一、一元二次方程的定義與一般形式（一）定義一元二次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），且未知數(shù)的最高次數(shù)為2（二次）的整式方程。例如：\(x^2-3x+2=0\)（符合）；\(2x^2+5=0\)（符合，一次項(xiàng)系數(shù)為0）；\(\frac{1}{x^2}+x=1\)（不符合，不是整式方程）；\(x^3-2x^2=0\)（不符合，最高次數(shù)為3）。（二）一般形式一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)一般形式為：\[ax^2+bx+c=0\]其中，\(a\)（二次項(xiàng)系數(shù)）、\(b\)（一次項(xiàng)系數(shù)）、\(c\)（常數(shù)項(xiàng)）為實(shí)數(shù)，且\(a\neq0\)（若\(a=0\)，方程退化為一元一次方程\(bx+c=0\)）。（三）注意事項(xiàng)判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，需先整理成一般形式，再檢查：1.是否為整式方程；2.是否只含一個(gè)未知數(shù)；3.未知數(shù)的最高次數(shù)是否為2；4.二次項(xiàng)系數(shù)是否不為0。二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法有直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法四種，需根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適方法。（一）直接開(kāi)平方法1.適用情況形如\((x+m)^2=n\)（\(n\geq0\)）的方程（左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)）。2.解法步驟（1）將方程化為\((x+m)^2=n\)的形式；（2）開(kāi)平方得\(x+m=\pm\sqrt{n}\)；（3）解得\(x=-m\pm\sqrt{n}\)。3.舉例解：\((x-2)^2=9\)步驟：開(kāi)平方得\(x-2=\pm3\)；解得\(x_1=2+3=5\)，\(x_2=2-3=-1\)。（二）配方法1.適用情況所有一元二次方程（通用方法，但計(jì)算量較大），尤其適用于二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程。2.解法步驟（1）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得\(ax^2+bx=-c\)；（2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊除以\(a\)（\(a\neq0\)），得\(x^2+\frac{a}x=-\frac{c}{a}\)；（3）配方：兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式：\[x^2+\frac{a}x+\left(\frac{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{2a}\right)^2\]即\(\left(x+\frac{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)；（4）開(kāi)平方：若右邊非負(fù)（\(b^2-4ac\geq0\)），則開(kāi)平方得\(x+\frac{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)；（5）求解：解得\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（此即為求根公式）。3.舉例解：\(x^2+4x-5=0\)步驟：移項(xiàng)得\(x^2+4x=5\)；配方：加\((4/2)^2=4\)，得\(x^2+4x+4=5+4\)，即\((x+2)^2=9\)；開(kāi)平方得\(x+2=\pm3\)；解得\(x_1=1\)，\(x_2=-5\)。（三）公式法1.適用情況所有一元二次方程（通用方法，尤其適用于無(wú)法因式分解或配方麻煩的方程）。2.解法步驟（1）將方程化為一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）；（2）計(jì)算判別式\(\Delta=b^2-4ac\)，判斷根的情況：若\(\Delta>0\)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；若\(\Delta=0\)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；若\(\Delta<0\)，方程無(wú)實(shí)根；（3）若\(\Delta\geq0\)，代入求根公式：\[x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]3.舉例解：\(2x^2-3x-1=0\)步驟：一般形式：\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=-1\)；計(jì)算判別式：\(\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-1)=9+8=17>0\)；代入求根公式：\(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)；解得\(x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}\)。（四）因式分解法1.適用情況方程右邊為0，且左邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積（如\((x-m)(x-n)=0\)）。2.