第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年海南省創(chuàng)新中學(xué)協(xié)作校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會(huì)，則不同的選法為(

)A.12種 B.7種 C.4種 D.3種2.已知函數(shù)f(x)=x+lnx，則f′(1e)的值為A.1?e B.?1 C.1+e D.13.在等差數(shù)列{an}中，a5=8，A.1 B.2 C.3 D.44.函數(shù)f(x)=ex?ex的最小值為A.?e B.?1 C.0 D.15.現(xiàn)要用4種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色.已知這4個(gè)區(qū)縣的連接關(guān)系如下：區(qū)A與區(qū)B、區(qū)C相鄰；區(qū)B與區(qū)A、區(qū)D相鄰；區(qū)C與區(qū)A、區(qū)D相鄰；區(qū)D與區(qū)B、區(qū)C相鄰.則共有(????)種不同的著色方法．A.72 B.84 C.96 D.1806.甲乙兩人參加一項(xiàng)戶外挑戰(zhàn)賽，該挑戰(zhàn)賽設(shè)置了多道關(guān)卡，已知兩人是否通過(guò)某道關(guān)卡是相互獨(dú)立的，且兩人中至少有一人通過(guò)當(dāng)前關(guān)卡，才有資格同時(shí)進(jìn)入下一關(guān)挑戰(zhàn)，否則挑戰(zhàn)結(jié)束.已知在第一關(guān)中甲乙兩人通過(guò)的概率分別為35，310，若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過(guò)的概率為(

)A.712 B.79 C.237.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)?f(x)=2x?1，且f(0)=1，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=1A.1?1n B.2?1n8.定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，已知xf′(x)?f(x)=x3且f(1)=0，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減

C.f(x)在(0,+∞)上有極小值 D.f(x)在(0,+∞)上有極大值二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.(x+2xA.展開(kāi)式共7項(xiàng) B.含x項(xiàng)的系數(shù)為480

C.無(wú)常數(shù)項(xiàng) D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為12810.設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x?2xA.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)

C.f(x)的最小值為1 D.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>011.設(shè)函數(shù)f(x)=3x+22x+3，數(shù)列{xn}滿足x1A.x2=1312 B.f(xn)+f(1x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=i)=4?i6(i=1,2,3)，則E(ξ)=______；D(ξ)=13.已知曲線y=ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線與曲線y=x2+kx相切，則常數(shù)14.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，由{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ab1,ab2,四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的公差為?2，{bn}是等比數(shù)列，a2b2=2a2b1=2b3=4．16.(本小題15分)

為普及學(xué)生對(duì)AI工具的使用，某校開(kāi)展了關(guān)于AI運(yùn)用知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，經(jīng)過(guò)多輪比拼，甲乙兩人進(jìn)入決賽，在決賽中有兩道題：一道為搶答題，且只能被一人搶到，甲、乙兩人搶到的概率均為12；另一道為必答題，甲、乙兩人都要回答，已知甲能正確回答每道題的概率均為23，乙能正確回答每道題的概率均為34，且甲、乙兩人各題是否答對(duì)互不影響．

(1)求搶答題被回答正確的概率；

(2)記正確回答必答題的人數(shù)為X，求X17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=a(x+1)ex．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若方程f(x)+x218.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+3?2n+1．

(1)證明：數(shù)列{an2n}為等差數(shù)列；

(2)設(shè)bn=(n+1)a19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f(x)+x(x+1)f′(x)>0對(duì)x∈(12,+∞)恒成立，則稱f(x)為T(mén)函數(shù)．

(1)試問(wèn)g(x)=lnx是否為T(mén)函數(shù)？說(shuō)明你的理由．

(2)若f(x)=x2?ax為T(mén)函數(shù)，求a的取值范圍．

(3)若f(x)為T(mén)答案解析1.【答案】B

【解析】解：依題意，從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會(huì)，

不同的選法為4+3=7．

故選：B．

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求得正確答案．

本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閒′(x)=1+1x，故f′(1e)=1+e．

故選：C．

求出f′(x)3.【答案】B

【解析】解：等差數(shù)列{an}中，a5=8，2a3=a2+6，

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1=2，公差為d，

∵a5=8，24.【答案】C

【解析】解：函數(shù)f(x)=ex?ex，則f′(x)=ex?e，

令f′(x)<0，則x<1，令f′(x)>0，則x>1，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(?∞,1)，單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞)，

所以f(x)min=f(1)=05.【答案】B

【解析】解：由題意用4種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，

可分兩種情況：

①A和D顏色相同，有C41種，B和C需選擇與A或D不同的顏色，各有C31種，則有C41?C31?C31=36種；

②A和D顏色不同，A有C41種，D有C31種(不同于A)，B和C需選擇與A和D均不同的顏色，各有C21種選擇，

則有C6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)第一關(guān)中甲乙兩人通過(guò)為事件A、B，兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)即兩人通過(guò)第一關(guān)為事件E，

則P(A)=35，P(B)=310，

P(E)=1?P(A?B?)=1?(1?35)×(1?310)=1825，

P(AE)=P(AB+AB?)=35×7.【答案】D

【解析】解：f(x+1)?f(x)=2x?1，且f(0)=1，則f(1)=0，

則f(n)=f(n)?f(n?1)+f(n?1)?f(n?2)+?+f(2)?f(1)+f(1)

