專題06函數(shù)的概念【考點預測】1.函數(shù)的概念(1)一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應，那么從集合到集合的這個對應，叫做從集合到集合的一個函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為.(2)函數(shù)的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應法則.(5)同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.2.基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應法則∫下，括號內式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.3.基本初等函數(shù)的值域(1)的值域是.(2)的值域是：當時，值域為；當時，值域為．(3)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.4.分段函數(shù)的應用分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的概念題型二：同一函數(shù)的判斷題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域題型四：抽象函數(shù)定義域題型五：函數(shù)定義域的應用題型六：函數(shù)解析式的求法1.待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）2.換元法或配湊法（適用于了型）3.方程組法4.求分段函數(shù)的解析式5.抽象函數(shù)解析式題型七：函數(shù)值域的求解1.觀察法2.配方法3.圖像法（數(shù)形結合）4.基本不等式法5.換元法（代數(shù)換元與三角換元）6.分離常數(shù)法7.判別式法8.單調性法9.有界性法10.導數(shù)法題型八：分段函數(shù)的應用【典例例題】題型一：函數(shù)的概念例1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點個數(shù)（

）A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個 D．有0個、1個或多個例2．（2022·全國·高三專題練習）下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）（多選題）例3．（2022·全國·高三專題練習）下列對應關系f，能構成從集合M到集合N的函數(shù)的是（

）A．，，，，B．，C．，D．，，例4．（2022·浙江·高三專題練習）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉角得到曲線，當時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（

）A． B． C． D．例5．（2022·全國·高三專題練習）存在函數(shù)，對于任意都成立的下列等式的序號是________．【方法技巧與總結】利用函數(shù)概念判斷題型二：同一函數(shù)的判斷例6．（2022·全國·高三專題練習）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）①與．②與．③與．④與．A．①② B．①③ C．③④ D．①④例7．（2022·全國·高三專題練習）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習）下列各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，（多選題）例9．（2022·全國·高三專題練習）在下列四組函數(shù)中，與不表示同一函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧與總結】當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域例10．（2022·全國·高三專題練習）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．例11．（2022·全國·河源市河源中學模擬預測）函數(shù)的定義域為___________.例12．（2022·北京·模擬預測）函數(shù)的定義域是_______．例13．（2022·上海市奉賢中學高三階段練習）函數(shù)的定義域為___________.【方法技巧與總結】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式.題型四：抽象函數(shù)定義域例14．（2022·北京·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為______.例16．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．例18．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例19．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在的單調遞增函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．例20．（2022·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的定義域：(1)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(2)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.(3)已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.【方法技巧與總結】1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域2．若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．題型五：函數(shù)定義域的應用例21．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（多選題）例23．（2022·全國·高三專題練習）（多選）若函數(shù)在區(qū)間上有意義，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B． C． D．例24．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是_________．例25．（2022·上海·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是____________．【方法技巧與總結】對函數(shù)定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論.題型六：函數(shù)解析式的求法【方法技巧與總結】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.（2）當已知表達式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求.（5）當出現(xiàn)大基團換元轉換繁瑣時，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構造另一個方程，消元的方法求出．1.待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）（多選題）例26．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．例27．（2022·全國·高三專題練習）設y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且成等比數(shù)列，則等于（

）A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)例28．（2022·全國·高三專題練習）已知為二次函數(shù)，，，求的解析式．2.換元法或配湊法（適用于了型）例29.（2022·陜西西安·高三階段練習（文））已知，則（

）A． B．C． D．例30．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．例31．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，則的解析式為（

）A． B．C． D．例32．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的解析式為_______例33．（2022·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)f(x)=_______，=_______．例34．（2022·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．6 B．3 C．11 D．10例35．（2022·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．3.方程組法例36．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C． D．例37．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)對的一切實數(shù)均有，則等于A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017例38．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿足，且，則________．例39．（2022·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.4.求分段函數(shù)的解析式例40．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例41．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，則___________，的最大值是___________.例42．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－1在區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最大值為g(t)．求g(t)的解析式5.抽象函數(shù)解析式例43．（2022·全國·高三專題練習）對任意實數(shù)，，都有，求函數(shù)的解析式．例44．（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，，則（

