試卷第=page6666頁，共=sectionpages6666頁專題04一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合（48題）1．（2025·江西·中考真題）在趣味跳高比賽中，規(guī)定跳躍高度與自己身高的比值最大的同學為獲勝者．甲、乙、丙、丁四位同學的跳躍高度與他們身高的關(guān)系示意圖如圖所示，則獲勝的同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022·江西·中考真題）已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為．3．（2025·江西·中考真題）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；(2)將直線l向上平移，在x軸上方與反比例函數(shù)圖象交于點C，連接，當時，求點C的坐標及直線l平移的距離．4．（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．(1)點B的坐標為______；(2)求所在直線的解析式．5．（2023·江西·中考真題）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點C．

(1)求直線和反比例函數(shù)圖象的表達式；(2)求的面積．6．（2022·江西·中考真題）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，，將線段向右下方平移，得到線段，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且．(1)點B的坐標為__________，點D的坐標為__________，點C的坐標為__________（用含m的式子表示）；(2)求k的值和直線的表達式．7．（2021·江西·中考真題）如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，在中，，，點坐標為．（1）求的值；（2）求所在直線的解析式．一、單選題8．（2025·江西宜春·一模）電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便．某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻，與踏板上人的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中，為常數(shù)，），其圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻的阻值為30歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量．下面說法不正確的是（

）溫馨提示：①導體兩端的電壓，導體的電阻，通過導體的電流，滿足關(guān)系式；②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．A．與踏板上人的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為：（）B．電壓表顯示的讀數(shù)為6伏時，可變電阻電阻是10歐C．電壓表顯示的讀數(shù)為3伏時，對應(yīng)測重人的質(zhì)量為90千克D．對應(yīng)測重人的質(zhì)量為105千克，電壓表顯示的讀數(shù)為4伏9．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）漏壺是一種古代計時器，某小組同學根據(jù)漏壺的原理制作了如圖所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通．液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體．用表示漏水時間，表示圓柱容器的液面高度．下列圖象中，適合表示與的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．10．（2025·江西撫州·二模）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與正比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（

）A． B． C． D．11．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）在如圖所示的電路圖中，當開關(guān)閉合以后，滑動變阻器從左往右滑動的過程中，電流表的示數(shù)與關(guān)系用圖象可近似表示為（

）A． B．C． D．二、填空題12．（2025·江西九江·一模）如圖，平面直角坐標系中，在直線和軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（如圖所示的陰影部分），其中一條直角邊在軸上，另一條直角邊與軸垂直，則第個等腰直角三角形的直角邊長是．13．（2025·江西九江·三模）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸相交于點為第一象限內(nèi)的一點，當是等腰直角三角形時，點的坐標為．14．（2025·江西九江·一模）如圖，在中，點，，，是線段的中點，，分別是邊，上的動點，當以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形時，點的坐標為．15．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，B、C兩點分別在x軸、直線上運動、若以為直角邊的為等腰直角三角形，則點C的坐標為.16．（2025·江西贛州·一模）已知關(guān)于x的函數(shù)的圖象與坐標軸有且只有2個交點，則．17．（2025·江西南昌·二模）鏡片的屈光力（單位：屈光度）與焦距（單位：米）滿足反比例函數(shù)關(guān)系，如圖，點在該反比例函數(shù)圖象上．若某鏡片的焦距為米，則它的屈光力屈光度．18．（2025·江西撫州·一模）如圖，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點，軸，垂足為的面積為5，則k的值為．三、解答題19．（2025·江西撫州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖，一次函數(shù)的圖象交y軸于點C，交x軸于點D．若以為腰的等腰三角形的頂點F是y軸上一點，求點F的坐標．20．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標為與反比例函數(shù)的圖象交于點，點．(1)求所在直線的解析式．(2)求的值．21．（2025·江西南昌·二模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，．(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點在線段上，連接，若，求點的坐標．22．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點在函數(shù)的圖象上，將線段向右下方平移，得到線段，此時點落在函數(shù)的圖象上，點落在軸正半軸上，且點坐標為．(1)求的值；(2)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式．23．（2025·江西宜春·一模）如圖，在中，，軸，垂足為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，交于點．已知，．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)求直線的解析式．24．（2025·江西撫州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點為的中點，反比例函數(shù)的圖象過點，且．(1)求的值；(2)求直線的函數(shù)表達式．25．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三個頂點，恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖所示．