第2課時(shí)球坐標(biāo)系[核心必知]1．球坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角θ.這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，φ，θ)表示．這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，φ，θ)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，φ，θ)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π．在測(cè)量實(shí)踐中，球坐標(biāo)中的角θ稱為被測(cè)點(diǎn)P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ稱為高低角．2．空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換關(guān)系為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφ·cosθ，,y＝rsinφ·sinθ，,z＝rcosφＷ.))[問(wèn)題思考]1．在球坐標(biāo)系中，方程r＝r0(r0為正常數(shù))表示什么圖形？提示：在空間的球坐標(biāo)系中，方程r＝r0(r0為正常數(shù))表示球心在原點(diǎn)，半徑為r0的球面．2．在球坐標(biāo)系中，方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示什么圖形？提示：在球坐標(biāo)系中，方程θ＝θ0(0≤θ<2π)表示過(guò)z軸的半平面，它與zOx坐標(biāo)面的夾角為θ0.3．在球坐標(biāo)系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示什么圖形？提示：在球坐標(biāo)系中，方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，半頂角為φ0的圓錐面，它的中心軸是z軸，φ0＜eq\f(π,2)時(shí)它在上半空間，φ0＞eq\f(π,2)時(shí)它在下半空間，φ0＝eq\f(π,2)時(shí)它是xOy平面(如圖所示)．已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(5π,6)，\f(4π,3)))，求它的直角坐標(biāo)．[精講詳析]本題考查球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系，解答本題需要先搞清球坐標(biāo)(5，eq\f(5π,6)，eq\f(4π,3))中各個(gè)坐標(biāo)的意義，然后代入相應(yīng)的公式求解即可．∵M(jìn)的球坐標(biāo)為(5，eq\f(5π,6)，eq\f(4π,3))，∴r＝5，φ＝eq\f(5π,6)，θ＝eq\f(4π,3).由變換公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5sin\f(5π,6)cos\f(4π,3)＝－\f(5,4)，,y＝5sin\f(5π,6)sin\f(4π,3)＝－\f(5\r(3),4)，,z＝5cos\f(5π,6)＝－\f(5\r(3),2).))故它的直角坐標(biāo)為(－eq\f(5,4)，－eq\f(5\r(3),4)，－eq\f(5\r(3),2))．eq\a\vs4\al(——————————————————)已知球坐標(biāo)求直角坐標(biāo)，可根據(jù)變換公式直接求解，但要分清哪個(gè)角是φ，哪個(gè)角是θ.1．已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4)，\f(π,4)))求它的直角坐標(biāo)．解：由變換公式得：x＝rsinφcosθ＝4sineq\f(3π,4)coseq\f(π,4)＝2.y＝rsinφsinθ＝4sineq\f(3π,4)sineq\f(π,4)＝2.z＝rcosφ＝4coseq\f(3π,4)＝－2eq\r(2).∴它的直角坐標(biāo)為(2，2，－2eq\r(2))．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，1，eq\r(2))，求它的球坐標(biāo)．[精講詳析]本題考查直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換關(guān)系，解答本題只需將已知條件代入變換公式求解即可，但應(yīng)注意θ與φ的取值范圍．由坐標(biāo)變換公式，可得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2.由rcosφ＝z＝eq\r(2)，得cosφ＝eq\f(\r(2),r)＝eq\f(\r(2),2)，φ＝eq\f(π,4).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，θ＝eq\f(π,4)(x>0，y>0)，從而知M點(diǎn)的球坐標(biāo)為(2，eq\f(π,4)，eq\f(π,4))．eq\a\vs4\al(——————————————————)由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時(shí)，我們可以先設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，θ，φ)，再利用變換公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ))求出r、θ、φ代入點(diǎn)的球坐標(biāo)即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y,x)，cosφ＝eq\f(z,r).特別注意由直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)時(shí)，θ和φ的取值應(yīng)首先看清點(diǎn)所在的象限，準(zhǔn)確取值，才能無(wú)誤．2．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(6),4)，－\f(\r(2),2)))，求它的球坐標(biāo)．解：由變換公式得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(\f(2,16)＋\f(6,16)＋\f(2,4))＝1，由rcosφ＝z＝－eq\f(\r(2),2)得cosφ＝－eq\f(\r(2),2)，φ＝eq\f(3π,4).又tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\r(3)(x>0，y>0)，得θ＝eq\f(π,3).∴M的球坐標(biāo)為(1，eq\f(3π,4)，eq\f(π,3))．在赤道平面上，我們選取地球球心O為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立坐標(biāo)系．有A、B兩個(gè)城市，它們的球坐標(biāo)分別為A(R，eq\f(π,4)，eq\f(π,6))，B(R，eq\f(π,4)，eq\f(2π,3))，飛機(jī)沿球的大圓圓弧飛行時(shí)，航線最短，求最短的路程．[精講詳析]本題考查球坐標(biāo)系的應(yīng)用以及球面上的最短距離問(wèn)題．解答本題需要搞清球的大圓的圓心角及求法．如圖所示，因?yàn)锳(R，eq\f(π,4)，eq\f(π,6))，B(R，eq\f(π,4)，eq\f(2π,3))，可知∠AOO1＝∠O1OB＝eq\f(π,4)，∴∠O1AO＝∠O1BO＝eq\f(π,4).又∠EOC＝eq\f(π,6)，∠EOD＝eq\f(2π,3)，∴∠COD＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴∠AO1B＝∠COD＝eq\f(π,2).在Rt△OO1B中，∠O1BO＝eq\f(π,4)，OB＝R，∴O1B＝O1A＝eq\f(\r(2),2)R.∵∠AO1B＝eq\f(π,2)，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝eq\f(π,3).故飛機(jī)經(jīng)過(guò)A、B兩地的大圓，航線最短，其路程為eq\f(π,3)R.eq\a\vs4\al(——————————————————)我們根據(jù)A、B兩地的球坐標(biāo)找到緯度和經(jīng)度，當(dāng)飛機(jī)沿著過(guò)A、B兩地的大圓飛行時(shí)，飛機(jī)最快，求所飛行的路程實(shí)際上是要求我們求出過(guò)A、B兩地的球面距離．3.用兩平行面去截球，如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(π,4)，θA))、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(3π,4)，θB))，求出這兩個(gè)截面間的距離．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝eq\f(π,4)，∠BOO1＝eq\f(3π,4)，∴在△AOO1中，OO1＝4eq\r(2).在△BOO2中，∠BOO2＝eq\f(π,4)，OB＝8，∴OO2＝4eq\r(2)，則O1O2＝OO1＋OO2＝8eq\r(2).即兩個(gè)截面間的距離O1O2為8eq\r(2).本課時(shí)考點(diǎn)在近幾年的高考中未出現(xiàn)過(guò)．本考題以空間兩點(diǎn)間的距離為載體考查了空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化．[考題印證]在球坐標(biāo)系中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)，\f(π,4)))和B(2，eq\f(3π,4)，eq\f(3π,4))的距離為_(kāi)_______．[命題立意]本題考查空間球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及空間兩點(diǎn)間的距離公式．[解析]A、B兩點(diǎn)化為直角坐標(biāo)分別為：A(1，1，eq\r(2))、B(－1，1，－eq\r(2))．∴|AB|＝eq\r([1－（－1）]2＋（1－1）2＋[\r(2)－（－\r(2)）]2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)一、選擇題1．已知一個(gè)點(diǎn)的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)，\f(π,4)))，則它的高低角為()A．－eq\f(π,4)B.eqB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eqD.eq\f(π,3)解析：選A∵φ＝eq\f(3π,4)，∴它的高低角為eq\f(π,2)－φ＝－eq\f(π,4).2．已知一個(gè)點(diǎn)的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,6)，\f(π,3)))，則它的方位角為()A.eq\f(π,3)B.eqB.q\f(π,6)C.eq\f(2π,3)D.eqD.\f(5π,6)解析：選Aθ＝eq\f(π,3)，即它的方位角為eq\f(π,3).3．點(diǎn)P的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)，π))，則它的直角坐標(biāo)為()A．(1，0，0)B．(－1，－1，0)C．(0，－1，0)D．(－1，0，0)解析：選Dx＝rsinφcosθ＝1·sineq\f(π,2)·cosπ＝－1，y＝rsinφsinθ＝1·sineq\f(π,2)sinπ＝0，z＝rcosφ＝1·coseq\f(π,2)＝0，∴它的直角坐標(biāo)為(－1，0，0)．4．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，2))，則其球坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(π,3)，\f(π,6)))B.eqB.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(π,6)，\f(π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,3)，\f(π,3)))D.eqD.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)，\f(π,3)))解析：選Br＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋（\f(\r(3),3)）2＋22)＝eq\f(4\r(3),3)cosφ＝eq\f(z,r)＝eq\f(2,\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∴φ＝eq\f(π,6).tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(3),3)又y＞0，x＞0，∴θ＝eq\f(π,6).∴球坐標(biāo)為(eq\f(4\r(3),3)，eq\f(π,6)，eq\f(π,6))．二、填空題5．以地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地球赤道平面為xOy坐標(biāo)面，由原點(diǎn)指向北極點(diǎn)的連線方向?yàn)閦軸正向，本初子午線所在平面為zOx坐標(biāo)面，如圖所示，若某地在西經(jīng)60°，南緯45°，地球的半徑為R，則該地的球坐標(biāo)可表示為_(kāi)_______．解析：由球坐標(biāo)的定義可知，該地的球坐標(biāo)為(R，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,3))．答案：(R，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,3))6．已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,4)，\f(3π,4)))，則它的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______，它的柱坐標(biāo)是________．解析：由坐標(biāo)變換公式直接得直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo)．答案：(－2，2，2eq\r(2))(2eq\r(2)，eq\f(3π,4)，2eq\r(2))7．設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1，－1，eq\r(2))，則它的球坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：由坐標(biāo)變換公式，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(1＋1＋2)＝2，cosφ＝eq\f(z,r)＝eq\f(\r(2),2)，∴φ＝eq\f(π,4).∵tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(－1,－1)＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝eq\f(5π,4).∴M的球坐標(biāo)為(2，eq\f(π,4)，eq\f(5π,4))．答案：(2，eq\f(π,4)，eq\f(5π,4))8．在球坐標(biāo)系中，方程r＝1表示________，方程φ＝eq\f(π,4)表示空間的________．解析：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)球坐標(biāo)的定義判斷形狀．答案：球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸截面頂角為eq\f(π,2)的圓錐面三、解答題9．如圖，請(qǐng)你說(shuō)出點(diǎn)M的球坐標(biāo)．解：由球坐標(biāo)的定義，記|OM|＝R，OM與z軸正向所夾的角為φ，設(shè)M在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ.這樣點(diǎn)M的位置就可以用有序數(shù)組(R，φ，θ)表示．∴M點(diǎn)的球坐標(biāo)為：M(R，φ，θ)．10．已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為