上海市2024屆高三年級(jí)第二學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（復(fù)興高級(jí)中學(xué)，松江二中，奉賢中學(xué)，金山中學(xué)）2024.03.14考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分）只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則______.2.______.3.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)_______．4.中國(guó)古典數(shù)學(xué)的代表作有《算數(shù)書(shū)》《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等.學(xué)校圖書(shū)館計(jì)劃將這四本書(shū)借給名學(xué)生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有_______種(用數(shù)字作答).5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則_________.6.對(duì)于獨(dú)立事件A、B，若，，則______.7.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____.8.已知向量，滿(mǎn)足，，，則等于____________．9.已知點(diǎn)在圓C：（）內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為8，則______．10.已知x，y的對(duì)應(yīng)值如下表所示：02468113若y與x線(xiàn)性相關(guān)，且回歸直線(xiàn)方程，則______．11.若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為_(kāi)____________．12.如圖，這是某同學(xué)繪制素描作品，圖中的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點(diǎn)，則__________.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分）每小題都給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，13-14選對(duì)得4分，15-16選對(duì)得5分，否則一律得零分.13.已知集合，，則（）A B. C. D.14.已知拋物線(xiàn)方程，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條15.以下四個(gè)命題：①函數(shù)最小值為；②方程沒(méi)有整數(shù)解；③若，則；④不等式的解集為.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.16.已知農(nóng)歷每月的第天的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù)．根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中正確的有（）①農(nóng)歷每月第天和第天的月相外邊緣形狀相同；②月相外邊緣上點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為；③月相外邊緣的離心率第8天時(shí)取最大值；④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內(nèi)．A.①③ B.②④ C.①② D.③④三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟．17.在如圖所示的圓錐中，是頂點(diǎn)，是底面的圓心，、是圓周上兩點(diǎn)，且，．（1）若圓錐側(cè)面積為，求圓錐的體積；（2）設(shè)圓錐的高為2，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)與平面所成角的正切值．18.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.19.如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，米，廣場(chǎng)的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅MN（寬度不計(jì)），點(diǎn)M在線(xiàn)段AD上，并且與曲線(xiàn)CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線(xiàn)CN（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為2a元，單人弧形椅的造價(jià)每米為a元，記銳角，總造價(jià)為W元．（1）試將W表示為函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；（2）問(wèn)當(dāng)AM的長(zhǎng)為多少時(shí)，能使總造價(jià)W最?。?0.在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍；（3）設(shè)直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，記與的面積分別為，是否存在實(shí)數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線(xiàn)是懸鏈線(xiàn).1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線(xiàn)”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線(xiàn)的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類(lèi)比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．（1）直接寫(xiě)出，