山東省名校2025屆高三4月校際聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，故集合，由，得，解得，故集合，所以．故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，因此，故的虛部為．故選：A.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A.72 B.108 C.120 D.144【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以．故選：D.4.已知，為單位向量，且，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】因，所以，即，所以，因此，即．故選：C．5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，等式兩邊同時(shí)除以，得，即，又，所以，所以.故選：A6.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.【答案】B【解析】由題意正態(tài)分布均值，結(jié)合對(duì)稱性可知：，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以最小值為8.故選：B7.若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．又，，，所以在和上各有個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)橛袀€(gè)根，所以當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由題意可得，解得．故選：D.8.已知軸截面是正三角形的圓錐，其內(nèi)接圓柱的下底面在圓錐底面內(nèi)，上底面圓在圓錐的側(cè)面上，若圓柱與圓錐的側(cè)面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為（）A. B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為x，圓錐底面半徑為R，由圓錐的軸截面是正三角形，可得圓錐的高為，如圖，由，可得，所以，因?yàn)?，即，解得或．又，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的平均數(shù)分別為，，若已知，則B.已知變量x，y的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)，，…，，，變量x，y的線性回歸方程為，若，，則C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D.某學(xué)生8次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為：101，108，109，120，132，135，141，141，則這8次數(shù)學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù)為135【答案】AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，，所以，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意得，解得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)選項(xiàng)D，由，可得這8次數(shù)學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù)為第6與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為8B.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值是1C.若線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為D.若點(diǎn)M是橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖一，則的周長(zhǎng)為，若直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖二，則的周長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)左焦點(diǎn)的橢圓焦點(diǎn)弦中，通徑最短，即，故B正確；對(duì)于C，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即，聯(lián)立方程，得，設(shè)，，則，解得，所以直線的方程為，即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，圓心，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)取得最大值為，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)在處的切線方程為C.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)，，因?yàn)?，所以，因此，即的值域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，，，所以，所以在處的切線方程為，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則函數(shù)滿足，即，即，所以，因此解得，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故C正確；對(duì)于D，由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，知，設(shè)，所以，又，所以，即，因此．故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】720【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以二項(xiàng)式中展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為720．故答案為：72013.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于、兩點(diǎn)，若，的面積為，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【解析】解法一：易知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，即，①因?yàn)椋?，②．由①②得，，所以；解法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線的傾斜角為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)棰?，，，解得，，所以，②，?lián)立①②可得，故答案為：.14.已知直線與曲線相切，則______．【答案】【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又點(diǎn)既在直線上又在曲線上，所以，聯(lián)立和，消去，得，令，則恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，得到．故答案為：.四、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，且的面積為，求．【答案】（1）因?yàn)椋裕?，得，，所以的增區(qū)間為．（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因此，又，所以，即，所以，即?6.如圖所示，在四面體中，平面，是的中點(diǎn)，分別在線段上，且，．（1）求證：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：方法一：如圖，線段上取一點(diǎn)，使，由已知，，且，在線段上取一點(diǎn)，使，由已知，，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，所以平面．方法二：如圖，連接并延長(zhǎng)交于連接，在中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又是的中點(diǎn)，則，所以，即，又因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面．?）解：由，，知．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又，得，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，由，得，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要證，即證，因?yàn)?，因此只需證，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以，所以當(dāng)時(shí)，，從而命題得證．18.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，且點(diǎn)到其漸近線的距離為．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)是C上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線l（l不與漸近線平行），若l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l與x軸相交于點(diǎn)M．（i）證明：；（ii）若點(diǎn)N在直線l上，且，那么點(diǎn)N是否在定直線上？若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意可知，可得，雙曲線C的漸近線方程為，即，點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，因此，雙曲線C的方程為．（2）（i）因?yàn)槭荂上第一象限的動(dòng)點(diǎn)，則，可得且，易知點(diǎn)、，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，先證明：雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為．聯(lián)立，可得，又，整理可得，解得，所以雙曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，由，令，可得，即點(diǎn)，且，所以，因此．（ii）如下圖所示：直線的斜率為，因?yàn)椋瑒t直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線和直線l的方程，消去y，可得，解得，因此點(diǎn)N在定直線上．19.“馬爾科夫鏈”是一種隨機(jī)過(guò)程，它具有馬爾科夫性質(zhì)，也稱為“無(wú)記憶性”，即一個(gè)系統(tǒng)在某時(shí)刻的狀態(tài)僅與前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)．為了讓學(xué)生體驗(yàn)馬爾科夫性質(zhì)，數(shù)學(xué)老師在課堂上指導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)游戲．他給小聰和小慧各一個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱子中都有個(gè)紅球和1個(gè)白球