第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的

頻域分析

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.2非周期信號的傅里葉變換分析3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

3.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析應(yīng)用舉例3.6抽樣及抽樣定理

3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.1.1三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)由數(shù)學分析課程中傅里葉級數(shù)的定義得到，周期信號f(t)可由三角函數(shù)的線性組合來表示。若周期信號f(t)的周期為T，角頻率為,則f(t)可分解為(3-1)式中，n為正整數(shù)，各項三角函數(shù)的振幅a0,a1,a2,…,b1,b2,…稱為傅里葉級數(shù)的系數(shù)，式(3-1)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)。各傅里葉級數(shù)的系數(shù)有以下定義：直流分量余弦分量正弦分量(3-3)(3-2)(3-4)為方便起見，一般積分區(qū)間都取為0~T或。三角函數(shù)集{1，cosω0t,cos2ω0t,…,sinω0t,sin2ω0t，…}在區(qū)間(t0,t0+T)中組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集。周期信號f(t)就可以由n個正交函數(shù)的線性組合來近似表達。這種正交函數(shù)集可以是三角函數(shù)集，也可以是復指數(shù)集等。關(guān)于完備正交函數(shù)集及其性質(zhì)在此不作詳細討論，可以參考相關(guān)書籍。必須指出，并非任意周期信號都可以分解為式(3-1)的傅里葉級數(shù)。能分解為式(3-1)的周期信號要滿足狄里赫利(Dirichlet)條件，即

(1)在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。

(2)在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。

(3)在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的，即等于有限值。通常遇到的周期信號都滿足該條件，以后不再特別說明。由式(3-1)可知，將周期信號f(t)展開成傅里葉級數(shù)，就可以知道信號f(t)中直流分量的大小，頻率為ω0的信號分量的振幅和相位，以及頻率為2ω0的信號分量的振幅和相位，等等。通常稱頻率為ω0的信號為基波分量，頻率為2ω0的信號為二次諧波分量，依次類推為三次諧波、四次諧波等。這些分量就表明了信號f(t)的頻率特性。這種頻率特性(頻譜)在稍后介紹。但式(3-1)中的各次諧波的振幅和相位直觀上看還不是很清楚，進一步將式(3-1)中的同頻率信號相合并，可以寫出另一種形式的三角型傅里葉級數(shù)表達式為(3-5)其中(3-6)這里，若將周期信號分解為式(3-5)的傅里葉級數(shù)，則該信號中所含的頻率分量的情況便一清二楚了。從式(3-3)和式(3-4)可知，an與bn都是nω0的函數(shù)，所以An和φn也都nω0的函數(shù)。若n取負值，可知an和An是n的偶函數(shù)，bn與φn是n的奇函數(shù)。如果將An對nω0的關(guān)系繪成圖形，nω0用ω表示，即ω=nω0，n=0,1,2，…，以ω為橫軸，所對應(yīng)的An為縱軸，就可以畫成一種線圖，直觀地表明信號f(t)的各頻率分量的振幅。這種表示之間關(guān)系的圖稱為信號的幅度頻率(幅度譜)，每一條線表示某一頻率分量的振幅，稱為譜線。連接各譜線頂點的曲線稱為包絡(luò)，反映了各分量幅度變化的情況。類似地，還可以畫出之間的線圖，稱為信號的相位頻譜(相位譜)，反映了各分量相位關(guān)系。周期信號的幅度譜和相位譜組成信號的頻率譜(頻譜)，如圖3-1所示。相應(yīng)地，若已知某個信號的頻譜，也可以重構(gòu)此信號。所以頻譜提供了另一種描述信號的方法，即不同的信號，頻譜不同。時域周期信號f(t)可以用其相應(yīng)的頻譜來描述，這種信號的描述方法就叫信號的頻域分析。時域和頻域描述從不同角度給出了信號的特征，是分析系統(tǒng)的基礎(chǔ)。圖3-1周期信號的頻譜【例3-1】將圖3-2(a)所示的周期矩形脈沖信號展開成三角型傅里葉級數(shù)，并畫出其頻譜。圖3-2

【例3-1】圖解周期矩形脈沖信號在一個周期區(qū)間可表示為由式(3-2)~式(3-4)可求出各傅里葉系數(shù)為所以f(t)可展開為為了畫出頻譜，求出振幅和相位，有畫出頻度譜An~ω和相位譜φn~ω如圖3-2(b)、(c)所示?！纠?-2】已知某信號的頻譜如圖3-3所示，求該信號的表達式。解由信號的頻譜可以清楚地得出該信號各頻率分量的振幅和相位，即直流分量A0=1基波分量二次諧波分量其他頻率分量均為零。故可寫出f(t)的表達式為可見，周期信號的頻譜有共同的特性，即所有周期信號的頻譜都是由間隔為ω0的譜線組成的，為離散譜。圖3-3

