第12講解題技巧專題：平行線中的拐點問題

3???

，思維導(dǎo)圖

同位角相等，兩直線平行.

內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

平行線的判定方法同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.

解題技巧專題：平在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

行線中的拐點問題

兩直線平行，同位角相等；

平行線的性質(zhì)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

?核心考點聚焦

1.平行線中含一個拐點問題

2.平行線中含兩個拐點問題

3.平行線中含多個拐點問題

4.與生活有關(guān)的平行線拐點問題

SB?0

，考點剖析

考點一、平行線中含一個拐點問題

例題：如圖，AB//CD,若NA=40。，ZC=26°,則NE=

【答案】66°

【解析】如圖所示，過點E作竹〃

,/EF//AB,AB//CD,：.AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=NC=26°,

ZAEC=ZAEF+NCEF=66°,

故答案為：66°.

AB

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，AB//EF,則NA,ZC,NE滿足的數(shù)量關(guān)系是

EF

【答案】ZA+ZC+ZE=360°

【解析】如下圖所示，過點C作CCV/AB,

'：CD//AB,.*.ZA+ZACD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）,

AB//EF,CD//AB,：.CD//EF,

：.ZE+ZDCE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

ZA+ZACD+ZE+ZDCE=360°,ZA+ZACE+ZE^360°,

2.已知：AB//EF,在平面內(nèi)任意選取一點C.利用平行線的性質(zhì)，探究NB,ZF,/C滿足的數(shù)量關(guān)系.

(1)將/B,ZC,//之間的數(shù)量關(guān)系填寫到下表:

圖形NB,ZF,/C滿足的數(shù)量關(guān)系

圖⑴

圖（2）

圖（3）

圖（4）

圖（5）

圖⑹

（2）請選擇其中一個圖形說明理由.

【解析】（1）NB,ZC,//之間的數(shù)量關(guān)系如下表:

圖形NB、NF、NC滿足的數(shù)量關(guān)系

圖（1）NB+NF=NC

圖(2)ZF-ZB=ZC

圖⑶ZB-ZF=ZC

圖(4)ZB+ZF+ZC=360°

圖(5)ZB-ZF=ZC

圖⑹ZF-ZB=ZC

（2）圖（1）中NC與NB,N尸之間的數(shù)量關(guān)系是：ZB+ZF=ZC.

圖⑴

理由：如圖(1),過點C作CG〃AB,AZBCG=ZB,

'JAB//EF,：.CG//EF,：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG+ZGCF=ZB+ZF,：.ZB+ZF=ZBCF；

圖(2)中/C與/B,/F之間的數(shù)量關(guān)系是：ZF-ZB=ZC.

圖⑵

理由：如圖（2）,過點。作CG〃A3,:?/BCG=/B,

U：AB//EF,J.CG//EF,：.ZGCF=ZF,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,：.ZF-ZB=ZBCF；

圖（3）中NC與NS//之間的數(shù)量關(guān)系是：ZB-ZF=ZC.

理由：如圖（3）,過點。作CG〃A5,

9

\AB//EF,J.CG//EF,：.ZGCF=ZF9

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,：.ZB-ZF=ZBCF；

圖（4）中NC與NB,N尸之間的數(shù)量關(guān)系是：ZB+ZF+ZC=360°.

圖⑷

理由：如圖（4）,過點。作CG〃AB,???NBCG+N8=180。,

\9AB//EF,：.CG//EF,ZGCF+ZF=180°,

???N3CG+N3+NGCF+NF=1800+180。,

ZB+ZF+ZBCF=360°；

圖（5）中NC與NSN尸之間的數(shù)量關(guān)系是：ZB-ZF=ZC.

--G

圖⑸

理由：如圖（5）,過點C作CG〃A5,AZBCG=ZB,

9：AB//EF,J.CG//EF,：.ZGCF=ZF,

：.ZBCG-ZGCF=ZB-ZF,：.ZB-ZF=ZBCF；

圖（6）中NC與NB,N/之間的數(shù)量關(guān)系是：ZF-ZB=ZC.

B

理由：如圖（6）,過點C作CG〃AB,ZBCG=ZB,

'JAB//EF,J.CG//EF,：.ZGCF=ZF,

：.ZGCF-ZBCG=ZF-ZB,：.ZF-ZB=ZBCF.