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求直線的解析式；(3)連接，求的面積．26．（2025·江西九江·一模）如圖，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)連接，求的面積．27．（2025·江西宜春·一模）跳繩可以提高新陳代謝，是非常好的有氧運動，而一分鐘跳繩在中考體考中易得分，是大多數(shù)學生首選的項目，因此某文具店看準商機購進甲、乙兩種跳繩．已知甲、乙兩種跳繩進價單價之和為65元；甲種跳繩每根獲利3元，乙種跳繩每根獲利5元；店主第一批購買甲種跳繩30根、乙種跳繩15根，一共花費1200元．(1)甲、乙兩種跳繩的單價分別是多少元？(2)若該文具店預(yù)備第二批購進甲、乙兩種跳繩共80根，在費用不超過2250元的情況下，如何進貨才能保證利潤最大？28．（2025·江西撫州·一模）如圖，都是反比例函數(shù)圖象上的點，直線與y軸交于點P，過點A作軸于點B，連接，的面積等于4．(1)k的值為_______．(2)若，求直線的解析式．29．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系中，，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)圖象的兩個交點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．30．（2025·江西新余·一模）如圖，直線與x軸交于點，與反比例函數(shù)圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)求（O為坐標原點）的面積．31．（2025·江西新余·二模）如圖，已知一次函數(shù)（a，b為常數(shù)，）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象在第二象限內(nèi)交于點C，在第四象限內(nèi)交于點E，作軸于點D，已知點，，點B是AC的中點．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點A是BE的中點嗎？請說明理由．32．（2025·江西新余·三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在坐標軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，已知點．(1)求的值．(2)連接交于點，將矩形向右平移個單位長度得到矩形平移后點的對應(yīng)點在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．33．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B，C兩點，與x軸，y軸分別交于D，A兩點．(1)與的數(shù)量關(guān)系為；(2)若的面積為4，求k的值．34．（2025·江西撫州·二模）如圖，在中，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)的長為_____；(2)若點的坐標為，軸，求的值．35．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系中，過反比例函數(shù)（）圖象上一點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M，N，直線分別與x軸、線段，，y軸交于點A，D，C，B.(1)直接寫出的值；(2)①求證：②設(shè)，，試求m與n的函數(shù)關(guān)系式.36．（2025·江西新余·三模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過，兩點．(1)求點的坐標及的值；(2)求的面積．37．（2025·江西贛州·二模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)軸于點，點為反比例函數(shù)圖象上的一點，且位于點A的右側(cè)，連接，．當時，求點的坐標，并直接寫出四邊形的面積．38．（2025·江西吉安·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，與反比例函數(shù)的圖象交于點，，已知點的縱坐標為1．(1)反比例函數(shù)的表達式為________；當時，的取值范圍是________．(2)若點是點關(guān)于軸的對稱點，求的面積．39．（2025·江西撫州·一模）棱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．(1)求此反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸的下方作矩形，使，請你通過計算說明點N在反比例函數(shù)圖象上；40．（2025·江西新余·二模）如圖，點，均在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，于點，且的面積為4，求的值．41．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點坐標為，雙曲線經(jīng)過點，并與交于點．(1)點的坐標為______；(2)求的面積．42．（2025·江西·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸、軸分別交于點．(1)點的坐標為___________；(2)若是軸上的一動點，求的最小值．43．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系，直角頂點B在x軸的正半軸上，已知，，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點是反比例函數(shù)圖象上的點．①在軸上是否存在點，使得最小？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．②在x軸上是否存在點，使得與的差最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．44．（2025·江西宜春·一模）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，與反比例函數(shù)的圖象交于，B兩點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當時，求一次函數(shù)的解析式和的面積．45．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，三角形為等腰直角三角形，斜邊軸，點在軸上，反比例函數(shù)經(jīng)過的中點，交邊于點，已知點．(1)點的坐標為______，反比例函數(shù)解析式為______；(2)連接，求的面積．46．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)圖象上的兩點，滿足，的邊軸，邊軸，且．(1)求的長．(2)若是反比例函數(shù)圖象上的一點，且，求點的坐標．47．（2025·江西·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點，與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點M，若的面積是2．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)若點P是x軸上一點，且滿足是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出點P的坐標．48．（2025·江西·模擬預(yù)測）我們知道，反比例函數(shù)的圖象是一個軸對稱圖形，如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上．(1)_______；(2)這個圖象的對稱軸是直線_______；(3)已知直線平行于（2）中的對稱軸，請求出直線的解析式．

