第02講塞的乘方與積的乘方

?思維導(dǎo)圖

幕的乘方法則

幕的乘方幕的乘方逆用

比較大小

鬲的乘方與積的乘方

積的乘方法則

積的乘方

積的乘方逆用

?核心考點聚焦

i.累的乘方運算

2.哥的乘方的逆用

3.積的乘方運算

4.積的乘方的逆用

5.利用幕的乘方的逆用比較大小

一、塞的乘方法則：

（廢yua?"（其中人〃都是正整數(shù)），即幕的乘方，底數(shù)不變,指數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：1np（a/0,加,〃，夕均為正整數(shù)）；

⑵逆用公式：叫"，根據(jù)題目的需要，可以逆用募的乘方運算，能將某些幕變形,

從而解決問題.

二、積的乘方法則：

（ab）n^an-bn（其中“是正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相

乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（。次）"=屋力"?。"（"為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，

計算更簡便.如：[g]X210=QX2^|=1.

難｝點4強(qiáng)N化

1.累的乘方公式的逆用：/\Yi=/(屋\m)；

2.積的乘方公式的逆用：anb"=(ab)n.

S@@?

，考點剖析

考點一、塞的乘方運算

例題1：計算：

⑴(1。2)\⑵-(/)"；⑶(打:3;

(4)[(-x)[-；(5)(-a)2(02)；(6)%.%4一元2%3.

【解析】(1)(IO2)3=IO2X3=IO6；

(2)_(〃)=_Q2X4=_Q8；

(3)(X3)5.X3=X15.X3=X18；

(4)[(-x)2]=(爐了=%6；

(5)『(〃2)2=〃2〃4="6；

(6)x-x4—x2x3=x5—x5=0.

【變式訓(xùn)練】

1.計算：X2-x3+(-x)5-(x2)3.

【解析】九2.丁+(f)5一①)3=l5T5y6=_x6.

2.計算：+(々2)3+(/)2.

【解析】〃././+(〃2)3+(/)2=。6+々6+〃6=3〃6.

考點二、幕的乘方的逆用

例題2：已知〃"=—3,a，=3.求：

⑴優(yōu)+＞的值;

(2)/x的值;

(3)03，+2〉的值.

【解析】(1)ax+y=ax-ay=-3x3=-9.

(2)/，=(優(yōu)了=(_3丫=-27.

(3).a2y=(優(yōu)丫,(〃『二(_3)3,32=_27*9=-243.

【變式訓(xùn)練】

1.⑴若i(r=3,10V=2,求代數(shù)式1。22的值.

(2)已知3加+2〃-6=0,求8"、4"的值.

【解析】(1)因為10、=3,10，=2,

所以1022=(10,丫x(10〉J

=32X23

=72；

(2)因為M+2"-6=0,

所以3加+2"=6,

所以8m.4"=23m.*"=23M+2M=26=64.

2.解答下列問題.

(1)已知2*=。,2,=b,求2內(nèi)的值;

(2)已知3'"=5,3"=2,求33皿+2"+1的值.

【解析】(1)2*+，=2**2，=。6；

(2)33m+2n+l=33mx32"x3=(3ra)3x(3")2x3,

將3"=5,3"=2代入，得原式=53x22x3=1500.

考點三、積的乘方運算

例題3：計算.

⑴(一5ab)\(2)-(3x2y)2；

⑶1V加,3)；(4)(-xm/m)2.

【解析】(1)(一5必y=(_5)%363=_i25a3b3；

(2)-(3x2y)2=-32x4y2=-9x4j2；

(3),卜2cs[JT0[=]總]的9=一級a9；

【變式訓(xùn)練】

L計算：a-a4-C—a)3+(-2a4)2.

【解析】a-a4-(.—a)3+(—2a4)2

—“s,(—+4a'

=_c/5.a+4/

=—a8+4a8

=3a*.

2.計算.

2623

(l)(-2xy)+(-3x/)；⑵/.丁?(一尤)7+5(X4)4-(/)2.

【解析】(1)(-2步+(-3x%")3=64xy-27xy=37x?