考點二、平行線中含兩個拐點問題

例題：如圖所示，AB//CD,BEFD是AB,CD之間的一條折線，貝l]Nl+N2+/3+N4=

【答案】540°

【解析】如圖，過點E作EG〃AB,過點F作FH〃AB.

VAB//CD,EG/7AB,FH//AB,：.AB//EG//FH//CD,

：.Zl+ZBEG=180°,ZGEF+ZEFH=180°,ZHFD+ZZ)=180°,：.Zl+ZBEF+ZEFD+ZD=540°,

BPZ1+Z2+Z3+Z4=54O°.故答案為：540°.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，直線/1〃亂若Nl=40。，Z2比N3大10°,則/4=

【答案】30°

【解析】如圖，過A點作AB〃直線/i,過C點作CD〃直線心，...N5=N1=4O。，Z4=Z8,

?.?直線/1〃初J.AB//CD,.\Z6=Z7,

比/3大10。,.,.Z2-Z3=10°,

,/Z5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,Z.Z5+Z6-Z7-Z8=10°,

.-.40°-Z4=10°,解得N4=30。.故答案為：30°.

2.(1)如圖①，如果求證：ZAPC=ZA+ZC.

(2)如圖②，AB〃CD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫出NA+ZP+NQ+NC=.

(3)如圖③，AB〃CD,若NABP=x,ZBPQ=y,APQC=z,NQC￡>=,貝|加=(用x,y,

z表示).

AZA=ZAPM,G111H

-：PM//AB,AB//CD(已知)，PM//CD,：.ZC=ZCPM,

ZAPC=ZAPM+ZCPM,：.ZAPC=ZA+ZC；

(2)如圖，過點P作尸過點。作。尸〃AB,

,?AB//DC,PE//AB,QF//AB,：.AB//PE//QF//CD,

：.ZA+ZAPE=180°,NEPQ+NPQ尸=180°,ZFQC+ZQCD=1SO°,

ZA+ZAPQ+NPQC+NC=540。，故答案為：540°：

(3)過點P作過點。作。尸〃AB,

,/AB//DC,PE//AB,QF//AB,；.AB//PE//QF//CD,

：.ZB=ZBPE,ZQPE=ZPQF,ZFQC=ZC,

又ZQPE=ZBPQ-ZBPE=y-x,ZPQF=ZPQC-ZFQC=z-m

y-x=z-m,整理得m=x+z—y,故答案為：x+z-y.

考點三、平行線中含多個拐點問題

例題：如圖，直線CD,則N2+N3+/4-N1-/5的度數(shù)為___________'

【答案】360

【解析】過E作EP〃CO,過G作G”〃O,過M作MN〃C￡>,如圖所示:

?：CD//AB,：.EF//GH//MN//AB//CD,

：.Z\=ZBEF,ZGEF+ZEGH=}S00,ZHGM+ZGMN=\SO°,ZNMC=Z5,

?/N2=NBEF+NGEF,Z3=ZEGH+ZHGM,Z4=ZGMN+ZNMC,

：.Z2+Z3+Z4-Z1-Z5

=ZBEF+Z.GEF+NEGH+ZHGM+Z,GMN+ZNMC-Z.BEF-ZNMC

=Z.GEF+ZEGH+ZHGM+Z.GMN=360°.

故答案為：360.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖：

(D如圖1,4〃，2，若，P=65,計算并直接寫出NA+NB的大小.

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將直線PB變成折線尸。8,證明：NA+/8+/Q=/尸+180.

（3汝口圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將直線8。變成折線.請你寫出一條關(guān)于NI,/2,N3,N4,/5

的數(shù)量關(guān)系（無需證明直接寫出）.

【解析】（1）如圖，過尸作尸石〃/一

li//l2,：.PE//l2//k，：.ZA=Z1,ZB=Z2,

：.ZAPB=Z1+Z2=ZA+ZB=65°,SPZA+ZB=65°；

（2）證明：如圖，過點P,。分別作4和4的平行線，分別記為4和乙，

,/：.k//12//13//14.