專題04一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合（48題）1．（2025·江西·中考真題）在趣味跳高比賽中，規(guī)定跳躍高度與自己身高的比值最大的同學為獲勝者．甲、乙、丙、丁四位同學的跳躍高度與他們身高的關(guān)系示意圖如圖所示，則獲勝的同學是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，∴，根據(jù)正比例函數(shù)的意義，值越大，圖象越陡，反之圖象越陡，值越大，∴觀察圖象，跳躍高度與自己身高的比值最大的同學為甲，故選：A．2．（2022·江西·中考真題）已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為．【答案】5或或【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：①當AO=AB時，AB=5；②當AB=BO時，AB=5；③當OA=OB時，則OB=5，B（5，0），設(shè)A（a，）（a>0），∵OA=5，∴，解得：，，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=或AB=；綜上所述，AB的長為5或或．故答案為：5或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，考查分類討論的思想，當時，求出點的坐標是解題的關(guān)鍵．3．（2025·江西·中考真題）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；(2)將直線l向上平移，在x軸上方與反比例函數(shù)圖象交于點C，連接，當時，求點C的坐標及直線l平移的距離．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；(2)點，直線l平移的距離為．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直線的平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得到點和點關(guān)于直線對稱，可求得，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∵直線經(jīng)過點，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；（2）解：作一三象限的角平分線，如圖，∵，∴，根據(jù)雙曲線的對稱性，知點和點關(guān)于直線對稱，∴，作軸于點，作軸于點，∵，，，∴，∵，∴，，∴點，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，∴平移后的直線為，∴，解得，∴直線l平移的距離為．4．（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過點B，過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，連接．(1)點B的坐標為______；(2)求所在直線的解析式．【答案】(1)(2)【分析】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）過點B作軸，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可確定點B的坐標；（2）根據(jù)點確定反比例函數(shù)解析式，然后即可得出，再由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）解：過點B作軸于D，如圖所示：∵是等腰直角三角形，，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）由（1）得，代入，得，∴，∵過點作x軸的垂線交雙曲線于點C，∴當時，，∴，設(shè)直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得，∴直線的解析式為．5．（2023·江西·中考真題）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點C．

(1)求直線和反比例函數(shù)圖象的表達式；(2)求的面積．【答案】(1)直線的表達式為，反比例函數(shù)的表達式為(2)6【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）由一次函數(shù)解析式求得點B的坐標，再根據(jù)軸，可得點C的縱坐標為1，再利用反比例函數(shù)表達式求得點C坐標，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，∴，，即，∴直線的表達式為，反比例函數(shù)的表達式為．（2）解：∵直線的圖象與y軸交于點B，∴當時，，∴，∵軸，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點C，∴點C的縱坐標為1，∴，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、一次函數(shù)與y軸的交點，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江西·中考真題）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，，將線段向右下方平移，得到線段，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且．(1)點B的坐標為__________，點D的坐標為__________，點C的坐標為__________（用含m的式子表示）；(2)求k的值和直線的表達式．【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）(2)4；y＝-2x＋6【分析】（1）根據(jù)OB＝2可得點B的坐標，根據(jù)OD＝1可得點D的坐標為（1，0），由平移規(guī)律可得點C的坐標；（2）根據(jù)點C和D的坐標列方程可得m的值，從而得k的值，再利用待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．【詳解】（1）∵點B在y軸上，，∴B（0，2），∵點D落在x軸正半軸上，且∴D（1，0），∴線段AB向下平移2個單位，再向右平移1個單位，得到線段CD，∵點A（m，4），∴C（m＋1，2），故答案為：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；（2）∵點A和點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝4m＝2（m＋1），∴m＝1，∴A（1，4），C（2，2），∴k＝1×4＝4，設(shè)直線AC的表達式為：，∴解得，∴直線AC的表達式為：y＝-2x＋6．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平移的性質(zhì)，根據(jù)OB和OD的長得出平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵．7．（2021·江西·中考真題）如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點，在中，，，點坐標為．（1）求的值；（2）求所在直線的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正比例函數(shù)求解的坐標，再代入反比例函數(shù)的解析式求解即可得到答案；（2）如圖，過作于過作于證明利用全等三角形的性質(zhì)求解的坐標，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可．【詳解】解：（1）在上，則把代入中，則（2）如圖，過作于過作于設(shè)為解得：所以為【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，熟練應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵．一、單選題8．（2025·江西宜春·一模）電子體重秤讀數(shù)直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便．某綜合實踐活動小組設(shè)計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質(zhì)量忽略不計）的可變電阻，與踏板上人的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中，為常數(shù)，），其圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為8伏，定值電阻的阻值為30歐，接通開關(guān)，人站上踏板，電壓表顯示的讀數(shù)為，該讀數(shù)可以換算為人的質(zhì)量．下面說法不正確的是（