【例3-2】信號的頻譜3.1.2復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)周期信號的傅里葉級數(shù)也可以表示為復指數(shù)形式。由式(3-1)知將歐拉公式代入上式得令并考慮到得所以有令Fn(0)=a0并考慮到(3-7)可見，周期信號f(t)可以表示為若干個復指數(shù)信號的組合。其中Fn(jnω0)為復指數(shù)信號的系數(shù)。式(3-7)稱為指數(shù)型傅里葉級數(shù)。因為(3-8)所以Fn(jnω0)一般為復函數(shù)，所以稱之為傅里葉級數(shù)的復系數(shù)(復振幅)，通常將Fn(jnω0)簡寫為Fn。將an,bn的定義代入式(3-8)得到(3-9)我們就可以利用式(3-9)計算一個周期信號的復系數(shù)，從而將之表達為指數(shù)型傅里葉系數(shù)。其實，復系數(shù)Fn與傅里葉級數(shù)的其他系數(shù)有密切關(guān)系，即(3-10)(3-11)可見，F(xiàn)n也應(yīng)該是nω0的函數(shù)，且|Fn|為n的偶函數(shù)，φn為n的奇函數(shù)。將nω0用ω代替，也可以得到|Fn|~ω的關(guān)系和φn~ω的關(guān)系，以ω為橫軸，|Fn|與φn為縱橫，畫出|Fn|~ω的譜線，稱為(復數(shù))幅度譜。畫出φn~ω的譜線，稱為(復數(shù))相位譜。二者共同組成信號的復數(shù)頻譜(復頻譜)。值得注意的是，F(xiàn)n中的n可取負整數(shù)，故ω有正有負，即復頻譜中不僅包括正頻率項，而且含有負頻率項，所以經(jīng)常稱復頻譜為雙邊譜，如圖3-4所示；而稱圖3-1所示的頻譜為單邊譜。圖3-4周期信號的雙邊譜對同一個周期信號，它的頻譜只能有一個，我們既可以用三角型傅里葉級數(shù)展開，從而畫出它的單邊譜，又可以用指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開，從而畫出它的雙邊譜。那么雙邊譜和單邊譜如何統(tǒng)一呢？其實這兩種頻譜表示方法實質(zhì)上是一樣的，其不同之處僅是單邊譜中的每條譜線代表一個分量的振幅，而雙邊譜中每個分量的幅度一分為二，在正、負頻率處各為一半，即(3-12)所以，只有兩正、負頻率上對應(yīng)的兩條譜線相加才代表一個頻率分量的振幅；而相位譜是一致的，只要將單邊譜中的相位譜進行奇對稱，畫成雙邊相位譜即可。在雙邊譜中出現(xiàn)的負頻率其實沒有任何物理含義，完全是由于數(shù)學運算的結(jié)果，只有將負頻率項與相應(yīng)的正頻率項成對合并起來，才是實際的頻譜?！纠?-3】將【例3-1】中的周期矩形脈沖信號展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)，并畫出其復頻譜。解根據(jù)Fn的定義有所以相應(yīng)的復頻譜如圖3-5所示。將周期信號的幅度譜和相位譜分開畫，如圖3-5(a)所示。只有當Fn為實數(shù)時，可以將頻譜圖畫在一張圖中，如圖3-5(b)所示。一般情況下，F(xiàn)n為復函數(shù)，幅度譜和相位譜就不能畫在一張圖中，必須分為幅度譜與相位譜兩張圖。圖3-5

【例3-3】矩形脈沖信號的雙邊譜【例3-4】求信號

的頻譜。

解因為所以相應(yīng)的信號波形及其頻譜圖如圖3-6所示。圖3-6

【例3-4】圖【例3-5】已知連續(xù)周期信號，將其表示成復指數(shù)信號形式，并畫出其頻譜。解從f(t)的已知表達形式可知，它是f(t)的三角型傅里葉級數(shù)形式，故知f(t)中含直流分量、基波分量、三次諧波分量，即從傅里葉系數(shù)與復振幅之間的關(guān)系，或單邊譜與雙邊譜之間的關(guān)系可以得出所以將f(t)表示成指數(shù)型傅里葉級數(shù)為畫出相應(yīng)的頻譜如圖3-7所示。圖3-7

【例3-5】的單邊譜和雙邊譜3.1.3周期信號頻譜的特點

在實際應(yīng)用中，周期矩形脈沖信號具有很重要的地位。下面就以周期矩形脈沖信號為例，揭示周期信號的頻譜特點。由前面討論知道，周期矩形脈沖信號的波形及其頻譜如圖3-8所示。通過對周期矩形脈沖信號的頻譜分析，可以歸納出有關(guān)周期信號頻譜結(jié)構(gòu)的一般特點如下：

(1)周期信號的頻譜都是離散譜，譜線間隔為ω0，譜線(諧波分量)只存在于基波頻率ω0的整數(shù)倍上。圖3-8周期矩形脈沖信號及其頻譜

(2)在理論上周期信號的諧波分量是無限多的。在整個頻率范圍內(nèi)高次諧波幅度雖然時有起伏，但總的趨勢是按照一定規(guī)律遞減的。這表明，信號能量主要集中在低頻范圍內(nèi)。對周期矩形脈沖而言，其能量主要集中在第一個過零點以內(nèi)，而且諧波分量的振幅An隨著T增大而減小。

(3)信號的頻帶寬度。基于上述理由，我們把從零頻開始的能量主要集中的頻率范圍稱為信號的有效頻帶寬度，簡稱帶寬。如周期矩形脈沖信號的帶寬為(3-13)

(4)信號的時間特性與頻率特性之間的關(guān)系。從式(3-13)可知，時域中脈沖持續(xù)時間愈短，在頻域中信號占有的頻帶愈寬。

(5)譜線密度與周期T的關(guān)系。因為譜線間隔，所以周期愈大，譜線間隔愈小，譜線愈加密集。當周期信號的周期T趨近于無窮大，即T→∞時，周期信號就變成非周期信號，離散譜將趨近于邊續(xù)譜。3.1.4周期信號頻譜分析的MATLAB實現(xiàn)

利用MATLAB提供的計算定積分的函數(shù)quad和quadv，可以比較方便地計算給定周期信號的傅里葉級數(shù)。quad和quadv的調(diào)用格式為y=quad(FUN,A,B)其中FUN是被積函數(shù)，是字符串或函數(shù)句柄；A，B分別是積分下限和上限。利用該函數(shù)、傅里葉級數(shù)的系數(shù)可由下式求出Fn=quad(FUN,-T/2,T/2)/T其中T是信號的周期?！纠?-6】利用MATLAB求圖3-9所示周期方波的傅里葉函數(shù)，給出幅度譜和相位譜；然后將求得的系數(shù)代入公式,求出f(t)的近似值，畫出N=6時的合成波形。圖3-9

【例3-6】圖解用于求解的MATLAB代碼如下，運行結(jié)果如圖3-9所示。%programch3-6

clear;

T=4;

width=2;

A=0.5;

t1=-T/2:0.01:T/2;

ft1=0.5*［abs(t1)<width/2］;

t2=［t1-Tt1t1+T］;

ft=repmat(ft1,1,3);subplot(3,1,1);plot(t2,ft);xlabel(′t′);title(′originalsquarewaveform′);w0=2*pi/T;N=6;K=0:N;fork=0:Nfactor=［′exp(-j*t*′,num2str(w0),′*′,num2str(k),′)′］;

f_t=［num2str(A),′*rectpuls(t,2)′］;Fn(k+1)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2)/T;endsubplot(3,2,3);stem(K*w0,abs(Fn));xlabel(′nw0′);title(′magnitudespectrum′);

ph=angle(Fn);subplot(3,2,4);stem(K*w0,ph);xlabel(′nw0′);title(′phasespectrum′);

t=-2*T:0.01:2*T;K=［0:N］′;ft=Fn*exp(j*w0*K*t);subplot(3,1,3);plot(f,ft);title(′sythesizedsquarewaveform′);【例3-7】用MATLAB求解【例3-1】的頻譜，設(shè)T=4，τ=2。解求解的代碼如下：

%programch3-7

clear;

T=4;

width=2;

A=0.5;

t1=-T/2:0.01:T/2;

ft1=0.5*［abs(t1)<width/2］;

t2=［t1-Tt1t1+T］;

ft=repmat(ft1,1,3);subplot(2,1,1);plot(t2,ft);xlabel(′t′);title(′originalsquarewaveform′);axis(［-66-0.51］);w0=2*pi/T;N=5;K=0:N;fork=0:Nfactor=［′exp(-j*t*′,num2str(w0),′*′,num2str(k),′)′］;

f_t=［num2str(A),′*rectpuls(t,2)′］;Fn(k+1)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2)/T;endsubplot(2,2,3);stem(K*w0,abs(Fn));xlabel(′nw0′);title(′magnitudespectrum′);holdon;%phaseph=angle(Fn);subplot(2,2,4);stem(K*w0,ph);xlabel(′nw0′);title(′phasespectrum′);運行結(jié)果如圖3-10所示。圖3-10

【例3-7】圖【例3-8】用MATLAB求解【例3-3】。解求解的代碼如下：

%programch3-8

T=4;

width=2;

A=0.5;

t1=-T/2:0.01:T/2;

ft1=0.5*［abs(t1)<width/2］;

t2=［t1-Tt1t1+T］;

ft=repmat(ft1,1,3);

subplot(4,1,1);

plot(t2,ft);xlabel(′t′);title(′originalsquarewaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=50;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［num2str(A),′*rectpuls(t,2)′］;F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2)/T;endsubplot(4,2,3);stem(wk,abs(F));title(′magnitudespectrum′);subplot(4,2,4);stem(wk,angle(F));title(′phasespectrum′);subplot(4,1,3);plot(wk,F);運行結(jié)果如圖3-11所示。圖3-11

【例3-8】圖3.2非周期信號的傅里葉變換分析

3.2.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

周期信號與非周期信號的關(guān)系，從數(shù)學上看，非周期信號就是令周期信號的周期趨于無限大時的極限情況。各種形式的單脈信號就是常見的非周期信號。

上一節(jié)中我們就發(fā)現(xiàn)，周期矩形脈沖信號的譜線密度與周期T相關(guān)。當周期T無限增大時，譜線間隔與譜線高度均將趨于無窮小，而周期矩形脈沖信號就變成單一矩形脈沖。也就是說，非周期信號的頻譜是由無限多個幅度為無窮小的連續(xù)頻率分量所組成的。雖然各頻率分量的絕對幅度為無窮小，但其相對大小仍然是有差別的。為此，有下面頻譜密度函數(shù)的定義。令(3-14)當T→∞時，nω0→ω，即所以有(3-15)F(jω)稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。從式(3-14)的量綱可知，其意義為單位頻率上的幅度，揭示了非周期信號連續(xù)頻譜的規(guī)律。與周期信號的傅里葉級數(shù)(這是fT(t))指周期為T的周期信號)相對應(yīng)，當周期T→∞時，f(t)將成為非周期信號，即有(3-16)式(3-16)表明，非周期信號f(t)可以分解為無限多個虛指數(shù)函數(shù)分量ejωt之和，指數(shù)分量的譜系數(shù)為，是一無窮小量，這些分量的頻率范圍為-∞~+∞，占據(jù)整個頻率域。重新寫出式(3-15)和式(3-16)(3-17)則稱式(3-17)是一對變換式，前者稱為傅里葉(正)變換，簡稱傅氏變換，后者稱為傅里葉逆變換，簡稱傅氏逆變換。傅氏變換是將非周期信號的時間函數(shù)變換為相應(yīng)的頻譜函數(shù)；傅氏逆變換是將信號的頻譜函數(shù)變換為相應(yīng)的時間函數(shù)。這種相互變換的關(guān)系給出了信號的時域特性和頻域特性之間的一一對應(yīng)關(guān)系。為了書寫方便，常采用如下符號：即(3-18)(3-19)需要指出的是，傅氏變換和傅氏逆變換都是無窮區(qū)間的廣義積分，因此傅里葉變換存在與否還需要進行數(shù)學證明。本課程不去研究這一復雜的數(shù)學理論證明，只對傅氏變換存在的充分條件加以討論。如果f(t)滿足絕對可積條件，即(3-20)則其傅氏變換F(jω)存在。其實，所有能量信號都能滿足上述絕對可積條件。但這個條件只是充分條件而不是必要條件。一些不滿足絕對可積條件的函數(shù)也可以有傅氏變換。除此之外，還有一些重要函數(shù)，例如沖激信號、階躍信號、周期信號等，當引入δ信號之后，也存在相應(yīng)的傅里葉變換。3.2.2頻譜函數(shù)F(jω)的特性

由式(3-17)可知，F(xiàn)(jω)一般為ω的復函數(shù)，若信號f(t)是實信號，其頻譜函數(shù)可表示為(3-21)從式(3-21)可以得到如下結(jié)論：

(1)實部R(ω)是ω的偶函數(shù)，虛部X(ω)是ω的奇函數(shù)。

(2)模量|F(jω)|代表非周期信號f(t)的各頻經(jīng)分量的相對大小，是ω的偶函數(shù)，幅角φ(ω)則代表相應(yīng)各頻率分量的相位，是ω的奇函數(shù)。

(3)以ω為橫坐標軸，|F(jω)|為縱坐標軸，將|F(jω)|~ω的關(guān)系畫成圖形，就稱為信號的幅度譜；類似地，將φ(ω)~ω的關(guān)系畫成圖形，就稱為信號的相位譜。幅度譜和相位譜就組成一個非周期信號的頻譜，反映了非周期信號的時間特性與頻率特性之間的關(guān)系，也叫信號的頻譜分析。

(4)若信號f(t)為偶函數(shù)，則F(jω)=R(ω)；若f(t)為奇函數(shù)，則F(jω)=jX(ω)。若信號f(t)是虛信號，其頻譜函數(shù)的奇偶性與上述特性有所不同，具體請參照附錄?！纠?-9】求圖3-12(a)所示矩形脈沖信號的頻譜。解圖3-12(a)中所示矩形脈沖信號f(t)的表達式為此函數(shù)的傅氏變換為可見，其振幅譜是相位譜是分別如圖3-12(b)、(c)所示。由【例3-9】可知，若傅氏變換F(jω)是實函數(shù)，頻譜可畫在一張圖上，如圖3-12(b)所示。若F(jω)是復函數(shù)，頻譜只能畫出兩張圖，即分別畫出振幅譜和相位譜，如圖3-12(c)所示。3.2.3典型非周期信號的傅里葉變換

1.矩形脈沖信號(門信號)gτ(t)幅度E=1的矩形脈沖信號gτ(t)的傅里葉變換，由【例3-9】可知為(3-22)相應(yīng)的信號波形及頻譜如圖3-13所示。圖3-13門信號的波形及頻譜2.單邊指數(shù)信號e-atU(t)(a>0)即(3-23)式中|F(jω)|和φ(ω)分別為單邊指數(shù)信號的幅度譜和相位譜。相應(yīng)的信號波形及頻譜如圖3-14所示。圖3-14單邊指數(shù)信號的波形及頻譜3.雙邊指數(shù)信號e-|a|t(a>0)相應(yīng)的信號波形及頻譜如圖3-15所示。(3-24)圖3-15雙邊指數(shù)信號的波形及頻譜4.符號函數(shù)sgn(t)其波形和頻譜如圖3-16所示。圖3-16符號函數(shù)的波形和頻譜5.沖激信號和沖激偶由于所以可知δ′(t)的頻譜函數(shù)F(jω)=jω

即同理可得(3-26)

6.單位直流信號如圖3-17(a)所示，直流信號可看成雙邊指數(shù)信號a→0的極限情況，可根據(jù)雙邊指數(shù)信號的頻譜取極限的情況來求其頻譜。F(jω)顯然是一個沖激函數(shù)，其強度為圖3-17直流信號的波形及頻譜7.階躍信號U(t)把階躍信號作偶分量、奇分量分解，有即信號波形和頻譜如圖3-18所示。圖3-18階躍信號的波形及頻譜常用信號的傅里葉變換及其頻譜請參看附錄。3.2.4非周期信號頻譜的MATLAB求解雖然MATLAB提供了函數(shù)Fourier用于計算符號函數(shù)的傅里葉變換，但多數(shù)情況下用Fourier計算得到的結(jié)果往往非常繁瑣，并不令人滿意。因此，更多情況下，利用MATLAB提供的函數(shù)求信號頻譜的數(shù)值解更為方便。MATLAB提供的計算數(shù)值積分的函數(shù)，可以用來求信號頻譜的數(shù)值解。其中兩個常用的函數(shù)quad和quadl，它們的一般調(diào)用格式如下：y=quad(FUN,a,b)y=quadl(FUN,a,b)其中，F(xiàn)UN是一個表示函數(shù)名稱的字符串或函數(shù)句柄。a，b分別表示積分的下限和上限【例3-10】用MATLAB計算sinc(t)的頻譜，繪出［-2π，2π］之間的頻譜圖。解用于求解MATLAB代碼如下：

%programch3-10

w1=-2*pi;

w2=2*pi;

t1=-10;

t2=10;

N=500;

wk=linspace(w1,w2,N);

F=zeros(1,N);

fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;F(k)=quad(［′sinc(t).*′,factor］,t1,t2);end%drawingsubplot(2,1,1);h=plot(wk/pi,abs(F));h1=get(h,′parent′);set(h1,′xtick′,［-2*pi-pi0pi2*pi］,′xticklabel′,［-2-1012］);xlabel(′unitin＼pi′);title(′magnitudespectrumofsinc(t)′);subplot(2,1,2);h=plot(wk/pi,angle(F));h1=get(n,′parent′);set(h1,′xtick′,［-2*pi-pi0pi2*pi］,′xticklabel′,［-2-1012］;xlabel(′unitin＼pi′);title(′phasespectrumofsinc(t)′);結(jié)果如圖3-19所示。圖3-19

【例3-10】圖【例3-11】用MATLAB求解【例3-9】，設(shè)τ=2,E=1。解求解的代碼如下：

%programch3-11

clear;

T=2;

A=1;

t1=-T:0.01:T;

ft=A*rectpuls(t1,T);

subplot(3,1,1);

plot(t1,ft);

xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);axis(［-22-0.21.2］);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［num2str(A),′*rectpuls(t,2)′］;F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-20所示。3.3傅里葉變換的性質(zhì)

在3.2節(jié)中我們研究了信號的頻譜函數(shù)，并通過傅氏變換對建立了信號的時域和頻域之間的對應(yīng)關(guān)系。在信號分析時，經(jīng)常還需要對時域信號進行某種運算。那么這種運算之后的時域信號在頻域發(fā)生了何種變化，與原信號的頻譜又有何關(guān)系；反過來，若在頻域發(fā)生了某種變化，在時域又有何變動。研究這些問題當然可以使用式(3-17)求積分得到，但這種方法計算過程比較復雜。使用下面所介紹的傅里葉變換的性質(zhì)，就方便得多，而且物理概念也很清楚。3.3.1線性特性若則(3-29)其中，a1和a2為任意常數(shù)。【例3-12】求圖3-21(a)所示信號的頻譜F(jω)。解因為f(t)=f1(t)+f2(t)故所以圖3-21