■：k//k，.*.ZA=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

VZ3//Z4,AZ2=Z3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

???Z4+ZB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

ZA+Z3+Z4+ZJB=Z1+Z2+18O°,又：/l+/2=/AP。，/3+/4=NPQB,

NA+NB+NPQB=NA尸。+180°.

(3)Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.理由如下：

如圖，分別過尸，Q,M作PC〃3QD///),ME///,,

C

DQ

M<^4...............E

B

2

圖3

,/lx//l2,：.PC//QD//ME//IJ/1-2,

：.Z1=ZAPC,ZQPC=ZPQD,ZDQM=ZEMQ,ZEMB=Z5,

.\Z2=Z1+ZPQD,Z4=Z5+ZDQM,

：.Z2+Z4=Z1+ZPQD+Z5+ZDQM=Z1+Z3+Z5,

.\Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

2.猜想說理：

(1)如圖，AB//CD//EF,分別就圖1、圖2、圖3寫出—A,ZC,NAFC的關(guān)系，并任選其中一個圖

形說明理由：

拓展應(yīng)用：

(2)如圖4,若ABCD,則NA+NC+NAFC=度；

(3)在圖5中，若請你用含〃的代數(shù)式表示N1+/2+N3+N4+-+N〃的度數(shù).

【解析】(D圖1中，ZA+ZC=ZAFC,

圖2中，ZA-ZC=ZAFC,

圖3中，ZC-ZA=ZAFC.

選圖1說明理由如下：

AB//CD//EF,：.ZA=ZAFE,NC=/EFC,

：.ZA^ZC^ZAFE+ZEFC,

即NA+/C=/AFC；

(2)如下圖.

過尸作W〃AB,Z.ZA+ZAFH^18O°,

又,：AB〃CD,：.CD//FH,：.ZC+ZC77f=180°,

，ZAJrZAFH+ZC+ZCFH=36O°,即ZA+ZC+ZAFC=360°；

故答案為：360；

(3)如下圖.若AB〃C￡),

過E作EG〃AB,過產(chǎn)作

---AB//CD,：.AB//EG//FH//CD,

：.ZA+ZAEG=180°,NGEF+NEFH=180。,ZHFC+ZC=180°,

：.ZA+ZAEG+ZGEF+ZEFH+ZHFC+ZC=180°x3,

即ZA+ZAEF+ZEFC+ZO=540°；

綜上所述：

當(dāng)平行線AB與CD間沒有折點的時候，ZA+ZC=180°,

當(dāng)A,C之間加一個折點/時，ZA+ZAFC+ZC^2xl80°；

當(dāng)A,C之間加二個折點E,尸時，則NA+NA印+NEFC+Na=3xl80。；

以此類推，如圖5,AtB//AnD,

當(dāng)A,A之間加三個折點A，A，4時，

則/4+4+NA3+N4+^4=4x180°；...

當(dāng)4，4之間加〃一2個折點4,4,…，4-1時，

則幺+N4+N&++Z4=（n-l）xl80o,

即Z1+Z2+Z3+Z4+L+Zn的度數(shù)是（"-1）x180。.

考點四、與生活有關(guān)的平行線拐點問題

例題：某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知AB〃CD,

4BAE=77°,NDCE=131°,則/E的度數(shù)是（）

【答案】B

【解析】如圖，延長DC交AE于尸，過點C作CG〃AE.

A

D

AB//CD,ZBAE=77°,:"CFE=/BAE=77°.

又：CG〃AE,:.ZDCG=/CFE=71。，NE=NGCE.

又'ZDCE=131°,:.NE=NGCE=ZDCE—ZDCG=131°—77°=54°.

故選B.

【變式訓(xùn)練】

1.在兩個景區(qū)之間建立的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均互相平行（AM〃CN）,且每兩個支撐架

【答案】C

,AM//CN,BD//AM//CN,

ZMAB=65°,ZNCB=55°,:.ZABD=ZMAB=65°,ZCBD=ZNCB=55°,

ZABC=ZABD+ZCBD=65°+55°=120°,故選C.

2.七年級四班在項目學(xué)習(xí)中研究生活中的平行關(guān)系，小明研究了家中的護眼燈.如圖是一款長臂折疊乙即

護眼燈示意圖，E尸與桌面MN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管A3恰好與桌面平行時，NDEF=120。,NBCD=110°,

則ZCDE的度數(shù)為.

