北京第八十一中學七年級下學期期末壓軸難題數(shù)學試題及答案一、選擇題1．如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．和是同位角 B．和是同旁內(nèi)角C．和是內(nèi)錯角 D．和是對頂角2．下列現(xiàn)象中是平移的是（）A．將一張紙對折 B．電梯的上下移動C．摩天輪的運動 D．翻開書的封面3．平面直角坐標系中，點（a2+1，2020）所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列命題中，假命題是（）A．對頂角相等B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行D．過一點有且只有一條直線與已知直線平行5．將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊，則翻折角與一定滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．6．若a2＝16，＝2，則a+b的值為（）A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或47．如圖，在中，∠AEC＝50°，平分，則的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．40°8．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，2）、（3，1）、（3，0）、（4，0），……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第20個點的坐標為（）A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）二、填空題9．36的平方根是______，81的算術(shù)平方根是______．10．平面直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點是__________．11．如圖，在中，.三角形的外角和的角平分線交于點E，則_____度.12．如圖，已知a//b，∠1＝50°，∠2＝115°，則∠3＝______．13．把一張對邊互相平行的紙條折成如圖所示，是折痕，若，則______．14．規(guī)定一種關(guān)于、的新運算：，那么______．15．如圖，直角坐標系中、兩點的坐標分別為，，則該坐標系內(nèi)點的坐標為__________．16．如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，點、、、在軸上，，，，，．把一條長為2018個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在處，并按的規(guī)律緊繞在圖形“凸”的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標是_______．三、解答題17．計算：（1）；（2）18．求下列各式中的x：（1）；（2）；（3）．19．如圖，四邊形ABCD中，AC90，BE，DF分別是ABC，ADC的平分線．試說明BE//DF．請補充說明過程，并在括號內(nèi)填上相應理由．解：在四邊形ABCD中，AABCCADC360∵AC90(已知)∴ABCADC=，∵BE，DF分別是ABC，ADC的平分線，∴1ABC，2=ADC（）∴1+2=ABCADC∴1+2=∵在△FCD中，C90，∴DFC290（）∵1+2=90（已證）∴1=DFC（）∴BE∥DF．（）20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，三角形的三個頂點和點都在格點上（正方形網(wǎng)格的交點稱為格點）．點，，的坐標分別為，，．平移三角形，使點平移到點，點，分別是，的對應點．（1）請畫出平移后的三角形，并分別寫出點E、F的坐標；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使得，若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由．21．已知某正數(shù)的兩個平方根分別是和的立方根是是的整數(shù)部分．（1）求的值；（2）求的算術(shù)平方根．二十二、解答題22．（1）若一圓的面積與這個正方形的面積都是，設圓的周長為，正方形的周長為，則______．（填“=”或“<”或“>”號）（2）如圖，若正方形的面積為，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請說明理由．二十三、解答題23．如圖1，點在直線上，點在直線上，點在，之間，且滿足．（1）證明：；（2）如圖2，若，，點在線段上，連接，且，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若（為大于等于的整數(shù)），點在線段上，連接，若，則______．24．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關(guān)系．25．在中，射線平分交于點，點在邊上運動（不與點重合），過點作交于點.（1）如圖1，點在線段上運動時，平分.①若，，則_____；若，則_____；②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）點在線段上運動時，的角平分線所在直線與射線交于點.試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.26．如圖，△ABC和△ADE有公共頂點A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，則∠EAC＝；（2）如圖1，過AC上一點O作OG⊥AC，分別交AB、AD、AE于點G、H、F．①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求線段OF的長；②如圖2，∠AFO的平分線和∠AOF的平分線交于點M，∠FHD的平分線和∠OGB的平分線交于點N，∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若改變，請說明理由．【參考答案】一、選擇題1．B解析：B【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義進行解答．【詳解】解：A、∠1和∠2是同旁內(nèi)角，故本選項錯誤；B、∠2和∠3是同旁內(nèi)角，故本選項正確；C、∠1和∠4是同位角，故本選項錯誤；D、∠3和∠4是鄰補角，故本選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．2．