【例3-12】圖3.3.2對稱特性若則(3-30)該性質(zhì)說明，若偶函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω)，另一與F(jω)形式完全相同的時域信號F(jt)的頻譜函數(shù)就與信號f(t)的形式相同，只相差系數(shù)2π。圖3-22所示就是一個例子。圖3-22沖激信號的傅氏變換和對稱性【例3-13】求信號Sa(ω0t)的頻譜函數(shù)。解由前面典型信號的傅里葉變換知則令所以相應(yīng)的頻譜圖如圖3-23(b)所示。圖3-23

【例3-13】圖3.3.3時移特性若

則(3-32)【例3-14】求的相位譜。解由門信號gτ(t)的頻譜知道它的相位譜如圖3-24(c)所示，則根據(jù)時移特性知的相位譜如圖3-24(d)所示。圖3-24

【例3-14】圖圖3-24中只畫出ω>0的頻譜。讀者可以自行補充完整。3.3.4頻移特性若則結(jié)合歐拉公式和線性特性得(3-33)(3-34)【例3-15】已知矩形調(diào)幅信號f(t)=gτ(t)cos(ω0t)，試求其頻譜函數(shù)。解因為根據(jù)頻移特性，可得其波形及頻譜如圖3-25所示。圖3-25

【例3-15】圖可見，調(diào)幅信號的頻譜等于將gτ(t)的頻譜一分為二，各向左、右移載頻ω0，進行了頻譜搬移。3.3.5時域展縮特性若則(3-35)其中a為非零實常數(shù)。如果對時間信號f(t)既有平移又有展縮，即f(t)變?yōu)閒(at+b)時，它的頻譜函數(shù)為(3-36)【例3-16】已知如圖3-26(a)的函數(shù)是寬度為2的門信號，即f1(t)=g2(t)，其傅里葉變換,求圖3-26(b)、(c)中函數(shù)f2(t)、f3(t)的傅里葉變換。圖3-26

【例3-16】圖解(1)圖3-26(b)中函數(shù)f2(t)可寫為時移信號f1(t+1)與f

1(t-1)之差，即f2(t)=f1(t+1)-f1(t-1)由傅里葉變換的線性和時移特性可得f2(t)的傅里葉變換(2)圖3-26(c)中的函數(shù)f3(t)是f2(t)的壓縮，可寫為f3(t)=f2(2t)由時域展縮特性可得3.3.6時域微分特性

若則(3-37)【例3-17】已知圖3-27(a)所示信號的頻譜函數(shù)為

,求圖(b)所示信號的頻譜函數(shù)。解因為而根據(jù)時域微分性質(zhì)可得圖3-27

【例3-17】圖3.3.7頻域微分特性若則(3-38)【例3-18】求f(t)=t和f(t)=tU(t)的頻譜。解因為則(3-39)又因則(3-40)3.3.8時域積分特性若則(3-41)【例3-19】求圖3-28(a)所示信號f(t)的頻譜F(jω)。解因為f′(t)=g1(t)，如圖3-28(b)所示。有又因又因圖3-28

【例3-19】圖3.3.9卷積特性(卷積定理)卷積定理在信號與系統(tǒng)分析中占有重要地位，是應(yīng)用最廣的性質(zhì)之一，在以后章節(jié)的頻域分析當中，我們將會認識到這一點。

1.時域卷積定理若則式(3-42)稱為時域卷積定理，它說明兩個時間信號卷積的頻譜等于各個時間信號頻譜的乘積，即在時域中兩信號的卷積等效于在頻域中頻譜相乘，即把時域的卷積運算簡化為頻域的代數(shù)運算，這也是頻域分析的目的所在?！纠?-20】求圖3-29所示信號f(t)的頻譜F(jω)。解因為f(t)=gτ(t)*gτ(t)所以圖3-29

【例3-20】圖【例3-21】求圖3-30所示信號f(t)的頻譜F(jω)。解因為

f(t)=g2(t)*δ(t+2)+g2(t)*δ(t-2)所以圖3-30

【例3-21】圖2.頻域卷積定理若則(3-43)【例3-22】求圖3-31(a)所示信號f(t)的頻譜F(jω)，其中f(t)=f1(t)·f2(t)=f1(t)×cos(10πt)。圖3-31

【例3-22】圖解由可知因為所以相應(yīng)的頻譜如圖3-31(b)所示。3.4連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

