2025屆高三年級TOP二十名校調(diào)研考試三

數(shù)學

全卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.

4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、導數(shù)及其應(yīng)用、

平面向量、復數(shù)、數(shù)列.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

Axx24Bx4x64

1.已知集合，，則AB（）

A.2,3B.2,3C.,22,3D.,22,3

【答案】D

【解析】

【分析】求解公式得集合A,B，再由交集定義運算.

【詳解】因為集合Axx24xx2或x2，

Bx4x64xx3，

所以AB,22,3.

故選：D.

2.若i2z2，則zz（）

A.4B.4C.4iD.4i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算進行計算.

2

【詳解】由i2z2，得2z2i，

i

所以z22i，則zz22i22i4.

故選：

A.

3.已知向量a3,7，b45m,m15，且a∥b，則m（）

93937373

A.B.C.D.

22223232

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算即可求解.

73

【詳解】a∥b，3m15745m，解得m.

32

故選：C.

4.已知函數(shù)fx滿足：xR，fxfx62，且f21，則f2024（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得函數(shù)fx的一個周期為12，利用周期性求值.

2

【詳解】根據(jù)題意，fxfx62，顯然fx0，所以fx6，

fx

22

fx12fx

所以fx62，所以函數(shù)fx的一個周期為12，

fx

2

所以f2024f121688f82.

f2

故選：B.

2

5.已知函數(shù)fx2xkx8在1,4上單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍為（）

A.2,8B.8,2

C.,82,D.,28,

【答案】D

【解析】

222

【分析】令gxxkx8，“函數(shù)fx2xkx8在1,4上單調(diào)”等價于“函數(shù)gxxkx8在

22

1,4上單調(diào)”，求出g(x)的對稱軸方程，分gxxkx8在1,4上單調(diào)遞增和gxxkx8在

1,4上單調(diào)遞減兩種情況求解.

2

【詳解】fx2xkx8，令gxx2kx8，

22

則“函數(shù)fx2xkx8在1,4上單調(diào)”等價于“函數(shù)gxxkx8在1,4上單調(diào)”，gx的對稱軸為

k

x，若gxx2kx8在1,4上單調(diào)遞增，

2

k

則1，解得k2，若gxx2kx8在1,4上單調(diào)遞減，

2

k

則4，解得k8，綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為,28,.

2

故選：D.

6.已知等差數(shù)列an滿足a3a522，前8項和S8100；公比為正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足b4b212，

，設(shè)ca，為數(shù)列的前項和，則當時，的最大值是（）

b38nbnTncnnTn2024n

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列cn的通項公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)

列cn的前n項和Tn，驗證得答案．

2a16d22

a3a522

【詳解】設(shè)an的公差為d，由得87，

S81008a1d100

2

a12

解得，所以an23n13n1

d3.

b4b2128

設(shè)bn的公比為qq0，由，得8q12，

b38q

1

解得q（舍）或q=2，所以bbqn382n32n.

2n3

因為ca，所以n，

nbncn321

612n

則Tccccn62nn6，

n123n12

*

因為對任意的nN，cn0，所以數(shù)列Tn單調(diào)遞增，

89

又因為T8628615222024，T9629630572024，

=

所以當Tn2024時，n1,2,3,4,5,6,7,8，故n的最大值是8.

故選：D.

115

7.設(shè)正實數(shù)a，b，c滿足2c2bc2b20，則當abc取得最大值時，6a的最大值為（）

acb

911

A.4B.C.5D.

22

【答案】B

【解析】

1

1abc

【分析】由題意得a，從而利用基本不等式求得2c2b的最大值及成立的條

2c2bc2b21

bc

15156

件，從而6a化為，最后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

cbbb3b2

11

【詳解】依題意，由2c2bc2b20，得a，

a2c2bc2b2

bc111

abc

所以2c2bc2b22c2bcb3，

1221

bcbc

cb

當且僅當，即bc時等號成立，

bc

111

則代入2c2bc2b20中，得2b2bb2b20，所以a，

aa3b2

22

因此6a22，

cbbb3b2bbb222

2322159

當且僅當b時取等號，所以當a，b，c，時，6a取得最大值.

3433cb2

故選：B.