B【分析】根據(jù)平移的概念，依次判斷即可得到答案；【詳解】解：根據(jù)平移的概念：把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移，判斷：A、將一張紙對折，不符合平移定解析：B【分析】根據(jù)平移的概念，依次判斷即可得到答案；【詳解】解：根據(jù)平移的概念：把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移，判斷：A、將一張紙對折，不符合平移定義，故本選項錯誤；B、電梯的上下移動，符合平移的定義，故本選項正確；C、摩天輪的運動，不符合平移定義，故本選項錯誤；D、翻開的封面，不符合平移的定義，故本選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查平移的概念，在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．3．A【分析】根據(jù)點的橫縱坐標的正負判斷即可．【詳解】解：因為a2+1≥1，所以點（a2+1，2020）所在象限是第一象限．故選：A．【點睛】本題主要考查點所在的象限，掌握每個象限內(nèi)點的橫縱坐標的正負是關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)對頂角的定義、平行線的性質(zhì)、平行公理及其推論可直接進行排除選項．【詳解】解：A、對頂角相等，是真命題，故不符合題意；B、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，是真命題，故不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行，是真命題，故不符合題意；D、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以原命題是假命題，故符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查命題、平行線的性質(zhì)、平行公理及對頂角的定義，熟練掌握命題、平行線的性質(zhì)、平行公理及對頂角的定義等相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根據(jù)折疊和平角定義可求出．【詳解】解：由翻折可知，∠DAE=2，∠CBF=2，∵,∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAE+∠CBF=180°，即，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用平行線的性質(zhì)進行推理計算．6．D【分析】根據(jù)平方根和立方根的意義求出a、b即可．【詳解】解：∵a2＝16，∴a＝±4，∵＝2，∴b＝8，∴a+b＝4+8或﹣4+8，即a+b＝12或4．故選：D．【點睛】本題考查了平方根和立方根以及有理數(shù)加法，解題關(guān)鍵是明確平方根和立方根的意義，準確求出a、b的值，注意：一個正數(shù)的平方根有兩個．7．A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠BCD，∠ECD=∠AEC=50°再根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=∠BCD=∠ECD=25°，由此即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∠ECD=∠AEC=50°∵CB平分∠DCE，∴∠BCE=∠BCD=∠ECD=25°∠ABC=∠BCD=25°故選A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】橫坐標為1的點有1個，縱坐標只是0；橫坐標為2的點有2個，縱坐標是0或1；橫坐標為3的點有3個，縱坐標分別是0，1，橫坐標為奇數(shù)，縱坐標從大數(shù)開始數(shù)；橫坐標為偶數(shù)，則從0開始數(shù)．【詳解析：A【分析】橫坐標為1的點有1個，縱坐標只是0；橫坐標為2的點有2個，縱坐標是0或1；橫坐標為3的點有3個，縱坐標分別是0，1，橫坐標為奇數(shù)，縱坐標從大數(shù)開始數(shù)；橫坐標為偶數(shù)，則從0開始數(shù)．【詳解】解：把第一個點作為第一列，和作為第二列，依此類推，則第一列有一個數(shù)，第二列有2個數(shù)，第列有個數(shù)．則列共有個數(shù)，并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上．因為，則第20個數(shù)一定在第6列，由下到上是第4個數(shù)．因而第20個點的坐標是．故選：A．【點睛】本題考查了學生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．二、填空題9．±69．【解析】∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6;∵92=81,∴81的算術(shù)平方根是9.解析：±69．【解析】∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6;∵92=81,∴81的算術(shù)平方根是9.10．【分析】根據(jù)平面直角坐標系中，關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征，即可完成解答.【詳解】解：點關(guān)于軸的對稱點的坐標是（3,2）.【點睛】本題考查了根據(jù)平面直角坐標系中關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特解析：【分析】根據(jù)平面直角坐標系中，關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征，即可完成解答.【詳解】解：點關(guān)于軸的對稱點的坐標是（3,2）.【點睛】本題考查了根據(jù)平面直角坐標系中關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征，即關(guān)于x軸對稱的點的坐標橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)；關(guān)于y軸對稱的點的坐標縱坐標不變，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)；11．【分析】如圖，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠1+∠2的度數(shù)，再求出∠DAC+∠ACF的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義可求出∠3+∠4的度數(shù)，進而可得答案.【詳解】解：如圖，∵∠B=40°，∴∠解析：【分析】如圖，先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠1+∠2的度數(shù)，再求出∠DAC+∠ACF的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義可求出∠3+∠4的度數(shù)，進而可得答案.