=1+3+?+(2n?5)+(2n?3)=(n?1)(1+2n?3)2=(n?1)2，

顯然n=1時(shí)，符合．

則an=1n(n?1)=1n?1?1n，n≥2，又a1=1，

Sn=1+1?128.【答案】C

【解析】解：令g(x)=f(x)x，則g′(x)=xf′(x)?f(x)x2=x，即g(x)=12x2+C，C為常數(shù)，

又g(1)=f(1)=0，則C+12=0，即C=?12，f(x)x=12x2?12，

所以f(x)=12x3?12x，則f′(x)=32x29.【答案】CD

【解析】解：由于二項(xiàng)式(x+2x)7的展開(kāi)式滿足Tr+1=C7r?2r?x7?3r2(r=0,1,2,3,4,5,6,7)，

對(duì)于A：展開(kāi)式一共有8項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式含x項(xiàng)的系數(shù)為r=4時(shí)，C74?24=560，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由于r為整數(shù)，故無(wú)論r為何值，x的指數(shù)不可能為0，故C10.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)閒(?x)=e?x?ex+2x=?(ex?e?x?2x)=?f(x)，

所以f(x)是奇函數(shù)，故A正確；

因?yàn)閒′(x)=ex+e?x?2≥2ex?e?x?2=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)“=”成立，

所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故B正確；

因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以f(x)無(wú)最小值，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且在R11.【答案】ACD

【解析】解：由xn+1=f(xn)=3xn+22xn+3，x1=32，則x2=3x1+22x1+3=3×32+22×32+3=1312，故A正確；

由f(xn)+f(1xn)=3xn+22xn+3+3+2xn2+3xn=(3xn+2)2+(212.【答案】53

5【解析】解：由題干可知：P(ξ=i)=4?i6(i=1,2,3)，

所以可以求得隨機(jī)變量ξ各個(gè)取值時(shí)的概率：

P(ξ=1)=12,P(ξ=2)=13,P(ξ=3)=16，

將數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(ξ)=1×1213.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閥=ln(x+1)，所以y′=1x+1，

所以當(dāng)x=0時(shí)，y=0，y′=1，

所以曲線y=ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x，

聯(lián)立y=x2+kxy=x，可得x2+(k?1)x=0，

由題意得Δ=(k?1)2=0，解得k=1．

14.【答案】120

【解析】解：由b1=1，b2=3，b3=7，可得a1，a3，a7為等比數(shù)列，

故a32=a1?a7，

又等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，

即(a1+2d)2=a1(a1+6d)，

化簡(jiǎn)得a1=2d，

則an=a1+(n?1)d=(n+1)d，

設(shè)等比數(shù)列ab1,ab2,ab3,?,abn的公比為q，

則15.【答案】解：(1)等差數(shù)列{an}的公差d為?2，{bn}是等比數(shù)列，a2b2=2a2b1=2b3=4，

設(shè){bn}的公比為q，

所以q=b2b1=2，故bn=b3qn?3=2n?2．【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式計(jì)算即可求得結(jié)果；

(2)利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，代入計(jì)算可得結(jié)果．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.【答案】1724；

分布列見(jiàn)解析，期望為1712【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)“甲搶到搶答題“為事件M，“搶答題被回答正確“為事件N，

甲、乙兩人搶到的概率均為12，則P(M)=P(M?)=12，

P(N|M)=23，P(N|M?)=34，

故P(N)=P(M)P(N|M)+P(M?)P(N|M?)=1724；

所以搶答題被回答正確的概率為1724．X012P151期望E(X)=0×112+1×512+2×12=1712．

(1)設(shè)出合理事件，再利用全概率公式即可得到答案；

(2)17.【答案】函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

[0,+∞)．

【解析】解：(1)已知函數(shù)f(x)=a(x+1)ex．

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+1ex，f′(x)=?xex，

令f′(x)=0，解得x=0，

當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減．

(2)方程f(x)+x2=a(x+1)ex+x2=0，

當(dāng)x=?1時(shí)，方程左邊為0+1=1≠0，

所以x≠?1；

當(dāng)x≠?1時(shí)，方程化為a=?x2exx+1，

令g(x)=?x2exx+1，

則g′(x)=?xex(x2+2x+2)(x+1)2，

當(dāng)x<0且x≠?1時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(?∞,?1)和(?1,0)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

x→?∞時(shí)，g(x)→0；x→?1?時(shí)，g(x)→+∞；x→?1+時(shí)，g(x)→?∞；g(0)=0；x→+∞時(shí)，g(x)→?∞，

當(dāng)a>0時(shí)，y=a與g(x)在(?∞,?1)上有一個(gè)交點(diǎn)，方程有一個(gè)實(shí)根，

當(dāng)a=0時(shí)，x=0時(shí)方程x2=0的唯一實(shí)根；18.【答案】證明見(jiàn)解析；

(i)Sn=n?2【解析】解：(1)證明：因?yàn)閍n+1=2an+3?2n+1，即an+12n+1?an2n=3，

所以數(shù)列{an2n}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．

(2)(i)由(1)知an2n=1+(n?1)?3=3n?2，

所以an=(3n?2)?2n，bn=(n+1)an3n?2=(n+1)?2n，

所以Sn=2?21+3?22+4?23+?+n?2n?1+(n+1)?2n，

2Sn=2?22+3?23+4?19.【答案】是，理由見(jiàn)解析；

(?∞,45]；

【解析】解：(1)g(x)=lnx是T函數(shù)，理由如下，

令函數(shù)?(x)=g(x)+x(x+1)g′(x)=lnx+x(x+1)?1x=x+lnx+1，x>12，

由于函數(shù)y=x+1、函數(shù)y=lnx在區(qū)間(12,+∞)上為增函數(shù)，因此?(x)在區(qū)間(12,+∞)上為增函數(shù)，

因此?(x)>?(12)=12+ln12+1=32?ln2>0，

因此g(x)=lnx是T函數(shù)．

(2)由于函數(shù)f(x)=x2?ax，那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x?a，

函數(shù)p(x)=f(x)+x(x+1)f′(x)=x2?ax+x(x+1)(2x?a)=x[2x2+(3?a)x?2