前面已經(jīng)提到，在時域分析法中，我們采用了一種思想——將復雜問題分解為許多簡單問題的組合，即將普通信號分解成很多單位沖激信號(基本信號)的線性組合。在頻域分析法中我們將采用相同的思想，把普通信號利用傅里葉變換這個工具分解成一系列復指數(shù)信號(基本信號)的線性組合。通過前幾節(jié)內(nèi)容的學習我們已經(jīng)掌握了傅里葉變換這個基本工具，在介紹頻域分析法之前我們先來看看復指數(shù)信號作為分解過程的基本信號具有什么樣的特點。圖3-32復指數(shù)信號經(jīng)過LTI系統(tǒng)復指數(shù)信號有一個非常重要的特性，即：一個LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應(yīng)也是同樣(同頻率)一個復指數(shù)信號，不同的只是在幅度上有個增益，如圖3-32所示。這里H(jω0)是常數(shù)，是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換在ω0處的值。我們可以用時域分析法證明該結(jié)論。根據(jù)時域分析法，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，輸入信號，則輸出為對τ是常數(shù)，可以拿到積分號外面，則證畢。對于更一般的情況，如果輸入信號f(t)是由若干個不同頻率的復指數(shù)信號線性組合而成，即，根據(jù)復指數(shù)信號的性質(zhì)，系統(tǒng)對輸入信號每一個復指數(shù)分量的響應(yīng)為根據(jù)疊加性質(zhì)，系統(tǒng)最后的輸出信號為根據(jù)前面介紹的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換，普通信號可以分解為一系列復指數(shù)信號的線性組合，即積分號內(nèi)F(jω)ejωt即是分解出的信號分量，每一分量經(jīng)過系統(tǒng)后產(chǎn)生的響應(yīng)應(yīng)為H(jω)F(jω)ejωt，根據(jù)疊加定理，可以求出系統(tǒng)的響應(yīng)：根據(jù)傅里葉逆變換式可知上式可寫為y(t)=F-1[H(jω)F(jω)］即Y(jω)=H(jω)F(jω)在時域分析法中，系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)關(guān)系為y(t)=f(t)*h(t)用時域分析求系統(tǒng)的激勵需要計算繁瑣的卷積。如果將系統(tǒng)激勵和響應(yīng)的關(guān)系變換到頻域考察，可知Y(jω)=H(jω)F(jω)利用頻域中系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)的關(guān)系，只需簡單的代數(shù)相乘運算，即可求出頻域中系統(tǒng)的激勵，再利用傅里葉逆變換可求出系統(tǒng)的時域響應(yīng)y(t)，這就是頻域分析法。頻域分析法中的基本關(guān)系式Y(jié)(jω)=H(jω)F(jω)也可由卷積定理推出。下面將從系統(tǒng)的角度通過圖3-33說明系統(tǒng)的頻域分析法，并介紹頻域分析法中的一個重要概念——頻率響應(yīng)。圖3-33時域和頻域分析示意圖3.4.1系統(tǒng)頻域分析法由第2章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析已知，在零狀態(tài)下輸入信號f(t),系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)和零狀態(tài)響應(yīng)滿足yf(t)=f(t)*h(t)將上式兩端取傅里葉變換有(設(shè))Y(jω)=F(jω)·H(jω)(3-44)式(3-44)便是系統(tǒng)輸入和輸出在頻域中的關(guān)系，式中H(jω)將輸入輸出聯(lián)系起來，是頻域分析中的重要概念。將式(3-44)變形為(3-45)這里，H(jω)稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(也叫系統(tǒng)的頻率響應(yīng))，它等于輸出的頻譜函數(shù)與輸入的頻譜函數(shù)之比。隨著輸入信號(電壓源或電流源)與待求響應(yīng)(電壓或電流)的不同，系統(tǒng)函數(shù)將具有不同的含義，即它可以是阻抗函數(shù)、導納函數(shù)、電壓比或電流比。一般而言，系統(tǒng)函數(shù)H(jω)是一個復函數(shù)，可寫為H(jω)=|H(jω)|ejφ(ω)=H(ω)ejφ(ω)(3-46)其中H(ω)與φ(ω)都是ω的函數(shù)。將H(ω)~ω的關(guān)系稱為幅頻特性，φ(ω)~ω的關(guān)系稱為相頻特性，而且H(ω)是ω的偶函數(shù)，φ(ω)是ω的奇函數(shù)。前面已經(jīng)表明，系統(tǒng)函數(shù)H(jω)就是沖激響應(yīng)h(t)的頻譜函數(shù)，即有下面的關(guān)系(3-47)即(3-48)由于沖激響應(yīng)h(t)取決于系統(tǒng)本身，它描述的是系統(tǒng)的時域特性，因此H(jω)也同樣僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)一旦給定，H(jω)也隨之確定。系統(tǒng)不同，H(jω)也不同，所以H(jω)是在頻域中表征系統(tǒng)的重要方式。系統(tǒng)的頻域分析法，就是利用系統(tǒng)函數(shù)對輸入信號的頻譜進行處理，求得輸出信號的頻域函數(shù)，如式(3-44)所示，以揭示系統(tǒng)對輸入信號的處理功能。頻域分析法是信號分析和處理的有效工具。3.4.2系統(tǒng)頻域分析法舉例【例3-23】已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為當激勵為f(t)=2e-tU(t)時，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解所求響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)。設(shè)響應(yīng)，根據(jù)頻域分析法有所以當然，若系統(tǒng)給出初始儲能，則應(yīng)考慮零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)只能采用第2章介紹的時域法來求解?！纠?-24】已知某系統(tǒng)的微分方程為若激勵f(t)=12e-tU(t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解令對微分方程兩邊取傅里葉變換，得，可得系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為由于,所以有所以響應(yīng)y(t)為可見，系統(tǒng)的微分方程與頻域中的系統(tǒng)函數(shù)是一一對應(yīng)的，已知系統(tǒng)函數(shù)，也能確定系統(tǒng)的微分方程。【例3-25】試分析圖3-34所示RC電路的階躍響應(yīng)。解將RC電路中的C用代替，設(shè)，，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義有若設(shè),則有現(xiàn)在求階躍響應(yīng)，則激勵信號f(t)=U(t),所以所以階躍響應(yīng)y(t)為從此例可以知道，若系統(tǒng)為電路圖系統(tǒng)，可以將電路中的元件用阻抗表示，然后用相量法求得系統(tǒng)函數(shù)H(jω)，從而用頻域分析法求得響應(yīng)。【例3-26】如圖3-35(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入，f2(t)=cos(3t)，系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)為求輸出y(t)。圖3-35

【例3-26】圖解設(shè)乘法器的輸出為f(t)=f1(t)·f2(t)，并設(shè)，則有由于令τ=4,根據(jù)對稱性可得所以有F(jω)如圖3-35(c)所示。系統(tǒng)函數(shù)H(jω)=g6(ω)，如圖3-35(b)所示。則有Y(jω)如圖3-35(d)所示，所以響應(yīng)y(t)為可見，若系統(tǒng)以框圖形式給出，必須一步一步求出各個信號的頻譜函數(shù)，最終求出響應(yīng)的頻譜函數(shù)。3.4.3連續(xù)信號頻域分析的MATLAB實現(xiàn)【例3-27】用MATLAB求解【例3-12】。解求解的代碼如下：

