小題提速練(十)“12選擇＋4填空”80分練(時(shí)間：45分鐘分值：80分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)集合A＝[－1,2]，B＝{y|y＝x2，x∈A}，則A∩B＝()A．[1,4] B．[1,2]C．[－1,0] D．[0,2]D[∵A＝[－1,2]，B＝[0,4]，∴A∩B＝[0,2]，故選D.]2．若復(fù)數(shù)z1＝a＋i(a∈R)，z2＝1－i，且eq\f(z1,z2)為純虛數(shù)，則z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(a＋i1＋i,2)＝eq\f(a－1＋1＋ai,2)為純虛數(shù)，則a＝1，所以z1＝1＋i，z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)，在第一象限．故選A.]3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，則函數(shù)f(x)＝2x2－4x＋ξ不存在零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(1,2)B.eqB.eq\f(1,3)C.eqC.\f(1,5)D.eqD.eq\f(2,5)A[由f(x)不存在零點(diǎn)可知Δ＝16－8ξ＜0，故ξ＞2.又ξ～N(2，σ2)，故P(ξ＞2)＝eq\f(1,2).故選A.]4．已知平面向量a，b的夾角為eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝eq\f(1,2)，則a＋2b與b的夾角是()【導(dǎo)學(xué)號：07804227】A.eq\f(π,6) B．eq\f(5π,6)C.eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)A[因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3)，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以cos〈a＋2b，b〉＝eq\f(a＋2b·b,|a＋2b||b|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，所以a＋2b與b的夾角為eq\f(π,6).]5．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x＋y≤6，,2x－y≤6，))則eq\f(y,x)的最大值是()A．－2 B．－1C．eq\f(1,2) D．2D[畫出不等式組表示的平面區(qū)域，則eq\f(y,x)表示的幾何意義是區(qū)域內(nèi)包括邊界上的動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，故其最大值為O，A兩點(diǎn)的連線的斜率，即k＝2，故應(yīng)選D.]6．如圖25所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)著作《數(shù)書九章》，稱為“秦九韶算法”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入x＝2，n＝5，則輸出的v＝()圖25A．26 B．48C．57 D．64A[執(zhí)行程序依次為：x＝2，v＝1，k＝2，則v＝2＋2＝4，k＝3＜5；v＝2×4＋3＝11，k＝4＜5；v＝2×11＋4＝26，k＝5，此時(shí)輸出v＝26，故應(yīng)選A.]7．一個(gè)圓柱挖去一部分后，剩余部分的三視圖如圖26所示，則剩余部分的表面積等于()圖26A．39π B．48πC．57π D．63πB[由三視圖可知剩余幾何體是圓柱挖去一個(gè)圓錐的幾何體，且圓柱底面圓的半徑為3，母線長為4，則圓錐的母線長為5，所以剩余部分的表面積S＝π×32＋2π×3×4＋π×3×5＝48π，故應(yīng)選B.]8．將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω＞0)的圖象向右平移eq\f(π,4ω)個(gè)單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上為增函數(shù)，則ω的最大值為()A．3 B．2C.eq\f(3,2) D．eq\f(5,4)C[g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4ω)))＋\f(π,4)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)＋\f(π,4)))＝2sinωx.因?yàn)閥＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上為增函數(shù)，所以ω·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))≥－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)且ω·eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得0＜ω≤eq\f(3,2)，則ω的最大值為eq\f(3,2).故選C.]9．設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,k)))eq\s\up10(k)的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為eq\f(1,16)，記函數(shù)y＝x2與y＝kx的圖象所圍成的陰影部分的面積為S，任取x∈[0,4]，y∈[0,16]，則點(diǎn)(x，y)恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為()圖27A.eq\f(17,96) B．eq\f(5,32)C.eq\f(1,6) D．eq\f(7,48)10．已知函數(shù)f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)滿足：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14π,3)))，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8π,3)，\f(14π,3)))內(nèi)有最大值但沒有最小值．給出下列四個(gè)命題：p1：f(x)在區(qū)間[0,2π]上單調(diào)遞減；p2：f(x)的最小正周期是4π；p3：f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱；p4：f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)，0))對稱．