【答案】100。

【解析】如圖，過點D作DG〃AB,過點E作EH//AB,

?:EFLMN,：.ZMFE=90°.

'：AB//MN,：.AB//DG//EH//MN,

：.ZACD+ZCDG=180°,ZDEH=ZGDE9ZHEF=ZMFE=90°.

?：/DEF=120°,/BCD=110°,

NGDE=Z.DEH=30°,ZCDG=180°-110°=70°,

JZCDE=ZCDG+ZGDE=100°.

故答案為：100。.

?過關(guān)檢測

一、選擇題

1.如圖，AB//DE,BC1CD,設(shè)NAB尸=。，4CDE=/3,則。與夕之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A.a-(3=90B.。+4=90

C.。+4=180D.。與￡沒有數(shù)量關(guān)系

【答案】A

【解析】如圖，過。作CM〃A3,

AB//DE,/.CM//DEf:.ZABC=ZBCM,/MCD=/EDC=0,

BCLCD,/.ZBCM=90°-ZMCD=90°-,/.ZABC=90°-/7,

ZABC+ZABF=1SO°,90。一月+1=180。，a-/3=90-

故選A.

2.如圖，平行于主光軸的光線A3和8經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線仍，。尸的反向延長線交于

主光軸MN上一點尸.若NAB￡=150。，ZCDF=160°,則N￡尸產(chǎn)的度數(shù)是（）

A-

M-

A.20°B.30°C.50°D.60°

【答案】C

【解析】?.?ZABE=150。，ZCDF=160°,ZABP=180°-ZABE=30°,ZCDP=180°-ZCDF=20°,

VAB//CD//MN,：.ZBPN=ZABP=30°,ZDPN=ZCDP=20°,；.NEPF=ZBPN+Z.DPN=50°,故

選C.

二、填空題

3.如圖，AB//CD,ZA=25°,ZCDP=140°,貝l]/P=.

【答案】65°

【解析】如圖，過點尸作PEAB,

VAB//CD,：.PE//AB//CD,：.Z1=ZA=25°,Z2=180°-ZCDP=40°,

AZAPD=Z1+Z2=65°.故答案為：65°.

4.如圖，AB//CD,ZB=ZD=120°,則/E,NF,NG之間滿足的數(shù)量關(guān)系為

【答案】ZF=ZE+ZG-120°

【解析】如圖，過E作EQ〃AB,過尸作RV〃AB,過G作GK〃AB.

'：AB//CD,:.AB〃EQ〃FN〃GK〃CD,

N

；ZB=ZD=120。，/.ZQEB=180°-ZB=60°,ZDGK=180°-ZD=60°,

?：QE〃FN〃GK,：.4QEF=4EFN,ZKGF=ZGFN,

：.ZEFG=AEFN+ZGFN=ZQEF+NKGF,

?；ZQEF+ZKGF=ZBEF-60°+ZDGF-60°=NBEF+ZDGF-120°,

ZEFG=ZBEF+ZDGF-120°.

故答案為：ZEFG=NBEF+ZDGF-120°.

三、解答題

5.已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，請結(jié)合圖形回答下列問題:

(1)如圖①，ABCD,BE〃DF,直接寫出N1與N2的關(guān)系；

(2)如圖②，ABCD,BE/7DF,猜想N1與N2的關(guān)系，并說明理由；

⑶由(1)(2),我們可以得出結(jié)論：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角

(4)應(yīng)用：兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的3倍少60。，求出這兩個角的度數(shù)分別是多少.

【解析】(1)VABCD,BE^DF,/.Z1=Z3,/3=/2,/I=N2,故答案為：Z1=Z2；

(2)Zl+Z2=180°,

證明：AB//CD,二Nl=13,

BE\DF,.-.Z2+Z3=180°,/.Z1+Z2=180°；

(3)根據(jù)(1)、(2)的結(jié)果可知：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補,

故答案為：相等或互補；

(4)①當(dāng)兩角相等時，設(shè)一個角為x,另一個角為(3%-60。)，

.?.x=3x-60°,,,.x=30°,.?.3x-60°=30°.