%programch3-27

clear;

T=4;

t1=-T:0.01:T;

ft=rectpuls(t1,4)+rectpuls(t1,2);

subplot(3,1,1);

plot(t1,ft);

xlabel(′t′);

title(′originalwaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′rectpuls(t,4)+rectpuls(t,2)′］;F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumf(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-36所示。圖3-36

【例3-27】圖【例3-28】用MATLAB求解【例3-13】，設(shè)w0=2。解求解的代碼如下：%programch3-28clear;T=8;w0=2;t1=-T/2:0.01:T/2;ft=sinc(w0*t1/pi);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;

factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

F(k)=quad(［′sinc(2*t/pi).*′,factor］,t1,t2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrum′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrum′);運行結(jié)果如圖3-37所示。圖3-37

【例3-28】圖【例3-29】用MATLAB求解【例3-14】，設(shè)τ=4。解求解的代碼如下：%programch3-29clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1+1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalsquarewaveform′);axis(［-44-0.21.2］);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;

factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

F(k)=quad(［′rectpuls(t-1,2).*′,factor］,t1,t2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-38所示。

圖3-38

【例3-29】圖【例3-30】用MATLAB求解【例3-15】，設(shè)τ=10,w0=5。解求解的代碼如下：

%programch3-30

clear;

T=10;

t1=-T:0.01:T;

ft=rectpuls(t1,10).*cos(5*t1);

subplot(3,1,1);

plot(t1,ft);

xlabel(′t′);

title(′originalwaveform′);w1=-2*pi;w2=2*pi;t1=-10;t2=10;N=100;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

F(k)=quad(［′rectpuls(t,10).*cos(5*t).*′,factor］,t1,t2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrum′)圖3-39

【例3-30】圖圖3-39

【例3-30】圖【例3-31】用MATLAB求解【例3-16】圖(b)的頻譜。解求解的代碼如下：%programch3-31clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1+1,2)-rectpuls(t1-1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′rectpuls(t+1,2)-rectpuls(t-1,2)′］;

F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff1(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff1(t)′);運行結(jié)果如圖3-40所示。圖3-40

【例3-31】圖【例3-32】用MATLAB實現(xiàn)【例3-18】。解求解的代碼如下：%programch3-32clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft1=t1;figure(1);subplot(3,1,1);plot(t1,ft1);xlabel(′t′);title(′originalwaveformoft′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F1=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′t′］;

F1(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F1));title(′magnitudespectrumoft′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F1));title(′phasespectrumoft′);ft2=t1.*(t1>=0);figure(2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft2);xlabel(′t′);title(′originalwaveformoftu(t)′);F2=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′t.*(t>=0)′］;

F2(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);end[KH*2D]subplot(3,1,2);plot(wk,abs(F2));title(′magnitudespectrumoftu(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F2));title(′phasespectrumoftu(t)′);運行結(jié)果如圖3-41所示。運行結(jié)果如圖3-41所示【例3-33】用MATLAB求解【例3-19】。解求解的代碼如下：%programch3-33clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=tripuls(t1,1,1)+(t1>(1/2));subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′tripuls(t,1,1)+(t>=(1/2))′］;

F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-42所示。圖3-42

【例3-33】圖【例3-34】用MATLAB求解【例3-20】。解求解的代碼如下：%programch3-34clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=tripuls(t1,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′tripuls(t,2)′］;

F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-43所示。圖3-43

【例3-34】圖【例3-35】用MATLAB求解【例3-21】。解求解的代碼如下：%programch3-35clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=rectpuls(t1+2,2)+rectpuls(t1-2,2);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-4*pi;w2=4*pi;N=500;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′rectpuls(t+2,2)+rectpuls(t-2,2)′］;

F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-44所示。圖3-44

【例3-35】圖【例3-36】用MATLAB求解【例3-22】。解求解的代碼如下：%programch3-36clear;T=4;t1=-T:0.01:T;ft=tripuls(t1,2).*cos(10*pi*t1);subplot(3,1,1);plot(t1,ft);xlabel(′t′);title(′originalwaveform′);w1=-15*pi;w2=15*pi;N=50;wk=linspace(w1,w2,N);F=zeros(1,N);fork=1:N;factor=［′exp(-j*t*′,num2str(wk(k)),′)′］;

f_t=［′tripuls(t,2).*cos(′,num2str(10),′*pi*t)′］;

F(k)=quad(［f_t,′.*′,factor］,-T/2,T/2);endsubplot(3,1,2);plot(wk,abs(F));title(′magnitudespectrumoff(t)′);subplot(3,1,3);plot(wk,angle(F));title(′phasespectrumoff(t)′);運行結(jié)果如圖3-45所示。圖3-45

【例3-36】圖3.4.4用MATLAB計算連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如果系統(tǒng)的微分方程已知，可以利用函數(shù)freqs來求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，其一般調(diào)用方式為H=freqs(b,a,w)其中，b,a分別為微分方程右邊和左邊各階導數(shù)前的系數(shù)組成的向量，w是計算頻率響應(yīng)的頻率抽樣點構(gòu)成的向量?！纠?-37】求系統(tǒng)y′(t)+2y(t)=f(t)的頻率響應(yīng)。解程序代碼如下：

%programch3-37

clear;

b=1;

a=［12］;

fs=0.01:pi;

w=0:fs:4*pi;

H=freqs(b,a,w);

subplot(2,1,1);

plot(w,abs(H));xlabel(′Frequency(rad/s)′);ylabel(′Magnitude′);subplot(2,1,2);plot(w,180*angle(H)/pi);xlabel(′Frequency(rad/s)′);ylabel(′phase(degree)′);運行結(jié)果如圖3-46所示。圖3-46