）A． B． C．2 D．3例45．（2022·安徽·蕪湖一中三模（理））已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點處的切線方程是（

）A． B．C． D．例46．（2022·全國·高三專題練習（文））定義在上的函數(shù)單調遞增，且對，有，則___________.例47．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的單調函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．例48．（2022·全國·高三專題練習）已知在上是減函數(shù)，且對任意的都成立，寫出一個滿足以上特征的函數(shù)___________.例49．（2022·全國·高三專題練習）設是定義在上的函數(shù)，且滿足對任意等式恒成立，則的解析式為_____________．題型七：函數(shù)值域的求解【方法技巧與總結】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0,及函數(shù)的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域.（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）.(8)單調性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內的單調性，再求出值域.對于形如或的函數(shù)，當ac>0時可利用單調性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域.因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法.(10)導數(shù)法：先利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（小）值，從而求出函數(shù)的值域.1.觀察法例50．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．例51．（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，值域為的是（

）A． B． C． D．例52．（2022·浙江·高三專題練習）下列函數(shù)中，函數(shù)值域為的是（

）A． B．C． D．2.配方法例53.（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．例54．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象是如圖所示的折線段，其中，，函數(shù)，那么函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．例55．（2022·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)，，滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.圖像法（數(shù)形結合）例56．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．例57.（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．例58．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)＝的值域為()A．[－,] B．[－,0]C．[0,1] D．[0,]例59.（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則的最小值為___________.例60．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）函數(shù)的值域為_____.4.基本不等式法例61．（2022·河南·模擬預測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．例62．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是_______．5.換元法（代數(shù)換元與三角換元）例63．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．例64．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．例65．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．例66．（2022·全國·高三專題練習）若，則的取值范圍是________6.分離常數(shù)法例67．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)y的值域是（）A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）例68．（2022·全國·江西科技學院附屬中學模擬預測（文））函數(shù)的值域（

）A． B．C． D．7.判別式法例69．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值與最小值的和是（

）A． B． C． D．例70．（2021·浙江杭州·高一期中）函數(shù)的值域是___________.例71．（2021·江蘇·高一專題練習）求函數(shù)的值域______________．例72.（2021·浙江·高一期末）函數(shù)的值域為_________.8.單調性法例73．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例74．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．例75．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．9.有界性法例76．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是________________.例77．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．例78．（2022·全國·高三專題練習（理））實數(shù)，滿足，則的最大值為___________．10.導數(shù)法例79．（2022·四川省高縣中學校高三階段練習（文））函數(shù)在上的最小值是__________.例80．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則在上的最大值是__________．例81．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為_______.例82．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．題型八：分段函數(shù)的應用例83．（2022·山東濟南·二模）已知函數(shù)若，則m的值為（

）A． B．2 C．9 D．2或9例84．（2022·廣西廣西·模擬預測（理））已知，若，則（

）A．2 B． C．1 D．0例85．（2022·浙江·模擬預測）己知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例86．（2022·廣東梅州·二模）設函數(shù)，則（

）A．2 B．6 C．8 D．10例87．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，則___________；若，則實數(shù)___________.例88．（2022·浙江省臨安中學模擬預測）設，若，則__________，__________.【方法技巧與總結】1.分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應的解析式代入求值2.函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應的分段區(qū)間內.【過關測試】一.單選題1．（2022·全國·高三專題練習（理））下列函數(shù)中，不滿足：的是A． B． C． D．2．（2022·陜西陜西·二模（理））已知是定義域為上的單調增函數(shù)，且對任意，都有，則的值為（

）A．12 B．14 C． D．183．（2022·寧夏·銀川一中一模（文））若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝，則f（2）＝（）A． B．eC． D．－14．（2022·江西·南昌十中模擬預測（文））設全集，集合，則（

）A．（1，2） B．（1，2]C．（2，+∞） D．[2，+∞）5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為(－2,0)，則的定義域為（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．6．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．7．（2022·河北保定·二模）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域為（

）A． B．， C．，， D．，0，二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）已知滿足，則（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·高三專題練習）下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)＝x＋1，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝，g(x)＝11．（2022·全國·高三專題練習）關于直線與函數(shù)的圖象的交點有如下四個結論，其中正確的是（