七年級(jí)中學(xué)生因式分解鞏固訓(xùn)練題集——涵蓋提公因式/公式法/分組分解，夯實(shí)基礎(chǔ)提升能力一、因式分解核心知識(shí)點(diǎn)回顧因式分解是將多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式乘積的形式，是代數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)。七年級(jí)需掌握以下核心方法：1.提公因式法定義：提取多項(xiàng)式各項(xiàng)的最大公因式（系數(shù)取最大公約數(shù)，字母取最低次冪），將多項(xiàng)式分解為“公因式×剩余部分”。步驟：①找公因式；②提公因式；③檢查剩余部分是否能繼續(xù)分解。示例：$6x^2y-9xy^2=3xy(2x-3y)$（公因式為$3xy$）。2.平方差公式法公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（兩項(xiàng)式，符號(hào)相反，均為完全平方項(xiàng)）。注意：$a$、$b$可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（整體思想）。示例：$4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$（$a=2x$，$b=3$）；$(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$（整體看作$a$）。3.完全平方公式法公式：$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$（三項(xiàng)式，首尾為平方項(xiàng)，中間項(xiàng)為“$2×a×b$”）。注意：中間項(xiàng)的符號(hào)與右邊括號(hào)內(nèi)的符號(hào)一致。示例：$x^2-6x+9=(x-3)^2$（$a=x$，$b=3$，中間項(xiàng)為$-2×x×3$）；$4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$（$a=2a$，$b=3b$）。4.簡(jiǎn)單分組分解法（拓展）適用場(chǎng)景：四項(xiàng)及以上多項(xiàng)式，分組后每組能提公因式或用公式。常見分組方式：①按系數(shù)分組；②按字母分組；③按公式分組。示例：$xy+x+y+1=(xy+x)+(y+1)=x(y+1)+1(y+1)=(x+1)(y+1)$（分組提公因式）。二、分層鞏固訓(xùn)練題（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練（10題）——聚焦基本方法1.$2x^2-4xy$2.$-3a^3+6a^2b$3.$7mn^2-14m^2n$4.$x^2-16$5.$25y^2-1$6.$x^2+10x+25$7.$9a^2-12ab+4b^2$8.$-x^2+6x-9$（提示：先提負(fù)號(hào)）9.$3x(x-2)-(x-2)$（提示：公因式為多項(xiàng)式）10.$4b^2-8b+4$（二）提升訓(xùn)練（8題）——綜合應(yīng)用技巧1.$2x^3-8x$（提公因式后用平方差）2.$-3x^2+12x-12$（提公因式后用完全平方）3.$81x^4-1$（兩次平方差）4.$(x-3)^2-25$（整體用平方差）5.$x^2-y^2+4y-4$（分組后用平方差）6.$a^2-2a(b-c)+(b-c)^2$（整體用完全平方）7.$5x^2y-10xy^2+5y^3$（提公因式后用完全平方）8.$-16x^2+24xy-9y^2$（提負(fù)號(hào)后用完全平方）（三）拓展訓(xùn)練（5題）——探索高階思路1.$ab+a+b+1$（分組提公因式）2.$x^2+xy+bx+by$（分組提公因式）3.$(x^2+3x)^2-(x+2)^2$（整體用平方差）4.$a^2-b^2-2a+1$（分組后用平方差）5.$2x^2-4xy+2y^2-8$（分組后提公因式）三、解題技巧與易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)（一）關(guān)鍵解題技巧1.優(yōu)先提公因式：任何因式分解都要先檢查公因式，避免漏步。例如$3x^2-6x=3x(x-2)$（提公因式后無需再分解）。2.兩項(xiàng)式看平方差：兩項(xiàng)式且符號(hào)相反，優(yōu)先嘗試平方差公式。例如$1-4x^2=(1+2x)(1-2x)$（注意$a$可以是常數(shù)）。3.三項(xiàng)式看完全平方：三項(xiàng)式且首尾為平方項(xiàng)，中間項(xiàng)為“$2×$首尾平方根乘積”，用完全平方公式。