學習目標1.理解積化和差、和差化積、萬能公式的推導過程.2.掌握積化和差、和差化積、萬能公式的結(jié)構(gòu)特征.3.能利用所學三角公式進行三角恒等變換．知識點一積化和差與和差化積公式思考1如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sinαcosβ和cosαsinβ？思考2若α＋β＝θ、α－β＝φ，則如何用θ、φ表示α、β？梳理(1)積化和差公式sinαcosβ＝________________.cosαsinβ＝________________.cosαcosβ＝________________.sinαsinβ＝________________.(2)和差化積公式sinα＋sinβ＝________________.sinα－sinβ＝________________.cosα＋cosβ＝________________.cosα－cosβ＝________________.知識點二萬能代換公式思考結(jié)合前面所學倍角公式，能否用taneq\f(α,2)表示sinα？梳理萬能公式(1)sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).(2)cosα＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).(3)tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2)).知識點三半角公式思考1我們知道倍角公式中，“倍角是相對的”，那么對余弦的二倍角公式，若用2×eq\f(α,2)替換α，結(jié)果怎樣？思考2根據(jù)上述結(jié)果，試用sinα，cosα表示sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).思考3利用tanα＝eq\f(sinα,cosα)和倍角公式又能得到taneq\f(α,2)與sinα，cosα怎樣的關(guān)系？梳理半角公式(1)sineq\f(α,2)＝.(2)coseq\f(α,2)＝.(3)taneq\f(α,2)＝.特別提醒：(1)半角公式中，根號前面的符號由eq\f(α,2)所在的象限相應的三角函數(shù)值的符號確定．(2)半角與倍角一樣，也是相對的，即eq\f(α,2)是α的半角，而α是2α的半角．類型一積化和差與和差化積公式eq\x(命題角度1積化和差公式的應用)例1求下列各式的值．(1)sin37.5°cos7.5°；(2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°.反思與感悟在運用積化和差公式時，如果形式為異名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應用sin(α＋β)與sin(α－β)的和或差；如果形式為同名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應用cos(α＋β)與cos(α－β)的和或差．跟蹤訓練1化簡：4sin(60°－θ)·sinθ·sin(60°＋θ)．eq\x(命題角度2和差化積公式的應用)例2已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值．反思與感悟和差化積公式對于三角函數(shù)式的求值、化簡及三角函數(shù)式的恒等變形有著重要的作用，應用時要注意只有系數(shù)的絕對值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運用推論化成積的形式，如果是一正弦與一余弦的和或差，可先用誘導公式化成同名函數(shù)后，再運用推論化成積的形式．跟蹤訓練2求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．類型二利用萬能公式化簡求值例3(1)已知cosθ＝－eq\f(3,5)，并且180°＜θ＜270°，求taneq\f(θ,2)的值；(2)已知eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ－3cosθ)＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．反思與感悟(1)萬能公式是三角函數(shù)中的重要變形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示為“單角”的正切的有理式的形式．(2)萬能公式左右兩邊的角的取值范圍不同，在解三角函數(shù)方程時，要避免漏解．跟蹤訓練3已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．類型三三角恒等式的證明例4求證：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).反思與感悟證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證．對恒等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法．常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．跟蹤訓練4證明：eq\f(sinα＋1,1＋sinα＋cosα)＝eq\f(1,2)taneq\f(α,2)＋eq\f(1,2).1．若cosα＝eq\f(1,3)，α∈(0，π)，則coseq\f(α,2)的值為________．2．已知α－β＝eq\f(2π,3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，則cos(α＋β)＝________.3．已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，450°＜α＜540°，則taneq\f(α,2)＝________.4．化簡：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－tan\f(α,2)·1＋cosα,\r(1－cosα))(0＜α＜π)．1．本節(jié)重點學習了積化和差公式、和差化積公式及萬能公式等，一定要清楚這些公式的形式特征．同時要理解公式間的關(guān)系，立足于公式推導過程中記憶公式．2．三角恒等式的證明類型(1)絕對恒等式：證明絕對恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，通過三角恒等變換，使等式的兩邊化異為同．(2)條件恒等式：條件恒等式的證明要認真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當?shù)耐緩?，常用代入法、消元法、兩頭湊法．

答案精析問題導學知識點一思考1∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ，,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ，))∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考2α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).梳理(1)eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)](2)2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)知識點二思考sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，即sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).知識點三思考1結(jié)果是cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝1－2sin2eq\f(α,2)＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2).思考2∵cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，∴coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，同理sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).思考3taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).梳理(1)±eq\r(\f(1－cosα,2))(2)±eq\r(\f(1＋cosα,2))(3)±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)題型探究例1解(1)sin37.5°cos7.5°＝eq\f(1,2)[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝eq\f(1,2)(sin45°＋sin30°)＝eq\f(\r(2)＋1,4).(2)sin20°·sin40°·sin80°＝－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－20°)]·sin80°＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,2)sin80°cos20°＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(sin100°＋sin60°)＝－eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(1,4)sin80°＋eq\f(\r(3),8)＝eq\f(\r(3),8).(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)[sin90°＋sin(－50°)]－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－40°)]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin50°－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4).跟蹤訓練1解原式＝－2sinθ·[cos120°－cos(－2θ)]＝－2sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－cos2θ))＝sinθ＋2sinθcos2θ＝sinθ＋sin3θ－sinθ＝sin3θ.例2解因為cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2). ①又因為sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，所以2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3). ②因為sineq\f(α－β,2)≠0，所以由①②得－taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(3,2)，即taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2).所以sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq\f(12,13).跟蹤訓練2解原式＝(sin20°＋cos50°)2－sin20°·cos50°＝(2sin30°·cos10°)2－eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝cos210°－eq\f(1,2)cos20°＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋cos20°,2)－eq\f(1,2)cos20°＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).例3解(1)∵180°＜θ＜270°，∴90°＜eq\f(θ,2)＜135°，∴taneq\f(θ,2)＜0.∵cosθ＝eq\f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝－eq\f(3,5)，∴tan2eq\f(θ,2)＝4，∴taneq\f(θ,2)＝－2.(2)∵eq\f(2sinθ＋cosθ,sinθ－3cosθ)＝－5，∴eq\f(2tanθ＋1,tanθ－3)＝－5，∴tanθ＝2.又cos2θ＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5)，sin2θ＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4,5)，∴3cos2θ＋4sin2θ＝－eq\f(9,5)＋eq\f(16,5)＝eq\f(7,5).跟蹤訓練3解∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝3，∴eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，∴tanθ＝eq\f(1,2).sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)－eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)－1＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)－1＝－eq\f(4,5).例4證明要證原式，可以證明eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋co