第15講拋物線

目錄

第15講拋物線................................................................................1

一、拋物線的標準方程.........................................................................2

基礎知識...................................................................................2

考點1動點的軌跡問題.....................................................................2

考點2由拋物線的定義解題................................................................4

考點3拋物線的焦點坐標及準線方程.........................................................5

考點4求拋物線的標準方程................................................................7

二、拋物線的幾何性質..........................................................................9

基礎知識...................................................................................9

考點5拋物線對稱性......................................................................10

考點6拋物線相關最值問題...............................................................13

考點7拋物線相關的實際應用.............................................................15

三、課后作業(yè).................................................................................18

單選題....................................................................................18

多選題....................................................................................21

填空題....................................................................................22

解答題....................................................................................23

、拋物線的標準方程

基礎知識

1.拋物線的定義

(1)定義：平面內與一個定點F和一條定直線1(1不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋

物線的焦點，直線1叫作拋物線的準線.

(2)集合語言表示

設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線1的距離為d,則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d).

2.拋物線的標準方程

拋物線的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：

圖形標準方程焦點坐標準線方程

_p

FS。)X~2

y2=2px(p>0)

_P

F)X~2

9y2=-2px(p>0)

1P

Fy=-2

x2=2py(p>0)

p

Fy=2

/-)

x2=-2py(p>0)

/1'

考點1動點的軌跡問題

【例1.1】(23-24高:西?階段練習)點P到直線y=3的距離比到點F(0,-1)的距離大2,則點P的軌跡

方程為()

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=—4y

【解題思路】根據(jù)題意點P到直線y=1的距離和到點的距離相等，可得點的軌跡為拋物線，即可得

解.

【解答過程】根據(jù)題意，設點PQ,y),且點P在y=3的下方，

故點P到直線y=1的距離和到點尸(0,-1)的距離相等，

所以點的軌跡為以F(0,-1)為焦點，以直線y=1為準線的拋物線，

所以P的軌跡方程為/=-4y,

故選：D.

【例1.2](23-24高二上?重慶?期末)已知點P(x,y)滿足而二I產子=|久+1|,則點P的軌跡為()

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【解題思路】根據(jù)已知條件及拋物線的定義即可求解.

【解答過程】1尸+產表示點pQ,y)到點(1。的距離;|X+1|表示點pQ,y)到直線x=-1的距離.

因為-1)2+y2=1%+1|,

所以點p(x,y)到點(1,0)的距離等于點P(x,y)到直線X=-1的距離，

所以P的軌跡為拋物線.

故選：C.

【變式1.1](23-24高二下?甘肅白銀?期中)若圓C與x軸相切且與圓/+y2=4外切，則圓C的圓心的軌跡

方程為()

A.x2=4y+4B.x2=-4y+4

C.x2—4|y|+4D.x2—4y—4

【解題思路】設圓心坐標為(x,y),依題意可得"可=2+|訓，化簡整理即可得解.

【解答過程】設圓心坐標為(x,y),依題意可得，尤2+y2=2+|y|,化簡得/=4|y|+4,

即圓C的圓心的軌跡方程為/=41yl+4.

故選：C.

安徽?開學考試)已知圓C與過點(-1,0)且垂直于x軸的直線/僅有1個公共點，

且與圓。':％2+*一6*+5=0外切，則點C的軌跡方程為()

2-.2-,2

A.y2=12xB.y2=6xC.二r+匕=1D.—+y2=1

/y4310z

【解題思路】根據(jù)外切關系結合拋物線定義，分析得到c的軌跡為拋物線，由此求解出拋物線的方程.

【解答過程】由題意得，直線Z:x=-1,且圓。:（％-3）2+y2=4,

設點C到直線/的距離為r,

則點C到=-3與點C到C'的距離相等，都是r+2,

故點C的軌跡是以為焦點，以/'為準線的拋物線，故方程為好=12元

故選：A.

考點2由拋物線的定義解題

攵合肥?期末）已知拋物線K=2y上有兩個點A,B,焦點為R若|4F|+\BF\=7,

則線段AB的中點到x軸的距離是（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【解題思路】設點A,8的坐標分別為01，%）和@2,、2），利用拋物線的定義，結合IZFI+伊凡=7求解.

【解答過程】解：由已知可得拋物線％2=2y的準線方程為y=-p

設點A,8的坐標分別為（X1,乃）和（%2,月），

由拋物線的定義得|4F|+\BF\=yi+y2+l=7,即為+y2=6,

線段AB中點的縱坐標為華=3,

故線段AB的中點到x軸的距離是3,

故選：D.

【例2.21（23-24高二上?廣東汕頭?期末）已知4為拋物線C:y2=2Px（p>0）上一點，點2到C的焦點的距離

為8,至⑵軸的距離為5,貝跖=（）

A.2B.3C.6D.9

【解題思路】根據(jù)題意，結合拋物線的焦半徑公式，列出方程，即可求解.

【解答過程】由點4為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，且至物軸的距離為5,可得當=5,

又由點力到C的焦點的距離為8,根據(jù)拋物線的焦半徑可得|4F|=xA+l=8,

即5+：=8,解得p=6.

故選：C.

【變式2.1］（23-24高二下?河南焦作?期末）已知點4（0,2）,拋物線C:y?=2px（p>0）的焦點為F,射線B4

與拋物線C交于點M,與拋物線準線相交于N,若|MN|=V^|FM|,貝物的值為（）

i

A.B.1C.2D.3

2

【解題思路】過M作準線，垂足為B,根據(jù)拋物線的定義可得cos4NMB=y,可得tan乙4F。=

tan乙NMB=2,運算求解即可.

【解答過程】過M作8Ml準線，垂足為則|M尸|=\MB\,

\MF\_1_V5

\MN\-V5-5

且z_NMB為銳角，貝！jsin/NMB=V1-cos2z/VMF=等,

sin乙NMB

可得tan/NMB==2,

cos乙NMB

在Rt△4。F中，tan/AF。=tan乙NMB=符,

\OF\

即卷=2,解得p=2.

~2

故選：c.

【變式2.2](23-24高二上河北胖臺?階段練習)已知4為拋物線C:/=2py(p>0)上一點，點2到C的焦點

的距離為18,至卜軸的距離為12,則p=()

A.6B.8C.10D.12

【解題思路】直接利用拋物線的定義分析求解即可.

【解答過程】由拋物線的定義知，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等,

因為點4到C的焦點的距離為18,所以點A到拋物線C準線的距離為18,

又點A至卜軸的距離為12,所以￡=18—12=6,貝切=12.

故選：D.

考點3拋物線的焦點坐標及準線方程

>!'.已知拋物線y=2p/過點(1,4),則該拋物線的焦點坐標為

A.(1,0)B.(表,0)C.(0,2)D.(0,1)

【解題思路】根據(jù)點(L4)在拋物線y=2p%2上，求出「，求出焦點坐標，判斷選項.

【解答過程】根據(jù)點(1,4)在拋物線y=2p/上，則4=2p,解得p=2,故/=],所以焦點坐標為(0,表).

故選：C.

對拋物線y=[小,下列描述正確的是()

A.開口向上，焦點為(0,1)B.開口向右，焦點為(1,0)

C.開口向上，焦點為(0噌)D.開口向右，焦點為七,0)

【解題思路】將拋物線方程化為標準方程，再由拋物線的性質，即可得到開口方向和焦點坐標.

【解答過程】拋物線y=即為拋物線/=4y,

由拋物線的性質可得該拋物線開口向上，

焦點為(0,1).

故選：A.

拋物線/=-4y的準線方程是()

A.y=1B.y=-1C.y=2D.y=-2

【解題思路】結合拋物線的準線方程求解即可.

【解答過程】由題知拋物線/=-2py=-4y,所以p=2,故拋物線/=—4y的準線方程為y=：=L

故選：A.

拋物線y=a/上一點p(_1,2)到其準線的距離為()

A.-B.—C.-D.-

2828

【解題思路】根據(jù)拋物線的標準方程及其簡單幾何性質進行求解.

【解答過程】把點P(-1,2)的坐標代入拋物線方程，解得a=2,

所以拋物線的方程為y=2/,即拋物線的準線的方程為y=—J,

28

所以點P(-1,2)到拋物線準線的距離為2-(一白=

故選：B.

考點4求拋物線的標準方程

【例4.1】(23-24高二上?全國?期末)已知拋物線的焦點坐標為(2,0),則拋物線的標準方程是()

A.y2——8xB.y2=8x

C.x2=—8yD.x2=By

【解題思路】

利用拋物線的標準方程的相關知識即可得解.