【詳解】解：如圖，∵∠B=40°，∴∠1+∠2=180°－∠B=140°，∴∠DAC+∠ACF=360°－∠1－∠2=220°，∵AE和CE分別是和的角平分線，∴，∴，∴.故答案為：70.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和整體的數(shù)學思想是解題的關(guān)鍵.12．65°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：∵a//b，∠1＝50°，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝115°，∠2＝∠3+∠4，解析：65°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠4的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：∵a//b，∠1＝50°，∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝115°，∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝115°﹣50°＝65°．故答案為：65°．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．【分析】需理清楚折疊后，得到的新的角與原來的角相等，再結(jié)合平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解．【詳解】，，是折痕，折疊后，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行解析：【分析】需理清楚折疊后，得到的新的角與原來的角相等，再結(jié)合平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解．【詳解】，，是折痕，折疊后，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，模型思想．14．【分析】根據(jù)新定義,將3與-2代入原式求解即可.【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算,把新定義運算轉(zhuǎn)換成有理數(shù)混合運算是解題關(guān)鍵.解析：【分析】根據(jù)新定義,將3與-2代入原式求解即可.【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算,把新定義運算轉(zhuǎn)換成有理數(shù)混合運算是解題關(guān)鍵.15．【分析】首先根據(jù)A、B點坐標確定原點位置，然后再建立坐標系，再確定C點坐標即可．【詳解】解：點C的坐標為（-1，3），故答案為：（-1，3）．【點睛】此題主要考查了點的坐標，關(guān)鍵是正解析：【分析】首先根據(jù)A、B點坐標確定原點位置，然后再建立坐標系，再確定C點坐標即可．【詳解】解：點C的坐標為（-1，3），故答案為：（-1，3）．【點睛】此題主要考查了點的坐標，關(guān)鍵是正確建立坐標系．16．（1，0）【分析】先求出凸形ABCDEFGHP的周長為20，得到2018÷20的余數(shù)為18，由此即可解決問題．【詳解】解：∵A（1，2），B（-1，2），D（-3，0），E（-3，-2），G解析：（1，0）【分析】先求出凸形ABCDEFGHP的周長為20，得到2018÷20的余數(shù)為18，由此即可解決問題．【詳解】解：∵A（1，2），B（-1，2），D（-3，0），E（-3，-2），G（3，-2），∴“凸”形ABCDEFGHP的周長為20，2018÷20的余數(shù)為18，∴細線另一端所在位置的點在P處，坐標為（1，0）．故答案為：（1，0）．【點睛】本題考查規(guī)律型：點的坐標，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出“凸”形的周長，屬于中考?？碱}型．三、解答題17．（1）0；（2）2【解析】試題分析：（1）先對根式、負指數(shù)化簡，再根據(jù)運算順序依次計算即可；（2）先去絕對值符號和0次冪，再按運算順序依次計算即可；試題解析：①原式=2+2-4=0解析：（1）0；（2）【解析】試題分析：（1）先對根式、負指數(shù)化簡，再根據(jù)運算順序依次計算即可；（2）先去絕對值符號和0次冪，再按運算順序依次計算即可；試題解析：①原式=2+2-4=0②原式==18．（1）；（2）1；（3）-1．【分析】（1）根據(jù)立方根的定義解方程即可；（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可；（3）根據(jù)立方根的定義解方程即可．【詳解】解：（1），∴，∴，∴；（2解析：（1）；（2）1；（3）-1．【分析】（1）根據(jù)立方根的定義解方程即可；（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可；（3）根據(jù)立方根的定義解方程即可．【詳解】解：（1），∴，∴，∴；（2）∴∴∴；（3），∴，∴，∴．【點睛】本題考查了利用立方根的含義解方程，熟知立方根的定義是解決問題的關(guān)鍵．19．見解析【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后根據(jù)角平分線的定義可得，∠1+∠2=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，∠DFC+∠2=90°，等量代換∠1=∠DFC，即可判解析：見解析【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后根據(jù)角平分線的定義可得，∠1+∠2=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，∠DFC+∠2=90°，等量代換∠1=∠DFC，即可判定BE∥DF．【詳解】在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°．∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°（四邊形的內(nèi)角和是360°），∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴1ABC，2=ADC（角平分線定義）∴1+2=ABCADC∴∠1+∠2=90°，在△FCD中，∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°（三角形的內(nèi)角和是180°），∵∠1+∠2=90°（已證），∴∠1=∠DFC（等量代換），∴BE∥DF．（同位角相等，兩直線平行）．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形、四邊形的內(nèi)角和，以及同位角相等，兩直線平行．20．