）溫馨提示：①導體兩端的電壓，導體的電阻，通過導體的電流，滿足關(guān)系式；②串聯(lián)電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓．A．與踏板上人的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為：（）B．電壓表顯示的讀數(shù)為6伏時，可變電阻電阻是10歐C．電壓表顯示的讀數(shù)為3伏時，對應(yīng)測重人的質(zhì)量為90千克D．對應(yīng)測重人的質(zhì)量為105千克，電壓表顯示的讀數(shù)為4伏【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法即可求出與踏板上人的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，得到，求出歐；根據(jù)題意得到，求出，代入，求出千克；當時，，解得，設(shè)電壓表顯示的讀數(shù)為伏，則可變電阻兩端的電壓為伏，得到，解得；即可得到答案．【詳解】解：將代入得，解得，，故A選項不符合題意；由題意可得，可變電阻兩端的電壓（伏），，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，，（歐），故B選項說法正確，不符合題意；由題意可得，可變電阻兩端的電壓（伏），，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，，（歐），當時，，解得（千克），故C選項說法不正確，符合題意；當時，，解得，設(shè)電壓表顯示的讀數(shù)為伏，則可變電阻兩端的電壓為伏，，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，，解得，故D選項說法正確，不符合題意；故選：C．9．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）漏壺是一種古代計時器，某小組同學根據(jù)漏壺的原理制作了如圖所示的液體漏壺，該漏壺是由一個圓錐和一個圓柱組成的，中間連通．液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體．用表示漏水時間，表示圓柱容器的液面高度．下列圖象中，適合表示與的對應(yīng)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】題目主要考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)漏水的速度為v（定值），圓柱容器底面積為s（定值），確定，再由實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵液體可以從圓錐容器中勻速漏到圓柱容器中，∴設(shè)漏水的速度為v（定值），圓柱容器底面積為s（定值），∴，∴，∵實驗開始時圓柱容器中已有一部分液體，∴當時，，∴為一次函數(shù)，故選：A．10．（2025·江西撫州·二模）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與正比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷出的符號是解題的關(guān)鍵．由已知二次函數(shù)的圖象開口方向可以知道的取值范圍，對稱軸可以確定的取值范圍，然后就可以確定反比例函數(shù)與正比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象．【詳解】解：∵的圖象開口向上，∴，∵對稱軸在軸的右側(cè)，∴，∴，∴反比例函數(shù)在第一、三象限，正比例函數(shù)在第二、四象限，故選：D．11．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）在如圖所示的電路圖中，當開關(guān)閉合以后，滑動變阻器從左往右滑動的過程中，電流表的示數(shù)與關(guān)系用圖象可近似表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)，即，當從左往右滑動，即增大時，結(jié)合一定，則減小，即可判斷出電流表的示數(shù)與關(guān)系用圖象可近似表示為反比例函數(shù)圖象，進而得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，即，當從左往右滑動，即增大時，因為一定，則減小，所以電流表的示數(shù)與關(guān)系用圖象可近似表示為反比例函數(shù)圖象，只有C選項符合題意．故選：C．二、填空題12．（2025·江西九江·一模）如圖，平面直角坐標系中，在直線和軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（如圖所示的陰影部分），其中一條直角邊在軸上，另一條直角邊與軸垂直，則第個等腰直角三角形的直角邊長是．【答案】【分析】本題考查了規(guī)律型—數(shù)的變化，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出直線與軸的交點坐標，進入可得出第個等腰直角三角形直角邊的長，結(jié)合三角形的面積公式，可得出第個等腰直角三角形的面積，同理，可求出第，，個等腰直角三角形直角邊的長及面積，根據(jù)數(shù)的變化，可找出“第個等腰直角三角形直角邊的長為，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當時，，∴直線與軸交于點，∴第個等腰直角三角形直角邊的長為，當時，，∴第個等腰直角三角形直角邊的長為，當時，，∴第個等腰直角三角形直角邊的長為，當時，，∴第4個等腰直角三角形直角邊的長為，，∴第個等腰直角三角形直角邊的長為，故答案為：．13．（2025·江西九江·三模）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸相交于點為第一象限內(nèi)的一點，當是等腰直角三角形時，點的坐標為．【答案】或或【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；解題關(guān)鍵是先求出點A、點B坐標，再分三種情況討論等腰直角三角形中C點的位置通過構(gòu)造全等三角形來確定C點坐標。先求得點A、點B的坐標再分，三種情況討論求解即可．【詳解】解：由，當時，；當時，∴點的坐標為，點A的坐標為．①當，時，如圖，過點作軸于點，所以，所以，，所以．因為，所以，所以，，所以，所以點的坐標為．②當，時，如圖，作軸于點，同理可證得，所以，，所以，所以點的坐標為．③當，時，如圖，此時，為的中點(由為等腰直角三角形性質(zhì)可知)．因為，，所以點的坐標為．綜上所述，點C的坐標為或或．故答案為：或或．14．（2025·江西九江·一模）如圖，在中，點，，，是線段的中點，，分別是邊，上的動點，當以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形時，點的坐標為．【答案】或或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標與圖形綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進行分類討論．先求出點，再求出直線的函數(shù)解析式是，設(shè)點，．分三種情況：當時，當時，當時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：點，，是線段的中點，點，設(shè)直線的解析式為：，把、代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式是，設(shè)點，．分三種情況：①當時，如圖1．過點作，交于點，過點作，交于點，點，，，，∵，，∴，∴，，，∴，解得，點的坐標為；②當時，如圖2．過點作交于點，過點作，交于點，點，，同理，可得，，，解得點的坐標為；③當時，如圖3．