第八章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程INNOVATIVEDESIGN1.理解確定圓的幾何要素,探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時對點(diǎn)精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.圓的定義和圓的方程定義圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于______的點(diǎn)的集合方程標(biāo)準(zhǔn)(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心C(a,b)半徑為r一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)充要條件:______________圓心坐標(biāo):____________半徑r=定長D2+E2-4F>0

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關(guān)系:(1)|MC|>r?M在______,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圓外;(2)|MC|=r?M在______,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圓上;(3)|MC|<r?M在______,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在圓內(nèi).圓外圓上圓內(nèi)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.幾種特殊位置的圓的方程

標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法圓心在原點(diǎn)x2+y2=r2x2+y2-r2=0過原點(diǎn)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圓心在x軸上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圓心在y軸上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0與x軸相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+D2=0與y軸相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+E2=0

×

√×√

2.(北師大選修一P44T2原題)已知圓C:2x2+2y2+4x-2y-1=0,則圓心的坐標(biāo)為

,半徑為

.

[1,2)∪(2,+∞)3.(人教B選修一P110T4改編)若坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓x2+y2-ay+a-1=0的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(x-5)2+(y-6)2=104.(人教A選修一P85T3改編)已知兩點(diǎn)A(4,9)和B(6,3),則以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.

考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一

圓的方程

D(x-1)2+(y+1)2=5(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

.

思維建模求圓的方程時,應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時,常用到的圓的三個性質(zhì):①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時,切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線;(2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,用待定系數(shù)法求系數(shù).訓(xùn)練1

(1)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且圓心在直線y=-2x+3上運(yùn)動,當(dāng)半徑最小時,圓的方程為

.

(2)(2022·全國乙卷)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為___________________________________________________________________________________________________.

考點(diǎn)二

與圓有關(guān)的軌跡問題

思維建模求與圓有關(guān)的軌跡問題時,根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法,找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

C(2)若長為10的線段的兩個端點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸上滑動,則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為

.

x2+y2=25

考點(diǎn)三

與圓有關(guān)的最值問題

角度2

利用對稱性求最值例4

已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點(diǎn),P為x軸上的動點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為

.

12

思維建模

B

C

拓展視野

阿波羅尼斯圓1.如圖,點(diǎn)A,B為兩定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足|PA|=λ|PB|.當(dāng)λ=1時,動點(diǎn)P的軌跡為直線;當(dāng)λ>0且λ≠1時,動點(diǎn)P的軌跡為圓,后世稱之為阿波羅尼斯圓.2.阿波羅尼斯圓問題受到高考命題者的青睞,此類題目題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息,而是隱含在題目中,要通過分析、轉(zhuǎn)化發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程),從而最終利用圓的知識來求解.

ABD

課時對點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.下列各點(diǎn)中,在圓(x-1)2+(y+2)2=25的內(nèi)部的是(

) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,2)

解析

由(0-1)2+(2+2)2<25知(0,2)在圓內(nèi);

由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在圓外;

由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圓上;

由(4-1)2+(2+2)2=25知(4,2)在圓上.A

A

D4.若方程x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞)

解析

由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,

得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,

由該曲線表示圓,可知5a2+10a>0,

解得a>0或a<-2.B

B

B

C

B

ABD

AB

AD

三、填空題12.(2023·上海卷)已知圓C:x2+y2-4y-m=0的面積為π,則m=

.

-3

13.已知等腰△ABC,其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),底邊的一個端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1),則另一個端點(diǎn)C的軌跡方程為

.

x2+y2=2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(-1,-1))解析

設(shè)C(x,y),根據(jù)在等腰△ABC中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考慮到A,B,C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形,因此點(diǎn)C不能為(1,1)和(-1,-1).所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2=2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(-1,-1)).14.(2025·濰坊質(zhì)檢)已知直線l:3x+4y+m=0,圓C:x2+y2-4x+2=0,則圓C的半徑r=

;若在圓C上存在兩點(diǎn)A,B,在直線l上存在一點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

[-16,4]

16.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn),經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C. (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

解

令x=0,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0,b),

令f(x)=x2+2x+b=0,

由題意得b≠0,且Δ=4-4b>0,解得b<1,且b≠0.

即實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|b<1,且b≠0}.(2)請問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)與b無關(guān)?請證明你的結(jié)論.解

圓C經(jīng)過定點(diǎn)且坐標(biāo)與b無關(guān).證明如下:設(shè)所求圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)即為圓x2+y2+Dx