【解答過程】

依題意，設拋物線方程為y2=2Px(p>0),

由焦點坐標為(2,0),得與=2,即p=4,

所以拋物線的標準方程為y2=8%.

故選：B.

拋物線必=mx(m>0)的準線與直線x=1的距離為3,則此拋

物線的方程為()

A.y2=16%B.y2=8%C.y2=4xD.y2=2x

【解題思路】準線》=-r與直線％=i的距離為i+m計算得到答案.

44

【解答過程】拋物線y2=mx(m>0)的準線為x=-；,準線x=-;與直線％=1的距離為1+：,

故1+：=3,解得巾=8,故此拋物線的方程為必=8x.

故選：B.

I..A.,；?I「H國力」4葉,已知點F是拋物線/=2py(p>0)的焦點，點M(%o，l)在拋物

線上，若|FM|=|,則該拋物線的方程為()

A.x2—2yB.x2=|yC.x2=yD.x2=1y

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義直接求出p即可.

【解答過程】由拋物線的定義知，

|FM|=1_(_E)=|,

解得p=1,

所以拋物線方程為/=2y,

故選：A.

【變式4.2](2024.北京?模擬預測)已知拋物線C:y2=2p久(p>0)的焦點為F,準線為點4是拋物線C上

一點，4D11于D.若4F=2,N￡MF=60。，則拋物線C的方程為()

A.y2=8%B.y2=4x

C.y2—2xD.y2—x

【解題思路】

根據(jù)拋物線的定義求得㈤川=2,然后在直角三角形中利用ZD4F=60?？汕蟮胮=2,從而可得答案.

【解答過程】如圖，連接OF,設準線與“軸交點為M

拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為尸仁,0),準線八x=t

又拋物線的定義可得|4F|=\AD\,又NZMF=60°,所以△IMF為等邊三角形，

所以|DF|=\AF\=2,Z.DFM=60°

所以在RtADFM中，\DF\=2\MF\=2p=2,貝Up=1,所以拋物線C的方程為必=2x.

故選：C.

二、拋物線的幾何性質

基礎知識

1.拋物線的幾何性質

拋物線的簡單幾何性質:

標準

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

L1/11

工/L___/

圖形~*

7JTTrAt，一—u

頂點(0,0)(0,0)

軸對稱軸y=0對稱軸x=0

)F（。，-?

焦點

_p_p

準線x~2x~2y=~2y=2

離心率e=1e=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

=-3+及

\MF\=x0+\MF\=y0+^=-Vo+g

焦半徑

范圍x>0x<0y>0y<0

2.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<l,雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是

e=l；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

3.與拋物線有關的最值問題

求解此類問題一般有以下兩種思路：

（1）幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何

法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.

（2）代數(shù)法：由條件建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值

的求法，利用函數(shù)的單調性等，亦可用均值不等式求解.

考點5拋物線對稱性

若點（zn,n）在拋物線必=-13%±,則下列點中一定在該拋物線上

的是（）

A.（一nt,一幾）B.（m,—n）C.（―m,n）D.（—n,—m）

【解題思路】利用拋物線關于X軸對稱求解即可

【解答過程】由拋物線關于無軸對稱易知，點（如-n）一定在該拋物線上.

故選：B.

產為拋物線=12%的焦點，直線x=1與拋物線交于4B兩點，

則乙4FB為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】

在拋物線C：*=12x中可借助直角三角形的正切值的求解ZAFO.再由對稱性求乙

【解答過程】，

拋物線C:/=12%中x=1時可得y=±2舊，且F（3,0）

則2遮），?。ㄈ鐖D）

XL”AH2V3k

tanZ-AFH=—=——=V3,

HF3-1

.-./.AFH=60°,又對稱性可知N2FB=120°.

故選；C.

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:p=8久，P為無軸正半軸上

一點，線段0P的垂直平分線/交C于4B兩點，若N04P=6O。，則四邊形。APB的周長為（）

A.64B.64V3C.—D.—

33

【解題思路】根據(jù)題意得到四邊形OAPB為菱形，再結合=60。，求出點A的坐標，進而求解結論.

（解答過程】根據(jù)拋物線的對稱性以及4B為線段0P的垂直平分線，

可得四邊形04PB為菱形，

又NCMP=60°,可得NAOP=60°,

故可設力（a,V5a）,代入拋物線方程可得（百口丁=8a,解得a=:

故［0川=2a=費，

故四邊形04PB的周長為：4Xy=y.

