以AQ〃平面

當(dāng)AQLMN時(shí)，A。有最小值，則易求出加0=退,凡'=0,

AN=AD2+DN2-2AD-DNcos120°=j4+l-2x2xlxj-|j=T7,所以重合，所以

則A。的最小值為A"=6，故B正確;

對(duì)于C,若△ABQ的外心為過(guò)河作于點(diǎn)a,,q=歷巨=20

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

12

則4/4舊=不42=4.故c錯(cuò)誤;

Q

7T

對(duì)于D,過(guò)A作AO_LC]Q[于點(diǎn)。，易知A。，平面CQ。，ODX=241D1cosy=1

在上取點(diǎn)A，4，使得04=1,則44=44=近，

。%=0&=y[^=2

所以若AQ=近，則。在以。為圓心，2為半徑的圓弧4A3上運(yùn)動(dòng)，

;

又因?yàn)椤！?1，44=6,所以/4。42=|,則圓弧44等于羊，故D正確.

故選：ABD.

12.2夜

【分析】由直觀圖作出原圖，確定原圖結(jié)構(gòu)，然后計(jì)算面積.

【詳解】

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

直觀圖恰好是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以O(shè)'A'=1,O'B'=yf2

由直觀圖知原圖為平行四邊形Q4BC,OA=O'A=1,OBLOA,OB=20'B'=272,

所以原平面圖形的面積為lx2也=2亞，

故答案為：2逝.

TT7T

13.—(答案不唯一scp=kit-\—，左eZ)

22

【分析】由正余弦型函數(shù)的奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式列式求解即得.

7T

【詳解】函數(shù)/(x)=cos(s+0)為奇函數(shù)，則夕=fai+5，ZeZ,

所以符合條件的一個(gè)。的取值可以為不

故答案為：—

2

14.

【分析】在VABC中，由余弦定理可得：BC=1,由正弦定理可得sin5=@,根據(jù)角平分

7

線的性質(zhì)可得：DA=2BD=^~,在△88中，由正弦定理可得：牛=—即可

3sinBsinZDCB

求解.

【詳解】因?yàn)樵赩ABC中，^ACB=120,AC=2.,AB=/j

C

由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AB-BC-cosZACB,解得BC=1

2_幣所

ACAB

由正弦定理可得:即sin5有，解得：sinB=-----，

sinBsinZACBT7

BDBC

因?yàn)榈慕瞧椒志€交于。，所以由角平分線性質(zhì)可得:

-ACBA8ZBCD=60°,~DA~~AC

所以DA=2BD=^~,

3

CDBD即罟謂，解得：吟

在△8CD中，由正弦定理可得:

sinBsinZDCB

72

2

故答案為：—

15.(1)〃=4,T=TI；

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】(1)根據(jù)=g求出“，然后利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，由周期公式可得;

(2)利用整體代入法求出的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合％目0,兀］可得.

【詳解】⑴因?yàn)?］二不，所以‘I卜"sm^cosi+cos不+公=5,

113

即白-解得。=4,

222

所以〃制=4sinxcosx+cos2x+—=2sin2x+—cos2x--sin2x

I6J22

=—sin2x+cos2x=^3sinf2x+—，

22L6J

9

所以/(x)的最小正周期為號(hào)7r=兀.

TTTTJTJTJT

(2)由——+2fai<2x+—<—+2fai,^eZ,解得---\-kjt<x<—+kit,k^7,

26236J

TT7T

所以/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為-§+配*+也，左eZ,

所以/(x)在［0,兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間為。謂，g，兀.

2TT3、巧/—

16.(1)；(2)SAABC=-,4+y/13.

【分析】(1)由余弦定理化角為邊可得4+c2=-改，再利用余弦定理即可求解;

(2)由面積公式即可求出面積，再利用余弦定理得出。+。=4即可求出周長(zhǎng).

【詳解】(1)由余弦定理，得cosB=cosC="2+'—c2,

laclac

222

將上式代入(2。+c)cos5+〃cosC=0,整理得a^c-b=-ac,

./+C2—Z?2—CLC1

??cosB=---------------=------=—,

laclac2

2

:角8為VABC的內(nèi)角，8=1".

(2)在VABC中，S=--ac-sinB=--3—=—,

ABC2224

在VABC中，由余弦定理62=/+c2-2qccos8,

_2

將b=V13,ac=3,B=—7i,

3

代入得b1=(a+c)2-2ac-2accosB,

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

?，?13=（〃+c）2-2〃c［l——I,

Q+C=4,

VA5C的周長(zhǎng)為Q+C+6=4+M.

17.（l*=0.03,60%分位數(shù)為85

星

⑶平均數(shù)為81,方差為30

【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1,可求出f的值，利用百分位

數(shù)的概念可求出60%分位數(shù)；

Q

（2）分析可知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80）的有5x*=2人，設(shè)為A、B,在［80,90）

的有5x荒12=3人，設(shè)為。、6、°，利用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式可求出所求事件的

概率；

（3）利用分層抽樣的均值和方差公式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）由題意得：10x（0.01+0.015+0.020+?+0.025）=l,解得吐0.03,

抽取的樣本中，設(shè)第60百分位數(shù)為x,

前三個(gè)矩形的面積之和為（0.01+0.015+0.02）x10=0.45,

前四個(gè)矩形的面積之和為0.45+0.03x10=0.75,所以，xe（80,90）,

則0.01xl0+0.015xl0+0.02xl0+0.03x（x-80）=0.6,

解得x=85,因此高一年級(jí)體測(cè)成績(jī)的60%的分位數(shù)為85.

Q

（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在［70,80）的有5x4=2人，設(shè)為A、B,

在［80,90）的有5、3=3人，設(shè)為。、b、c.

設(shè)事件M=兩人分別來(lái)自［70,80）和［80,90）,

則河={（40）,（4,6）,（4。,（昆0）,（民6）,（3?},貝什（M）=6,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

/、n（M］633

因此尸（M）=所以兩人得分分別來(lái)自［r70,80）和［80,90）的概率為

（3）由題意知，落在區(qū)間［70,80）內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.02=8個(gè),

落在區(qū)間［80,90）內(nèi)的數(shù)據(jù)有40x10x0.03=12個(gè).

記在區(qū)間［70,80）的數(shù)據(jù)分別為與、/、L、4,平均分為最，方差為《，

在區(qū)間［80,90）的數(shù)據(jù)分別為為口、當(dāng)、L、坨，平均分為亍，方差為

這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為口方差為d.

由題意，x=75，y=85,s；=9,=4,

_]8_n_

8x+12y_8x75+12x85

且貝Uz==81.

12

Oz=lj=l2020

由分層抽樣方差公式可得:

s2W[時(shí)+8(X)2+12S；+12(1)[

2

=30

5

故得分在［70,90）內(nèi)的平均數(shù)為81,方差為30.

18.（1）證明見(jiàn)解析

*

【分析】（1）利用解直角梯形得到線線垂直，再證明線面垂直即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)共線向量參數(shù)來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，再借助空間向量法,

來(lái)求解二面角的余弦值，從而可得參數(shù)值，去求解問(wèn)題.

【詳解】（1）證明：由題意：BC=CD=1,/BCD=90°,ABI/CD,

.,.解這個(gè)直角梯形ABC?？傻茫築D=y/2,AD=&，

又AB=2,BD2+AD2=AB2，即B￡>_LAD,

又一面24Z）_L面ABC￡）,面PADc面ABCD=AD,BDu面ABC。，

面PAD,又P4u面PAD,ABD±PA,

又'PAYPD,且BDu面依O,PDu面PBD,BDPD=D,

：.PA±^PBD；