(2)xk&T)7+5(X，)J，)2—6+5/76=3^.

考點四、積的乘方的逆用

_3

--5■

【變式訓(xùn)練】

1.計算:2100x8101

【解析】2100X8101

=2100X[(2)3]101X[(1)2]200

2

=23X2400X(1)400

=23X(2X1)400

=8x1400

=8x1

=8.

考點五、利用募的乘方的逆用比較大小

例題5：閱讀下列材料.

若“3=2方=3,則06的大小關(guān)系是a.6(填“〈”或

因為，=.)5=25=32,y=95)3=33=27,32>27,所以aj*,所以

解答下列問題：

(1)上述求解過程中，逆用了哪一條幕的運算性質(zhì)()

A.同底數(shù)累的乘法B.同底數(shù)幕的除法C.累的乘方D.積的乘方

(2)已知Xs=2,y6=3,試比較x與y的大小關(guān)系.

(3)已知a=2",6=3g,c=5",比較a,b,c的大小關(guān)系.

【解析】(1)上述求解過程中，逆用了幕的乘方運算性質(zhì).故選C.

(2)?°=(?)6=26=64,J。=“6)5=35=243,64<243,

(3)a=244=(24)"=1611,b=333=(33)11=2711,c=522=(52)11=2511,且16<25<27,

:.a<c<b.

【變式訓(xùn)練】

1.閱讀下列材料：若。3=2,戶=3,比較m。的大小.

因為"5=(")5=25=32,引5=伊丫=33=27,32>27,所以渣>沙，所以

依照上述方法解答下列問題：已知犬=2,/=3,試比較尤與y的大小.

【解析】因為尤4=2,/=3,

所以x'2=(x’J=2,=8,/?二卜')=34=81,

因為8<81,所以彳<九

A過關(guān)檢測

一、選擇題

1.計算(2/丫的結(jié)果是()

A.8x6B.6尤6C.2x6D.2x5

【答案】A

【解析】(2/丫=8f，故選A.

2.下列運算不正確的是()

A.a2-a3=a5B.(—lab)1=4a2b2C.=abD.a3-a3=a9

【答案】D

【解析】A、/.〃=4+3=片，選項正確，符合題意；

B、(-2ab)2=4a2b2,選項正確，符合題意；

C、選項正確，符合題意；

D、a3-a3=a3+3=a6^a9,選項錯誤，符合題意.

故選D.

3.已知2%+3〃=5,則4"8的值為()

A.16B.25C.32D.64

【答案】C

【解析】所以2〃z+3“=5,所以4"'8=(2?'.QB、2""?2'"=223=25=32,故選C.

4.若代數(shù)式3(如2+尤一?一2(3/-3加+/)的值與X的取值無關(guān)，則加2。23"2。24的值為()

A.2B.—2C.-D.—

22

【答案】c

【解析】原式=3m%2+3x-3y-6x2+6nx-2y2=(3m-6)x2+(3+6n)x-3y-2y2.

代數(shù)式3(g2+兀一〉)一2(3%2—3〃％+y2)的值與x的取值無關(guān)，

/.3m-6=0,3+6〃=0.

1

:.m=2,n=—.

2

...祇2023〃2024

2.

故選C.

5.下面的計算正確的有幾個()

(1)b3-b3=2b3；(2)尤4./=??；(3)(45)2=臚；

(4)(/)?/=/；(5)(加丫=加；⑹(一2ay=T".

A.0B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】(1)Z?3.Z?3=b6,不正確;

(2)x4-x4=x8,正確;

（3）（行=建，正確;

（4）（a3）2-a4=a6.a4=a,0,不正確；

（5）（加丫=°%6,不正確；

（6）（-2a）2=4a2,不正確.

故選B.

6.如果x"=2,y"=5,那么3）"的值是（）

A.100B,1000C.150D.40

【答案】B

【解析】原式=x"?y30=（x”y?（y,）3=23x53=8xi25=lOO。，故選B.

二、填空題

7.計算,3丫以2=.

【答案】a"

【解析】（/*/=，?/=/，故答案為：?17.

8.若/"=25,b2n=16）則（ab）"=.