故選：D.

I式LU，20—司卜訓小已知拋物線C:f=6x的焦點為F,準線為2,點力在拋物線C上，且點4

到準線1的距離為6,4F的垂直平分線與準線1交于點N,點。為坐標原點，則AOFN的面積為（）

A.謔B.些C.9V3D.隨

242

【解題思路】解法一：先根據(jù)焦半徑公式求出a的坐標，再求出4F的垂直平分線的方程，從而可求N的坐標，

故可求△。尸N的面積.

解法二：先根據(jù)焦半徑公式求出4的坐標，過點力作/的垂線，垂足為B,利用拋物線的定義可得B,N重合，

從而可求4OFN的面積.

【解答過程】解法一：拋物線C：*=6%的焦點為尸（|,0）,準線為八x=-|,

設4（m,n）,由點4到準線/的距離為6,得m+|=6,得m=（

代入拋物線的方程得"=6x[=27,所以n=±3V3.

由拋物線的對稱性，不妨設4?,3次），則直線4F的斜率為心尸=器=百，

又4尸的中點坐標為（3,竽），故2F的垂直平分線的方程為y-竽=-y（x-3）,

令％=一|,得y=3也即可（一|,3舊）.

所以△OFN的面積為:x|x3V3=^.

224

故選：B.

解法二：拋物線C：y2=6x的焦點為/（|,0）,準線為八x=-|,

設4（巾,九），由力到準線/的距離為6,得zn+|=6,得m=g,

代入拋物線的方程得聲=6x[=27,所以n=±3V3.

由拋物線的對稱性，不妨設43V3）,則直線AF的斜率為心尸=咨=百，

2~2

所以N4F久=60。.過點2作2的垂線，垂足為B,則連接BF,

則NF4B="F%=60。，而|4F|=|4B|,所以△F4B是等邊三角形，于是邊AF的垂直平分線過點B,即點B

與點N重合，所以AOFN的面積為:X,X3舊=乎.

224

故選：B.

考點6拋物線相關最值問題

拋物線C的頂點為原點，焦點為F（2,0）,則點8（5,0）到拋物線

C上動點M的距離最小值為（）

A.3V2B.2V6C.5D.5魚

【解題思路】求得拋物線C的方程，設出M點的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式以及二次函數(shù)的性質求得正確

答案.

【解答過程】拋物線C的焦點為F（2,0）,所以拋物線C的方程為y2=2px,

且:=2,2p=8,所以拋物線C的方程為必=8%,

設則|MB|=J停一SY+±2=J*，一衿+25,

所以當/=_&=8"=±2&時，|MB|取得最小值為J,X64-；X8+25=2V6.

64Y

故選：B.

【例2.2]（23-24高二上?山東棗莊?階段練習）設P是拋物線/=I6y上的一個動點，/為拋物線的焦點,

已知點A的坐標為（2,6）,則|P川+|PF|的最小值為（）

A.8B.10C.12D.14

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義及數(shù)形結合即可得解.

【解答過程】過P,4作PM12,4N，交拋物線準線[于M,N,且AN交拋物線于點P,如圖，

由拋物線/=16y可得準線Z方程為y=-4,

由拋物線定義知，\PA\+\PF\=\PA\+\PM\,

因為|P川+\PM\>\AN\,

所以當P點運動到P'時，即4P',N三點共線時，|P川+|PF|的最小值為14Vl=6-（-4）=10,止匕時pQ：）.

故選：B.

I2,1]（2024.t國.后擬預測）已知點A為拋物線C：x2=8y上的動點，點B為圓（久-6）2+（y+6）2=9

上的動點，設點4到X軸的距離為d,則|48|+d的最小值為()

A.4B.5C.7D.10

【解題思路】設拋物線的焦點為尸，可得d=|4F|-2,轉化為+d=|4B|+|4F|-2,當月三點共

線是|4B|+|4F|取得最小值，結合圓的性質，即可求解.

【解答過程】如圖所示，設拋物線的焦點為F,圓心為C,則F(0,2),C(6,—6),d=\AF\-2,

所以|AB|+d=\AB\+\AF\-2,則當尸,4B三點共線是恒引+|4尸|取得最小值,

此時|4B|+\AF\>\FC\-3=10-3=7,所以|4B|+d的最小值為5.