π3ππ2

8.已知，π，4sincos12sin1sin1cos4cos0，則

242

4

sin（）

33

3113

A.B.C.D.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角和和差角公式化簡已知，得cos2sin20，再由角的范圍和誘導公式得

7π

4，從而得解.

2

【詳解】由4sincos12sin21sin1cos4cos0，

得2sin2cos21sin2sin22cos0，

π3π3π

又，所以π2，所以sin20，

242

所以cos21sinsin2cos0，

即cos2sin20，

3π5π7π5π3π5π

因為2,，22π,,，

222222

7π

所以sin2cos2sin2，

2

3π5π7π

且ysinx在,上單調(diào)遞增，所以22，

222

7π47π

所以4，則，

2336

47π1

所以sinsin.

3362

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：化簡得cos2sin20后，利用誘導公式得

7π

sin2cos2sin2，是解題關(guān)鍵.

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)fxlnx2，則（）

A.fx的圖象關(guān)于直線x2對稱B.f2024f2024

C.fx無零點D.fx在1,上單調(diào)遞增

【答案】AB

【解析】

【分析】求出f(x)的定義域，求出f(2x)和f(2x)并判斷是否相等，據(jù)此判斷A選項，根據(jù)當x2

時fx在2,上單調(diào)遞增判斷B選項，令fx0求出x判斷C選項，求出當x2時f(x)的解析

式判斷D選項.

【詳解】易知fx的定義域為,22,，

因為f2xln2x2lnx，f2xln2x2lnx，

所以f2xf2x，所以fx的圖象關(guān)于直線x2對稱，故A正確；

當x2時，fxlnx2，

fx在2,上單調(diào)遞增，所以f2024f2028f2024，故B正確；

令fx0，得x1或3，則fx有2個零點，故C錯誤；

當x2時，fxln2x，fx在,2上單調(diào)遞減，故D錯誤.

故選：AB.

n1

數(shù)列滿足a12a22ann1*，記數(shù)列的前項和為，則（）

10.an2nNan20nSn

n

2

A.an2n2B.Snn19n

2

C.數(shù)列an的前n項和為n17nD.Sn的最小值為72

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)Sn,an的關(guān)系式可得an2n2，即A正確，再由分組并項求和計算可得B錯誤，利用等差

數(shù)列前n項和公式計算可得C錯誤，由an202n18判斷出其符號即可得D正確.

n1

【詳解】對于，由a12a22ann1，得n1n1①，

A2a12a22ann2

n

當時，11；當時，n2n②，

n1a1214n2a12a22an1n12

n1n1n

由①－②，得2ann2n12，解得an2n1，

當n1時也成立，所以an2n2，故A正確；

對于B，Sna120a220an20a1a2an20n

2122222n220n212n2n20n

2

nn118nn17n，故B錯誤；

n42n22

對于C，數(shù)列an的前n項和為n3n，故C錯誤；

2

對于D，因為an202n18，當an200時，n9，當an200時，n9，且a9200，

9160

故當n8或9時，an20的前n項和Sn取最小值，最小值為SS72，故D正確.

892

故選：AD.

11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正

1

常，每排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)樵瓉淼?由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（ppm）

3

ft

與排氣時間t（分鐘）之間存在函數(shù)關(guān)系yft，其中R（R為常數(shù)）.已知空氣中一氧化碳濃

ft

度不高于0.5ppm為正常，人可以安全進入車庫.若剛好經(jīng)過204log32（分鐘），人就可以安全進入車庫

了，則（）

1

ln3

A.RB.3

4Re

t

14排氣分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?/p>

C.ft243D.129ppm

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題意可設(shè)f(t)abt(ab0)，再由已知列關(guān)于a，b的方程組，求出lnb判斷A與B；進一步

求出f(t)的解析式，算出f12，判斷C與D．

ft

【詳解】由題意可設(shè)ftabtab0，則ftabtlnb，此時lnbR為常數(shù)，

ft

t4

ft4ab411ln3

由題意，b，則4lnblnln3，即lnb，

ftabt334

ln3

所以R，故A正確，B錯誤；

4

因為剛好經(jīng)過204log32（分鐘），人就可以安全進入車庫了，

1

414

所以204log32，又由，得1，

ab0.5bb

33

1

20log25log2

433

204log2204log21111

ab3abb3aa

3333

1

11log311

3log32a32aa0.5，

2432432432

t

解得，所以14，故正確；

a243ft243C

3

12

14，故排氣分鐘后，車庫內(nèi)的一氧化碳濃度變?yōu)?，故正確

f122439129ppmD.