解法步驟（1）移項(xiàng)：將方程化為\(ax^2+bx+c=0\)（右邊為0）；（2）因式分解：將左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積，如\((px+q)(rx+s)=0\)；（3）轉(zhuǎn)化為一元一次方程：根據(jù)“若兩個(gè)數(shù)的乘積為0，則至少有一個(gè)數(shù)為0”，得\(px+q=0\)或\(rx+s=0\)；（4）求解：解兩個(gè)一元一次方程，得原方程的根。3.常見(jiàn)因式分解方法（1）提公因式法：如\(2x^2-4x=0\)，提公因式得\(2x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)；（2）平方差公式：如\(x^2-9=0\)，分解為\((x+3)(x-3)=0\)，解得\(x=-3\)或\(x=3\)；（3）十字相乘法：如\(x^2-5x+6=0\)，分解為\((x-2)(x-3)=0\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)（十字相乘：\(x\timesx=x^2\)，\(-2\times(-3)=6\)，\(-2x+(-3x)=-5x\)）。4.舉例解：\(x^2-3x+2=0\)步驟：因式分解：\((x-1)(x-2)=0\)；轉(zhuǎn)化為一元一次方程：\(x-1=0\)或\(x-2=0\)；解得\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（五）解法選擇策略若方程形如\((x+m)^2=n\)（\(n\geq0\)），優(yōu)先選直接開(kāi)平方法；若方程左邊能快速因式分解，優(yōu)先選因式分解法；若方程二次項(xiàng)系數(shù)為1且一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，優(yōu)先選配方法；若以上方法均不適用，選公式法（通用但計(jì)算量大）。三、根的判別式（\(\Delta\)）（一）定義對(duì)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），判別式為：\[\Delta=b^2-4ac\]（二）根的情況與\(\Delta\)的關(guān)系當(dāng)\(\Delta>0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；當(dāng)\(\Delta=0\)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（此時(shí)根為\(x=-\frac{2a}\)）；當(dāng)\(\Delta<0\)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根（此時(shí)根為復(fù)數(shù)，初中階段不要求）。（三）應(yīng)用場(chǎng)景1.判斷根的情況：無(wú)需解方程，直接通過(guò)\(\Delta\)判斷根的個(gè)數(shù)；2.求參數(shù)范圍：若方程有特定根的情況（如有實(shí)根、有兩個(gè)不相等實(shí)根），可列關(guān)于參數(shù)的不等式；3.驗(yàn)證解法正確性：解方程后，可通過(guò)\(\Delta\)驗(yàn)證根的個(gè)數(shù)是否合理。（四）舉例例1：判斷方程\(x^2+2x+3=0\)的根的情況。解：\(\Delta=2^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\)，方程無(wú)實(shí)根。例2：若方程\(kx^2+2x+1=0\)有兩個(gè)不相等實(shí)根，求\(k\)的取值范圍。解：首先，\(k\neq0\)（二次項(xiàng)系數(shù)不為0）；其次，\(\Delta=2^2-4\timesk\times1=4-4k>0\)，解得\(k<1\)；綜上，\(k<1\)且\(k\neq0\)。四、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（一）定理內(nèi)容對(duì)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），若其有兩個(gè)實(shí)根\(x_1\)、\(x_2\)（即\(\Delta\geq0\)），則：\[x_1+x_2=-\frac{a}\]\[x_1x_2=\frac{c}{a}\]（二）前提條件\(\Delta\geq0\)（方程有實(shí)根）。若\(\Delta<0\)，韋達(dá)定理無(wú)意義。（三）應(yīng)用場(chǎng)景1.求根的對(duì)稱(chēng)式：如\(x_1^2+x_2^2\)、\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)、\(|x_1-x_2|\)等，可通過(guò)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)的組合；2.構(gòu)造一元二次方程：若已知兩個(gè)數(shù)\(x_1\)、\(x_2\)，則以它們?yōu)楦囊辉畏匠虨閈(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0\)；3.判斷根的符號(hào)：通過(guò)\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)的符號(hào)判斷根的正負(fù)（如\(x_1x_2>0\)則兩根同號(hào)，\(x_1+x_2>0\)則正根絕對(duì)值大）。（四）常見(jiàn)變形公式\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)；\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)；\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)；\(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\)。（五）舉例例1：已知方程\(x^2-3x+2=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求\(x_1^2+x_2^2\)的值。