故選：B.

【變式2.21(23-24高二上?河南新鄉(xiāng)?期末)己知點4(4,4)在拋物線必=4支上，F(xiàn)是拋物線的焦點，點P為

直線久=-1上的動點，則|P川+|PF|的最小值為()

A.8B.2V13C.2+V41D.V65

【解題思路】根據(jù)題意，求得拋物線的焦點為尸(L0)，設點力(4,4)關于％=-1的對稱點為4(-6,4),得出

\PF\=\PA'\,得到當且僅當點P為直線44與x=-1的交點時，\PA\+|PF|取得最小值，結合兩點間距離公

式，即可求解.

【解答過程】由拋物線必=4%,可得焦點為F(l,0),準線方程為％=-1,

如圖所示，設點2(4,4)關于x=-1的對稱點為4,則4(—6,4),

可得|PF|=|P4|，當且僅當點P為直線44與x=-1的交點時，|P*+|PF|取得最小值，

則|P4|+\PF\=\PA\+\PA'\=\A'F\=7(-6-l)2+(4-0)2=V65,

即|P川+|PF|的最小值為相.

故選：D.

考點7拋物線相關的實際應用

【例3.1](23-24高上所疆阿克汾廠一，魚腹式吊車梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像

魚腹，如圖，魚腹式吊車梁的魚腹部分40B是拋物線的一部分，其寬為8m,高為0.8m,根據(jù)圖中的坐標系，

則該拋物線的焦點到準線距離為()

A.-2B.5C.10D.20

【解題思路】根據(jù)給定條件，設出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程即可得解.

【解答過程】依題意，設該拋物線的方程為/=2py(p>0),顯然點B(4,0.8)在此拋物線上，

因此42=2px0.8,解得p=10,

所以該拋物線的焦點到準線距離為10.

故選：C.

【例3.2](23-24高三上?湖南長沙?階段練習)假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口

寬48為2m,渠深OC為1.5m,水面EF距4B為0.5m,則截面圖中水面寬E尸的長度約為()=1.414,

V3?1.732,V6?2.449)

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

【解題思路】建立平面直角坐標系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標化即可求得結果.

【解答過程】以。為原點，0C為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

由題意可得代入/=2py得1=3p,得P=3故拋物線的標準方程為/=|y,

設/?),九)(x0>0,y0>0),貝!|y0=1.5—0.5=1,則詔=|xl=j

即可得，=曰=0,816,

所以截面圖中水面寬EF的長度約為0.816x2?1.63m,

故選：D.

【變式3.1](23-24高二上?四川德陽?階段練習)如圖是某景區(qū)內的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形

部分的橋面跨度為10米，拱形最高點與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的

焦點處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為()(結果精確到0.01)

A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68

【解題思路】建立平面直角坐標系，設拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經過點(5,-6),把點(5,-6)代入

拋物線方程即可求出P，根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為6-會即可求出答案.

【解答過程】如圖，設拋物線的方程為/=-2py,拋物線經過點(5,-6),

所以25=12p,解得p=1f,所以拋物線頂點到焦點的距離為§=烏，

12224

故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為6-(=6-得。4.96米.

故選：A.

【變式3.2]（23-24M.h.蘇如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋

物線構成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m,

已知行車道總寬度4B=6m,那么車輛通過隧道的限制高度為（）

A.2.25mB.3.25mC.3.5mD.3.75m

【解題思路】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，即可得到拋物線方程，然后代入計算，即可得到結果.

取隧道截面，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，

則C（4,一4）,設拋物線方程為/=-2py（p>0）,將點C代入拋物線方程，

可得p=2,則拋物線方程為/=—4y,行車寬度4B=6m,將x=3代入拋物線方程,

可得y=-2,25m,所以限度為6-2.25-0.5=3.25m.

故選：B.

三、課后作業(yè)

單選題

1.（23-24高二上?陜西榆林?期中）己知拋物線C：y2=6%過點（2,有），則拋物線C的準線方程為（）

.5?5—3?3

A.x=-B.x=—C.x=-D.x=—

8888

【解題思路】根據(jù)題意，求得拋物線的方程必=|乃結合拋物線的幾何性質，即可求解.