過點作，，，點，．同理，可得，，解得點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或或．故答案為：或或．15．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，B、C兩點分別在x軸、直線上運動、若以為直角邊的為等腰直角三角形，則點C的坐標為.【答案】，或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征及等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.對點的位置及直角頂點進行分類討論即可.【詳解】解：由題知，設(shè)點，當，且點在點A左側(cè)時，，解得：，此時點的坐標為.當，且點在點A右側(cè)時，，解得：，此時點的坐標為.當，且點在點A左側(cè)時，，解得：，此時點的坐標為.當，且點在點左側(cè)時，，解得：，此時點的坐標為.綜上所述，點的坐標為，或.故答案為：，或.16．（2025·江西贛州·一模）已知關(guān)于x的函數(shù)的圖象與坐標軸有且只有2個交點，則．【答案】1，0，，2【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)分別與坐標軸交點的問題，根據(jù)函數(shù)圖象與坐標軸有2個交點，分①一次函數(shù)時，②二次函數(shù)時，函數(shù)圖象過坐標原點和頂點坐標在x軸上分別求解即可．【詳解】解：①當，即時，函數(shù)為，與坐標軸有兩個交點；②時，若，則函數(shù)為，函數(shù)圖象經(jīng)過坐標原點，與坐標軸有兩個交點，若，頂點在x軸上，則函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點時有：即，解得，．綜上所述，函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點時，0，，2．故答案為：1，0，，2．17．（2025·江西南昌·二模）鏡片的屈光力（單位：屈光度）與焦距（單位：米）滿足反比例函數(shù)關(guān)系，如圖，點在該反比例函數(shù)圖象上．若某鏡片的焦距為米，則它的屈光力屈光度．【答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)上點的坐標特征，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)，將代入中，得，所以，最后將代入求出即可解答．【詳解】解：鏡片的屈光力（單位：屈光度）與焦距（單位：米）滿足反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)，將代入中，得，，故當時，，故答案為：．18．（2025·江西撫州·一模）如圖，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點，軸，垂足為的面積為5，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到，然后根據(jù)去絕對值得到k的值．【詳解】解：∵軸，垂足為A，的面積為5，∴，∵，∴．故答案為：．三、解答題19．（2025·江西撫州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖，一次函數(shù)的圖象交y軸于點C，交x軸于點D．若以為腰的等腰三角形的頂點F是y軸上一點，求點F的坐標．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為(2)點F的坐標為或或【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)等，靈活運用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．（1）將代入反比例函數(shù)解析式求出解析式，再求出點的坐標，將、代入一次函數(shù)解析式，即可求解；（2）先求出點C的坐標為，點D的坐標為，再求出，分當點F在點C的上方，時，當點F在點C的下方，時，當點F在點C的下方，時，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：將點代入反比例函數(shù)解析式，得，∴反比例函數(shù)的解析式為．將點代入，得，解得，∴點B的坐標為．將點分別代入一次函數(shù)解析式，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵直線與y軸交于點C，與x軸交于點D，將代入，則；令，解得：；∴點C的坐標為，點D的坐標為，，當點F在點C的上方，時，，∴點F的坐標為；當點F在點C的下方，時，，，∴點F的坐標為；當點F在點C的下方，時，，∴點F的坐標為．綜上所述，點F的坐標為或或．20．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標為與反比例函數(shù)的圖象交于點，點．(1)求所在直線的解析式．(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)，兩點距離計算公式，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出B、D的坐標是解題的關(guān)鍵．（1）分別過點A和點C作y軸的垂線，垂足分別為F、E，證明得到，則，再根據(jù)正方形對角線中點坐標相同求出點B的坐標，最后利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的解析式即可；（2）先求出反比例函數(shù)解析式，進而求出點D的坐標，再利用兩點距離計算公式分別求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，分別過點A和點C作y軸的垂線，垂足分別為F、E，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線解析式為，∴，解得，∴直線解析式為；（2）解：把代入到中得，解得，∴反比例函數(shù)解析式為，聯(lián)立，解得或，∴，∴，，∴．21．（2025·江西南昌·二模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，．(1)分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點在線段上，連接，若，求點的坐標．【答案】(1)，；(2)．【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出點的坐標．根據(jù)點在反比例函數(shù)圖象上，可得方程，解方程即可求的值，根據(jù)的值求出點、的坐標，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可；過點作軸平行線，過點作軸平行線，兩線交于點，可證，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得：點的橫坐標為，把點的橫坐標代入一次函數(shù)的解析式中求出點的縱坐標即可．【詳解】（1）解：點，在反比例函數(shù)圖象上，，解得：，（舍去），，反比例函數(shù)的解析式是；將點，的坐標代入一次函數(shù)，可得：，解得：，一次函數(shù)的解析是；（2）解：過點作軸平行線，過點作軸平行線，兩線交于點，過點作，垂足為，，．，，，，，，，即，解得：，點的橫坐標為，將代入中，可得：，點的坐標為．22．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，點在函數(shù)的圖象上，將線段向右下方平移，得到線段，此時點落在函數(shù)的圖象上，點落在軸正半軸上，且點坐標為．(1)求的值；(2)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查了平移的性質(zhì)、求反比例函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由平移的性質(zhì)可得，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值即可得解（2）設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為．