3

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

3

12.若函數(shù)fxxax的減區(qū)間為1,1，則a的值為______.

【答案】3

【解析】

【分析】由f(x)0的解集，求出a的值.

【詳解】fx3x2a0的解集為1,1，

aa

即x2的解集為1,1，所以1，

33

解得a3.

故答案為：3.

13.如圖，已知AB，CD是圓O的兩條直徑，E是OA的中點，F(xiàn)是AE的中點，若

FCFDECEDkOCOD，則k______.

19

【答案】##1.1875

16

【解析】

【分析】利用極化恒等式將FCFDECED化簡成含有半徑R的式子，即可轉(zhuǎn)化成OCOD的形式，

可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓O的半徑為R，

由題意得FCFDFOOCFOODFOOCFOOC

2

22

3R272

FOOCRR，

416

22

且ECEDEOOCEOODEOOCEOOCEOOC

2

R232

RR，OCODR2，

24

1921919

所以FCFDECEDROCOD，所以k.

161616

19

故答案為：

16

3ππ

14.已知函數(shù)fx2sinx0,，滿足fx1fx22的x1x2的最小值

22

π2π

為π，若函數(shù)fx在區(qū)間,內(nèi)有零點，無最值，則的取值范圍是______.

43

5ππ

【答案】π,0,

66

【解析】

π2π

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得2，再根據(jù)函數(shù)fx在區(qū)間,內(nèi)有零點，無最值限定出不

43

等式，再根據(jù)的范圍可得結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)fx2sinx，且滿足fx1fx22的x1x2的最小值為π，

2π

所以函數(shù)fx的最小正周期Tπ，所以π，解得2，

即可得fx2sin2x，

π2ππ4π

因為x,，所以2x,.

4323

π2π

因為函數(shù)fxsin2x在區(qū)間,內(nèi)有零點，無最值，

43

πππ

kπkπ,πkπkπ,

222

所以kZ，解得kZ，

4ππ4π5π

kπkπkπkπ

3236

5π

即πkπkπkZ，

6

11π

當k1時，2π，不滿足條件；

6

5π

當k0時，π，滿足條件；

6

π

當k1時，0，滿足條件；

6

7π

當k2時，π，不滿足條件.

6

5ππ

綜上所述，的取值范圍是π,0,.

66

5ππ

故答案為：π,0,

66

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)滿足fx1fx22的x1x2的最小值為π求出2，再

結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)由零點和最值個數(shù)限定出不等式可解得的取值范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)函數(shù)ya2x2a2x1，aR且a0，證明：對于xR，a2x2a2x10的充要條件是

0a2.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】先求出函數(shù)的最小值，再分別證明充分性和必要性即可.

a21

【詳解】證明：因為a0，所以函數(shù)ya2x2a2x1圖象的對稱軸為直線x，

2a22

2

所以121212

yminaa1a1.

224

11

先證充分性：因為0a2，且ya212210，所以a2x2a2x10；

min44

22212

再證必要性：因為對于xR，axax10，所以ymin0，即a10，從而0a2.

4

綜上可知，對于xR，a2x2a2x10的充要條件是0a2.

3

16.已知函數(shù)fxsin3xcos3x3sin23x.

2

（1）求fx的單調(diào)遞增區(qū)間；

5π

（2）若f1，求cos12的值.

3

5πkππkπ

【答案】（1）,kZ

363363

1

（2）

2

【解析】

π

【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式可得fxsin6x，由整體代換即可求得結(jié)果.

3

kππ

（2）由已知可求得kZ，代入計算即可.

336

【小問1詳解】

313

fxsin3xcos3x3sin23xsin6x12sin23x

222

13π

sin6xcos6xsin6x，

223

πππ5πkππkπ

令2kπ6x2kπkZ，得xkZ，

232363363

5πkππkπ

所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.

363363

【小問2詳解】

π

由于f1，所以sin61，

3

ππkπππ

所以62kπkZ，即kZ，所以124kπkZ，

323363

5π4π4π1

則cos12cos4kπcos.

