東城區(qū)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)2025.1

本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作

答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

（1）已知集合A{x|x|2}，B{xx10}，則AB

（A）{xx2}（B）{x2x2}

（C）{x1x2}（D）{x2x1}

（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z(1i)i，則z的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

（A）(1,1)（B）(1,1)

（C）(1,1)（D）(1,1)

（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，它的終邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與

6

x軸的非負(fù)半軸重合，則cos

33

（A）（B）

22

11

（C）（D）

22

（4）近年來(lái)，人工智能快速發(fā)展，AI算法是人工智能的核心技術(shù)之一.現(xiàn)有一臺(tái)計(jì)算機(jī)平均

每秒可進(jìn)行1014次運(yùn)算，在這臺(tái)計(jì)算機(jī)上運(yùn)行某個(gè)AI算法來(lái)生成一個(gè)文案需要250次運(yùn)算，

則生成這個(gè)文案需要的時(shí)間約為（本題取lg20.30）

（A）1秒（B）10秒

（C）20秒（D）50秒

（5）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，使有最小值的一組和可以為

{an}qnSnSna1q

（），（），

Aa10q1Ba101q0

（），（），

Ca100q1Da10q1

（6）已知平面向量a，b，c為兩兩不共線的單位向量，則“(ab)c=0”是“a+b與c共線”

的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

（7）下列函數(shù)中，使yf(x1)f(x1)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

1

（A）f(x)（B）f(x)x2

x

（C）f(x)ex（D）f(x)cosx

（8）在平面直角坐標(biāo)系中，整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn).已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)(2,2)，

(2,6)，(4,2)三點(diǎn)，則該圓經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)共有

（A）6個(gè)（B）8個(gè)

（C）10個(gè)（D）12個(gè)

（9）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體PABC中，以P為頂點(diǎn)

的圓錐在正四面體的內(nèi)部（含表面），則該圓錐體積的最

大值為

（A）26（B）36

（C）23（D）33

（10）已知f(x)sinπx,g(x)x22axa21.用max{a,b}表示a,b中的最大值，設(shè)

M(x)max{f(x),g(x)}.若函數(shù)M(x)在區(qū)間(0,2)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為

35

（A）(1,3)（B）(,)

22

5

（C）(2,3)（D）(,3)

2

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題5小題，每小題5分，共25分．

1

（11）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

x3

1

（12）在(x2)5的展開(kāi)式中，x4的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

x

（13）寫出一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上且離心率為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.

（14）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列

{an}中，對(duì)于k1,2,3,，數(shù)列a2k1，a2k，a2k1是公差為dk的等差數(shù)列，且{dk}

也是等差數(shù)列.已知a10，a34，a724，則a5_________；{an}的前9項(xiàng)和等于

_______.

（15）已知非空數(shù)集I,P滿足：

（i）xI，有xP；

（ii）x，yI，有xyI；

（iii）xI且yP，有xyI，

則稱I是P的“理想子集”.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若I{2k|kZ},則I是Z的“理想子集”；

②若I是R的“理想子集”，且存在非零實(shí)數(shù)aI，則IR；

③若，是的理想子集，則也是的理想子集；

I1I2P“”I1I2P“”

④若，是的理想子集，則也是的理想子集

I1I2P“”I1I2P“”.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

（16）（本小題13分）

1

在△ABC中，C為鈍角，acosBcb．

2

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a7，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC

存在，求c．

13

條件①：cosB；

14

條件②：bc13；

條件③：△ABC的面積為63.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件

分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

（17）（本小題14分）

如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD與底面ABCD垂直，△PAD為正三角形，底

面ABCD為菱形，BAD60，O，E分別為棱AD，PB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：OE平面PDC；

（Ⅱ）求直線AD與平面DEC所成角的正弦值．

（18）（本小題13分）

某甜品店打算推出三款新品，在前期市場(chǎng)調(diào)研時(shí)，將

顧客按照年齡分為青少年組、中年組和老年組.隨機(jī)調(diào)查了

200名顧客對(duì)這三款新品的購(gòu)買意愿，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下（單位：

人）：

青少年組中年組老年組

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303060403010

第三款501080201030

假設(shè)顧客購(gòu)買的意愿相互獨(dú)立.用頻率來(lái)估計(jì)概率.

（Ⅰ）從顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該名顧客愿意購(gòu)買第一款新品的概率；

（Ⅱ）從三個(gè)不同年齡組的顧客中各隨機(jī)抽取1人，記X為這3人中愿意購(gòu)買第二款新品的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

（Ⅲ）用“i1(i1,2,3)”表示顧客愿意購(gòu)買第i款新品，“i0(i1,2,3)”表示顧客不愿

意購(gòu)買第i款新品．直接寫出方差D1，D2，D3的大小關(guān)系．

（19）（本小題15分）

ln(x1)

設(shè)函數(shù)f(x)．

ex

（Ⅰ）求曲線yf(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

（Ⅱ）求f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

f(x)

（Ⅲ）若x0時(shí)，k，求k的取值范圍．

x

（20）（本小題15分）

x2y2

已知橢圓E:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0)，且焦距為2.A為第一象限內(nèi)

a2b2

11

E上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為,的直線分別與E交于點(diǎn)M,N（均異于點(diǎn)A），直線MN

22

與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)，直線AQ與x軸交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）當(dāng)HP3時(shí),求點(diǎn)A橫坐標(biāo)．

（21）（本小題15分）

已知有窮正整數(shù)數(shù)列：，，，*，≥滿足：，，，，且當(dāng)

Ana1a2an(nNn4)ai{12n}

*≤時(shí)，總有.定義數(shù)列：*