利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：，，線段平移后得到線段，，．點和點在函數(shù)的圖象上，，，．（2）解：設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為．將，代入得：，解得：，直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為．23．（2025·江西宜春·一模）如圖，在中，，軸，垂足為．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，交于點．已知，．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)求直線的解析式．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，判定點的坐標，求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．（1）點作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用反比例函數(shù)的解析式求得點坐標為，根據(jù),，利用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，，，在中，由勾股定理得，，，∴反比例函數(shù)；（2）解：假設(shè)點坐標為，代入得，∴點坐標為，設(shè)直線的解析式為，將,代入得，，解得，∴直線的解析式為．24．（2025·江西撫州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點為的中點，反比例函數(shù)的圖象過點，且．(1)求的值；(2)求直線的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．（1）利用線段的中點求出點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用待定系數(shù)法代入假設(shè)的解析式中即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸于點，作軸于點，∵點為的中點，∴是的中位線，∵，∴，∵點在第一象限，∴點的坐標為，∵反比例函數(shù)的圖象過點，∴；（2）解：設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵，∴，把的坐標分別代入，得解得∴直線的函數(shù)表達式為．25．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三個頂點，恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，如圖所示．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求直線的解析式；(3)連接，求的面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題涉及正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求解以及三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是正確的求得反比例函數(shù)的解析式．（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得；（2），過點作軸的平行線，過點分別作，交平行線于G、F．證明，可得點C坐標，根據(jù)點的坐標求出直線解析式，（3）如圖．連接，，由（2）可知，計算三角形面積．【詳解】（1）解：點恰好落在雙曲線上，．解得．A、B坐標為，．將代入，得．反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：由（1）可知．如圖，過點作軸的平行線，過點分別作，交平行線于G、F．；可得，．四邊形是正方形，，．．，．，．點C坐標為，即．設(shè)直線的解析式為，則解得直線的解析式為．（3）解：如圖．連接，，由（2）可知．26．（2025·江西九江·一模）如圖，直線與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)連接，求的面積．【答案】(1)(2)2【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）將點代入可求得a值，把點代入解析式可求得k值，即可求得反比例函數(shù)的解析式．（2）先求出點，然后根據(jù)解答即可．【詳解】（1）將點代入，得，點．將點代入，得，該反比例函數(shù)的解析式為．（2）當時，，點，，．27．（2025·江西宜春·一模）跳繩可以提高新陳代謝，是非常好的有氧運動，而一分鐘跳繩在中考體考中易得分，是大多數(shù)學生首選的項目，因此某文具店看準商機購進甲、乙兩種跳繩．已知甲、乙兩種跳繩進價單價之和為65元；甲種跳繩每根獲利3元，乙種跳繩每根獲利5元；店主第一批購買甲種跳繩30根、乙種跳繩15根，一共花費1200元．(1)甲、乙兩種跳繩的單價分別是多少元？(2)若該文具店預(yù)備第二批購進甲、乙兩種跳繩共80根，在費用不超過2250元的情況下，如何進貨才能保證利潤最大？【答案】(1)甲、乙兩種跳繩的單價分別是15元和50元(2)當購進甲種跳繩50根，購進乙種跳繩30根，利潤最大【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、二元一次方程組、一元一次不等式等知識．（1）設(shè)甲、乙兩種跳繩的單價各是x元和y元，根據(jù)題意列出方程即可解決問題；（2）設(shè)第二批購進甲種跳繩a根，乙種跳繩根，列出函數(shù)關(guān)系式和不等式即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種跳繩的單價分別是x元和y元，根據(jù)題意得，，解得：，答：甲、乙兩種跳繩的單價分別是15元和50元；（2）解：設(shè)第二批購進甲種跳繩a根，乙種跳繩根，由題意得，，∵，∴隨a的增大而減小，∵費用不超過1000元，∴，解得：，∴當時，利潤最大，∴（根），∴當購進甲種跳繩50根，購進乙種跳繩30根，利潤最大．28．（2025·江西撫州·一模）如圖，都是反比例函數(shù)圖象上的點，直線與y軸交于點P，過點A作軸于點B，連接，的面積等于4．(1)k的值為_______．(2)若，求直線的解析式．【答案】(1)8(2)【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；（1）連接，由題意易得，進而問題可求解；（2）過點A作軸于點D，由（1）可知，則有，然后可得，進而可得點P的坐標為，設(shè)直線的解析式為，代入，最后問題可求解【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵軸，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，∴；故答案為8；（2）解：如圖，過點A作軸于點D．由（1）知，，．，即，，，∴點P的坐標為．設(shè)直線的解析式為，代入，，解得，直線的解析式為．29．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系中，，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)圖象的兩個交點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)的表達式為(2)或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）先把點坐標代入反比例函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點坐標代入反比例函數(shù)解析式求出點的坐標，再把、坐標代入一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)解析式即可；（2）只需要找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）解：由題意，將代入，得：，解得：，∴反比例函數(shù)的表達式為，將代入，得：，解得：，則，將，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知不等式的解集為或．