【解答過程】由拋物線C：*=m乂過點（2,逐），可得（遮/=THx2,解得m=|,

即拋物線的方程為y2=可得拋物線C的準線方程為x=-1

28

故選：B.

已知拋物線/=4y的焦點為尸，點M在拋物線上，且|MF|=3,則

點M到久軸的距離為（）

A.4B.2V2C.2D.3

【解題思路】由拋物線定義計算即可得.

【解答過程】由拋物線定義可知|MF|等于點M到準線的距離，

故點M到x軸的距離為|MF|-1=3-1=2.

故選：C.

3.（23-24高二上?浙江杭州?期中）已知線段48的端點2的坐標是（2,1）,端點A在拋物線y=/上運動，

則線段4B的中點M的軌跡為（）

A.直線B.拋物線C.雙曲線D.橢圓

【解題思路】設借助M為線段4B的中點及A在拋物線y=/上，計算可得M軌跡方程，即可得解.

【解答過程】設M（x,y）,由M為線段4B的中點，故4（2x-2,2y—l），

又端點A在拋物線丫=/上，故有2y-1=（2x-2產，

化簡得y=2x2-4x+j,故線段4B的中點”的軌跡為拋物線.

故選：B.

4.（23-24高二上?陜西渭南?期中）點M（5,3）到拋物線曠=a/（a>0）的準線的距離為6,那么拋物線的

方程是（）

A.y=12/B.y=-/2C.y=-36/D,y=

【解題思路】將丫=a/化為標準形式，利用拋物線定義可得答案.

【解答過程】將丫=。％2化為/=工準線y=一;，由已知得：3+；=6,所以工=12,

即a=*所以拋物線方程為”專目

故選：D.

；.（23-24高二上?浙江溫州?期中）已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=4x上，

則這個等邊三角形的邊長為（）

A.8A/3B.4V2C.4V3D.3V2

【解題思路】設另外兩個頂點的坐標分別為（號,叱），（9，-?）（血＞0）,由圖形的對稱性可以得到方程

tan3（T=黑，解此方程得到小的值，即可得到答案.

~4~

【解答過程】由題意，依據(jù)拋物線的對稱性，及等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線

y2=4%上，

可設另外兩個頂點的坐標分別為得?）（加＞0）,

???tan30°=~=黑，解得m=4V3,

4

故這個等邊三角形的邊長為2nl=8V3.

故選：A.

文徽阜陽?期末）己知4（3,2）,拋物線=8比的焦點為F,P是拋物線C上任意一點，則

△P4F周長的最小值為（）

A.3V2B.5+2V2C.5+V5D.3+2V2

【解題思路】過點P作PH垂直于準線且交準線于H,則4P4F的周長|”|+\PA\+|PF|轉化成|力用+\PA\+

|PH|即可求解.

【解答過程】由題意，拋物線的準線x=-2,過點P作PH垂直于準線且交準線于X,則|PF|=|PH|,

由題可知,AP4可的周長為|AF|+|P川+|PF|=+|P=+|PH|,又|4F|=VI,

如圖,\AF\+\PA\+\PH\>\AF\+\AH\,當4RH三點共線時，

△P4F的周長最小，且最小值為5+遮.

故選：C.

7.（23-24高二上?福建廈門?階段練習）已知點P是拋物線/=2y上的一動點，焦點為F,若定點M（l,2）,

則當P點在拋物線上移動時，|PM|+|PF|的最小值等于（）

A.-B.2C.3D.4

2

【解題思路】利用拋物線的定義，數(shù)形結合即可得解.

【解答過程】如圖，過P作拋物線/=2y的準線y=-3的垂線，垂足為Q,連接MQ,

則|PM|+|PF|=\PM\+\PQ\>\MQ\N2+|=|,當且僅當M,P,Q共線時等號成立，

故|PM|+|PF|的最小值為I，

故選：A.

8.（23-24高三上?河南駐馬店?期末）己知。為坐標原點，拋物線C：十二叔的焦點為尸，過點尸的直線，交

拋物線C于4B兩點，若|4F|=3|BF|,則|。川=（）

A.2V3B.V15C.V17D.V21

【解題思路】先推導焦半徑公式得|4川.由=3|BF|,求出8=?再由余弦定理

1—COSczl+COScz3

求解.