例如$x^2-4x+4=(x-2)^2$（中間項(xiàng)是$-2×x×2$）。4.四項(xiàng)式試分組：將四項(xiàng)分成兩組，每組分解后有公共因式。例如$x^2+2x+3x+6=(x^2+2x)+(3x+6)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$（分組提公因式）。（二）常見易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.公因式漏提：例如$4x^2-8x$，容易只提$4$得$4(x^2-2x)$，正確應(yīng)為$4x(x-2)$（漏提字母$x$）。2.符號(hào)處理錯(cuò)誤：例如$-x^2+9$，正確分解為$-(x^2-9)=-(x+3)(x-3)$，或直接寫成$9-x^2=(3+x)(3-x)$（注意順序不影響結(jié)果）。3.公式記錯(cuò)：完全平方公式中間項(xiàng)是$2ab$，不是$ab$。例如$x^2+2x+1=(x+1)^2$（正確），而$x^2+x+1$不能用完全平方公式（中間項(xiàng)是$x$，不是$2x$）。4.分解不徹底：例如$x^4-16$，分解為$(x^2+4)(x^2-4)$后，$x^2-4$還能繼續(xù)分解為$(x+2)(x-2)$，最終結(jié)果應(yīng)為$(x^2+4)(x+2)(x-2)$。四、訓(xùn)練題答案與解析（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練答案1.$2x(x-2y)$（提公因式$2x$）2.$-3a^2(a-2b)$（提公因式$-3a^2$）3.$7mn(n-2m)$（提公因式$7mn$）4.$(x+4)(x-4)$（平方差公式）5.$(5y+1)(5y-1)$（平方差公式）6.$(x+5)^2$（完全平方公式）7.$(3a-2b)^2$（完全平方公式）8.$-(x-3)^2$（提負(fù)號(hào)得$-(x^2-6x+9)$，再用完全平方）9.$(x-2)(3x-1)$（提公因式$(x-2)$）10.$4(b-1)^2$（提公因式$4$得$4(b^2-2b+1)$，再用完全平方）（二）提升訓(xùn)練答案1.$2x(x+2)(x-2)$（提公因式$2x$得$2x(x^2-4)$，再用平方差）2.$-3(x-2)^2$（提公因式$-3$得$-3(x^2-4x+4)$，再用完全平方）3.$(9x^2+1)(3x+1)(3x-1)$（先算$81x^4-1=(9x^2)^2-1^2=(9x^2+1)(9x^2-1)$，再分解$9x^2-1$）4.$(x+2)(x-8)$（把$(x-3)$看作$a$，得$a^2-5^2=(a+5)(a-5)$，代入得$(x-3+5)(x-3-5)=(x+2)(x-8)$）5.$(x-y+2)(x+y-2)$（分組為$x^2-(y^2-4y+4)=x^2-(y-2)^2$，再用平方差）6.$(a-b+c)^2$（把$(b-c)$看作$b$，得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$）7.$5y(x-y)^2$（提公因式$5y$得$5y(x^2-2xy+y^2)$，再用完全平方）8.$-(4x-3y)^2$（提負(fù)號(hào)得$-(16x^2-24xy+9y^2)$，再用完全平方）（三）拓展訓(xùn)練答案1.$(a+1)(b+1)$（分組為$(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+1(b+1)$）2.$(x+y)(x+b)$（分組為$(x^2+xy)+(bx+by)=x(x+y)+b(x+y)$）3.$(x^2+4x+2)(x^2+2x-2)$（把$(x^2+3x)$看作$a$，$(x+2)$看作$b$，得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得$(x^2+3x+x+2)(x^2+3x-x-2)=(x^2+4x+2)(x^2+2x-2)$）4.$(a-1-b)(a-1+b)$（分組為$(a^2-2a+1)-b^2=(a-1)^2-b^2$，再用平方差）5.$2(x-y)^2-8=2[(x-y)^2-4]=2(x-y+2)(x-y-2)$（先提公因式$2$，再用平方差）五、使用建議1.基礎(chǔ)訓(xùn)練：每天完成5題，重點(diǎn)練速度與準(zhǔn)確性，確保公因式提取、公式應(yīng)用無誤（如第8題的負(fù)號(hào)處理、第9題的多項(xiàng)式公因式）。2.提升訓(xùn)練：每?jī)商焱瓿?題，重點(diǎn)練綜合應(yīng)用（如提公因式后用公式、整體思想），建議寫出每一步的思考過程（如“