【例3-37】圖3.5連續(xù)系統(tǒng)頻域分析應(yīng)用舉例

3.5.1無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)通信系統(tǒng)的主要任務(wù)就是有效而可靠地傳輸信號。所謂無失真?zhèn)鬏斁褪侵疙憫?yīng)信號的波形是激勵信號的精確再現(xiàn)，即響應(yīng)信號和激勵信號的波形完全一致，各點的瞬時值可以相差一比例常數(shù)。同時，由于通過系統(tǒng)的信號不可避免會發(fā)生時延，無失真?zhèn)鬏斠髸r延是常數(shù)。在實際系統(tǒng)中，如果本來就是利用系統(tǒng)進行波形變換，那么這種失真是我們所需要的。但在許多情況下則希望信號經(jīng)過系統(tǒng)后盡可能實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?。下面就討論一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)該滿足的條件。

設(shè)激勵信號為f(t)，響應(yīng)為y(t)，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為y(t)=kf(t-t0)

(3-49)其中，k為常數(shù)，t0為延遲時間。從頻域角度來分析，對式(3-49)取傅里葉變換，并設(shè)有(3-50)從系統(tǒng)角度考慮，又有

Y(jω)=H(jω)·F(jω)(3-51)對照式(3-50)和式(3-51)可得(3-52)這就是說，為了實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚撓到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(jω)必須具有式(3-52)的形式，對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)提出了條件，即無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的條件。它表明在全部頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)必須具有的幅頻特性和相頻特性為(3-53)即可實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敗Ｏ到y(tǒng)函數(shù)的幅頻特性是一個常數(shù)，相頻特性與頻率成正比，是通過原點的一條直線，斜率為-t0。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖3-47所示。圖3-47無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)頻譜為了達到無失真?zhèn)鬏敚诶碚撋弦笙到y(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)都滿足無失真?zhèn)鬏敆l件。但是由于可實現(xiàn)性的限制，實際上不可能構(gòu)成這樣的系統(tǒng)。實際的系統(tǒng)只要在所需要的帶寬中滿足無失真條件就可以了。3.5.2理想低通濾波器

理想低通濾波器是具有這樣功能的系統(tǒng)：低于某一頻率ωc的所有信號能無失真地通過(這個頻率范圍稱為通帶)，高于ωc的信號(這個頻率范圍稱為阻帶)則完全阻塞，ωc稱為截止頻率。可見，理想低通濾波器在通帶內(nèi)是一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。因此，理想低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為(3-54)其頻譜如圖3-48所示。圖3-48理想低通濾波器的頻譜因為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)為一對傅氏變換對，所以理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)為其波形如圖3-49所示。圖3-49理想低通濾波器h(t)由此可見，與輸入信號相比，h(t)產(chǎn)生嚴重失真。這是因為δ(t)的頻帶為無限寬而理想低通濾波器通帶為ωc，經(jīng)過理想低通后，它必然對信號波形產(chǎn)生影響，即高于ωc的頻率分量都衰減為零。若ωc增大，h(t)峰值增加，脈寬變窄，當ωc→∞時，可以實現(xiàn)地失真?zhèn)鬏敚到y(tǒng)已不是理想低通濾波器了。從圖3-49中我們還可以看到，雖然δ(t)作用于t=0，但h(t)在t<0時就有響應(yīng)，顯然是違背因果關(guān)系的，所以理想低通濾波器是物理上無法實現(xiàn)的。還可以用頻域法分析出理想低通濾波器的階躍響應(yīng)，在此不作詳細討論，請參閱相關(guān)書籍。雖然理想低通濾波器在物理上不可實現(xiàn)，但它的特性與實際濾波器相類似，對于實現(xiàn)系統(tǒng)具有指導意義。如RC積分電路、RLC串聯(lián)電路等就可組成實際的低通濾波器。關(guān)于各種濾波器電路的分析和設(shè)計將在后續(xù)課程中研究。3.5.3調(diào)制與解調(diào)調(diào)制就是用一個信號去控制另一個信號的某一參數(shù)的過程。沒有適當?shù)恼{(diào)制，電子通信是根本無法實現(xiàn)的。無線電通信是用空間輻射方式傳送信號的。比如要傳遞語言信號，將語言信號作為調(diào)制信號，通過調(diào)制，把它所攜帶的信息通過頻率高得多的載波信號輻射出去，到了接收端后再通過解調(diào)，從已經(jīng)調(diào)制的載波信號中把信息恢復出來。另一方面，通過調(diào)制將所傳送的信號以不同頻率傳送，可以在同一信道傳送多路信號而互不干擾。當然，調(diào)制還在其他技術(shù)領(lǐng)域中應(yīng)用。下面，利用載頻分析來分析幅度調(diào)制與解調(diào)的原理。設(shè)f(t)為待傳輸?shù)男盘?，s(t)=cosω0t為載波信號，ω0為載波頻率，則發(fā)送端的調(diào)幅信號y(t)為y(t)=f(t)·cosω0t設(shè)

則有(3-55)幅度調(diào)制的方框圖及頻譜變換關(guān)系如圖3-50所示。由圖3-50(b)可見，原信號的頻域F(jω)經(jīng)過調(diào)制被搬移至±ω0處，即所需的高頻范圍內(nèi)，成為已調(diào)的高頻信號，很容易以電磁波形式輻射。圖3-50調(diào)制原理方框圖及其頻譜由已調(diào)制信號y(t)恢復原始信號f(t)的過程稱為解調(diào)。圖3-51(a)所示是實現(xiàn)解調(diào)的原理框圖。由圖3-51可得圖3-51同步解調(diào)原理方框圖及其頻譜設(shè)，則有(3-56)其頻譜如圖3-51(b)所示。由此可知，F(xiàn)1(jω)中果然包含原信號f(t)的全部信息F(jω)，此外，還有附加的高頻分量。這時，在f1(t)后接一個低通濾波器，假設(shè)低通濾波器的幅頻特性如圖3-51(a)所示，就能使ωm以下的頻率分量通過而抑制大于ωm的信號，從而濾除多余的高頻信號，達到恢復調(diào)制信號f(t)，完成解調(diào)的目的。當然，此時截止頻率ωc應(yīng)滿足ωm<ωc<2ω0-ωm。3.6抽樣及抽樣定理

抽樣(也