【解答過程】不妨設點4在第一象限，直線4B的傾斜角為仇

所以8$。=喑，則1451=—^,同理可得|BF|=

\AF\l-cos0l+cos0

因為|2F|=3|8F|,所以cos6=i即8=；,乙4/0=:，

2

所以|4F|==4.

1-COS0

在aAFO中，10/1=y/\AF\2+\0F\2-2\AF\?\OF\cos^AFO=V21.

故選：D.

多選題

9.（23-24高一上.你建叵門?期中）已知拋物線C:/=切的焦點為F,。為坐標原點，點”（而必）在拋物

線C上，若|MF|=5,則（）

A.F的坐標為（1,0）B.x0=±4C.y（）=3D.\OM\=4A/2

【解題思路】直接由拋物線方程得焦點坐標及其準線方程可判斷A,由拋物線定義可判斷BC,由兩點間距

離公式可判斷D.

【解答過程】對于A,拋物線C:/=4y的焦點為“0,1）,準線方程為y=-l,故A錯誤；

對于BC,由拋物線定義可得|MF|=5=y（）+1,所以y（）=4,琮=16,解得x（）=±4,故B正確C錯誤;

對于D,|0M|=，16+16=4位,故D正確.

故選：BD.

33廣」；：「已知拋物線必=2px（p>0）的焦點為尸，點P（5,y0）在拋物線上，且|PF|=6,

過點P作PQ1久軸于點Q,則（）

A.p=2B.拋物線的準線為直線y=-1

C.y0=2V5D.AFPQ的面積為4西

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑的長度可求出p值，即可判斷選項AB,根據(jù)點在拋物線上即可求

出點P的縱坐標，即可判斷選項C,利用三角形的面積公式即可求出AFPQ的面積，即可判斷選項D.

【解答過程】拋物線y2=2px（p>0）的準線為直線x=~1，設點P在第一象限，過點P向準線作垂線垂足為

M,

由拋物線的定義可知|PF|=\PM\=5+（=6,解得p=2,

則拋物線的方程為y2=4x,準線為直線%=-1,故A正確，B錯誤；

將x=5代入拋物線方程，解得y°=±2迷，故C錯誤；

焦點尸(1,0),點P(5,±2而)，即|PQ|=2有，

所以SMPQ=|X2A/5X(5-1)=4A/5,故D正確;

故選：AD.

填空題

II.(23-24高;下?上海?期中)已知拋物線C:/=-2py(p>0)經過點(2,-1),則此拋物線的準線方程是

y=1.

【解題思路】將點(2,-1)代入%2=一2「丫伽>0)中，求得p=2,從而得到拋物線的準線方程.

【解答過程】因為拋物線C:%2=一2py(p>0)經過點(2,-1),所以22=-2pX(-1),解得p=2,

所以拋物線方程為/=-4y,故拋物線的焦點在y軸的負半軸，所以拋物線的準線方程為y=1.

故答案為：y=l.

:2-已知拋物線C:*=8x的焦點為F,P點為拋物線上任意一點，M為圓

E:(x-6)2+y2=4上任意一點，則21PMi+IMFI的最小值為.

【解題思路】設存在定點C(t,0),使得點M在圓E上運動時，均有|MC|結合兩點間距離公式，可

確定t的值,從而有21PMi+\MF\=2(|PM|+|MC|)>2\PC\,再利用拋物線的方程，根據(jù)二次函數(shù)的性質,

求得|PC|的最小值，即可得解.

【解答過程】由題意知，焦點F(2,0),

設存在定點C(t,0)，使得點M在圓E上運動時，均有

設M(x,y),貝l](x—6)2+V=4,

由|MC|=||MF|,知-+*=|7(x-2)2+y2,

聯(lián)立兩式，消去y可得(40-8t)x+4/一100=0,

令40—8t=0,貝l|t=5,滿足上式，

所以C(5,0),

所以21PMi+\MF\=21PMi+2\MC\=2(|PM|+|MC|)>2\PC\,

當且僅當P、M、C,三點共線時，等號成立，

設P(a,b),則〃=8a,

所以|PC|=J(a—5尸+匕2—迎2—10a+25+8a=Va2—2a+25

=J(a-1)2+24>2V6,

當且僅當a=1時，等號成立，

所以21PMi+\MF\>2\PC\>4V6,

即21PMi+|MF|的最小值為4n.

解答題

13.(2024高一上.江蘇.專題練