3332

22211

17.在VABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acbbcosC.

c2a

（1）求B；

（2）設(shè)b27，c6，求sin2BA的值.

π

【答案】（1）B

3

2121

（2）sin2BA或sin2BA

714

【解析】

222

22211abc

【分析】（1）由余弦定理可得acbb，化簡可求得cosB，從而可求得

c2a2ab

角B；

（2）由余弦定理可得a26a80，進而可求得a的值，分情況利用兩角和的正弦公式與二倍角公式計

算可求得sin2BA的值.

【小問1詳解】

222

2221122211abc

因為acbbcosC，所以acbb，

c2ac2a2ab

222

2acabc222222

所以a2c2b2，所以acb2acabcc，

2ac2a

a2c2b2ac1

化簡得a2c2b2ac，所以由余弦定理，得cosB，

2ac2ac2

π

又0Bπ，所以B.

3

【小問2詳解】

π

由（1）知，B，且b27，c6，

3

a2c2b21a26228

則由余弦定理cosB，得，即a26a80，解得a2或a4.

2ac22a6

2

222

2222762

當時，bca57，則5721，

a2cosAsinA1

2bc2276141414

31

又sin2B，cos2B，所以

22

35712121

sin2BAsin2BcosAcos2BsinA；

2142147

2

222

2222764

當時，bca27，則2721，

a4cosAsinA1

2bc2276777

31

又sin2B，cos2B，所以

22

32712121

sin2BAsin2BcosAcos2BsinA.

272714

2121

綜上所述，sin2BA或sin2BA.

714

32

18.已知函數(shù)fxxaxbx1aR在x0和x1處取得極值.

（1）求a，b；

（2）曲線yfx在相異的兩點Ax1,fx1，Bx2,fx2處的切線分別為l1和l2，且l1和l2的交點

在直線x1上.

9

（?。┣?x22x2xx2xx的值；

1221212

（ⅱ）求x1x2的取值范圍.

3

【答案】（1）a，b0

2

（2）（ⅰ）3；（ⅱ）1,2

【解析】

f00,

【分析】（1）根據(jù)題意，又得解a，b的值，并檢驗；

f10,

（2）（?。┣蟪銮芯€l1和l2的方程，并求其交點，即可得證；（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)論，結(jié)合基本不等式求范

圍.

【小問1詳解】

fx3x22axb，

因為fx在x0和x1處取得極值，

b0,

f00,3022a0b0,

所以即解得

23

f10,312a1b0,a,

2

b0,

3

經(jīng)檢驗，當3時，fxx3x21在x0和x1處取得極值，符合題意，

a2

2

3

所以a，b0.

2

【小問2詳解】

3

（?。ゝxx3x21，fx3x23x，

2

332332

因為Ax1,x1x11，Bx2,x2x21，x1x2，

22

3322

fx在點A處的切線方程為yx1x113x13x1xx1，

2

3322

fx在點B處的切線方程為yx2x213x23x2xx2，

2

23322332

聯(lián)立兩個切線方程，得3x13x1xx1x1x113x23x2xx2x2x21，

22

3

2x2x2xxxx

解得121212，

x2

3x1x21

223

2x1x2x1x2x1x2

故兩切線交點的橫坐標為2，

3x1x21

3

2x2x2xxxx

由題意，得121212，

21

3x1x21

3

所以22，

2x1x2x1x2x1x23x1x23

2

9

即2x22x2xx2xx3.

1221212

9

（ⅱ）由（?。?，得2x22x2xx2xx3，

1221212

29

所以2xxxx32xx，

1221212

2

2

結(jié)合，所以9x1x2，

x1x22x1x2x1x232x1x22

22

解得1x1x22.故x1x2的取值范圍是1,2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，求出切線l1和l2的方程，并求其交點，運算量較大.

*

19.若項數(shù)為m（m≥2，mN）的數(shù)列an滿足：①an單調(diào)遞增且a10；②對任意的正整數(shù)

i,j(1ijm)，都存在正整數(shù)k(1km)，使得aiajak或ajaiak，則稱數(shù)列an具有性質(zhì)

P.

（1）若ann1n3，bnn11n4，分別判斷數(shù)列an，bn是否具有性質(zhì)