其中的真命題是()A．p1，p2 B．p1，p3C．p2，p4 D．p3，p4C[由題意得，當(dāng)x＝eq\f(\f(8π,3)＋\f(14π,3),2)＝eq\f(11π,3)時(shí)，f(x)取得最大值，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11πω,3)＋\f(π,6)))＝1，eq\f(11πω,3)＋eq\f(π,6)＝2kπ，ω＝eq\f(12k－1,22)(k∈N*)，又易知T＝eq\f(2π,ω)≥eq\f(14π,3)－eq\f(8π,3)＝2π，0＜ω≤1，故0＜eq\f(12k－1,22)≤1，eq\f(1,12)＜k≤eq\f(23,12)(k∈N*)，所以k＝1，ω＝eq\f(1,2)，f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))).故f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝4π，p2是真命題，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝0，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)，0))對稱，p4是真命題．]11．P是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PQ|的最小值為()A．1 B．2＋eq\f(\r(15),5)C．4＋eq\f(\r(15),5) D．2eq\r(2)＋1D[設(shè)F2是雙曲線C的右焦點(diǎn)，因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2eq\r(2)，所以|PF1|＋|PQ|＝2eq\r(2)＋|PF2|＋|PQ|，顯然當(dāng)F2，P，Q三點(diǎn)共線且P在F2，Q之間時(shí)，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離．易知l的方程為y＝eq\f(x,\r(2))或y＝－eq\f(x,\r(2))，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，求得F2到l的距離為1，故|PF1|＋|PQ|的最小值為2eq\r(2)＋1.選D.]12．已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x－eq\f(1,2)cos2x－a(sinx＋cosx)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)D[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝2a－1＋sin2x－acosx＋asinx≥0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立，即a≥eq\f(1－sin2x,2＋sinx－cosx)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立．設(shè)g(x)＝eq\f(1－sin2x,2＋sinx－cosx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則g(x)＝eq\f(sinx－cosx2,2＋sinx－cosx)，設(shè)sinx－cosx＝t，則y＝eq\f(t2,2＋t)＝eq\f(t＋22－4t＋2＋4,t＋2)＝t＋2＋eq\f(4,t＋2)－4，因?yàn)閠＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以－1≤t≤1,1≤t＋2≤3，所以0≤y≤1，所以a≥1，故選D.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知三棱錐A-BCD中，BC⊥CD，AB＝AD＝eq\r(2)，BC＝1，CD＝eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的體積為________.【導(dǎo)學(xué)號：07804228】[解析]因?yàn)锽C＝1，CD＝eq\r(3)，BC⊥CD，所以BD＝2，又AB＝AD＝eq\r(2)，所以AB⊥AD，所以三棱錐A-BCD的外接球的球心為BD的中點(diǎn)，半徑為1，所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為eq\f(4π,3).[答案]eq\f(4π,3)14．把數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)))各項(xiàng)按順序排列如下：eq\o(\a\al(1,\f(1,3)\f(1,5),\f(1,7)\f(1,9)\f(1,11)\f(1,13),\f(1,15)\f(1,17)\f(1,19)……\f(1,29),……))第k行有2k－1個(gè)數(shù)，第t行的第s個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為A(t，s)，則A(6,10)＝________.[解析]前5行共有20＋21＋22＋23＋24＝31個(gè)數(shù)，所以A(6,10)為數(shù)列的第41項(xiàng)，∵an＝eq\f(1,2n－1)，∴a41＝eq\f(1,81).[答案]eq\f(1,81)15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E，若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率e為________．[解析]由題意設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋a)(k≠0)，分別令x＝－c與x＝0得|FM|＝|k|(a－c)，|OE|＝|k|a，設(shè)OE的中點(diǎn)為H，由△OBH∽△FBM，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|FM|)＝eq\f(|OB|,|BF|)，即eq\f(|k|a,2|k|a－c)＝eq\f(a,a＋c)，整理得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(1,3).[答案]eq\f(1,3)16．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則S的最大值為________．[解析]由題意得：4×eq\f(1,2)bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