30．（2025·江西新余·一模）如圖，直線與x軸交于點，與反比例函數(shù)圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)求（O為坐標原點）的面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）把點代入解析式可求得b值，把點代入解析式可求得k值，即可求得反比例函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)題意，，解答即可．本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握待定系數(shù)法，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點，與反比例函數(shù)圖象交于點．∴把點代入解析式得，解得；∴直線解析式，把點代入解析式得，故點把點代入解析式得，故反比例函數(shù)的解析式為.（2）解：由，，得，根據(jù)題意，得．31．（2025·江西新余·二模）如圖，已知一次函數(shù)（a，b為常數(shù)，）的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，且與反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象在第二象限內(nèi)交于點C，在第四象限內(nèi)交于點E，作軸于點D，已知點，，點B是AC的中點．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點A是BE的中點嗎？請說明理由．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為；(2)點A是BE的中點．理由見解析【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標與圖形、正切，正確求得函數(shù)解析式是解答的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)正切定義和坐標與圖形性質(zhì)求得點B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式即可；（2）先聯(lián)立方程組求得點E坐標，再根據(jù)兩點坐標距離公式求得即可．【詳解】（1）解：由點，，得，，則點．由點B是的中點，軸，得點C的坐標為，∴把點，代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；把點代入，得，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：點A是的中點．理由如下：由解得或，∴點E的坐標為，∴，即點A是的中點．32．（2025·江西新余·三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在坐標軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，已知點．(1)求的值．(2)連接交于點，將矩形向右平移個單位長度得到矩形平移后點的對應(yīng)點在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．【答案】(1)8；(2)3．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，平移變換等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用矩形頂點坐標確定的位置，代入反比例函數(shù)即可求解；（2）先求出點的坐標，根據(jù)平移后在反比例函數(shù)圖象上即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴點的坐標為，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴；（2）解：∵點的坐標為，點的坐標為，是的中點，∴點的坐標為，對于，當時，，∴．33．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于B，C兩點，與x軸，y軸分別交于D，A兩點．(1)與的數(shù)量關(guān)系為；(2)若的面積為4，求k的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積．（1）作軸于點，作軸于點，證明是等腰直角三角形，和都是等腰直角三角形，聯(lián)立得，整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，由正弦函數(shù)的定義求得，，即可得到；（2）由（1）得，，，根據(jù)，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：，作軸于點，作軸于點，令，則，令，則，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴和都是等腰直角三角形，聯(lián)立得，整理得，∴，，則，不妨設(shè)點的橫坐標為，點的橫坐標為，∴，，∴，∴，，∴；故答案為：；（2）解：∵，，，，∴，解得，∴，∴，∴．34．（2025·江西撫州·二模）如圖，在中，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)的長為_____；(2)若點的坐標為，軸，求的值．【答案】(1)(2)16【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．（1）過點B作于點H，易得是等腰三角形，推出，解直角三角形求出，即可解答；（2）延長，交軸于點，根據(jù)軸，解直角三角形求出，進而求出，在中，利用勾股定理求出，得到點的坐標為，即，求出點的坐標為，即可求解．【詳解】（1）解：過點B作于點H，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，，∵，∴，∴；（2）解：如圖，延長，交軸于點．軸，，即．，，，，，在中，，點的坐標為，即，，點的坐標為，．35．（2025·江西南昌·一模）如圖，在平面直角坐標系中，過反比例函數(shù)（）圖象上一點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M，N，直線分別與x軸、線段，，y軸交于點A，D，C，B.(1)直接寫出的值；(2)①求證：②設(shè)，，試求m與n的函數(shù)關(guān)系式.【答案】(1)4(2)①見解析；②【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)點，由軸，軸，得到，，根據(jù)點P在反比例函數(shù)圖象上，于是得到；（2）①在中，令，則；令，則，于是得到，，求得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到；②由①知是等腰直角三角形，得到，過C作軸于E，軸于F，則四邊形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)點，∵軸，軸，∴，，∵點P在反比例函數(shù)圖象上，∴；（2）解：①證明：∵在中，令，則；令，則，∴，，∴，∵，∴；②由①知是等腰直角三角形，∴，過C作軸于E，軸于F，則四邊形是矩形，是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴．∴m與n的函數(shù)關(guān)系式為.36．（2025·江西新余·三模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（，）的圖象經(jīng)過，兩點．(1)求點的坐標及的值；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法，幾何圖形面積的計算是關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，可得直線的解析式為，點的坐標為，，結(jié)合圖形面積的計算即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，解得，，點的坐標為，；（2）解：由（1）可得，，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，，直線的解析式為，當時，，點的坐標為，，的面積為：．