解：由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=2\)；變形得\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2\times2=9-4=5\)。例2：已知方程的兩根為\(-1\)和\(2\)，構(gòu)造一元二次方程。解：兩根之和：\(-1+2=1\)；兩根之積：\(-1\times2=-2\)；方程為\(x^2-1x-2=0\)，即\(x^2-x-2=0\)。例3：若方程\(x^2+mx+n=0\)的兩根為正數(shù)，求\(m\)、\(n\)的取值范圍。解：首先，\(\Delta=m^2-4n\geq0\)（有實(shí)根）；其次，\(x_1+x_2=-m>0\)（兩根之和為正）；最后，\(x_1x_2=n>0\)（兩根之積為正）；綜上，\(m<0\)，\(n>0\)，且\(m^2\geq4n\)。五、一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用一元二次方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景包括面積問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)問(wèn)題等。（一）面積問(wèn)題解題關(guān)鍵：根據(jù)圖形面積公式，設(shè)未知數(shù)，列方程。例：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2米，面積為15平方米，求長(zhǎng)和寬。解：設(shè)寬為\(x\)米，則長(zhǎng)為\((x+2)\)米；列方程：\(x(x+2)=15\)；整理得：\(x^2+2x-15=0\)；因式分解：\((x+5)(x-3)=0\)；解得：\(x_1=-5\)（舍去，長(zhǎng)度不能為負(fù)），\(x_2=3\)；長(zhǎng)為\(3+2=5\)米；答：寬3米，長(zhǎng)5米。（二）增長(zhǎng)率問(wèn)題解題關(guān)鍵：增長(zhǎng)率公式為\(a(1+r)^n=b\)（\(a\)為初始量，\(r\)為增長(zhǎng)率，\(n\)為增長(zhǎng)次數(shù)，\(b\)為最終量）。例：某工廠去年產(chǎn)值100萬(wàn)元，今年產(chǎn)值121萬(wàn)元，求年平均增長(zhǎng)率。解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為\(x\)；列方程：\(100(1+x)^2=121\)；兩邊除以100：\((1+x)^2=1.21\)；開(kāi)平方：\(1+x=\pm1.1\)；解得：\(x_1=0.1=10\%\)，\(x_2=-2.1\)（舍去，增長(zhǎng)率不能為負(fù)）；答：年平均增長(zhǎng)率為10%。（三）利潤(rùn)問(wèn)題解題關(guān)鍵：利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)量，設(shè)售價(jià)為\(x\)，銷(xiāo)量為關(guān)于\(x\)的一次函數(shù)，列利潤(rùn)方程。例：某商品進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)\(x\)元時(shí)，每天銷(xiāo)量為\(100-5x\)件（\(x\leq20\)，否則銷(xiāo)量為負(fù)），求利潤(rùn)最大時(shí)的售價(jià)。解：利潤(rùn)\(y=(x-20)(100-5x)\)；展開(kāi)得：\(y=-5x^2+200x-2000\)；二次函數(shù)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為\(x=-\frac{2a}=-\frac{200}{2\times(-5)}=20\)；當(dāng)\(x=20\)時(shí)，利潤(rùn)最大；答：利潤(rùn)最大時(shí)的售價(jià)為20元（此時(shí)利潤(rùn)為0？需調(diào)整例子，如銷(xiāo)量為\(200-10x\)，則\(y=(x-20)(200-10x)=-10x^2+400x-4000\)，頂點(diǎn)\(x=20\)，利潤(rùn)為0，說(shuō)明例子需調(diào)整為銷(xiāo)量隨售價(jià)升高而減少，如\(500-10x\)，進(jìn)價(jià)10元，則\(y=(x-10)(500-10x)=-10x^2+600x-5000\)，頂點(diǎn)\(x=30\)，利潤(rùn)為\(y=-10\times900+600\times30-5000=-9000+____-5000=4000\)元，此時(shí)售價(jià)30元，利潤(rùn)最大）。（四）運(yùn)動(dòng)問(wèn)題解題關(guān)鍵：根據(jù)運(yùn)動(dòng)公式（如自由下落公式\(s=\frac{1}{2}gt^2\)，\(g=10\)），列方程。例：物體從高處自由下落，下落距離\(s=5t^2\)（\(t\)為時(shí)間，單位秒），若下落20米，求時(shí)間\(t\)。解：列方程：\(5t^2=20\)；兩邊除以5：\(t^2=4\)；開(kāi)平方：\(t=\pm2\)；解得：\(t=2\)（舍去負(fù)根，時(shí)間不能為負(fù)）；答：時(shí)間為2秒。（五）注意事項(xiàng)實(shí)際問(wèn)題中，解出的根需檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、人數(shù)、增長(zhǎng)率不能為負(fù)，銷(xiāo)量不能為負(fù)等），不符合的根要舍去。六、易錯(cuò)點(diǎn)提醒（一）忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0例：解方程\((k-1)x^2+2x+1=0\)，學(xué)生可能直接用韋達(dá)定理，但需先確認(rèn)\(k\neq1\)。（二）配方時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤例：配方法解\(x^2