【答案】+20

【解析】因為/=25,*=16,所以/.從“=25x16,（H）2"=（5x4）2,［（?&）"J=202,

所以（成）"=±20,故答案為：±20.

9.已知。是正整數(shù)，比較大?。?3"—32".（填

【答案】<

［解析］23"=（23）"=8",32°=（32）°=9%

8<9,。為正整數(shù)，.123"<3〃.故答案為：<.

10.已知3x+4y-5=0,貝!］27-81'=.

【答案】243

【解析】3x+4y-5=0,；.3x+4y=5,

27X-8F=（33）'-（34）V=33*?3"=33l+4y,27x-8P=35=243.

故答案為：243.

11.已知3"=a,3"=6（m,w為正整數(shù)），則3加+2"=（用含a,b的式子表示）.

【答案】a3b2

【解析】因為3"=a,3"=b,所以332=33*32'=3丫?(3"『=九2；故答案為：a3b2

12.已知多項式4a3一20+3的值是7,貝ij多項式2(—一(一。)+2025的值是.

【答案】2023

【解析】因為4a3-2a+3=7,所以2/-°=2,

所以2(-a)3一(一。)+2025=-2a3+a+2025=-(2a3-a)+2025=-2+2025=2023,故答案為:2023.

三、計算題

13.計算.

23326

⑴/?一+(尤3丫_4尤6.(2)(-2a)-(-3a)+a.

【解析】⑴%2-%4+(X3)2-4X6

=%6+_4%6

=—2x6;

(2)(-2a2)3-(-3a3)2+a6

=-Sa6—9a6+a6

=-16a6.

14.計算：

(1)(2必)3-尤2,尤4；

⑵(一屋只(_"y-(//)“；

(3)(—3/)2.a3+(-4a)2.o'+(—5/)3；

(4)(一#°x(-10產(chǎn)+,嚴(yán)3*(一3*

【解析】(1)原式=8八%6=7也

in2n3n2n3,2n

(2)原式=-ab-ab=-2a'b;

(3)原式=9<//+16/。7一125。9

=94+16/-125/

=—100/；

10002022

(4)原式=(-工產(chǎn)x(-1O)x(-10)+(-)x-x(-竺嚴(yán)2

1015154

-10002022.

1154

-----x(-10)x(-10)+-----x一

10415I4

4

=-10+—

15

15.計算：

(l)x2-x2-x+x4?%;

(3)(-/)+(-3/)；

(4)3(〃2了.(々3)3_(_Q)(Q4)4.

【解析】(1)x2-x2-%+x4-x

=x5+%5

=2x5.

(2)(〃5)2.(〃2)2_(")4.⑺2

=al0-a4-as-a6

="4-"4

=0.

(3)(-X2)3+(-3X3)2

=-X6+9%6

=8x6.

(4)3(〃2)4.(〃3)3_(_Q)(叫4

=3a8?/+〃?*

=3/+47

=4/?

16.計算：

(2)2(f).打；

(3)〃3./.Q+(〃2)+2(/);

(4)凸2.(_孫3)2；

⑸2(d)2.%3_(3%3)3+(5x)2.17；

⑹(a)，.(_〃2)3+21(_〃)2].(_々5)2.

【解析】(1)原式=產(chǎn).。=%14；

(2)原式=2/〃—

(3)原式=。8+[8+2Q8=4a8；

(4)原式=.尤2y6=尤3+2,2+6=彳5,8；

(5)原式=2底.x5_275+25/，—=2%9-275+25x9=0;

(6)原式="2.(-/)+2〃.〃。=_ais+2a”="8.

17.已知2"=a,2"=b,3"，=c,請用含mb,c的式子表示下列代數(shù)式:

(1)2'"";

nl

(2)42+3”.

(3)36'".

【解析】(1)2"'=a,2"=6,

2m+n^2m-2"=ab-,

(2)2m=a,T=b,

42m+3n=(22)2"+3n=24m-26"=(2m)4-(2")6=a4b6；

(3),3"'=c,2m=a,

:.36m=(6?『=(6"'丫=