37．（2025·江西贛州·二模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)軸于點，點為反比例函數(shù)圖象上的一點，且位于點A的右側(cè)，連接，．當時，求點的坐標，并直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)(2)12【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題及等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式求解析式，借助等腰三角形“三線合一”確定點坐標．（1）先將點代入直線，求出a的值從而確定點A坐標，再把點A坐標代入反比例函數(shù)，求出k，得到反比例函數(shù)解析式．（2）過點作，由根據(jù)等腰三角形“三線合一”得，進而確定點縱坐標為，將其代入反比例函數(shù)解析式求出橫坐標，得到點坐標，再求出點C坐標，根據(jù)四邊形的面積=與面積之和，計算即可．【詳解】（1）解：把點代入得，，，∴點為把點代入得，，；（2）過點作，垂足為點，，，點的縱坐標為2，把代入，解得．．直線中令，則，解得，∴．∵軸于點，∴∵，．∴四邊形的面積=與面積之和．中，，，∴．中，，點到的距離（即與橫坐標之差的絕對值）為，∴．∴．38．（2025·江西吉安·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，與反比例函數(shù)的圖象交于點，，已知點的縱坐標為1．(1)反比例函數(shù)的表達式為________；當時，的取值范圍是________．(2)若點是點關(guān)于軸的對稱點，求的面積．【答案】(1)，或(2)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式和點B的坐標是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點的縱坐標為，代入一次函數(shù)得出，代入反比例函數(shù)解析式即可求解；聯(lián)立一次函數(shù)與反比例數(shù)解析式，求得點，然后根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出的取值范圍；（2）一次函數(shù)的圖象軸交于點，則，根據(jù)點是點關(guān)于軸的對稱點，則，進而根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：在中，當時，點在直線上，點的縱坐標為，．點在反比例函數(shù)上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為．聯(lián)立，解得或，∴，∴由圖象可得：當或時，；（2）解：在中，當時，，．點是點關(guān)于軸的對稱點，．，．39．（2025·江西撫州·一模）棱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C．(1)求此反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸的下方作矩形，使，請你通過計算說明點N在反比例函數(shù)圖象上；【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的性質(zhì)和軸對稱、中心對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出，，然后根據(jù)得到，進而求解即可；【詳解】（1）點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）已知，，，∴，∴．∵，∴，∴點N的坐標為．∵，∴點N在反比例函數(shù)的圖象上；40．（2025·江西新余·二模）如圖，點，均在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，于點，且的面積為4，求的值．【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義．由的面積為4，知，根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義，知本題，求得，，進而求出k的值．【詳解】解：∵的面積為4，軸于點，于點，，∴，∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，，∴，，∴，∴．41．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點坐標為，雙曲線經(jīng)過點，并與交于點．(1)點的坐標為______；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）延長交x軸于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證明四邊形是矩形，得出，，即可求得，，從而得解．（2）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式為，從而可求得點E坐標為，即可由三角形面積公式求解．【詳解】（1）解：延長交x軸于F，如圖，∵點坐標為，∴，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴點的坐標為．故答案為：．（2）解：雙曲線經(jīng)過點且點的坐標為，，反比例函數(shù)的解析式為，又點在反比例函數(shù)的解析式為，且點橫坐標為2，，即點的坐標為，，，的面積．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點的坐標，矩形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，三角形的面積．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．42．（2025·江西·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸、軸分別交于點．(1)點的坐標為___________；(2)若是軸上的一動點，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對稱最短路徑問題，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件列方程求得，求得，再求出一次函數(shù)的解析式，即可求解；（2）如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則此時，最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，利用兩點間距離公式求解即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，，，，把，代入得，，解得，一次函數(shù)的表達式為；令，解得：，；（2）解：如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，則，此時，最小，最小值為的長，，，，的最小值為．43．（2025·江西吉安·一模）如圖，在平面直角坐標系，直角頂點B在x軸的正半軸上，已知，，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點是反比例函數(shù)圖象上的點．①在軸上是否存在點，使得最?。咳舸嬖?，求出點的坐標；若不存在，說明理由．②在x軸上是否存在點，使得與的差最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)①存在，可使最小；②可使線段與的差最大．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，解直角三角形．（1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；（2）①首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標，然后求得直線的解析式后求得其與x