（1）畫圖見解析，E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）7；（3）（10，0）或（-18，0）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出平移后的三角形DEF，并寫出點E，F(xiàn)的坐標；（2）利用割補法計解析：（1）畫圖見解析，E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）7；（3）（10，0）或（-18，0）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出平移后的三角形DEF，并寫出點E，F(xiàn)的坐標；（2）利用割補法計算即可；（3）根據(jù)△ABC的面積得到△BCM的面積，從而計算出BM，可得點M的坐標；【詳解】解：（1）如圖，三角形DEF即為所求，點E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）S△ABC==7；（3）∵，點C的坐標為（0,1），∴BM=，∵B（-4，0），∴點M的坐標為（10，0）或（-18，0）．【點睛】本題考查了作圖-平移變換，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．21．（1），，c=4；（2）4【分析】（1）由題意可得出，得出a的值，代入中得出b的值，再根據(jù)即可得出c的值；（2）代入a、b、c的值求出代數(shù)式的值，再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：（1）∵某解析：（1），，c=4；（2）4【分析】（1）由題意可得出，得出a的值，代入中得出b的值，再根據(jù)即可得出c的值；（2）代入a、b、c的值求出代數(shù)式的值，再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：（1）∵某正數(shù)的兩個平方根分別是和∴∴又∵的立方根是3∴∴又∵，c是的整數(shù)部分∴（2）故的算術(shù)平方根是4．【點睛】本題考查的知識點是平方根、算術(shù)平方根、立方根、估算無理數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題目，解此題的難點在于c值的確定，學會用“逼近法”求無理數(shù)的整數(shù)部分是解此題的關(guān)鍵．二十二、解答題22．（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于解析：（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于的方程，解得的值，從而可得長方形的長和寬，將其與正方形的邊長比較，可得答案．【詳解】解：（1）圓的面積與正方形的面積都是，圓的半徑為，正方形的邊長為，，，，，．（2）不能裁出長和寬之比為的長方形，理由如下：設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得：，解得或（不合題意，舍去），長為，寬為，正方形的面積為，正方形的邊長為，，不能裁出長和寬之比為的長方形．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應用，熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵．二十三、解答題23．（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到結(jié)論；（3）作CF∥ST，設∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分別表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．【詳解】解：（1）如圖，連接，，，，，（2），理由：作，則如圖，設，則．，，，，．即．（3）作，則如圖，設，則．，，，，，故答案為．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式．24．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，應用四邊形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可；【詳解】解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延長BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下圖所示：延長BA、DC使之相交于點E，延長MC與BA的延長線相交于點F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如圖所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．綜上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)．解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質(zhì)（兩直線平行內(nèi)錯角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，從而求得∠M的度數(shù)．25．（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=解析：（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的內(nèi)角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AFD=110°；②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM+∠FMD=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFD=∠FDM+∠FMD=90°-∠B.【詳解】（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，∴∠CAG=∠BAC=50°；∵，∠C=30°，∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；∵DF平分∠EDB，∴∠FDM=∠EDG=15°；∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，∵DE//AC，∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；∴∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；∴∠AFD=180°-（∠FDM+∠FMD）=180°-70°=110°；故答案為115°，110°；②∠AFD=90°+∠B，理由如下：∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，∵DE//AC