②當(dāng)兩角互補時，設(shè)一個角為x,另一個角為(3x-60。)，

.-.x+(3x-60°)=180°,x=60°,.-.3%-60°=120°.

綜上所述：這兩個角的度數(shù)分別為30。，30。，或60。，120°.

6.探究題

(1)如下圖，AB//CD,ZPAB^130°,/PCD=120。.求/APC度數(shù);

②當(dāng)點尸在A,B兩點外側(cè)運動時（點尸與點A,B,。三點不重合），請寫出/CPD,Na,4之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

備用圖

【解析】（1）如圖1,過尸作

---AB//CD,：.PE//AB//CD,

；/R43=130°,/PCD=120°,

ZAPE=180°-ZPAB=50°,/CPE=180°-NPCD=60°,

ZAPC=50°+60°=110。；

(2)@^CPD=Aa+Z/3.

如圖2,過尸作尸交CD于E,

AD//BC,

：.AD//PE//BC,

Za=ZDPE,Z/?=ZCPE,

：.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Ntz+N6;

故答案為：2CPD—5；

②當(dāng)P在B4延長線上時，ZCPD=Z^-Za；

理由：如圖3,過P作尸￡〃&￡＞交CD于E,

?；AD//BC,：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,2/3=4CPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=-Nc；

當(dāng)P在2。之間時，ZCPD=Za-Z/3.

理由：如圖4,過P作PE〃AZ)交。于E,

?；AD//BC,

：.AD//PE//BC,

:./a=NDPE,N￡=NCPE,

ZCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N4.

.-.ZCPD=Z?-Z/?.

綜上所述，NCPD,Za,"之間的數(shù)量關(guān)系為NCP￡>=N，-Na或NCP￡?=Na—N〃.

7.已知A3CD.

［知識回顧］(1)如圖1,點E在兩平行線之間，試說明：ZBED^ZABE+ZEDC.

［知識應(yīng)用］(2)如圖2,BP,OP分別平分NABE,/EDC,利用。)中的結(jié)論，試說明：NBPD=g/BED；

(3)如圖2,直接寫出13PD,ABED,NPBE,ZPDE四個角之間的數(shù)量關(guān)系.

［知識拓展］(4)如圖3,若ZBEF=145°,ZEFD=135°,BP,DP分別平分—ABE,ZCDF,那么=

。；(只要直接填上正確結(jié)論即可)

(5)如圖4,若ZBEF,NEFG,NFGD三個角的和是"，BP,OP分別平分/CDG,那么=

.(用含”的式子表示)

【解析】⑴如圖1，過點E作H偵〃AB,

:.ZABE=NBEM,

AB//CD,：CDEM,：.ZCDE^ZDEM,

ZBED=ZBEM+ADEM,：.ZBED=ZABE+ZCDE；

(2)由(1)得：ZBED=ZABE+Z.CDE,ZBPD=ZABP+Z.CDP,

BP,。尸分別平分NABE,ZEDC,

ZABP=-/ABE,ZCDP=-NCDE,

22

...ZBPD=ZABP+/CDP

=-ZABE+-ZCDE

22

=g(ZABE+NCDE)

=-ZBED,

2

即NBPD=g/BED；

(3)ZBPD+ZPBE+NPDE=ABED,

理由：BP,0P分別平分4BE,/EDC,

ZEBP=-/ABE,ZEDP=-ZCDE,

22

NPBE+ZPDE=-ZABE+-ZCDE

22

=^(ZABE+ZCDE)

=-ZBED,

2

由(2)得：NBPD=g/BED,

ZBPD+ZPBE+ZPDE=-/BED+-ABED=/BED,

22

即ZBPD+ZPBE+ZPDE=ABED；

（4）如圖1,過點E作EM〃他，過點/作FNAB,

圖1

AB//CD,ABEMFNCD,

EM//FN,:.ZMEF+ZNFE=180。,

ZfiEF=145°,ZEFD=135°,

NBEM+NDFN=/BEF+ZEFD-(NMEF+ZNFE)=100°,

ABEM,FNCD,：,ZABE=ZBEM,ZCDF=ZDFN,ZABE+ZCDF=100°,

BP,DP分別平分NABE,ZCDF,

/ABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDF,

22

...ZBPD=ZABP+/CDP

=-Z