2023-2024學(xué)年上海市上海復(fù)旦附中浦東分校高三年級(jí)下學(xué)期3月月考2024.3一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分．1.已知是虛數(shù)單位，則______．【答案】##【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及虛部的概念即可求解.【詳解】.故答案為：.2.直線與直線平行，則______．【答案】4【解析】【分析】由直線平行的性質(zhì)列式求解即可，注意檢驗(yàn).【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，故滿足題意.故答案為：4.3.設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又不等式的解集是區(qū)間的真子集，則.故答案為：.4.函數(shù)的最小值是_________．【答案】3【解析】【詳解】試題分析：考點(diǎn)：基本不等式.5.已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，則______．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：由題意得，解得，故答案為：6.若橢圓的離心率為，則______．【答案】或【解析】【分析】結(jié)合離心率公式，分焦點(diǎn)在軸上和在軸上進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則，若焦點(diǎn)在軸上，則.故答案為：或.7.某醫(yī)院選派甲、乙等4名醫(yī)生到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)義診，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少有一人，每名醫(yī)生只能去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且甲、乙不在同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的選派方法有______種．【答案】30【解析】【分析】由題意知可按甲、乙兩人的選派情況分兩類：①甲、乙均單獨(dú)去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，②甲、乙兩人有一人和另外2人中的一人一起去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別計(jì)算出選派方法，相加即可.【詳解】由題意知可按甲、乙兩人的選派情況分兩類：①甲、乙均單獨(dú)去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則剩下的2人一起去另一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有種選派方法；②甲、乙兩人有一人和另外2人中的一人一起去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，剩下的2人均單獨(dú)去一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共有種選派方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選派方法共有（種）．故答案為：8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______．【答案】210【解析】【分析】利用的關(guān)系式可求得，利用分組求和即可求出.【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相減可得，所以可得，因此；即.故答案為：2109.若函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心，則實(shí)數(shù)的最大值是______．【答案】【解析】【分析】化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的知識(shí)和定義域列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由題意，得，令，解得，令，得；令，解得，令，得．根據(jù)題意，得，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是．故答案為：．10.已知某人每次投籃的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合兩點(diǎn)分布的期望與方差公式以及基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，X服從兩點(diǎn)分布，可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為．故答案為：.11.若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為___________.【答案】1【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合條件得到是函數(shù)和的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用對(duì)稱性得出關(guān)于直線對(duì)稱，從而得出，，然后計(jì)算出．【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過定點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則切線方程為，即，直線過定點(diǎn)，所以，所以，則是函數(shù)和的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而曲線也關(guān)于直線對(duì)稱，因此點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，從而，，所以．故答案為：1.12.已知非空集合M滿足M?{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非負(fù)整數(shù)k（k≤n），使得當(dāng)a∈M時(shí)，均有2k-a∈M，則稱集合M具有性質(zhì)P．設(shè)具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（n），求的值為______．【答案】31【解析】【分析】當(dāng)n=k時(shí)，具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（t），當(dāng)n=k+1時(shí)，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g(shù)（t+1）表達(dá)t+1∈M也具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)，計(jì)算g（t+1）關(guān)于t的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有2k≥t+1，即k≥，故對(duì)n=t分奇偶討論，利用集合M具有性質(zhì)P即可得出．【詳解】解：當(dāng)n=2時(shí)，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性質(zhì)P，對(duì)應(yīng)的k分別為0，1，2，1，1，故f（2）=5．n=k時(shí)，具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為f（t），則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g(shù)（t+1）表達(dá)t+1∈M也具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)，下面計(jì)算g（t+1）關(guān)于t的表達(dá)式，此時(shí)應(yīng)有2k≥t+1，即k≥，故對(duì)n=t分奇偶討論，當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，t+1為奇數(shù)，故應(yīng)該有k≥，則對(duì)每一個(gè)k，t+1和2k-t-1必然屬于集合M，且t和2k-t，…，k和k共有t+1-k組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)必然同時(shí)屬于或不屬于集合M，故對(duì)每一個(gè)k，對(duì)應(yīng)的具有性質(zhì)P的集合M的個(gè)數(shù)為所以②當(dāng)t為奇數(shù)時(shí)，t+1為偶數(shù)，故應(yīng)該有k≥，同理g（t+1）=∴f（t+1）=由累加法得：f（n）=∴f（9）-f（8）=4×25-9-5-（6×24-8-5）=31．故答案為31．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、元素與集合之間的關(guān)系、組合數(shù)的計(jì)算公式、新定義，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形，已知，則下列說法正確的是（

）A.B.C.四邊形的周長為D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計(jì)算各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖過作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即，即B錯(cuò)誤；還原平面圖為下圖，即，即A錯(cuò)誤；過C作，由勾股定理得，故四邊形ABCD的周長為：，即C錯(cuò)誤；四邊形ABCD的面積為：，即D正確.故選：D.14.有一組樣本數(shù)據(jù)由5個(gè)連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（）A.新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)B.新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)C.新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差D.新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A，B錯(cuò)誤；由題意新數(shù)據(jù)的波動(dòng)增大，所以方差越大，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：D.15.某品牌手機(jī)為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對(duì)其特定型號(hào)的產(chǎn)品降價(jià)，有四種降價(jià)方案：①先降價(jià)，再降價(jià)：②先降價(jià)，再降價(jià)；③先降價(jià)，再降價(jià)；④一次性降價(jià).其中，則最終降價(jià)幅度最小的方案是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】設(shè)原價(jià)為1，求出四種降價(jià)方案的價(jià)格，再比較大小可得答案.【詳解】設(shè)原價(jià)為1，對(duì)于①，降價(jià)后的價(jià)格為：，對(duì)于②，降價(jià)后的價(jià)格為：，對(duì)于③，降價(jià)后的價(jià)格為：，對(duì)于④，降價(jià)后的價(jià)格為：一次性降價(jià).，所以①④,因?yàn)?，所以，所以①③因?yàn)?，所以，，，所以②③，則最終降價(jià)幅度最小的方案是③.故選：C.16.已知平面非零向量滿足，則對(duì)于任意的使得（）A.恒有解 B.恒有解C.恒無解 D.恒無解【答案】B【解析】【分析】設(shè)，其中，記則有，即，然后分，，三種情況討論，再根據(jù)直線是過點(diǎn)的直線與圓錐曲線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)和點(diǎn)在以為直徑的圓上，分析圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】解：設(shè)，其中，記則有，即若，則點(diǎn)的軌跡是拋物線，方程為E：，點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，則是過點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí).若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為E：，點(diǎn)為橢圓E的左焦點(diǎn)，軸是橢圓的左準(zhǔn)線，是過點(diǎn)的直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相離，故若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，方程為E：，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，軸是雙曲線的右準(zhǔn)線，是過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相交，故可正，可負(fù)，可零.所以，當(dāng)時(shí)，恒有，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與均有解，故錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)法，設(shè)，其中，記則有，即，然后分，，三種情況討論，將原問題轉(zhuǎn)化為判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系，從而解決問題.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.如圖.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在菱BB1上運(yùn)動(dòng)．（1）證明：AD⊥C1E；（2）當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1-A1B1E的體積【答案】（1）見解析（2）【解析】【詳解】(1)證明:因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,而AD?平面ABC,所以AD⊥BB1.②由①②,得AD⊥平面BB1C1C.由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng),得C1E?平面BB1C1C,所以AD⊥C1E.(2)解:因?yàn)锳C∥A1C1,所以∠A1C1E是異面直線AC,C1E所成的角.由題意知∠A1C1E=60°.因?yàn)椤螧1A1C1=∠BAC=90°,所以A1C1⊥A1B1.又AA1⊥A1C1,從而A1C1⊥平面A1ABB1.于是A1C1⊥A1E.故C1E==2.又B1C1==2,所以B1E==2.從而=·A1C1=××2××=.18.對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則稱為定義域上的“函數(shù)”．（1）試判斷，是否為“函數(shù)”，簡要說明理由；（2）若是定義在區(qū)間上“函數(shù)”求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】（1）是；理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義結(jié)合即可判斷；（2）將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為在有解，且在上恒成立，分離參數(shù)即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，可得，故是“函數(shù)”；【小問2詳解】因?yàn)闉椤昂瘮?shù)”，所以存在，使，即，整理得在有解．因?yàn)?，所以，可得，結(jié)合在上恒成立，可得，綜上所述，，即實(shí)數(shù)取值范圍是.19.甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的情況有：前2局甲贏；第1局乙贏、第2、3局甲贏；第1局甲贏、第2局乙贏、第3、4局甲贏，從而就可以求出概率.（2）根據(jù)題意的可能取值為，求出相應(yīng)的概率，列出分布列，再利用均值公式計(jì)算即可.【詳解】（1）用表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”.則，..（2）的可能取值為.，，.故的分布列為2345所以考點(diǎn)：1.概率的求解；2.期望的求解.20.已知橢圓過點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)B，若△OAB的面積為2，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程；（3）設(shè)過點(diǎn)直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q.求證：線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由三角形的面積求得直線的方程.（3）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得的坐標(biāo)的關(guān)系式，進(jìn)而證得線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).【小問1詳解】依題意，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，所以直線的方程為.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，此時(shí)，所以直線的方程為.當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，由消去并化簡得，設(shè)，，則.所以，則，解得（舍去）.綜上所述，直線的方程為或.【小問3詳解】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，則，由，，.依題意可知直線的斜率存在，直線的方程為，令，得，同理可求得，所以，所以線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).【點(diǎn)睛】求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要是要求得，這是兩個(gè)未知參數(shù)，要求得兩個(gè)未知參數(shù)，則需要兩個(gè)已知條件來求解，本題中，點(diǎn)的坐標(biāo)以及橢圓的離心率是兩個(gè)已知條件，再結(jié)合即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（3）定義函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，若，則稱為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的一個(gè)“源數(shù)列”．①已知為函數(shù)的“源數(shù)列”，求證：對(duì)任意正整數(shù)，均有；②已知為函數(shù)的“生成數(shù)列”，為函數(shù)的“源數(shù)列”，與的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，試問在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？請說明理由．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）（3）①證明見解析；②假設(shè)不成立，即不存